먼저 · 유리함수, 네 가지 무기
1
점근선 구하기 — 분자를 분모로 나눠서 y=k/(x-p)+q 꼴로 바꾸면, x=p, y=q가 바로 점근선.
2
정의역·치역 — 분모=0이 되는 x는 정의역에서 빠지고, 점근선의 y값은 치역에서 빠진다.
3
유리식 통분 — 분모가 다른 분수는 공통분모로 통일한 뒤 분자끼리 계산한다.
＋
제한구간 최대·최소 — 유리함수도 한 구간에서는 단조증가·단조감소이므로, 양 끝값만 확인하면 끝.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"똑같이 나눠 담을 수 없는 딱 하나의 값"을 컵 나누기 상황으로 체험한다.
📐 고1 (핵심)
점근선, 정의역·치역, 유리식 통분, 제한구간 최대최소.
🎓 고등 (확장)
유리함수의 극한(수렴·발산), 유리부등식, 부분분수 분해와 급수.
🐣 저학년 직관 — "나눌 수 없는 딱 하나의 값"
사탕 10개를 사람 수로 나눠 담는다고 해봐요. 사람이 2명이면 5개씩, 5명이면 2개씩. 그런데 사람이 0명이면? 나눌 수 없어요! 그래서 분모가 되는 수는 절대 0이 되면 안 돼요.
이게 바로 유리함수 정의역의 비밀이에요 — 분모가 0이 되는 값은 정의역에서 빠져요.
분모 ≠ 0
연습 10제 · 그림 해설
문제 1점근선 · 기본
유리함수 y=1/(x-2)+3의 점근선의 방정식을 구하라.
풀이 — 이미 표준형
- y=k/(x-p)+q 꼴에서 바로 점근선을 읽는다.
x = 2, y = 3
문제 2점근선 · 진가
유리함수 y=(2x+1)/(x-1)의 점근선의 방정식을 구하라.
풀이 — 분자를 분모로 나눠서 표준형으로
- (2x+1)/(x-1) = [2(x-1)+3]/(x-1) = 2 + 3/(x-1).
- 표준형에서 점근선을 바로 읽는다.
x = 1, y = 2
문제 3정의역·치역
유리함수 y=(2x+1)/(x-1)의 정의역과 치역을 구하라.
풀이 — 점근선이 곧 빠지는 값
- 정의역은 분모 x-1≠0이므로 x≠1. 치역은 점근선 y=2가 빠진 나머지.
정의역 x≠1, 치역 y≠2
문제 4유리식 통분 · 진가
유리식 (x+1)/(x²-x) − 1/x을 간단히 하라.
풀이 — 공통분모로 통일
- x²-x = x(x-1)이므로 1/x = (x-1)/(x(x-1)).
- (x+1)/(x(x-1)) − (x-1)/(x(x-1)) = [(x+1)-(x-1)]/(x(x-1)) = 2/(x(x-1)).
2/(x²−x)
문제 5유리방정식
방정식 2/(x-1) = 1을 풀어라.
풀이 — 양변에 분모를 곱한다
- 2 = x-1 → x=3. (단, x≠1 조건 만족)
x = 3
문제 6제한구간 최대·최소 · 진가
함수 y=1/(x-1)+2 (2≤x≤4)의 최댓값과 최솟값을 구하라.
풀이 — 단조감소이므로 양 끝값만 확인
- x가 커질수록 1/(x-1)은 작아지므로 단조감소.
- x=2에서 y=1/1+2=3 — 최댓값. x=4에서 y=1/3+2=7/3 — 최솟값.
최댓값 3 (x=2), 최솟값 7/3 (x=4)
문제 7점근선 응용
유리함수 y=(3x-1)/(x+1)의 점근선의 방정식을 구하라.
풀이
- (3x-1)/(x+1) = [3(x+1)-4]/(x+1) = 3 - 4/(x+1).
x = −1, y = 3
문제 8유리식 약분
유리식 (x²-4)/(x+2)를 간단히 하라. (단, x≠-2)
풀이 — 인수분해 후 약분
- x²-4=(x+2)(x-2)이므로 (x+2)(x-2)/(x+2)=x-2.
x − 2
문제 9정의역 판별
함수 y=3/(2x-6)의 정의역을 구하라.
풀이
- 2x-6≠0 → x≠3.
x ≠ 3인 모든 실수
문제 10실생활 · 농도 문제
소금 20g이 녹아있는 소금물에 물 x g을 더 넣으면 농도는 y=20/(100+x)×100(%)가 된다(원래 소금물 100g). x=100일 때 농도를 구하라.
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"분자를 분모로 나눈다" 하나로 극한·부등식·급수까지
유리함수에서 익힌 "분자를 분모로 나눠서 표준형으로 바꾼다"는 눈이, 학년이 올라가면 극한·부등식·급수로 그대로 이어집니다.
① 고2 · 유리함수의 극한
수학Ⅱ · 극한
lim(x→∞) (2x+1)/(x-1)은 표준형 2+3/(x-1)에서 x→∞이면 3/(x-1)→0이 되어 극한값 2(점근선 y값과 일치)로 바로 구해져요.
② 고1 · 유리부등식
고1 · 방정식과 부등식
유리부등식도 점근선 기준으로 부호를 표에 정리하면 풀려요. 분모의 부호가 바뀌는 지점이 바로 점근선 x값이에요.
③ 고3 · 부분분수와 급수
수1 · 수열의 합
앞서 배운 부분분수 소거(제12강)가 바로 유리식 통분의 역과정이에요. 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)처럼 쪼개서 계산해요.
④ 화학·경제 · 농도·비율 문제
화학·경제학
농도, 이자율, 희석 비율 등 "더할수록 비율이 변하는" 실생활 문제는 대부분 유리함수예요. 점근선이 "무한히 더해도 도달하는 한계값"을 알려줘요.
⑤ 공학 · 전기회로의 저항
물리·공학
병렬 저항 공식 1/R = 1/R1 + 1/R2도 유리식 통분으로 풀어요. 유리함수 계산이 실제 회로 설계에 그대로 쓰입니다.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"분자를 분모로 나눈다" 하나로 극한·부등식·급수까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고1유리부등식
부등식 1/(x-2) > 0의 해를 구하라.
풀이 — 분모의 부호만 확인
- 분자가 양수이므로 분모도 양수여야 함: x-2>0 → x>2.
x > 2
도전 · 고1유리식 사칙연산
1/(x+1) + 1/(x-1)을 통분하여 간단히 하라.
풀이
- 공통분모 (x+1)(x-1)로 통분: [(x-1)+(x+1)]/((x+1)(x-1)) = 2x/(x²-1).
2x/(x²−1)
도전 · 고1점근선 응용
유리함수 y=(4x)/(x-2)의 점근선의 방정식을 구하라.
풀이
- 4x/(x-2) = [4(x-2)+8]/(x-2) = 4 + 8/(x-2).
x = 2, y = 4
도전 · 고2극한값
lim(x→∞) (5x-2)/(x+3)의 값을 구하라.
풀이 — 표준형으로 바꾸면 바로 보인다
- (5x-2)/(x+3) = 5 - 17/(x+3). x→∞이면 17/(x+3)→0.
5
도전 · 고3부분분수 급수
Σ(k=1 to 99) 1/(k(k+1))의 값을 구하라.
풀이 — 부분분수로 쪼개 소거
- 1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1).
- 합은 1 - 1/100 = 99/100.
99/100
도전 · 고등공학 연결
병렬 저항 공식 1/R = 1/6 + 1/3일 때, R의 값을 구하라.
풀이 — 통분해서 뒤집기
- 1/R = 1/6+2/6 = 3/6 = 1/2 → R=2.
R = 2(Ω)
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).