두 점 사이의 거리 · 최솟값은 곧게 · 내분점과 외분점 · 평행사변형은 대각선의 중점 · 무게중심 · 자취 · 장대경 선생님의 특강
연플래닝 ACADEMY
먼저 · 이 여섯 줄이면 끝난다
평면좌표는 「재고 · 나누고 · 이름 붙이는」 단원이다
외울 공식은 셋뿐이고, 나머지는 낱말을 식으로 바꾸는 일이다.
① 거리는 직각삼각형의 빗변
\(\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) —
피타고라스를 좌표로 옮겨 적은 것뿐이다. 빼는 순서는 상관없다(제곱하면 부호가 사라진다).
⭐ ② 최솟값이 나오면 곧게 편다
임의의 점 P 에 대한 \(\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PB}}\) 의 최솟값은
그냥 \(\overline{\mathrm{AB}}\) 다. P 가 어디 있는지 찾으려 애쓰지 마라.
"요거를 더했는데 이게 제일 짧다는 얘기는 이 직선이란 뜻이라" — 선생님 말씀 그대로다.
③ 내분은 크로스 · 중점은 1:1
\(\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\) —
\(m\) 이 붙는 것은 B 의 좌표, \(n\) 이 붙는 것은 A 의 좌표.
중점은 따로 외울 것이 아니라 1 : 1 내분일 뿐이다.
⭐ ④ 외분은 \(n\) 을 \(-n\) 으로
\(\left(\dfrac{mx_2-nx_1}{m-n},\ \dfrac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\) —
새로 외울 것이 하나도 없다. 내분 공식의 \(n\) 자리에 \(-n\) 을 넣은 것뿐이다.
다만 \(m=n\) 이면 분모가 \(0\) 이라 외분점이 없다.
⑤ 평행사변형 · 무게중심
평행사변형은 두 대각선의 중점이 일치한다 — 변의 길이로 식을 세우지 마라.
무게중심은 셋을 더해 3 으로 나눈다(중선을 \(2:1\) 로 내분하기 때문이다).
⭐ ⑥ 모르는 점은 \((x,\,y)\) 로 놓는다
좌표를 안 알려 주면 이름을 붙인다. 그러면 조건이 식이 된다.
특히 제곱끼리 빼면 \(x^2,\ y^2\) 이 사라져 직선이 남는다.
"P가 뭔지를 모르겠다 그랬어… 뭔지를 모르기 때문에 요거를 x y로 하면 된단 말이야"
이 개념, 학년마다 이렇게
🎓 초등 · 중학 (뿌리)
모눈종이에서 가로 몇 칸 · 세로 몇 칸을 세면 직각삼각형이 생긴다.
그 빗변이 두 점 사이의 거리다. 중점은 두 수의 평균이다.
📚 중2~중3 (이어짐)
피타고라스 정리와 닮음비로 선분 나누기가 여기서 좌표로 바뀐다.
무게중심이 중선을 \(2:1\) 로 나눈다는 것도 중2 도형에서 이미 배운 것이다.
🎓 고1 (지금)
좌표가 붙으면서 그림 없이 식만으로 답이 나온다.
이 단원이 직선의 방정식 → 원의 방정식 → 도형의 이동으로 그대로 이어진다.
연습 10제 — 전부 손으로 풀어 보고 해설을 열자
문제 1C두 점 사이의 거리
두 점 \(\mathrm{A}(-3,\,1)\), \(\mathrm{B}(1,\,4)\) 사이의 거리를 구하여라.
풀이 — 가로차 · 세로차로 직각삼각형
가로차 \(1-(-3)=4\), 세로차 \(4-1=3\)
\(\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}\)
답 : \(5\)
문제 2C원점에서의 거리
원점 \(\mathrm{O}\) 와 점 \(\mathrm{A}(-5,\,12)\) 사이의 거리를 구하여라.
풀이 — 원점이면 좌표 그대로
⭐ 여기가 고비 — 음수라고 겁먹지 마라
\(\overline{\mathrm{OA}}=\sqrt{x^2+y^2}\) 입니다. 제곱하면 부호가 사라지므로 \(-5\) 는 그대로 넣습니다.
\[\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}\]
답 : \(13\)
문제 3B⭐ 최솟값 · 오늘의 핵심
두 점 \(\mathrm{A}(2,\,1)\), \(\mathrm{B}(8,\,9)\) 와 임의의 점 \(\mathrm{P}\) 에 대하여
\(\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PB}}\) 의 최솟값을 구하여라.
풀이 — 꺾이면 길어진다
⭐ 여기가 고비 — P 를 찾으려 하지 마라
\(\mathrm{A}\to\mathrm{P}\to\mathrm{B}\) 로 가는 길이 가장 짧아지는 것은 꺾이지 않고 곧게 펴졌을 때,
곧 \(\mathrm{P}\) 가 선분 \(\mathrm{AB}\) 위에 있을 때입니다. 그러면 답은 그냥 \(\overline{\mathrm{AB}}\) 입니다.
"요거를 더했는데 이게 제일 짧다는 얘기는 이 직선이란 뜻이라" —
\(\mathrm{P}\) 의 좌표를 구하려고 식을 세우기 시작하면 그때부터 문제가 어려워집니다.
두 점 \(\mathrm{A}(a,\,3)\), \(\mathrm{B}(7,\,b)\) 의 중점이 \((4,\,-1)\) 일 때,
\(a+b\) 의 값을 구하여라.
풀이 — 중점은 1:1 내분
\(\dfrac{a+7}{2}=4 \;\Rightarrow\; a=1\)
\(\dfrac{3+b}{2}=-1 \;\Rightarrow\; b=-5\)
답 : \(a+b=-4\)
문제 6B⭐ 외분점
두 점 \(\mathrm{A}(1,\,2)\), \(\mathrm{B}(5,\,10)\) 에 대하여 선분 \(\mathrm{AB}\) 를
\(3:1\) 로 외분하는 점의 좌표를 구하여라.
풀이 — \(n\) 을 \(-n\) 으로 바꾼다
⭐ 여기가 고비 — 새 공식이 아니다
외분 공식은 내분 공식에서 \(n\) 자리에 \(-n\) 을 넣은 것뿐입니다.
분자의 \(+\) 가 \(-\) 로, 분모의 \(m+n\) 이 \(m-n\) 으로 바뀝니다.
\[\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n},\ \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\]
두 점 \(\mathrm{A}(-1,\,k)\), \(\mathrm{B}(3,\,7)\) 에 대하여 선분 \(\mathrm{AB}\) 를
\(2:1\) 로 외분하는 점의 \(y\)좌표가 \(11\) 일 때, \(k\) 의 값을 구하여라.
풀이 — 필요한 좌표만 세운다
⭐ 여기가 고비 — \(x\)좌표는 볼 필요가 없다
\(y\)좌표만 물었으므로 \(y\) 식 하나만 세웁니다. 분모는 \(2-1=1\) 입니다.
\[\frac{2\cdot 7-1\cdot k}{2-1}=14-k=11\]
답 : \(k=3\)
문제 8B평행사변형
평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\) 에서 \(\mathrm{A}(-1,\,1)\), \(\mathrm{B}(3,\,2)\),
\(\mathrm{C}(5,\,7)\), \(\mathrm{D}(a,\,b)\) 일 때 \(a+b\) 의 값을 구하여라.
풀이 — 대각선의 중점이 일치한다
⭐ 여기가 고비 — 변의 길이로 식을 세우지 마라
평행사변형은 두 대각선이 서로를 이등분합니다. 대각선은 \(\mathrm{AC}\) 와 \(\mathrm{BD}\) 이므로
두 중점이 같다고 놓으면 끝납니다.
"평행사변형은 대각선의 중점이 똑같다 그랬어. 요거의 중점을 찾으면 되는 거다"
\(\mathrm{AC}\) 의 중점 \(\left(\dfrac{-1+5}{2},\ \dfrac{1+7}{2}\right)=(2,\,4)\)
삼각형 \(\mathrm{ABC}\) 의 무게중심이 \((1,\,2)\) 이고 \(\mathrm{A}(-2,\,3)\),
\(\mathrm{B}(4,\,-1)\) 일 때, 점 \(\mathrm{C}\) 의 좌표를 구하여라.
풀이 — 공식을 거꾸로 쓴다
\(\dfrac{-2+4+x}{3}=1 \;\Rightarrow\; x=1\)
\(\dfrac{3-1+y}{3}=2 \;\Rightarrow\; y=4\)
답 : \(\mathrm{C}(1,\,4)\)
문제 10A−⭐ 자취 · 모르면 (x, y)
두 점 \(\mathrm{A}(-1,\,3)\), \(\mathrm{B}(3,\,-1)\) 에서 같은 거리에 있는 점
\(\mathrm{P}\) 가 그리는 도형의 방정식을 구하여라.
풀이 — 이름을 붙이면 조건이 식이 된다
⭐ 여기가 고비 — 모르는 점에 이름부터
\(\mathrm{P}\) 의 좌표를 모르니 \(\mathrm{P}(x,\,y)\) 로 놓습니다. 그러면 「같은 거리」가 식이 됩니다.
"P가 뭔지를 모르겠다 그랬어… 뭔지를 모르기 때문에 요거를 x y로 하면 된단 말이야"
\((x+1)^2+(y-3)^2=(x-3)^2+(y+1)^2\)
⭐ 둘째 고비 — 제곱을 빼면 이차항이 사라진다
양변을 펼치면 \(x^2\) 과 \(y^2\) 이 양쪽에 똑같이 있어 통째로 사라집니다.
그래서 자취는 곡선이 아니라 직선이 됩니다.
\[8x-8y=0\]
되짚기 : 이 직선은 \(\mathrm{AB}\) 의 수직이등분선입니다.
중점 \((1,\,1)\), \(\mathrm{AB}\) 의 기울기 \(-1\) 이므로 수직 기울기는 \(1\) —
\(y-1=1\cdot(x-1)\) 곧 \(y=x\) ✓
답 : \(y=x\) (곧 \(x-y=0\))
한 걸음 더 · 이 도구가 실제로 쓰이는 자리
「가운데를 찾는 일」은 생각보다 자주 쓰인다
내분점 · 중점 · 무게중심은 시험 단원이 아니라 무엇을 어디에 둘지 정하는 계산이다.
🗺 두 집 사이 약속 장소
둘이 똑같이 걸으면 중점, 한 사람이 두 배 멀리 산다면 \(2:1\) 내분점이다.
지도 앱이 「중간 지점 찾기」로 내놓는 그 점이다.
🎥 화면 속 물체의 균형점
게임이나 애니메이션에서 물체가 회전하는 기준점이 무게중심이다.
꼭짓점 좌표를 더해 개수로 나누면 바로 나온다.
📡 어느 기지국이 더 가까운가
두 기지국에서 같은 거리인 점들이 만드는 경계선이 바로 문제 10 의 자취,
곧 수직이등분선이다. 그 선을 넘으면 접속 기지국이 바뀐다.
🐣 초등 친구도 알 수 있게
모눈종이에 점 두 개를 찍어 보자. 자로 재지 않아도 된다.
오른쪽으로 몇 칸, 위로 몇 칸 갔는지만 세면 직각삼각형이 하나 생긴다.
그 비스듬한 변이 두 점 사이의 거리다.
가운데 점은 더 쉽다. 두 수를 더해서 반으로 나누면 된다.
\(2\) 와 \(8\) 의 가운데는 \(5\) 인 것처럼.
한 가지만 더. 돌아가면 길어진다. 두 점을 이어 가는 가장 짧은 길은 언제나 곧은 선이다.
칸을 세면 거리 · 더해서 반이면 가운데
※ 이 연습 10제는 장대경 선생님 「평면좌표」 특강의 방법으로 푸는 새로 지은 문항입니다. 원서(10단원)에서는 공식만 썼고 문항은 한 제도 옮기지 않았습니다. 원본 영상의 자동자막은 가운데 셈이 깨져 있어(「8 − 2t − 4t 가 1」이면 t = 7/6) 숫자를 한 개도 가져오지 않았습니다. 열 문항 모두 sympy 로 직접 다시 풀어 확인했고(17가지 · 어긋남 0), 6 · 8 · 10번은 되짚기를 넣어 두 길로 확인했습니다. 인용한 선생님 말씀은 모두 특강 원본에서 실제로 하신 말입니다.