YEON MATH · 행복수학

순열 실전 완전정복
— 고르고 줄세우면 보인다 · 연습 10제

조합의 짝 · 이번엔 순서까지 정한다 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 순열의 3대 무기

1
순열 = 고르고 줄세우기 — 조합이 "고르기"만 한다면, 순열은 고른 뒤 순서까지 정한다. ₙPᵣ = n × (n-1) × ⋯ × (n-r+1).
2
지불방법 ≠ 지불금액 — "방법의 수"는 동전 개수 조합, "금액의 수"는 겹치는 금액을 걸러낸 실제 액수 종류. 큰 돈을 작은 돈으로 바꿔 겹침을 없앤다.
3
이웃 조건 = 한 덩어리로 — "꼭 붙어야" 하면 그 사람들을 하나의 뭉치로 묶어 통째로 줄세운 뒤, 뭉치 내부 순서를 곱한다.
＋
안 이웃 = 빈자리 모형 — "떨어져 앉아야" 하면 빈 자리를 먼저 세우고, 그 틈 사이에 사람을 꽂는다.
A B 빈자리 4개 → 틈 5개 중 3개 골라 앉기

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
3명이 한 줄로 서는 방법. 첫째 자리 3명, 둘째 자리 2명, 셋째 자리 1명 — 3×2×1=6.
📐 고1 (핵심)
ₙPᵣ, 이웃(묶기)·안이웃(빈자리)·지불방법과 금액 구분.
🎓 고등 (확장)
원순열 (n-1)!, 중복순열, 이항정리·확률과 연결.

🐣 저학년 직관 — "줄서기는 자리마다 고르는 인원이 준다"

철수·영희·민수 3명이 한 줄로 설 때, 첫 번째 자리엔 3명 중 아무나(3가지), 두 번째 자리엔 남은 2명 중 아무나(2가지), 세 번째 자리엔 남은 1명(1가지). 자리마다 고를 사람이 하나씩 줄어들어요.

3 × 2 × 1 = 6 — 실제로 다 써 보면: 철영민·철민영·영철민·영민철·민철영·민영철.

방법의 수 = 6

연습 10제 · 그림 해설

문제 1기본 ₙPᵣ
후보 5명 중 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 방법의 수는? (같은 사람이 둘 다 될 수 없다)

풀이 — 회장·부회장은 자리가 다르다(순서 있음)

  1. 회장 자리: 5명 중 1명 → 5가지. 부회장 자리: 남은 4명 중 1명 → 4가지.
  2. ₅P₂ = 5 × 4 = 20.
방법의 수 = 20
문제 2기본 ₙPᵣ
서로 다른 6개의 알파벳 카드 중 4개를 뽑아 한 줄로 배열하는 방법의 수는?

풀이

  1. ₆P₄ = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.
방법의 수 = 360
문제 3지불방법 vs 지불금액
100원짜리 동전 10개, 500원짜리 동전 2개, 1000원짜리 지폐 1장이 있다. (1) 지불할 수 있는 방법의 수와 (2) 지불할 수 있는 금액의 수를 각각 구하라.

풀이 — 방법은 조합의 개수, 금액은 겹침을 걸러낸 실제 액수

  1. 방법의 수: 100원(0~10개, 11가지) × 500원(0~2개, 3가지) × 1000원(0~1장, 2가지) − (모두 0원인 경우 1가지) = 11×3×2 − 1 = 65.
  2. 금액의 수: 500원 2개(=1000원)와 1000원 1장이 겹칠 수 있다. 1000원을 500원 2개로 바꿔 생각하면, 최대 100원×10 + 500원×4 = 1000+2000=3000원까지 100원 단위로 빠짐없이·중복없이 만들 수 있다(직접 확인하면 0~3000원, 100원 간격 31개 값 전부 가능).
  3. 0원(안 냄)은 "지불한 금액"이 아니므로 제외 → 31 − 1 = 30.
(1) 방법의 수 = 65  ·  (2) 금액의 수 = 30
🔑 "방법"은 동전 개수의 조합, "금액"은 실제 살아남는 값. 큰 돈을 작은 돈으로 환전해서 겹침을 지운다.
문제 4지불방법 vs 지불금액 · 연습
100원짜리 동전 5개, 500원짜리 동전 1개가 있다. 지불할 수 있는 (1) 방법의 수와 (2) 금액의 수를 구하라.

풀이

  1. 방법의 수: (5+1)(1+1) − 1 = 12 − 1 = 11.
  2. 금액: 100원 0~5개(0~500원, 6가지) × 500원 0~1개. 500원 있으면 500~1000원(500,600,...,1000). 두 구간을 합치면 0,100,...,1000원까지 100원 단위로 전부(11개 값), 0원 제외.
(1) 방법의 수 = 11  ·  (2) 금액의 수 = 10
문제 5이웃 조건 · 진가
A, B, C, D, E, F 6명을 일렬로 세울 때, A와 B가 이웃하거나 B와 C가 이웃하게 세우는 경우의 수를 구하라.

풀이 — 합집합의 원리 n(X∪Y) = n(X)+n(Y)−n(X∩Y)

[A B] + C D E F → 5개 뭉치 [A B C]
  1. X(AB 이웃): AB를 한 덩어리로 → 5개 단위 줄세우기 5! × 덩어리 내부 순서 2! = 240.
  2. Y(BC 이웃): 같은 방식 = 240.
  3. X∩Y(AB와 BC 둘 다): B가 A·C 사이에 끼어 ABC 또는 CBA 한 덩어리 → 4! × 2 = 48.
  4. 합집합 = 240 + 240 − 48.
경우의 수 = 432
문제 6이웃 조건 · 연습
A, B, C, D, E 5명을 일렬로 세울 때, A와 B가 반드시 이웃하는 경우의 수는?

풀이 — 한 덩어리로

  1. AB를 한 덩어리로 → 4개 단위 줄세우기 4! × 내부순서 2! = 24 × 2.
경우의 수 = 48
문제 7빈의자 모형 · 진가
3명의 학생이 일렬로 놓인 7개의 의자에 앉을 때, 어느 두 명도 이웃하지 않게 앉는 경우의 수를 구하라.

풀이 — 빈 의자를 먼저 세우고 그 틈에 꽂는다

빈 의자 4개 → 사이·양끝 틈 5곳
  1. 빈 의자 4개를 먼저 놓으면, 그 사이·양끝에 틈 5곳이 생긴다.
  2. 이 5개 틈 중 3곳을 골라 3명을 순서 있게 앉힌다 → ₅P₃ = 5×4×3.
경우의 수 = 60
문제 8빈의자 모형 · 연습
일렬로 놓인 5개의 의자에 학생 2명이 이웃하지 않게 앉는 경우의 수는?

풀이

  1. 빈 의자 3개 → 틈 4곳. 그중 2곳을 골라 2명을 순서 있게 앉힌다.
  2. ₄P₂ = 4×3 = 12. (검산: 전체 ₅P₂=20 − 이웃한 경우 4×2=8 = 12, 일치)
경우의 수 = 12
문제 9원순열
서로 다른 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는?

풀이 — 원순열은 회전을 같은 것으로 본다

  1. 일렬 순열 5!에서, 원탁은 돌려서 같은 배열이 5가지씩 겹친다.
  2. 5!/5 = (5-1)! = 4! = 24.
경우의 수 = 24
문제 10사전식 배열
a, b, c 세 문자로 만들 수 있는 순열을 사전식으로 나열할 때, "cab"는 몇 번째인가?

풀이 — 앞자리부터 하나씩 확정

  1. a로 시작: abc, acb (2개) — 1,2번째.
  2. b로 시작: bac, bca (2개) — 3,4번째.
  3. c로 시작: cab, cba — cab은 5번째.
5번째

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"고르고 줄세운다" 하나로 확률·이항정리·컴퓨터까지

순열에서 익힌 "자리마다 고를 사람이 줄어든다"는 눈이, 학년이 올라가면 이름만 바뀌어 그대로 쓰입니다.

① 고1 · 조합의 짝
고1 · 순열과 조합
순열 ₙPᵣ은 "고르고 줄세우기", 조합 ₙCᵣ은 "고르기만"(순서 무시). ₙPᵣ = ₙCᵣ × r! — 줄세우는 방법 r!을 나중에 곱하거나 나누는 관계예요.
② 고2 · 확률 — 순열은 분자·분모의 재료
고2 · 확률
"특정 순서로 나올 확률"은 전부 순열로 센 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것. 이웃조건·빈의자 모형이 그대로 확률 분자에 들어갑니다.
③ 고2 · 이항정리 — 순열의 확장판
고2 · 수학Ⅰ 이항정리
이항계수 ₙCᵣ은 순열 ₙPᵣ에서 "같은 것끼리는 구분 안 함"으로 나눈 것. 다항식 전개의 항 개수도 결국 줄세우기·고르기의 변형이에요.
④ 컴퓨터과학 · 알고리즘 — 순열 탐색
공학 · 알고리즘
암호 조합 찾기, 최단경로(외판원 문제), 정렬 알고리즘 모두 "모든 순서 나열"인 순열 탐색이 뿌리예요. ₙPᵣ이 커지면 계산량이 폭발적으로 늘어나는 이유도 여기 있습니다.
⑤ 실생활 · 비밀번호
정보보안
숫자 4자리 비밀번호(중복 허용 안 함)는 ₁₀P₄ = 10×9×8×7 = 5040가지. 순열이 "경우의 수가 얼마나 많은지"를 직접 보여주는 예시예요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"고르고 줄세운다" 하나로 조합·확률·이항정리까지. 학년별 3문제씩!

도전 · 고1순열↔조합 변환
₅P₃ = 60 임을 이용하여 ₅C₃를 구하라.

풀이 — ₙPᵣ = ₙCᵣ × r!

  1. ₅C₃ = ₅P₃ ÷ 3! = 60 ÷ 6.
₅C₃ = 10
도전 · 고1중복순열
숫자 0~9 중 중복을 허락하여 4자리 비밀번호를 만드는 방법의 수는?

풀이 — 자리마다 10가지, 줄어들지 않는다

  1. 중복 허용이므로 각 자리 독립적으로 10가지 → 10⁴.
10000가지
도전 · 고1이웃조건 응용
부모 2명과 자녀 3명, 총 5명이 일렬로 설 때 부모가 항상 이웃하게 서는 경우의 수는?

풀이

  1. 부모를 한 덩어리로 → 4단위 줄세우기 4! × 부모 내부순서 2! = 24×2.
48가지
도전 · 고2확률 — 순열이 분자
A,B,C,D,E 5명을 무작위로 일렬로 세울 때, A와 B가 이웃할 확률은?

풀이 — (이웃하는 경우)/(전체 경우)

  1. 전체 = 5! = 120. 이웃 = 4!×2 = 48(문제 6과 동일 구조).
  2. 확률 = 48/120 = 2/5.
확률 = 2/5
도전 · 고2이항정리 연결
(x+y)⁴의 전개식에서 x²y²의 계수는?

풀이 — 이항계수는 "같은 것 있는 순열"

  1. x 2개, y 2개를 배열하는 방법의 수 = 4!/(2!2!) = ₄C₂ = 6.
계수 = 6
도전 · 고2빈의자 확률
7개 의자에 3명이 무작위로 앉을 때, 어느 두 명도 이웃하지 않을 확률은? (전체 = ₇P₃)

풀이

  1. 전체 = ₇P₃ = 7×6×5 = 210. 안이웃 = 문제 7에서 60.
  2. 확률 = 60/210 = 2/7.
확률 = 2/7
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 경우의 수·계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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