먼저 · 도함수의 활용, 네 가지 무기
1
극값은 f'(x)=0에서 부호가 바뀌는 곳 — f'(x)=0인 점을 찾고, 그 앞뒤로 부호가 +에서−(극대) 또는 −에서+(극소)로 바뀌는지 확인.
2
접선의 방정식은 기울기=f'(a) — 점 (a, f(a))에서의 접선 기울기는 f'(a), 식은 y−f(a)=f'(a)(x−a).
3
증가·감소는 f'(x) 부호로 판정 — f'(x)>0이면 증가, f'(x)<0이면 감소.
＋
닫힌구간 최대·최소 — 극값과 구간의 양 끝값을 전부 구해서 가장 큰 것·가장 작은 것을 고른다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"오르막이 끝나고 내리막이 시작되는 산꼭대기"를 그래프로 체험한다.
📐 고2 (핵심)
극값 판정, 접선의 방정식, 증가·감소 구간, 닫힌구간 최대최소.
🎓 고등 (확장)
변곡점과 오목·볼록, 속도·가속도(물리 응용), 최적화 문제(경제·공학).
🐣 저학년 직관 — "산꼭대기에서는 잠깐 평평해진다"
산을 오르다 보면 오르막이 끝나고 내리막이 시작되는 곳이 있어요. 바로 그 꼭대기(정상)에서는 순간적으로 평평(기울기 0)해져요. 그 다음부터는 다시 내려가요.
기울기가 0이 되는 곳 = 극값(산꼭대기·골짜기)
연습 10제 · 그림 해설
문제 1극값 · 기본
함수 f(x)=x²-4x+3의 극값을 구하라.
풀이 — f'(x)=0인 점 찾기
- f'(x)=2x-4=0 → x=2. f(2)=4-8+3=-1(극소).
극솟값 -1 (x=2)
문제 2극값 · 진가
함수 f(x)=x³-3x²-9x+5의 극댓값과 극솟값의 합을 구하라.
풀이 — f'(x)=0으로 극점 찾고 부호 확인
- f'(x)=3x²-6x-9=3(x-3)(x+1)=0 → x=-1, 3.
- 극댓값 f(-1)=-1-3+9+5=10, 극솟값 f(3)=27-27-27+5=-22.
- 합: 10+(-22)=-12.
-12
문제 3접선의 방정식 · 기본
곡선 y=x² 위의 점 (1,1)에서의 접선의 방정식을 구하라.
풀이 — 기울기=f'(a)
- f'(x)=2x, f'(1)=2. 접선: y-1=2(x-1) → y=2x-1.
y = 2x − 1
문제 4접선의 방정식 · 진가
곡선 y=x³-3x 위의 점 (2,2)에서의 접선의 방정식을 구하라.
풀이 — 미분해서 그 점의 기울기 구하기
- 점 (2,2)가 곡선 위에 있는지 확인: 2³-3·2=8-6=2 ✓.
- f'(x)=3x²-3, f'(2)=12-3=9.
- 접선: y-2=9(x-2) → y=9x-16.
y = 9x − 16
문제 5증가·감소 구간 · 진가
함수 f(x)=x³-6x²+9x가 증가하는 구간을 구하라.
풀이 — f'(x)>0인 구간 찾기
- f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3).
- 이차식이 위로 볼록(양수 계수)이므로 근 바깥쪽에서 양수: x<1 또는 x>3.
x<1 또는 x>3에서 증가
문제 6닫힌구간 최대·최소 · 진가
함수 f(x)=-x³+3x²+9x-1 (-2≤x≤4)의 최댓값과 최솟값을 구하라.
풀이 — 극값과 양 끝값을 모두 비교
- f'(x)=-3x²+6x+9=-3(x-3)(x+1)=0 → x=-1, 3(둘 다 구간 안).
- f(-2)=8+12-18-1=1, f(-1)=1+3-9-1=-6, f(3)=-27+27+27-1=26, f(4)=-64+48+36-1=19.
- 가장 큰 값 26, 가장 작은 값 -6.
최댓값 26 (x=3), 최솟값 -6 (x=-1)
문제 7극값 존재 조건
함수 f(x)=x³+ax가 극값을 갖지 않도록 하는 실수 a의 범위를 구하라.
풀이 — f'(x)=0이 실근을 갖지 않거나 중근이면 극값 없음
- f'(x)=3x²+a가 항상 0 이상이어야: a≥0.
a ≥ 0
문제 8접선 응용 · 평행
곡선 y=x³-3x+1 위에서 접선의 기울기가 0인 점의 좌표를 모두 구하라.
풀이
- f'(x)=3x²-3=0 → x=±1. f(1)=-1, f(-1)=3.
(1,-1), (-1,3)
문제 9그래프 개형
함수 f(x)=x³-3x²+3x-1이 극값을 가지는지 판별하라.
풀이
- f'(x)=3x²-6x+3=3(x-1)²≥0. 항상 0 이상(등호는 x=1에서만) → 극값 없음(단조증가).
극값을 갖지 않는다 (단조증가)
문제 10실생활 · 최적화
둘레가 40m인 직사각형 텃밭의 넓이 S(x)=x(20-x)(x=가로)가 최대가 되는 x의 값을 구하라.
풀이
- S(x)=20x-x², S'(x)=20-2x=0 → x=10.
x = 10 (정사각형일 때 최대)
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"기울기가 0이 되는 곳을 본다" 하나로 물리·경제·공학까지
도함수의 활용에서 익힌 "미분해서 부호가 바뀌는 곳을 찾는다"는 눈이, 학년이 올라가면 물리·경제·공학으로 그대로 이어집니다.
① 물리학 · 속도와 가속도
물리학 · 역학
위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도예요. "속도=0인 순간"이 바로 물체가 방향을 바꾸는 순간이에요 — 오늘의 극값과 똑같은 원리.
② 경제학 · 한계비용과 최적생산량
경제학
이윤함수를 미분해서 0이 되는 지점이 이윤을 최대화하는 생산량이에요. 오늘 배운 최적화 문제(Q10)가 바로 경제학의 핵심 도구예요.
③ 고3 · 변곡점과 오목·볼록
미적분
이계도함수(f''(x))의 부호로 그래프가 오목한지 볼록한지 판별해요. 극값 판정과 같은 원리를 한 단계 더 깊이 쓰는 거예요.
④ 공학 · 재료 강도 최적화
공학·설계
캔 음료의 모양을 재료(표면적)는 최소로, 부피는 최대로 설계할 때도 미분으로 최적점을 찾아요. Q10과 완전히 같은 발상이에요.
⑤ 데이터과학 · 경사하강법
인공지능·머신러닝
AI가 학습할 때 쓰는 경사하강법은 오차함수를 미분해서 기울기가 0에 가까워지는 방향으로 계속 이동하는 거예요. 오늘 배운 극값 찾기가 AI의 핵심 원리예요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"기울기가 0이 되는 곳을 본다" 하나로 물리·경제·AI까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고2삼차함수 3실근 조건
함수 f(x)=x³-3x+k가 서로 다른 세 실근을 가지도록 하는 k의 범위를 구하라.
풀이 — 극댓값>0, 극솟값<0
- f'(x)=3x²-3=0 → x=±1. 극댓값 f(-1)=2+k, 극솟값 f(1)=-2+k. 조건: 2+k>0, -2+k<0 → -2<k<2.
-2 < k < 2
도전 · 물리속도·가속도
위치 s(t)=t³-6t²+9t일 때, 속도가 0이 되는 시각을 구하라.
풀이
- v(t)=s'(t)=3t²-12t+9=3(t-1)(t-3)=0 → t=1, 3.
t = 1, 3
도전 · 경제최적생산량
이윤함수가 P(x)=-x²+40x-100일 때, 이윤이 최대가 되는 생산량 x를 구하라.
풀이
- P'(x)=-2x+40=0 → x=20.
x = 20
도전 · 고3변곡점
함수 f(x)=x³-3x²의 변곡점의 좌표를 구하라. (힌트: f''(x)=0)
풀이
- f''(x)=6x-6=0 → x=1. f(1)=1-3=-2.
(1, -2)
도전 · 공학재료 최적화
부피가 32인 뚜껑없는 정사각기둥 상자의 표면적 S(x)=x²+128/x(x=밑변)이 최소가 되는 x를 구하라. (힌트: S'(x)=2x-128/x²)
풀이
- S'(x)=2x-128/x²=0 → 2x³=128 → x³=64 → x=4.
x = 4
도전 · AI경사하강법 원리
오차함수 E(x)=(x-3)²의 최솟값을 만드는 x를 미분으로 구하라.
풀이
- E'(x)=2(x-3)=0 → x=3.
x = 3 (오차가 0이 되는 지점)
※ 이 자료의 예제 2문항(문제 2·4)은 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브)에서 가져와 클로드가 직접 전수 재검산했습니다. 나머지 문항은 같은 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성한 교육 자료입니다.