YEON MATH · 행복수학

삼각형의 내심 실전 완전정복
— 세 변까지가 다 같다 · 연습 10제

내접원의 중심 · 반쪽 각 90° 법칙 · ∠BIC = 90°+½∠A · 넓이 ½r(a+b+c) · 접선의 길이 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 내심 문제를 푸는 무기 여섯 가지

1
내심의 정의 — 삼각형의 세 변에 모두 닿는 원(내접원)의 중심이 내심이다. 원이 안에 있으면 내심.
2
세 변까지가 다 같다 — ID = IE = IF = r. 셋 다 내접원의 반지름이고, 접점에서 변과 직각을 이룬다.
3
세 내각의 이등분선의 교점 — 반쪽 각을 하나씩만 더하면 x + y + z = 90°. (2x+2y+2z=180°의 절반)
4
가운데 각 — ∠BIC = 90° + ½∠A. 더하는 것은 ∠A가 아니라 ∠A의 절반.
5
넓이 — 세 조각의 높이가 모두 r이므로 S = ½ r (a + b + c) = ½ × 반지름 × 둘레.
6
접선의 길이는 같다 — AD=AF=a, BD=BE=b, CE=CF=c → 둘레 = 2(a+b+c), 즉 a+b+c = 둘레의 절반.
A B C I D E F
⚠️ 내심과 외심을 헷갈리지 말자. IA = IB = IC 는 내심의 성질이 아니라 외심의 성질이다. 내심은 세 변까지가 같고(ID=IE=IF), 외심은 세 꼭짓점까지가 같다(OA=OB=OC). 가운데 각도 다르다 — 내심은 ∠BIC = 90°+½∠A, 외심은 ∠BOC = 2∠A.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"삼각형 마당 안에 가장 큰 둥근 연못 파기" — 세 담장에서 똑같이 떨어진 자리를 손으로 찾아본다.
📐 중2 (핵심)
내접원의 중심, 각의 이등분선의 교점, 반쪽 각 90° 법칙, ∠BIC=90°+½∠A, 넓이 ½r(a+b+c), 접선의 길이.
🎓 고등 (확장)
헤론의 공식과 S = rs, S = abc ÷ 4R, 각의 이등분선 정리, 방접원.

🐣 저학년 직관 — "삼각형 마당에 가장 큰 둥근 연못을 파려면?"

삼각형 모양 마당이 있어요. 담장에 닿지 않으면서 가장 큰 둥근 연못을 파려면 중심을 어디에 잡아야 할까요? 연못이 어느 한 담장에만 가까우면 그쪽이 먼저 막혀서 더 못 키워요. 그러니 세 담장에서 똑같이 떨어진 자리가 답이에요.

그 자리를 찾으면 연못은 세 담장에 딱 한 점씩 닿게 되고, 중심에서 각 담장까지의 거리가 모두 반지름으로 같아져요. 그게 바로 내심이랍니다.

외심과 비교해 보세요. 외심은 세 꼭짓점(모서리)에서 같은 거리, 내심은 세 변(담장)에서 같은 거리예요.

답: 세 변에서 똑같이 떨어진 자리 = 내접원의 중심 = 삼각형의 내심

연습 10제 · 그림 해설

문제 1반쪽 각 90° · 기본
점 I가 △ABC의 내심이고 ∠IAB = 28°, ∠IBC = 35°일 때, ∠ICA의 크기를 구하라.

풀이 — 반쪽 각을 하나씩만 더하면 90°

  1. I는 세 내각의 이등분선의 교점이므로 반쪽 각이 x, x, y, y, z, z 여섯 개 생긴다.
  2. 모두 더하면 삼각형의 내각의 합 2x+2y+2z = 180°, 하나씩만 더하면 그 절반: x+y+z = 90°.
  3. 28° + 35° + ∠ICA = 90° → ∠ICA = 90° − 63° = 27°.
27°
문제 2∠BIC = 90°+½∠A · 기본
점 I가 △ABC의 내심이고 ∠A = 64°일 때, ∠BIC의 크기를 구하라.

풀이 — 90°에 ∠A의 절반을 더한다

  1. ½∠A = 64° ÷ 2 = 32°.
  2. ∠BIC = 90° + 32° = 122°.
  3. ⚠️ 64°를 통째로 더해 154°라 하면 틀린다. 더하는 것은 절반이다.
122°
문제 3거꾸로 · 진가
점 I가 △ABC의 내심이고 ∠BIC = 130°일 때, ∠A의 크기를 구하라.

풀이 — 90°를 먼저 빼고, 마지막에 두 배

  1. 90° + ½∠A = 130° → ½∠A = 130° − 90° = 40°.
  2. ∠A = 2 × 40° = 80°.
  3. 검산: 90° + 40° = 130° ✓
∠A = 80°
문제 4가운데 각 → 아래 두 각 · 진가
점 I가 △ABC의 내심이고 ∠A = 50°일 때, ∠IBC + ∠ICB의 값을 구하라.

풀이 — 가운데 각을 먼저 구하고 △IBC에서 뺀다

  1. ∠BIC = 90° + ½ × 50° = 90° + 25° = 115°.
  2. △IBC의 세 각의 합은 180°이므로 ∠IBC + ∠ICB = 180° − 115° = 65°.
  3. 다른 길로 검산: ∠IBC+∠ICB = ½(∠B+∠C) = ½(180°−50°) = 65° ✓
65°
문제 5직각삼각형 · 내접원의 반지름
직각을 낀 두 변의 길이가 5cm, 12cm인 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름을 구하라.

풀이 — 넓이를 두 가지 방법으로 쓴다

A B C I 5 12 13
  1. 빗변 = √(5² + 12²) = √169 = 13cm → 둘레 = 5+12+13 = 30cm.
  2. 넓이(밑변×높이) = 5 × 12 ÷ 2 = 30 (cm²).
  3. 넓이(내심 공식) = ½ × r × 30 = 15r.
  4. 15r = 30 → r = 2 (cm).
r = 2cm
문제 6넓이 = ½r(a+b+c) · 기본
△ABC의 내접원의 반지름이 3cm이고 △ABC의 둘레가 20cm일 때, △ABC의 넓이를 구하라.

풀이 — 넓이 = ½ × 반지름 × 둘레

  1. 내심에서 세 꼭짓점을 이으면 삼각형이 세 조각으로 갈라지고, 각 조각의 높이가 모두 r이다.
  2. S = ½ra + ½rb + ½rc = ½ r (a+b+c).
  3. S = ½ × 3 × 20 = 30 (cm²).
30cm²
문제 7접선의 길이 · 기본
△ABC의 내접원이 세 변 AB, BC, CA와 만나는 점을 각각 D, E, F라 하자. △ABC의 둘레가 26cm이고 BC = 10cm일 때, AD의 길이를 구하라.

풀이 — 둘레의 절반에서 마주 보는 변을 뺀다

A B C I D E F a a b b c c
  1. 한 꼭짓점에서 그은 두 접선의 길이는 같다: AD=AF=a, BD=BE=b, CE=CF=c.
  2. 둘레 = 2(a+b+c) = 26 → a+b+c = 13.
  3. BC = BE + EC = b + c = 10.
  4. AD = a = 13 − 10 = 3 (cm).
AD = 3cm
문제 8접선의 길이 · 세 변이 주어질 때 · 진가
△ABC에서 AB = 9cm, BC = 10cm, CA = 11cm이고 내접원이 변 AB와 만나는 점을 D라 할 때, BD의 길이를 구하라.

풀이 — 둘레의 절반에서 묻는 꼭짓점의 마주 보는 변을 뺀다

  1. 둘레 = 9 + 10 + 11 = 30 → a+b+c = 15.
  2. B의 마주 보는 변은 CA = c + a = 11.
  3. BD = b = (a+b+c) − (c+a) = 15 − 11 = 4 (cm).
  4. 검산: AB = a+b = 9이므로 a = 5, BC = b+c = 10이므로 c = 6. a+b+c = 5+4+6 = 15 ✓
BD = 4cm
문제 9이등변삼각형 · 진가
AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠A = 40°이고 점 I가 내심일 때, ∠IBC와 ∠BIC의 크기를 각각 구하라.

풀이 — 밑각을 먼저 구하고, 그 절반이 반쪽 각

  1. AB = AC이므로 ∠B = ∠C = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°.
  2. BI는 ∠B의 이등분선이므로 ∠IBC = 70° ÷ 2 = 35°.
  3. 같은 방법으로 ∠ICB = 35° → ∠BIC = 180° − 35° − 35° = 110°.
  4. 공식으로 검산: ∠BIC = 90° + ½ × 40° = 110° ✓
∠IBC = 35°, ∠BIC = 110°
문제 10내심을 지나는 평행선 · 진가
△ABC의 내심 I를 지나면서 변 BC와 평행한 직선이 변 AB, AC와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. AB = 8cm, AC = 7cm일 때, △APQ의 둘레를 구하라.

풀이 — 엇각 + 각의 이등분선 = 이등변삼각형

A B C I P Q
  1. PQ ∥ BC이므로 엇각이 같다: ∠PIB = ∠IBC.
  2. BI는 ∠B의 이등분선이므로 ∠IBC = ∠IBP → ∠PIB = ∠IBP. 따라서 △PBI는 이등변삼각형이고 PI = PB.
  3. 같은 방법으로 IQ = QC.
  4. 둘레 = AP + PQ + QA = AP + (PI + IQ) + QA = AP + PB + QC + QA = AB + AC.
  5. = 8 + 7 = 15 (cm).
15cm

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"세 변까지가 다 같다" 하나로 접선·피타고라스·헤론·방접원까지

오늘 익힌 ID=IE=IF 와 S = ½r(a+b+c)가, 학년이 올라가면 원의 접선·삼각함수·도형의 넓이로 그대로 이어집니다.

① 중3 · 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선
중3 · 원의 성질
오늘의 AD = AF가 바로 "원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다"예요. 중3에서는 이걸 내접사각형으로 넓혀서 "마주 보는 두 변의 합이 같다"까지 갑니다.
② 중3 · 직각삼각형의 내접원 반지름 공식
중3 · 피타고라스 / 원의 성질
직각을 낀 두 변이 a, b이고 빗변이 c일 때 r = (a + b − c) ÷ 2가 됩니다. 오늘의 넓이 공식에서 바로 나오는 지름길이라, 5·12·13이면 (5+12−13)÷2 = 2로 한 줄에 끝나요.
③ 고1 · 헤론의 공식과 S = rs
고1 · 삼각함수의 활용
둘레의 절반을 s라 두면 오늘 공식은 S = rs 한 줄이에요. 세 변만 알면 헤론의 공식 S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))로 넓이를 구하고, 나누면 r = S ÷ s가 바로 나옵니다.
④ 고1·고2 · 내접원과 외접원을 잇는 다리
고1·고2 · 삼각함수의 활용
같은 넓이를 두 가지로 쓰면 S = rs이면서 S = abc ÷ (4R)예요. 하나의 삼각형에서 내접원의 r과 외접원의 R이 넓이라는 다리로 이어집니다.
⑤ 고2·경시 · 각의 이등분선 정리와 방접원
기하 · 경시수학
내심을 만든 각의 이등분선이 대변을 BD : DC = AB : AC로 나눠요. 그리고 한 내각의 이등분선과 두 외각의 이등분선이 만나면 삼각형 바깥에서 세 변(의 연장)에 닿는 방접원이 생깁니다.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"세 변까지가 다 같다 · 넓이는 ½r(둘레)" 하나로 외심·피타고라스·좌표·헤론까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중3내심과 외심 한꺼번에
△ABC에서 ∠A = 68°이다. 점 I가 내심, 점 O가 외심일 때 ∠BIC와 ∠BOC의 크기를 각각 구하라.

풀이 — 내심은 90°에 절반을 더하고, 외심은 두 배 한다

  1. 내심: ∠BIC = 90° + ½ × 68° = 90° + 34° = 124°.
  2. 외심: ∠BOC = 2∠A = 2 × 68° = 136°.
  3. 두 공식을 바꿔 쓰지 않도록 조심 — 내심은 90°+절반, 외심은 두 배.
∠BIC = 124°, ∠BOC = 136°
도전 · 중3피타고라스 + 내접원
직각을 낀 두 변의 길이가 9cm, 12cm인 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름과 넓이를 구하라.

풀이 — 빗변부터 구하고, 넓이를 두 가지 방법으로

  1. 빗변 = √(9² + 12²) = √225 = 15cm → 둘레 = 9+12+15 = 36cm.
  2. 삼각형의 넓이 = 9 × 12 ÷ 2 = 54 (cm²).
  3. ½ × r × 36 = 54 → 18r = 54 → r = 3 (cm).
  4. 지름길로 검산: r = (9 + 12 − 15) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 ✓
  5. 내접원의 넓이 = π × 3² = 9π (cm²).
r = 3cm, 내접원의 넓이 9π cm²
도전 · 고1좌표평면 · 내심
세 점 A(0,0), B(8,0), C(0,6)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 내심의 좌표와 내접원의 반지름을 구하라.

풀이 — 두 변이 좌표축 위에 있으므로 내심은 (r, r)

  1. AB는 x축 위, AC는 y축 위이므로 ∠A = 90°이고 AB = 8, AC = 6, 빗변 BC = √(8²+6²) = 10.
  2. 내심은 x축·y축에서 모두 거리 r만큼 떨어지므로 좌표가 (r, r)이다.
  3. r = (8 + 6 − 10) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2. 따라서 내심은 (2, 2).
  4. 검산(넓이): 넓이 = 8×6÷2 = 24, 둘레 = 24 → ½ × r × 24 = 24 → r = 2 ✓
  5. 검산(직선 BC까지의 거리): BC의 방정식은 3x + 4y − 24 = 0이므로 거리 = |3·2 + 4·2 − 24| ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2 ✓
내심 (2, 2), 반지름 2
도전 · 고1헤론의 공식 + S = rs
세 변의 길이가 13, 14, 15인 삼각형의 넓이와 내접원의 반지름을 구하라.

풀이 — 헤론으로 넓이를 구하고, 오늘의 공식으로 나눈다

  1. 둘레의 절반 s = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21.
  2. 헤론의 공식: S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84.
  3. 오늘의 공식 S = ½ r (a+b+c) = r × s → 84 = r × 21 → r = 4.
  4. 검산: 21 × 8 = 168, 7 × 6 = 42, 168 × 42 = 7056이고 84² = 7056 ✓
넓이 84, r = 4
도전 · 고2세 가운데 각의 합
점 I가 △ABC의 내심일 때 ∠BIC + ∠CIA + ∠AIB의 값을 구하라.

풀이 — 세 각이 점 I를 한 바퀴 둘러싼다

  1. 같은 방법으로 ∠BIC = 90° + ½∠A, ∠CIA = 90° + ½∠B, ∠AIB = 90° + ½∠C.
  2. 다 더하면 270° + ½(∠A + ∠B + ∠C) = 270° + ½ × 180° = 270° + 90° = 360°.
  3. 당연한 결과다 — 세 각이 점 I 둘레를 빈틈없이 한 바퀴 채우므로 합이 360°여야 한다. 공식이 옳다는 것을 스스로 증명해 준 셈이다.
  4. 확인: ∠A=60°, ∠B=70°, ∠C=50°이면 120° + 125° + 115° = 360° ✓
360°
도전 · 경시공식 유도 · r = (a+b−c)/2
∠C = 90°인 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변을 a, b, 빗변을 c라 할 때, 내접원의 반지름이 r = (a + b − c) ÷ 2 임을 보여라.

풀이 — 넓이를 두 가지로 쓰고, 곱셈공식으로 정리한다

  1. 넓이를 두 가지로: ½ab = ½ r (a+b+c) → r = ab ÷ (a+b+c).
  2. 이제 (a+b−c) ÷ 2가 같은 값임을 보이자. 양변에 (a+b+c)를 곱하면 (a+b−c)(a+b+c) ÷ 2 = ((a+b)² − c²) ÷ 2.
  3. 피타고라스 정리에서 c² = a² + b²이므로 ((a² + 2ab + b²) − (a² + b²)) ÷ 2 = 2ab ÷ 2 = ab.
  4. 따라서 (a+b−c) ÷ 2 × (a+b+c) = ab, 즉 (a+b−c) ÷ 2 = ab ÷ (a+b+c) = r. ∎
  5. 확인: a=5, b=12, c=13이면 (5+12−13) ÷ 2 = 2이고 ab ÷ (a+b+c) = 60 ÷ 30 = 2 ✓
r = (a + b − c) ÷ 2
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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