함수의 극한 완전정복 — 약분에서 미분까지 연습 10제

먼저 · 3단계로 끝내는 법

0/0 확인 — x=a를 대입해서 분모·분자가 둘 다 0이 되면, 아직 끝난 게 아니다. 분자·분모가 (x−a)라는 공통인수를 숨기고 있다는 신호다.

인수분해·유리화로 약분 — 다항식이면 인수분해해서 공통인수를 지우고, 근호가 있으면 켤레(더한 꼴)를 곱해 유리화한다. 지운 뒤에 x=a를 대입.

(지름길) 분자·분모를 각각 미분해서 대입 — 인수분해·유리화가 복잡할 때는, 분자를 미분한 것과 분모를 미분한 것을 각각 만들어 x=a를 대입해도 똑같은 값이 나온다. 왜 그런지는 다음 학기 미분계수 단원에서 확인한다(비법 ③).

연습 10제 · 계산 해설

문제 1인수분해 기본영상 예제

lim(x→−1) (x²−1)/(x+1)의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해 후 약분

x²−1=(x−1)(x+1)이므로 (x+1)을 약분하면 x−1.
x=−1 대입: −1−1=−2.
지름길 교차검증: 분자의 미분 2x, 분모의 미분 1. x=−1 대입 → −2/1=−2. 일치!

−2

문제 2유리화 기본영상 예제

lim(x→4) (√x−2)/(x−4)의 값을 구하라.

풀이 — 켤레를 곱해 유리화

켤레 (√x+2)를 분자·분모에 곱하면 분모는 x−4가 되어 약분: 1/(√x+2).
x=4 대입: 1/(2+2)=1/4.
지름길 교차검증: 분자 √x−2의 미분은 1/(2√x), 분모 x−4의 미분은 1. x=4 대입 → 1/(2√4)=1/4. 일치!

1/4

문제 3고차 인수분해 · 세제곱의 합영상 예제

lim(x→−2) (2x²+3x−2)/(x³+8)의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해(세제곱의 합) 후 약분

2x²+3x−2=(2x−1)(x+2), x³+8=(x+2)(x²−2x+4) (세제곱의 합 a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)).
(x+2)를 약분하면 (2x−1)/(x²−2x+4). x=−2 대입: (−4−1)/(4+4+4)=−5/12.
지름길 교차검증: 분자의 미분 4x+3, 분모의 미분 3x². x=−2 대입 → (−5)/12. 일치!

−5/12

문제 4고차 인수분해 · 세제곱의 차

lim(x→2) (x³−8)/(x−2)의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해(세제곱의 차) 후 약분

x³−8=(x−2)(x²+2x+4) (세제곱의 차 a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)). 약분하면 x²+2x+4.
x=2 대입: 4+4+4=12.
지름길 교차검증: 분자의 미분 3x², 분모의 미분 1. x=2 대입 → 3×4=12. 일치!

문제 5유리화 · 다른 수

lim(x→9) (√x−3)/(x−9)의 값을 구하라.

풀이

켤레 (√x+3)을 곱하면 1/(√x+3). x=9 대입: 1/(3+3)=1/6.
지름길 교차검증: 1/(2√x)에 x=9 대입 → 1/6. 일치!

1/6

문제 6유리화 · 분모에 근호

lim(x→0) x/(√(x+1)−1)의 값을 구하라.

풀이 — 분모를 유리화

켤레 (√(x+1)+1)을 곱하면 분모는 x가 되어 약분: √(x+1)+1.
x=0 대입: 1+1=2.
지름길 교차검증: 분자의 미분 1, 분모의 미분 1/(2√(x+1)). x=0 대입 → 1÷(1/2)=2. 일치!

문제 7복합형 · 인수분해+유리화

lim(x→1) (√(x+3)−2)/(x²−1)의 값을 구하라.

풀이 — 분자는 유리화, 분모는 인수분해

분자에 켤레 (√(x+3)+2)를 곱하면 분자는 x−1이 됨.
분모 x²−1=(x−1)(x+1)과 (x−1)을 약분: 1/[(x+1)(√(x+3)+2)].
x=1 대입: 1/(2×4)=1/8.
지름길 교차검증: 분자의 미분 1/(2√(x+3)), 분모의 미분 2x. x=1 대입 → (1/4)÷2=1/8. 일치!

1/8

문제 8 · 함정0/0 확인이 먼저다

lim(x→2) (x²+1)/(x−1)의 값을 구하라. (지름길을 아무 데나 쓰면 안 되는 이유를 확인하는 문제)

풀이 — 먼저 0/0인지부터 확인

x=2를 분모에 대입하면 2−1=1≠0. 0/0 꼴이 아니다! 그냥 바로 대입하면 된다.
(4+1)/(2−1)=5.
만약 실수로 지름길(분자·분모 각각 미분)을 썼다면: 2x/1에 x=2 대입 → 4. 이건 틀린 값! 지름길은 오직 0/0 꼴일 때만 통한다.

5 지름길 오용 시 4 (오답)

문제 9인수분해 · 이차/이차

lim(x→3) (x²−2x−3)/(x²−9)의 값을 구하라.

풀이

x²−2x−3=(x−3)(x+1), x²−9=(x−3)(x+3). 약분하면 (x+1)/(x+3).
x=3 대입: 4/6=2/3.
지름길 교차검증: 분자의 미분 2x−2, 분모의 미분 2x. x=3 대입 → 4/6=2/3. 일치!

2/3

문제 10고차 결합형 · 마무리

lim(x→1) (x⁴−1)/(x³−1)의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해는 복잡하니 지름길이 빛을 본다

인수분해로도 가능: x⁴−1=(x−1)(x+1)(x²+1), x³−1=(x−1)(x²+x+1). 약분하면 (x+1)(x²+1)/(x²+x+1), x=1 대입 → (2×2)/3=4/3.
지름길이 훨씬 빠르다: 분자의 미분 4x³, 분모의 미분 3x². x=1 대입 → 4/3. 일치! (분해할 항이 많을수록 지름길의 진가가 나타난다)

4/3

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"0/0을 지운다"는 눈 하나로 위·아래 학년까지

오늘 쓴 인수분해·유리화·지름길이, 학년이 바뀌어도 이름만 달리해서 계속 다시 등장합니다.

① 중2~고1 · 유리화는 이미 알던 도구

중2~고1 근호와 유리화

분모의 무리식을 없애는 유리화, 중2~고1에서 이미 배운 그 계산이 오늘 문제 2·5·6·7의 핵심 무기였습니다. 새로운 게 아니라 이미 아는 도구를 새 상황에 쓴 것뿐입니다.

② 고1 · 인수분해 감각이 기초 체력

고1 다항식의 인수분해

세제곱의 합·차 공식 a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)처럼, 빠르게 인수분해하는 감각이 없으면 오늘의 약분도 느려집니다. 그래서 지름길(무기③)이 더 소중해집니다.

③ 고3 미적분 · 지름길의 정체

고3 미적분 미분계수의 정의

"분자·분모를 각각 미분해서 대입"하는 오늘의 지름길은, 사실 미분계수의 정의 f′(a)=lim(h→0)[f(a+h)−f(a)]/h를 변형한 것입니다. 다음 학기에 그 증명을 직접 확인합니다 — 도전 문제②에서 미리 맛봅니다.

④ 고3 미적분 · 극한값 = 접선의 기울기

고3 미적분 도함수의 기하적 의미

오늘 구한 극한값이 사실은 그래프 위 한 점에서의 접선의 기울기와 정확히 같습니다. 도전 문제③에서 문제 4의 답 12가 어떤 접선의 기울기인지 확인해봅니다.

도전 · 이 비법만으로 위·아래 학년 문제 풀기

도전 · 중2~고1유리화는 이미 아는 도구

lim(x→16) (√x−4)/(x−16)의 값을 구하라.

풀이

켤레 (√x+4)를 곱하면 1/(√x+4). x=16 대입: 1/(4+4)=1/8.

1/8

도전 · 고3지름길의 정체 = 미분계수 정의

f(x)=x³−2x일 때, 미분계수의 정의 lim(h→0) [f(2+h)−f(2)]/h로 x=2에서의 미분계수를 직접 구하라.

풀이 — 정의대로 전개

f(2+h)=(2+h)³−2(2+h)=4+10h+6h²+h³, f(2)=8−4=4.
[f(2+h)−f(2)]/h=(10h+6h²+h³)/h=10+6h+h². h→0: 10.
오늘 배운 지름길로 확인: f′(x)=3x²−2, f′(2)=12−2=10. 정확히 일치 — 지름길이 바로 이 정의였다!

도전 · 고3극한값 = 접선의 기울기

문제 4에서 구한 lim(x→2) (x³−8)/(x−2)=12가, 곡선 y=x³ 위의 점 (2,8)에서의 접선의 기울기와 같음을 확인하라.

풀이 — 도함수로 접선의 기울기 계산

y=x³의 도함수는 y′=3x². x=2에서 y′=3×4=12.
문제 4의 극한값 12와 정확히 같다 — 오늘 계산한 극한이 곧 그 점의 접선 기울기였다.

12 (일치)

※ 이 자료의 예제·그래프는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 문제 1~3은 영상(장대경_미분계수와도함수/index.html)에서 실제로 다룬 예제와 같은 수치를 재사용했고(원문 전사 대조로 확인, 인수분해·유리화·지름길 모두 두 가지 방식으로 재검산 완료), 문제 4~10과 도전 3문제·비법 카드는 같은 방법으로 새로 만들고 두 가지 방식(인수분해 또는 유리화 vs. 지름길)으로 교차검산한 오리지널 문제입니다. 원본 강의 중 교육과정 밖 내용(로피탈의 정리 명칭)은 다루지 않습니다.

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