YEON MATH · 행복수학

도형의 닮음 실전 완전정복
— 길이는 그대로, 넓이는 제곱, 부피는 세제곱 · 연습 10제

닮음비 잡기 · k · k² · k³ · 거꾸로 되찾기 · 삼각형의 닮음 조건과 함정 · 직각삼각형의 네 공식 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 도형의 닮음, 이 다섯 가지면 끝난다

1
닮음이란 — 모양은 같고 크기만 다른 것. 대응하는 각의 크기는 그대로 같고, 대응하는 변의 길이만 일정한 비. 그 비가 닮음비.
2
닮음비가 \(k\)이면 — 길이와 둘레는 \(k\), 넓이와 겉넓이는 \(k^2\), 부피는 \(k^3\). 겉넓이는 「넓이」라서 제곱이지 세제곱이 아니다.
3
거꾸로 되찾기 — 넓이의 비가 주어지면 제곱근을 뽑아 길이의 비로, 부피의 비가 주어지면 세제곱근을 뽑아 길이의 비로 되돌린다. 길이를 되찾는 것이 언제나 첫 걸음.
4
삼각형의 닮음 조건 — AA(두 쌍의 대응각의 크기가 같다) · SSS(세 쌍의 대응변의 비가 같다) · SAS(두 쌍의 대응변의 비가 같고 그 끼인각이 같다). 변에는 비, 각에는 크기, SAS는 끼인각.
5
직각삼각형의 네 공식 — ∠A = 90°이고 AH ⊥ BC일 때
\(\overline{AB}^2=\overline{BH}\times\overline{BC}\) · \(\overline{AC}^2=\overline{CH}\times\overline{CB}\) · \(\overline{AH}^2=\overline{BH}\times\overline{CH}\) · \(\overline{AB}\times\overline{AC}=\overline{BC}\times\overline{AH}\)
4칸 9칸 넓이 4 : 9 8칸 27칸 부피 8 : 27

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
종이를 두 배로 확대 복사하면 길이는 2배인데 잉크는 4배가 든다 — 넓이가 제곱으로 커진다는 걸 손으로 본다.
📐 중2 (핵심)
닮음비 \(k\), 넓이비 \(k^2\), 부피비 \(k^3\), 삼각형의 닮음 조건, 직각삼각형의 닮음과 네 공식.
🎓 고등 (확장)
닮음을 이용한 길이의 최솟값(빛의 반사·전개도), 원의 방멱 관계, 그리고 넓이·부피의 축척 문제.

🐣 저학년 직관 — "두 배로 늘리면 잉크는 네 배"

가로세로 1칸짜리 색종이를 가로세로 2칸으로 늘려 보세요. 길이는 2배인데, 칸을 세어 보면 1칸 → 4칸이에요. 3칸으로 늘리면 9칸이고요.

블록이면 어떨까요? 2칸짜리 정육면체는 작은 블록이 8개, 3칸짜리는 27개. 길이는 2배·3배인데 부피는 8배·27배. 그래서 넓이는 두 번 곱하기, 부피는 세 번 곱하기랍니다.

길이 2배 → 넓이 4배 → 부피 8배

연습 10제 · 그림 해설

난이도 배분 — C 2제 : B 7제 : A 1제 (20 : 70 : 10). 모든 답은 두 길로 검산했습니다.

문제 1C · 닮음비 잡기
두 삼각형이 닮은 도형이다. AB = 6에 대응하는 변이 DE = 9이고, BC = 8일 때 대응하는 변 EF의 길이를 구하라.
6 8 A B C 9 ? D E F
그림은 실제 닮음비대로 그려져 있다 — 자로 재도 2 : 3 이다.

풀이 — 먼저 닮음비부터 잡는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「대응하는 변끼리」 짝을 지어야 비가 나온다 닮음비는 아무 두 변이 아니라 서로 대응하는 두 변의 비입니다. 여기서는 AB와 DE가 짝이므로 6 : 9 = 2 : 3. 짝을 어떻게 아나요? 문제가 준 순서가 곧 짝입니다. △ABC ∽ △DEF 라고 쓰면 A↔D, B↔E, C↔F 이고, 그래서 AB↔DE, BC↔EF 가 됩니다. 이름 순서를 흐트러뜨리지 않는 것 — 그게 닮음 문제의 절반입니다.
  2. 닮음비가 2 : 3 이므로 BC : EF = 2 : 3.
  3. 8 : EF = 2 : 3 → 2 × EF = 24 → EF = 12.
  4. 다른 길로 검산: 2에 ×4를 해서 8이 되었으니 3에도 ×4 → 3 × 4 = 12 ✓
"닮은 삼각형은 몇 대 몇으로 되어 있는지를 잘 확인하면 훨씬 더 쉽게 문제를 풀 수가 있다."— 장대경 선생님 원본 강의 58:07
EF = 12
문제 2C · 넓이는 제곱
닮은 두 평면도형의 닮음비가 3 : 5이다. 작은 도형의 넓이가 27 cm²일 때 큰 도형의 넓이를 구하라.

풀이 — 길이의 비를 제곱해서 넓이의 비로

  1. 닮음비 3 : 5 → 넓이의 비 3² : 5² = 9 : 25.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「몇 배를 곱했나」만 보면 끝난다 많은 학생이 27 : x = 9 : 25를 세우고 비례식을 푸느라 시간을 씁니다. 그럴 것 없이 9에 무엇을 곱해야 27이 되나만 보면 됩니다 — ×3 입니다. 그러면 25에도 똑같이 ×3 을 해 주면 그게 답입니다. 왜 「똑같이」인가요? 비가 같다는 말이 곧 「같은 수를 곱해서 만들어졌다」는 뜻이기 때문입니다. 9 : 25 와 27 : 75 가 같은 비인 까닭은 두 칸에 똑같이 3을 곱했기 때문이지요. 비례식을 세우는 대신 배수를 읽는 것 — 이게 계산을 반으로 줄입니다.
  3. 25 × 3 = 75.
  4. 다른 길로 검산: 27 × (25 ÷ 9) = 27 × 25/9 = 75 ✓
"넓이는 길이의 제곱이 되어서 1 대 4가 되는 걸 알 수가 있다."— 장대경 선생님 원본 강의 7:44
⛔ 자주 하는 실수 닮음비가 3 : 5 니까 넓이도 3 : 5 → 27 × 5/3 = 45 ✗ → 길이의 비를 그대로 넓이에 쓰면 안 된다. 넓이는 반드시 제곱해서 9 : 25 로 바꾼 다음에 쓴다.
75 cm²
문제 3B · 겉넓이 → 길이 → 부피
닮은 두 입체도형의 겉넓이가 각각 49 cm², 121 cm²이다. 작은 입체의 부피가 686 cm³일 때 큰 입체의 부피를 구하라.

풀이 — 겉넓이에서 길이를 되찾고, 그 길이로 부피를 만든다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 겉넓이끼리는 바로 부피로 못 넘어간다 겉넓이 49 : 121 을 보고 곧장 부피를 구하려 하면 길이 없습니다. 반드시 가운데에 길이를 한 번 세워야 합니다. 겉넓이는 넓이이므로 49 = 7², 121 = 11² — 제곱근을 뽑아 길이의 비 7 : 11 을 되찾습니다. 겉넓이 → 부피로 바로 가는 지름길은 왜 없나요? 넓이는 \(k^2\), 부피는 \(k^3\) 이라 둘 사이는 \(k\) 한 겹 차이이기 때문입니다. 그 한 겹이 바로 「길이」이고, 그래서 겉넓이 → 길이 → 부피 이 세 걸음을 건너뛸 수 없습니다. 길이를 되찾는 것이 닮음 문제의 언제나 첫 걸음입니다.
  2. 길이의 비 7 : 11 → 부피의 비 7³ : 11³ = 343 : 1331.
  3. 343 × 2 = 686 이므로 1331 × 2 = 2662.
  4. 다른 길로 검산: 686 × (1331 ÷ 343) = 686 × (11/7)³ = 686 × 1331/343 = 2662 ✓
"우리가 곱할 때 얼마를 곱해 주는지를 잘 활용을 하면 쉽게 답을 찾을 수가 있어. 굳이 막 세제곱하고 제곱하고 이렇게 하지 마."— 장대경 선생님 원본 강의 15:01
2662 cm³
문제 4B · 부피 → 길이 → 겉넓이
닮은 두 입체도형의 부피가 각각 27 cm³, 125 cm³이다. 작은 입체의 겉넓이가 18 cm²일 때 큰 입체의 겉넓이를 구하라.

풀이 — 이번엔 세제곱근으로 길이를 되찾는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 부피에서는 세제곱근을 뽑아야 한다 앞 문제와 방향은 같지만 뽑는 뿌리가 다릅니다. 부피의 비는 \(k^3\) 이므로 27 = 3³, 125 = 5³ → 길이의 비는 3 : 5 입니다. 여기서 제곱근을 뽑아 √27 : √125 로 가면 그 순간 답이 어긋납니다. 기억하는 법 — 주어진 것이 「넓이」면 제곱근, 「부피」면 세제곱근. 이름에 「넓」이 들어가면 두 번 곱한 것이니 두 번 나누어 뽑고, 「부피」면 세 번 곱한 것이니 세 번 나누어 뽑습니다. 그래서 겉넓이는 「넓이」 쪽이라 언제나 제곱근입니다 — 입체에 붙어 있다고 세제곱근을 뽑으면 안 됩니다.
  2. 길이의 비 3 : 5 → 겉넓이의 비 3² : 5² = 9 : 25.
  3. 9 × 2 = 18 이므로 25 × 2 = 50.
  4. 다른 길로 검산: 18 × (25 ÷ 9) = 50 ✓
⛔ 자주 하는 실수 입체도형이니까 겉넓이도 세제곱 → 18 × (5/3)³ = 83.33… ✗ → 겉넓이는 「넓이」다. 입체에 붙어 있어도 언제나 \(k^2\) 이다.
50 cm²
문제 5B · 원뿔을 자른다
원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 높이를 이등분하였다. 잘려 나온 작은 원뿔과 남은 원뿔대의 부피의 비를 구하라.
h/2 h/2 닮음비 1 : 2
작은 원뿔과 원래 원뿔이 닮음이다. 원뿔대는 닮은 도형이 아니다 — 빼서 구한다.

풀이 — 원뿔대는 「빼서」 만든다

  1. 작은 원뿔과 원래 원뿔의 닮음비는 높이의 비 그대로 1 : 2.
  2. 부피의 비는 1³ : 2³ = 1 : 8.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 원뿔대를 「닮은 도형」으로 착각하지 않는다 작은 원뿔과 원뿔대는 닮음이 아닙니다. 닮음인 짝은 작은 원뿔과 원래(전체) 원뿔뿐입니다. 그래서 원뿔대의 부피는 전체에서 작은 원뿔을 뺀 나머지로 구합니다 — 8 − 1 = 7. 비를 다룰 때 「전체 : 부분」이 아니라 「부분 : 나머지」를 물었는지 늘 확인하세요. 여기서 전체를 8이라 두었으니, 작은 원뿔 1, 원뿔대 7, 전체 8 — 세 값을 한 벌로 적어 두면 무엇을 물어도 바로 답합니다. (작은 원뿔 : 전체 = 1 : 8, 작은 원뿔 : 원뿔대 = 1 : 7, 원뿔대 : 전체 = 7 : 8)
  4. 따라서 작은 원뿔 : 원뿔대 = 1 : 7.
  5. 공식으로 검산: 원래 원뿔 ⅓πr²h, 작은 원뿔 ⅓π(r/2)²(h/2) = ⅓πr²h × ⅛ → 작은 원뿔은 전체의 1/8, 원뿔대는 7/8 ✓
작은 원뿔 : 원뿔대 = 1 : 7
문제 6B · 직각삼각형의 네 공식
∠A = 90°인 직각삼각형 ABC에서 AB = 9, AC = 12이다. 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 H라 할 때 BH와 AH의 길이를 구하라.
B C H A 9 12 ? ?
그림은 실제 길이대로 그려져 있다 — 자로 재면 BH : HC = 5.4 : 9.6 이다.

풀이 — 먼저 빗변부터 구하고, 그 다음 공식을 고른다

  1. 빗변: BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → BC = 15. (9, 12, 15 는 3, 4, 5 의 3배)
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「구하려는 것이 어느 변에 붙어 있나」로 공식을 고른다 네 공식을 다 외워도 어느 것을 쓸지에서 막힙니다. 고르는 법은 하나입니다 — 주어진 변을 제곱한 식을 찾으면 됩니다. BH 를 구하는데 알고 있는 것이 AB = 9 이니 AB 를 제곱한 식, 곧 \(\overline{AB}^2=\overline{BH}\times\overline{BC}\) 를 씁니다. 왜 하필 그 식인가요? AB 는 왼쪽 조각 △HBA 의 빗변이고, 그 조각의 두 밑변이 BH 와 BC 이기 때문입니다. 그림에서 AB 를 빗변으로 갖는 조각을 손가락으로 짚으면, 그 조각이 깔고 있는 두 선분이 곧 곱할 두 개입니다. AH 를 구할 때는 AH 를 빗변이 아니라 「높이」로 쓰는 식 \(\overline{AB}\times\overline{AC}=\overline{BC}\times\overline{AH}\) 이 가장 짧습니다.
  3. 9² = BH × 15 → 81 = 15 BH → BH = 81/15 = 27/5 = 5.4.
  4. 9 × 12 = 15 × AH → 108 = 15 AH → AH = 108/15 = 36/5 = 7.2.
  5. 다른 길로 검산: CH = 15 − 5.4 = 9.6 이고 AH² = BH × CH = 5.4 × 9.6 = 51.84 = 7.2² ✓
"요 네 개의 식을 이용해서 우리가 답을 찾아내면 된다. 그 공식을 꼭 알고 있어라."— 장대경 선생님 원본 강의 48:59
BH = 27/5 (= 5.4), AH = 36/5 (= 7.2)
문제 7B · 두 조각에서 거꾸로
∠A = 90°인 직각삼각형 ABC에서 A에서 BC에 내린 수선의 발을 H라 하자. BH = 4, CH = 9일 때 AH, AB, AC를 구하라.
B C H A 4 9 ?
두 조각의 밑변만 주어졌다. 빗변 BC는 4 + 9 로 만들어 쓴다.

풀이 — 빗변을 「두 조각의 합」으로 만들어 쓴다

  1. ⭐ 여기가 고비 — BC 가 주어지지 않았다는 것을 알아채는 자리 네 공식 중 셋에 BC가 들어 있는데 문제는 BC 를 주지 않았습니다. 그러나 H 가 BC 위의 점이므로 BC = BH + CH = 4 + 9 = 13 — 내가 만들어 쓰면 됩니다. 이걸 못 보면 「조건이 모자란다」고 손을 놓게 됩니다. 한편 AH 는 BC 없이도 바로 나옵니다. \(\overline{AH}^2=\overline{BH}\times\overline{CH}\) 는 네 공식 중 유일하게 BC 가 들어가지 않는 식이기 때문입니다. 그래서 두 조각의 밑변만 주어진 문제에서는 언제나 AH 부터 구하는 것이 가장 빠릅니다.
  2. AH² = 4 × 9 = 36 → AH = 6.
  3. BC = 4 + 9 = 13.
  4. AB² = BH × BC = 4 × 13 = 52 → AB = 2√13.
  5. AC² = CH × CB = 9 × 13 = 117 → AC = 3√13.
  6. 다른 길로 검산: AB² + AC² = 52 + 117 = 169 = 13² = BC² ✓  그리고 AB × AC = 2√13 × 3√13 = 6 × 13 = 78, BC × AH = 13 × 6 = 78 ✓
"다 지워 버리고 새롭게 깨끗하게 그려 버리자. 제일 좋은 게 깨끗하게 그리는 것."— 장대경 선생님 원본 강의 55:35
AH = 6, AB = 2√13, AC = 3√13
문제 8B · 닮음 조건의 함정
삼각형 P의 두 각은 30°와 60°이고, 삼각형 Q의 두 각은 20°와 40°이다. 두 쌍의 대응하는 각의 크기의 비가 각각 같다(둘 다 1 : 2). 이때 P와 Q는 닮은 도형인가? 판정하고 그 까닭을 쓰라.

풀이 — 닮음이 아니다. 세 번째 각을 구해 보면 바로 갈린다

  1. P의 세 각: 180 − 30 − 60 = 90 → 30°, 60°, 90°.
  2. Q의 세 각: 180 − 20 − 40 = 120 → 20°, 40°, 120°.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 「비가 같다」와 「크기가 같다」는 전혀 다른 말 변에는 비가 붙어야 닮음이 되지만, 각에는 「비」가 붙으면 안 됩니다. 각은 크기 그 자체가 같아야 닮음입니다. 이 문제가 바로 그 반례입니다 — 30 : 60 = 20 : 40 = 1 : 2 로 비는 똑같은데, 세 번째 각이 90°와 120° 로 갈려 두 삼각형의 모양이 아예 다릅니다. 왜 각만 다른가요? 삼각형의 세 각의 합이 180°로 못 박혀 있기 때문입니다. 변은 얼마든지 늘였다 줄였다 할 수 있어서 「비」가 뜻을 갖지만, 각은 늘리면 합이 180°를 넘어 삼각형이 아예 서지 않습니다. 그래서 각은 늘어나지 않는다 — 닮음에서 각의 크기가 「그대로」인 까닭도 여기에 있습니다.
  4. 닮음이려면 세 각이 각각 같아야 하는데 90° ≠ 120° 이므로 닮음이 아니다.
"비가 빠져야 되지. 그래서 이것도 틀렸다라는 사실을 우리가 확인을 할 수가 있다."— 장대경 선생님 원본 강의 20:50
⛔ 시험에 그대로 나오는 문장 둘 "두 쌍의 대응각의 크기의 비가 같은 두 삼각형은 닮음이다" ✗ "두 쌍의 변의 비가 같고 한 각의 크기가 같으면 닮음이다" ✗ (끼인각이어야 한다) → 변에는 비, 각에는 크기, SAS는 끼인각. 이 한 줄이면 둘 다 걸러진다.
닮음이 아니다 (90° ≠ 120°)
문제 9B · 축척 활용
축척이 1 : 25000인 지도에서 어떤 땅이 8 cm²로 그려져 있다. 이 땅의 실제 넓이는 몇 km²인가?

풀이 — 축척은 「길이」의 비다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 축척에 넓이를 곧장 곱하면 안 된다 축척 1 : 25000 은 「길이」의 비입니다. 그러니 넓이는 25000배가 아니라 \(25000^2\) 배입니다. 25000² = 625{,}000{,}000 이므로 실제 넓이는 8 × 625{,}000{,}000 = 5{,}000{,}000{,}000 cm². 단위를 바꿀 때도 같은 함정이 있습니다. 1 km = 100000 cm 이니 1 km² = 100000² cm² = \(10^{10}\) cm² 입니다. 「1 km² = 100000 cm²」로 두면 답이 10만 배 어긋납니다. 길이의 관계를 먼저 적고, 넓이로 갈 때 반드시 제곱한다 — 축척 문제는 이 순서만 지키면 됩니다.
  2. 5{,}000{,}000{,}000 ÷ 10^{10} = 0.5 → 0.5 km².
  3. 다른 길로 검산: 지도 1 cm = 실제 25000 cm = 0.25 km 이므로 지도 1 cm² = 실제 0.25 × 0.25 = 0.0625 km². 따라서 8 × 0.0625 = 0.5 km² ✓
0.5 km²
문제 10A · 그릇에 물 붓기
꼭짓점이 아래로 향한 원뿔 모양 그릇에 물을 부었더니 물의 깊이가 그릇 높이의 2/3가 되었다. 이때 담긴 물의 부피가 32π cm³라면, 그릇을 가득 채우기 위해 더 부어야 할 물의 부피는 얼마인가?
⅓h ⅔h 물 32π cm³
물이 이루는 부분도 원뿔이다. 그릇 전체와 닮음비 2 : 3.

풀이 — 물이 이루는 도형이 무엇인지부터 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 꼭짓점이 아래여야 물이 「원뿔」이 된다 그릇이 꼭짓점을 아래로 두었기 때문에 담긴 물은 작은 원뿔이 되고, 그릇 전체와 닮음입니다. 깊이가 높이의 2/3 이므로 닮음비 2 : 3, 부피의 비는 2³ : 3³ = 8 : 27. 만약 꼭짓점이 위로 놓인 그릇이었다면 물은 원뿔이 아니라 원뿔대가 되어 닮음을 바로 쓸 수 없고 「전체 − 위쪽 작은 원뿔」로 빼서 구해야 합니다. 그래서 이런 문제는 그림의 방향을 먼저 확인하는 것이 첫 걸음입니다. (참고 — 그때는 물의 부피가 전체의 \(1-(1/3)^3\) 같은 꼴로 나옵니다.)
  2. 물(8) : 그릇 전체(27). 물이 32π 이므로 8 × 4π = 32π → 한 몫이 4π.
  3. 그릇 전체 = 27 × 4π = 108π.
  4. 더 부어야 할 양 = 108π − 32π = 76π.
  5. 다른 길로 검산: 32π × (27/8) = 108π ✓ 그리고 남은 몫은 27 − 8 = 19 몫이므로 19 × 4π = 76π ✓ (두 길이 같다)
"문제가 조금씩 조금씩 어려워진다라는 사실을 꼭 기억을 해."— 장대경 선생님 원본 강의 49:50
⛔ 자주 하는 실수 깊이가 2/3 니까 물도 전체의 2/3 → 전체 48π, 더 부을 양 16π ✗ → 깊이는 「길이」, 물의 양은 「부피」. 반드시 세제곱해서 8 : 27 로 바꾼 뒤에 쓴다.
76π cm³

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"길이를 되찾는다" 하나로 축척·삼각비·미적분까지

오늘 익힌 k · k² · k³ 와 떼어서 똑같이 그린다는 중2에서 끝나지 않습니다. 크기가 다른 두 도형을 견주는 모든 자리에 그대로 다시 나타납니다.

① 중2 · 삼각형의 무게중심
중2 · 도형의 성질
중선을 그으면 중점연결정리로 닮음비 1 : 2 가 생기고, 무게중심이 중선을 2 : 1 로 나눕니다. 여기서 갈라진 여섯 삼각형의 넓이가 모두 같다는 것도 닮음과 밑변의 비로 설명됩니다.
② 중3 · 삼각비는 「닮음이라 값이 하나」이기 때문에 산다
중3 · 삼각비
각이 정해지면 직각삼각형은 크기가 달라도 전부 닮음입니다. 그래서 변의 비가 삼각형의 크기와 상관없이 하나로 정해지고, 그 값에 sin · cos · tan 이라는 이름을 붙인 것입니다.
③ 중3 · 원의 방멱 — 오늘의 네 공식이 원으로
중3 · 원의 성질
원 밖의 점 P에서 그은 두 직선이 원과 만날 때 PA × PB = PC × PD. 이것도 두 삼각형이 닮음이라서 나오는 식입니다. 오늘 배운 직각삼각형의 네 공식과 뿌리가 같습니다.
④ 고1 · 축척·모형·지도 문제
실생활 · 비례
건물 모형, 지도, 도면은 전부 닮음입니다. 길이는 축척 그대로, 넓이는 제곱, 부피(무게)는 세제곱. 「모형이 1/10 인데 페인트는 얼마나?」 같은 물음은 전부 이 한 줄로 풀립니다.
⑤ 고2 · 물이 차오르는 속도
고2 미적분 · 변화율
원뿔 그릇에 물을 일정하게 부으면 깊이가 오르는 속도는 점점 느려집니다. 오늘 문제 10 이 바로 그 씨앗입니다 — 부피가 깊이의 세제곱에 비례하니, 미분하면 속도가 깊이의 제곱에 반비례하지요.
⑥ 경시 · 넓이비로 길이를 되찾는 기술
경시수학 · 조합기하
한 꼭짓점을 공유하는 두 삼각형은 넓이의 비 = 밑변의 비. 여기에 닮음의 \(k^2\) 를 섞으면, 복잡한 도형에서 길이를 넓이로 바꿔 세는 강력한 길이 열립니다.
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 열 문제 모두 서로 다른 두 길로 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음). 인용한 구호는 원본 강의에서 선생님이 실제로 하신 말씀이며, 뒤에 그 시각을 적어 두었습니다.
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