먼저 · 3단계로 끝내는 법
1
미분계수 = 순간의 기울기 — 평균변화율(두 점의 기울기)에서 두 점을 한없이 가깝게 붙이면 그 점에서의 접선의 기울기, 즉 미분계수가 된다.
2
거듭제곱 공식 — f(x)=xⁿ이면 f′(x)=nxⁿ⁻¹. 지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다. 상수의 미분은 항상 0.
3
곱셈·합성은 나눠서 — (fg)′=f′g+fg′(앞미분뒤+앞뒤미분), 합성함수는 {f(g(x))}′=f′(g(x))·g′(x)(겉미분×속미분).
연습 10제 · 계산 해설
문제 1거듭제곱 공식
f(x)=x³의 도함수를 구하고, f′(2)의 값을 구하라.
풀이
- f′(x)=3x² (지수 3을 앞으로, 지수는 2로).
- f′(2)=3×2²=3×4=12
f′(x)=3x², f′(2)=12
문제 2상수함수
f(x)=5의 도함수는?
풀이
- 상수함수는 그래프가 수평선(기울기 0) → 도함수는 항상 0.
f′(x)=0
문제 3항별로 미분
f(x)=x⁴+3x²의 도함수를 구하라.
풀이
- x⁴의 미분은 4x³, 3x²의 미분은 3×2x=6x.
- 더하면 4x³+6x.
f′(x)=4x³+6x
문제 4곱의 미분법
f(x)=(x²+1)(x+3)의 도함수를 곱의 미분법으로 구하라.
풀이 — 앞미분뒤 + 앞뒤미분
- f′(x)=(x²+1)′(x+3)+(x²+1)(x+3)′ = 2x(x+3)+(x²+1)(1)
- =2x²+6x+x²+1=3x²+6x+1
- 검산: 직접 전개 (x²+1)(x+3)=x³+3x²+x+3 → 미분하면 3x²+6x+1. 일치!
f′(x)=3x²+6x+1
문제 5합성함수 미분법
f(x)=(2x+1)³의 도함수를 구하라.
풀이 — 겉미분 × 속미분
- 겉(세제곱)을 먼저 미분: 3(2x+1)²
- 속(2x+1)을 미분: 2
- 곱하면 f′(x)=3(2x+1)²×2=6(2x+1)²
f′(x)=6(2x+1)²
문제 6접선의 기울기
f(x)=x²−3x의 x=2에서의 접선의 기울기(미분계수)는?
풀이
- f′(x)=2x−3
- f′(2)=2×2−3=1
접선의 기울기 = 1
문제 7정의로 직접 구하기
f(x)=x²의 x=1에서의 미분계수를 극한의 정의로 직접 구하라.
풀이 — 평균변화율의 극한
- lim(h→0) [f(1+h)−f(1)]/h = lim [(1+h)²−1]/h
- = lim (1+2h+h²−1)/h = lim (2h+h²)/h = lim(2+h) = 2
- 공식으로 확인: f′(x)=2x, f′(1)=2. 일치!
미분계수 = 2
문제 8실생활 · 넓이 변화
가로가 2t+1, 세로가 t²인 직사각형의 넓이 A(t)에서, t=1일 때 넓이의 순간변화율은?
풀이 — 곱의 미분법
- A(t)=(2t+1)×t². A′(t)=2×t²+(2t+1)×2t=2t²+4t²+2t=6t²+2t
- A′(1)=6+2=8
넓이의 순간변화율 = 8
문제 9합성함수 미분법
f(x)=(x²−1)⁴의 도함수를 구하라.
풀이
- 겉(네제곱): 4(x²−1)³, 속(x²−1): 2x
- f′(x)=4(x²−1)³×2x=8x(x²−1)³
f′(x)=8x(x²−1)³
문제 10실생활 · 순간속도
물체의 위치가 s(t)=t³−2t²일 때, t=1에서의 순간속도는?
풀이 — 위치를 미분하면 속도
- s′(t)=3t²−4t
- s′(1)=3−4=−1
순간속도 = −1 (뒤로 움직이는 중)
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"순간의 기울기" 하나로 위·아래 학년까지
기울기 특강에서 익힌 그 눈이, 여기서 "순간"이라는 이름을 달고 다시 등장합니다.
① 중3~고1 · 평균변화율 — 이차함수의 신기한 성질
중3 이차함수 · 평균변화율
y=x²에서 구간 [a,b]의 평균변화율은 정확히 그 구간 중점에서의 미분계수와 같습니다. 도전 문제에서 직접 확인해보세요.
② 고1 · 이차함수의 최솟값 — 미분계수 0인 지점
고1 이차함수(완전제곱식)
완전제곱식으로 찾던 이차함수의 꼭짓점(최솟값)이, 사실은 f′(x)=0이 되는 지점과 정확히 같습니다. 두 방법이 같은 답을 준다는 걸 도전 문제로 확인해요.
③ 고2 · 도함수의 활용 — 증가·감소·극값
고2 수학II 도함수의 활용
f′(x)>0이면 증가, f′(x)<0이면 감소. 도함수의 부호만 보고 그래프의 개형을 그리는 게 다음 특강의 핵심입니다.
④ 고등 · 적분 — 미분의 반대 방향
고2 수학II 적분법
"미분해서 2x가 되는 함수는?"처럼 거꾸로 찾는 것이 적분의 첫걸음입니다. 도함수 공식을 반대로 읽으면 적분 공식이 됩니다.
도전 · 이 비법만으로 위·아래 학년 문제 풀기
도전 · 중3~고1평균변화율=중점의 미분계수
y=x²에서 x가 2에서 4까지 변할 때 평균변화율과, 중점 x=3에서의 미분계수를 각각 구해 비교하라.
풀이
- 평균변화율 =(4²−2²)/(4−2)=(16−4)/2=6
- 미분계수: f′(x)=2x, f′(3)=6 — 완전히 같다!
평균변화율 = 미분계수(중점) = 6
도전 · 고1최솟값 = f′(x)=0
f(x)=x²−4x+5의 최솟값을 미분으로 구하고, 완전제곱식 결과와 비교하라.
풀이
- f′(x)=2x−4=0 → x=2, f(2)=4−8+5=1
- 완전제곱식: x²−4x+5=(x−2)²+1 → 최솟값 1(x=2) — 일치!
최솟값 = 1 (x=2일 때)
도전 · 고등적분 맛보기
미분하면 4x³이 되는 함수 F(x)를 하나 구하라.
풀이 — 거듭제곱 공식을 거꾸로
- 미분해서 지수가 3이 되려면, 미분 전 지수는 4. F(x)=x⁴로 시도.
- 검산: (x⁴)′=4x³ — 맞다!
F(x) = x⁴ (+상수도 가능)
※ 이 자료의 예제·그래프는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 원본 강의의 로피탈의 정리 등 교육과정 밖 내용은 제외하고, 도함수 기본 공식(거듭제곱·곱·합성함수 미분법)만 정리했습니다.