등호 조건까지가 답이다 — 등호가 실제로 설 수 있는지 확인해야 최댓값·최솟값이라고 말할 수 있다.
거꾸로, 양쪽이 같아졌으면 등호 조건이 곧 답을 찾는 열쇠다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
끈 24 cm 로 직사각형을 만들 때 정사각형일 때 가장 넓다 — 모눈종이에 여러 개 그려 넓이를 견주어 본다.
📘 중학 (다리)
\((\sqrt a-\sqrt b)^2 \ge 0\) 과 \((a-b)^2 \ge 0\) — 제곱은 음수가 안 된다가 모든 부등식의 뿌리.
🎓 고등 (지금)
산술·기하평균과 코시-슈바르츠로 최댓값·최솟값을 구하고, 등호 성립 조건을 반드시 함께 쓴다.
연습 10제 — 전부 손으로 풀어 보고 해설을 열자
문제 1C곱 고정 → 합의 최솟값
\(x>0,\ y>0\) 이고 \(xy=16\) 일 때, \(x+y\) 의 최솟값과 그때의 \(x,\ y\) 를 구하여라.
풀이 — 곱이 정해졌으니 합의 최솟값이다
\(x>0,\ y>0\) 이므로 산술·기하평균을 쓸 수 있다.
⭐ 여기가 고비 — 「곱이 정해졌다」를 먼저 읽는다
부등식 \(x+y \ge 2\sqrt{xy}\) 의 오른쪽에는 곱이, 왼쪽에는 합이 들어 있습니다.
그러니 곱이 주어졌으면 합의 최솟값이 나오고, 합이 주어졌으면 곱의 최댓값이 나옵니다.
이 문제는 \(xy=16\) 이 주어졌으니 합의 최솟값을 묻는 자리입니다.
왜 최솟값인가요? 부등호가 \(x+y \ge (\text{정해진 수})\) 꼴이기 때문입니다.
「구하는 것이 부등호의 왼쪽에 오도록」 놓고 나면 최대인지 최소인지는 저절로 갈립니다.
\(x+y \ge 2\sqrt{16} = 2\cdot 4 = 8\).
등호는 \(x=y\) 일 때. \(x=y\) 와 \(xy=16\) 에서 \(x^2=16,\ x=4\) (\(x>0\)), 따라서 \(x=y=4\).
검산: \(4+4=8\), \(4\cdot 4=16\) ✓
"a 플러스 b는 2루트 ab. 어마어마하게 중요한 말이다."— 장대경 선생님 절대부등식 특강 0:32~0:47
최솟값 8 (x = y = 4)
문제 2C기본형 · 역수 짝
\(x>0\) 일 때, \(x + \dfrac{9}{x}\) 의 최솟값을 구하여라.
풀이 — 두 덩이의 곱에서 문자가 지워진다
⭐ 여기가 고비 — 곱했을 때 \(x\) 가 지워지는지부터 본다
\(x\) 와 \(\dfrac{9}{x}\) 를 곱하면 \(x \cdot \dfrac{9}{x} = 9\) — 문자가 싹 지워지고 상수만 남습니다.
이 「지워짐」이 산술·기하평균을 쓸 수 있다는 신호입니다.
지워지지 않으면 \(2\sqrt{ab}\) 안에 문자가 남아 최솟값이 되지 못합니다.
그래서 문제를 보면 덧셈으로 붙은 두 덩이를 곱해 본다가 첫 동작입니다.
상수가 나오면 바로 쓰고, 안 나오면 나오도록 모양을 고쳐 주어야 합니다(문제 4·5·6이 그 연습입니다).
\(x>0\) 이므로 \(\dfrac{9}{x}>0\), 둘 다 양수라 산술·기하평균을 쓸 수 있다.
등호는 \(x = \dfrac{9}{x}\), 곧 \(x^2=9,\ x=3\) (\(x>0\)) 일 때.
검산: \(3 + \dfrac{9}{3} = 3+3 = 6\) ✓
⛔ 흔한 함정 — 조건 \(x>0\) 을 빼먹으면\(x=-3\) 을 넣으면 \(-3 + \dfrac{9}{-3} = -6\) 이라 6보다 작아집니다.산술·기하평균은 두 수가 모두 양수일 때만 쓸 수 있다 — 조건을 먼저 확인한다.
최솟값 6 (x = 3)
문제 3B합 고정 → 곱의 최댓값
\(x>0,\ y>0\) 이고 \(x+y=20\) 일 때, \(xy\) 의 최댓값을 구하여라.
풀이 — 이번엔 부등호의 방향이 반대다
\(x+y \ge 2\sqrt{xy}\) 에 \(x+y=20\) 을 넣으면 \(20 \ge 2\sqrt{xy}\).
⭐ 여기가 고비 — 양변을 제곱할 때 부등호는 그대로다
\(20 \ge 2\sqrt{xy}\) 에서 \(\sqrt{xy} \le 10\) 까지는 쉽습니다. 문제는 다음 한 걸음 —
양변을 제곱해도 되는가? 됩니다. 왜냐하면 \(\sqrt{xy} \ge 0\) 이고 \(10 > 0\) 이라
양쪽이 모두 0 이상이기 때문입니다. 그래서 \(xy \le 100\).
부등식은 양쪽이 모두 0 이상일 때만 제곱해도 방향이 안 바뀝니다.
음수가 섞이면 \(-5 \le 2\) 를 제곱해 \(25 \le 4\) 가 되는 사고가 납니다.
여기서는 「루트는 음수가 안 된다」가 제곱을 허락해 준 것입니다.
등호는 \(x=y\) 일 때. \(x=y=10\).
검산: \(10+10=20\), \(10 \cdot 10 = 100\) ✓ (\(x=15,\ y=5\) 로 해 보면 \(xy=75<100\) ✓)
"요거는 언제 (등호가) 되냐, x와 y가 서로 같을 때 된다. 이거 굉장히 중요한 말이다."— 장대경 선생님 절대부등식 특강 29:21~29:31
최댓값 100 (x = y = 10)
문제 4B짝 만들기 · 쪼갰다 되돌리기
\(x>2\) 일 때, \(x + \dfrac{4}{x-2}\) 의 최솟값과 그때의 \(x\) 를 구하여라.
풀이 — 그냥 곱하면 안 지워진다
먼저 곱해 본다: \(x \cdot \dfrac{4}{x-2} = \dfrac{4x}{x-2}\) — 문자가 남는다. 그대로는 못 쓴다.
⭐ 여기가 고비 — \(x\) 를 \((x-2)+2\) 로 쪼갠다
분모가 \(x-2\) 이니 앞의 \(x\) 도 \(x-2\) 모양으로 맞춰 주어야 곱했을 때 지워집니다.
그래서 \(x = (x-2) + 2\) 로 쪼개 씁니다.
\[x+\frac{4}{x-2}=(x-2)+\frac{4}{x-2}+2\]
이제 앞의 두 덩이만 곱하면 \((x-2)\cdot\dfrac{4}{x-2}=4\) — 깨끗이 지워집니다.떼어 낸 \(+2\) 는 어디 갔나요? 부등식 밖에 그대로 두었다가 마지막에 다시 더합니다.
산술·기하평균은 앞의 두 덩이에만 걸고, 상수는 손대지 않는 것입니다.
「똑같이 나오도록 만들어 준다」 — 이것이 이 단원의 손기술 전부입니다.
\(x>2\) 이므로 \(x-2>0\), \(\dfrac{4}{x-2}>0\) — 둘 다 양수라 쓸 수 있다.
\((x-2)+\dfrac{4}{x-2} \ge 2\sqrt{4}=4\), 여기에 \(+2\) 를 되돌리면 \(\ge 6\).
등호는 \((x-2)^2=4,\ x-2=2\), 곧 \(x=4\).
검산: \(4 + \dfrac{4}{4-2} = 4+2 = 6\) ✓
"여기서 (이 식이) 생겼으면 이 식을 만들어 내야 돼. 똑같이 나오도록 만들어야 된다."— 장대경 선생님 절대부등식 특강 6:57~7:11
최솟값 6 (x = 4)
문제 5B괄호를 펼친다
\(x>0,\ y>0\) 일 때, \((2x+y)\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) 의 최솟값을 구하여라.
⭐ 여기가 고비 — 상수는 상수끼리 빼 두고, 남은 둘에만 건다
펼친 네 조각 가운데 상수 두 개(4와 1)는 이미 정해진 수라 더 작아질 수 없습니다.
움직이는 것은 \(\dfrac{2x}{y}\) 와 \(\dfrac{2y}{x}\) 둘뿐이고, 이 둘의 곱이
\(\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{2y}{x}=4\) 로 문자가 지워집니다.
그래서 상수 5는 그대로 두고, 나머지 둘에만 산술·기하평균을 겁니다.
상수까지 통째로 넣어 \(2\sqrt{\text{전체 곱}}\) 을 계산하면 틀립니다 —
더해지는 네 덩이 가운데 변하는 두 덩이만 골라야 합니다.
「상수를 먼저 모아 옆으로 빼 두기」가 이 유형의 첫 동작입니다.
"이 문제는 우리가 다 (펼쳐) 보아라."— 장대경 선생님 절대부등식 특강 5:39 (37번 문제)
최솟값 9 (x = y)
문제 6B조건식을 통째로 곱한다
\(x>0,\ y>0\) 이고 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=1\) 일 때, \(x+y\) 의 최솟값과 그때의 \(x,\ y\) 를 구하여라.
풀이 — 「1을 곱한다」는 반칙이 아니다
⭐ 여기가 고비 — 조건식의 값이 1이라는 것을 「도구」로 쓴다
구하는 것은 \(x+y\) 인데 조건은 분수식입니다. 이 둘을 잇는 다리가
「조건식의 값이 1이다」라는 사실입니다. 어떤 식에 1을 곱해도 값은 그대로이니
\[x+y=(x+y)\cdot 1=(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)\]
로 바꿔 써도 값이 변하지 않습니다. 그리고 이렇게 바꾸는 순간 문제 5와 똑같은 꼴이 됩니다.
왜 하필 이렇게 곱하나요? 곱하면 \(\dfrac{4x}{y}\) 와 \(\dfrac{y}{x}\) 처럼
서로 뒤집힌 짝이 생겨 문자가 지워지기 때문입니다.
조건이 「분수식 = 상수」 꼴이면 거의 언제나 이 수를 씁니다.
\(x^2+y^2=25\) 일 때, \(3x+4y\) 의 최댓값과 그때의 \(x,\ y\) 를 구하여라.
풀이 — 제곱의 합이 조건이면 코시다
\((3^2+4^2)(x^2+y^2) \ge (3x+4y)^2\).
⭐ 여기가 고비 — 왼쪽이 제곱수가 되는지 본다
왼쪽은 \((9+16)\times 25 = 25 \times 25 = 625\). 그리고 \(625 = 25^2\) 입니다.
그러니 \((3x+4y)^2 \le 25^2\) 이고, 여기서 루트를 벗기면
\(-25 \le 3x+4y \le 25\) — 답이 바로 나옵니다.
왜 음수 쪽 끝까지 나오나요? \(A^2 \le k^2\) 은 \(|A| \le k\) 와 같은 말이고,
그것은 \(-k \le A \le k\) 입니다. 코시로 얻는 것은 언제나 「구간」이고,
그중 어느 끝을 묻는지는 문제가 정합니다. 여기서는 최댓값이니 오른쪽 끝 25.
등호는 \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\), 곧 \(4x=3y\) 일 때. \(y=\dfrac{4x}{3}\) 을 \(x^2+y^2=25\) 에 넣으면 \(x^2+\dfrac{16x^2}{9}=\dfrac{25x^2}{9}=25\), \(x^2=9\).
최댓값을 주는 쪽은 \(x=3,\ y=4\). (\(x=-3,\ y=-4\) 는 \(3x+4y=-25\) 로 최솟값 쪽이다.)
⭐ 여기가 고비 — 최솟값은 0이 아니다
많은 학생이 "제곱이 0 이상이니 최솟값은 0"이라고 씁니다. 그건 \((x+y)^2\) 의 최솟값이지
\(x+y\) 의 최솟값이 아닙니다. \((x+y)^2 \le 16\) 은
\(-4 \le x+y \le 4\) 라는 뜻이고, 최솟값은 \(-4\) 입니다.
헷갈리지 않는 길 — 구하는 식 자체를 부등호 사이에 놓고 읽는다.
\(-4 \le x+y \le 4\) 라고 써 놓으면 왼쪽 끝이 최소, 오른쪽 끝이 최대로 눈에 바로 보입니다.
등호는 \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}\), 곧 \(x=y\). \(2x^2=8,\ x^2=4,\ x=\pm 2\).
\(x=y=2\) 일 때 \(x+y=4\) (최대), \(x=y=-2\) 일 때 \(x+y=-4\) (최소).
검산: \(2^2+2^2=8\) ✓ · \((-2)^2+(-2)^2=8\) ✓
⛔ 흔한 함정 — 산술·기하평균을 그냥 가져다 쓰면\(x,\ y\) 가 음수일 수도 있으므로 \(x+y \ge 2\sqrt{xy}\) 는 쓸 수 없습니다.양수 조건이 없으면 산술·기하평균 대신 코시-슈바르츠를 쓴다 — 이쪽은 부호를 가리지 않는다.
최댓값 4, 최솟값 −4
문제 9B등호 조건을 거꾸로 쓴다
\(a^2+b^2=20\) 이고 \(a+2b\) 의 값이 최대일 때, \(ab\) 의 값을 구하여라.
⭐ 여기가 고비 — 묻는 것은 최댓값이 아니라 \(ab\) 다
답 10에서 멈추면 이 문제를 놓칩니다. 물은 것은 「최대일 때의 \(ab\)」 이고,
「최대일 때」 = 「등호가 선 때」 입니다. 그러니 등호 조건이 곧 \(a,\ b\) 를 찾는 식이 됩니다.
\[\frac{a}{1}=\frac{b}{2} \;\Longrightarrow\; b=2a\]
부등식 문제에서 등호 조건은 덤으로 확인하는 것이라고 배우지만,
이런 문제에서는 등호 조건이 답을 캐내는 열쇠 그 자체가 됩니다.
선생님이 "여기서 아주 중요한 힌트가 있다"고 하신 자리가 바로 이 지점입니다.
\(b=2a\) 를 \(a^2+b^2=20\) 에 넣으면 \(a^2+4a^2=5a^2=20\), \(a^2=4\), \(a=\pm 2\).
\(a+2b=a+4a=5a\) 가 최대가 되려면 \(a=2\), 그때 \(b=4\). (\(a=-2\) 는 \(a+2b=-10\) 으로 최소.)
따라서 \(ab = 2 \times 4 = 8\).
검산: \(2^2+4^2=4+16=20\) ✓, \(2+2\cdot4=10\) ✓
"여기서 아주 중요한 힌트가 있다."— 장대경 선생님 절대부등식 특강 24:34~24:43 (등호가 선 자리를 짚으시며)
ab = 8 (a = 2, b = 4)
문제 10A합과 곱을 한꺼번에 · 최상위
\(x>0,\ y>0\) 이고 \(x^2+y^2=18\) 일 때, \(x+y+xy\) 의 최댓값을 구하여라.
풀이 — 합 \(s\) 하나로 모두 바꾼다
\(s=x+y,\ p=xy\) 로 놓는다 (\(s>0,\ p>0\)).
⭐ 여기가 고비 — 조건이 \(s\) 와 \(p\) 를 묶어 준다
\(s^2=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy = 18+2p\) 이므로 \(p=\dfrac{s^2-18}{2}\) —
곧 \(p\) 가 \(s\) 로 완전히 결정됩니다. 그래서 구하는 식이
\[x+y+xy=s+p=s+\frac{s^2-18}{2}\]
로 문자 하나짜리 식이 됩니다. 이제 남은 일은 \(s\) 가 얼마까지 커질 수 있는지 찾는 것뿐입니다.
두 문자를 그대로 두고 산술·기하평균을 여기저기 거는 것이 이 문제의 함정입니다.
\(x+y\) 와 \(xy\) 는 따로 최대가 되지 않고 서로 묶여 있으니, 각각의 최댓값을 더하면 틀립니다.
「합과 곱이 함께 나오면 \(s,\ p\) 로 바꾼다」 — 이 한 수가 문제를 한 문자로 줄여 줍니다.
\(s\) 의 범위: \(x^2+y^2 \ge 2xy\) 에서 \(2p \le 18\), 곧 \(p \le 9\). 이를 \(s^2=18+2p\) 에 넣으면 \(s^2 \le 36\), \(s \le 6\).
\(s+\dfrac{s^2-18}{2}\) 는 \(s>0\) 에서 커질수록 커지므로 \(s=6\) 에서 최대.
최댓값 \(= 6+\dfrac{36-18}{2}=6+9=15\).
그때 \(s=6,\ p=9\) 이니 \(x,\ y\) 는 \(t^2-6t+9=0\) 의 두 근, 곧 \(x=y=3\).
"한 번 들어서 이해가 안 되는 것은 몇 번이고 반복해서 하고 하고 하다 보면 실력이 늘어납니다."— 장대경 선생님 절대부등식 특강 35:40~35:50
최댓값 15 (x = y = 3)
한 걸음 더 · 이 방법이 실제로 쓰이는 자리
같은 부등식, 다른 옷
강의에서 다룬 두 활용을 숫자만 바꿔 다시 만나면 이렇게 보인다.
🏞 넓이가 가장 커지는 자리
빗변이 \(c\) 인 직각삼각형의 넓이는 언제나 \(\dfrac{c^2}{4}\) 이하다.
\(x^2+y^2=c^2 \ge 2xy\) 에서 \(xy \le \dfrac{c^2}{2}\), 넓이는 \(\dfrac{1}{2}xy \le \dfrac{c^2}{4}\).
등호는 직각이등변일 때 — 가장 넓은 직각삼각형은 언제나 「두 변이 같은 것」이다.
⭕ 둘레가 가장 길어지는 자리
반지름 \(r\) 인 원에 내접하는 직사각형의 둘레는 \(2x+2y\) 이고 \(x^2+y^2=(2r)^2\).
코시로 \((2^2+2^2)(x^2+y^2) \ge (2x+2y)^2\), 곧 둘레 \(\le \sqrt{8 \cdot 4r^2}=4\sqrt2\,r\).
등호는 정사각형일 때 — 넓이도 둘레도 「가장 고른 모양」에서 가장 커진다.
🐣 초등 친구도 알 수 있게
끈 24 cm 로 직사각형 울타리를 만든다고 하자. 가로와 세로를 더하면 언제나 12 cm 다.
가로 1 · 세로 11 이면 넓이 11, 2 · 10 이면 20, 4 · 8 이면 32, 6 · 6 이면 36.
가로와 세로가 같아질수록 넓어지고, 딱 같을 때 가장 넓다.
이것이 어른 말로 하면 「합이 정해지면 곱은 두 수가 같을 때 최대」다.
가장 넓은 울타리 = 한 변 6 cm 인 정사각형, 넓이 36 cm²
※ 이 연습 10제는 장대경 선생님 「절대부등식」 특강의 방법으로 푸는 새로 지은 문항이며,
강의의 숫자를 옮긴 것이 아닙니다. 열 문항 모두 부등식으로 얻은 값과 미분으로 얻은 값을 따로 구해 맞춰 보는 두 길로
직접 검산했습니다. 인용한 선생님 말씀은 모두 특강 원본에서 실제로 하신 말씀이며 시각을 함께 적었습니다.