사탕 6개를 0명에게 나누어 준다면? 나눌 수가 없어요. 아무리 애를 써도 답이 안 나옵니다. 이것이 6 ÷ 0 이에요.
그런데 0개를 0명에게 나누는 건 어떨까요? 이것도 그냥은 답이 없어요. 하지만 이럴 때는 숨은 사연이 있을 수 있어요. 예를 들어 "(사람 수) × 3 개를 (사람 수) 명에게" 나눈다면, 사람이 0명이어도 한 사람당 3개라는 답이 살아 있잖아요. 위아래에 똑같은 것이 숨어 있어서, 그것을 지워 주면 값이 보이는 거예요.
그래서 분모가 0 이 되는 자리에서 값을 만들고 싶으면, 방법은 하나뿐이에요. 분자도 0 이 되게 맞춰 주는 것. 그러면 위아래에 같은 것이 숨어 있게 되고, 그것을 지우면 답이 나옵니다.
분자가 0 이 아니면 값이 없다 · 분자도 0 이어야 비로소 값이 생긴다
연습 10제
문제 1조건식 세우기 · 규칙 1·2·3
f(x) = x2 + 3x + ax − 1(x ≠ 1) 이 모든 실수에서 연속이 되도록 상수 a 를 정하고, f(1) 을 구하여라.
풀이 — 분모가 0 인 자리에서 분자도 0
분모를 0 으로 만드는 값 : x = 1.
⭐ 여기가 고비 — 분자도 0 이 아니면 「연속」이 아예 될 수 없다
왜 분자에도 1 을 넣어 0 이라 놓는지가 이 단원의 뿌리입니다. x → 1 에서 분모는 0 으로 다가가는데 분자가 0 이 아닌 어떤 수라면, 분수는 한없이 커져 버려 극한값 자체가 없습니다 — 연속은 애초에 불가능합니다. 극한값이 있으려면 분자도 함께 0 이 되어야 하고, 그것이 1 + 3 + a = 0 라는 조건식입니다 ⇒ a = −4.
0/0 은 「막힌 것」이 아니라 「아직 못 지운 공통인수가 있다」는 신호입니다. 실제로 분자는 x² + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1) 로 (x − 1) 이 나옵니다 — 분모와 똑같은 인수입니다. 조건식을 세우는 순간 약분이 되도록 미지수가 정해지는 것이고, 그래서 이 유형은 언제나 「분모가 0 인 값을 분자에 넣어 = 0」 한 줄에서 시작합니다.
약분하면 f(x) = x + 4(x ≠ 1), 연속이려면 f(1) = 1 + 4 = 5.
검산(지름길) : 분자·분모를 각각 미분해 대입하면 (2x + 3) ÷ 1 에 x = 1 → 5 ✔ 두 갈래가 같다.
"분모가 제로면 분자도 반드시 제로. 미정계수를 구하는 유일한 열쇠 — 여기서 조건식이 나온다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제52강 「함수의 연속과 미정계수」 (선생님 원말)
a = −4, f(1) = 5
문제 2일차항 계수가 미지수
f(x) = x2 + ax − 10x − 2(x ≠ 2) 가 x = 2 에서 연속이 되도록 a 를 정하고, f(2) 를 구하여라.
풀이 — 미지수가 어느 자리에 있든 방법은 같다
⭐ 여기가 고비 — 미지수가 어느 자리에 있든 넣는 값은 「분모가 0 인 값」 하나뿐
앞 문제는 상수항에, 이 문제는 일차항에 미지수가 있습니다. 그래도 하는 일은 똑같습니다 — 분모를 0 으로 만드는 x = 2 를 분자에 넣고 0 이라 놓습니다 ⇒ 4 + 2a − 10 = 0 ⇒ 2a = 6 ⇒ a = 3.
미지수의 자리를 보고 방법을 고르려 들면 헤맵니다. 보아야 할 것은 오직 분모가 언제 0 이 되는가 하나입니다. 값이 정해지고 나면 분자는 반드시 x² + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2) 로 (x − 2) 를 품게 되어 약분되고, 남은 x + 5 에 2 를 넣어 f(2) = 7. 지름길로도 같은 답이 나옵니다 — (2x + a) ÷ 1 = 2·2 + 3 = 7 ✔
a = 3, f(2) = 7
문제 3⭐ 원본 강의 5-2번 (전사 3:31~4:35)
f(x) = x2 + ax − 6x − 3(x ≠ 3) 이 x = 3 에서 연속이 되도록 a 를 정하고, f(3) 을 구하여라.
풀이 — 장대경 선생님이 강의에서 직접 푸신 문제
x = 3 을 분자에 : 9 + 3a − 6 = 0 → 3a = −3 → a = −1. 원본 4:05 "a 값이 −1"
⭐ 여기가 고비 — 인수분해했을 때 (x − 3) 이 나오는지가 곧 검산이다
a 를 정하고 나면 분자는 x² − x − 6 가 되는데, 여기서 반드시 (x − 3) 이 나와야 합니다. 실제로 x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) — 나왔습니다. 이것이 앞 걸음이 맞았다는 가장 빠른 확인입니다.
왜 반드시 나오는가 — 우리가 세운 조건이 바로 「x = 3 을 넣으면 분자가 0」 이었고, 인수정리에 따라 P(3) = 0 이면 P(x) 는 (x − 3) 을 인수로 갖습니다.그러니 약분이 안 된다면 앞에서 계산을 틀린 것입니다 — 다시 돌아가 보십시오. 약분하면 f(x) = x + 2 ⇒ f(3) = 5. 원본 4:32 "5가 나온다"
검산 : (2x + a) = 2·3 + (−1) = 5 ✔ 두 갈래가 같다.
a = −1, f(3) = 5
문제 4근호가 있으면 유리화
f(x) = √(x + 5) − 3x − 4(x ≠ 4) 가 x = 4 에서 연속이 되도록 f(4) 를 정하여라.
풀이 — 분자에 근호가 있으면 켤레를 곱한다
먼저 확인 : x = 4 를 넣으면 분자 √9 − 3 = 0, 분모 0 — 0/0 꼴이므로 값이 생길 수 있다.
⭐ 여기가 고비 — 근호가 있으면 「켤레」를 곱해 근호를 벗긴다
분자에 근호가 있으면 공통인수가 눈에 안 보입니다. 이때 켤레 (√(x + 5) + 3) 을 분자·분모에 함께 곱합니다. 그러면 분자에서 합차공식이 일어나 (√(x+5))² − 3² = (x + 5) − 9 = x − 4 — 근호가 통째로 사라지고 (x − 4) 가 드러납니다.이것이 「대입이 막히면 지워라」의 근호 판입니다 — 0/0 은 막힌 것이 아니라 아직 못 지운 공통인수가 근호에 가려 있다는 신호였습니다. 곱한 켤레는 분모로 내려가x − 4(x − 4)(√(x + 5) + 3) 가 되고, (x − 4) 끼리 약분하면 f(x) = 1√(x + 5) + 3. 이제 4 를 넣기만 하면 13 + 3 = 16. 수치로도 확인됩니다 — x = 4.01 이면 약 0.16666 ✔
"대입이 막히면 지워라. 0/0은 막힌 게 아니라, 아직 못 지운 공통인수가 숨어 있다는 신호다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제35강 「함수의 극한」
f(4) = 1/6
문제 5⭐ 원본 강의 5-1번 (전사 1:48~2:49)
f(x) = √(x − 3) − 1x − 4(x ≠ 4) 가 x = 4 에서 연속이 되도록 f(4) 를 정하여라.
풀이 — 원본 강의의 문제, 유리화로 검산
x = 4 : 분자 √1 − 1 = 0, 분모 0 → 0/0.
켤레 (√(x − 3) + 1) 을 곱하면 분자가 (x − 3) − 1 = x − 4.
⭐ 여기가 고비 — 두 갈래로 풀어 같은 답이 나오는지 본다 — 그것이 선생님표 검산
유리화로 f(x) = 1√(x − 3) + 1 를 얻고 4 를 넣으면 11 + 1 = 12. 원본 2:45 "2분의 1" 여기서 끝내지 말고 선생님이 알려 주신 지름길로 한 번 더 확인합니다 — 분자와 분모를 각각 미분해 그 점을 대입하는 길입니다.
분자 √(x − 3) − 1 를 미분하면 12√(x − 3), 분모 x − 4 를 미분하면 1. x = 4 를 넣으면 1/2 로 같은 값입니다 ✔ 0/0 꼴에서만 쓸 수 있는 길이지만, 이 단원의 문제는 거의 전부 0/0 이라 사실상 늘 쓸 수 있습니다. 서로 다른 두 길이 같은 답을 내면 그것으로 검산이 끝납니다 — 이 단원에서 가장 값싼 안전판입니다.
"유리화가 머리 아프면 분자·분모를 각각 미분한 다음 그 점을 대입하면 같은 답."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제35강 「함수의 극한」
f(4) = 1/2
문제 6조건이 하나 더 · 규칙 5
f(x) = ax2 + bx − 6x − 1(x ≠ 1) 이 x = 1 에서 연속이고 f(1) = 5 일 때, a 와 b 를 구하여라.
풀이 — 조건식 둘을 세워 연립
① 분모가 0 인 자리 x = 1 에서 분자도 0 : a + b − 6 = 0.
⭐ 여기가 고비 — 「f(1) = 5」는 함숫값이 아니라 「극한값이 5」라는 뜻
미지수가 둘이므로 식이 둘 있어야 합니다. 하나는 늘 쓰던 ①이고, 나머지 하나가 f(1) = 5 입니다. 그런데 원래 식에 1 을 넣으면 분모가 0 이라 그냥 대입할 수가 없습니다. 이 함수가 x = 1 에서 연속이라 했으므로 lim f(x) = f(1) = 5, 곧 「극한값이 5」로 읽어야 합니다.
극한값을 구하는 길은 두 가지입니다 — 약분해서 넣거나, 지름길로 분자·분모를 미분해 넣거나. 지름길이 짧으니 (2ax + b) ÷ 1 에 1 을 넣어 2a + b = 5 ⇒ ②. ①과 ②를 빼면 (2a + b) − (a + b) = a = 5 − 6 = −1, 그러면 b = 7. 검산 — f(x) = −x² + 7x − 6x − 1 = −(x − 1)(x − 6)x − 1 = 6 − x 이므로 f(1) = 5 ✔
②−① : a = −1, 그러면 b = 7.
a = −1, b = 7
문제 7자리가 둘이면 식도 둘 · 규칙 4
f(x) = x4 + ax3 + bx2 − 4 가 모든 실수에서 연속이 되도록 a, b 를 정하고 f(2) 를 구하여라.
풀이 — 두 자리에서 각각 분자도 0
⭐ 여기가 고비 — 분모가 0 이 되는 자리가 둘이면 조건식도 둘「모든 실수에서 연속」이라는 말이 열쇠입니다. 분모 x² − 4 이 0 이 되는 자리는 x = 2 와 x = −2 — 두 곳이고, 그 두 곳 모두에서 분자가 0 이어야 합니다. 그래서 조건식이 둘 나옵니다 — 16 + 8a + b = 0 와 16 − 8a + b = 0.
미지수가 둘인데 조건식도 둘이므로 딱 맞아떨어집니다. 두 식을 빼면 b 가 지워져 16a = 0 ⇒ a = 0, 넣으면 b = −16. 약분하면 x⁴ − 16x² − 4 = (x² − 4)(x² + 4)x² − 4 = x² + 4 이므로 f(2) = 8 (같은 이유로 f(−2) = 8). 「모든 실수에서」라는 말을 만나면 분모의 근을 「모두」 찾는 것이 첫 걸음입니다.
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면x = 2 한 자리만 보고 16 + 8a + b = 0 하나로 끝내면, 미지수 둘에 식 하나라 a, b 가 정해지지 않는다.예를 들어 a = 1, b = −24 로 두면 x = 2 에서는 약분되지만, x = −2 을 넣으면 분자가 16 − 8 − 24 = −16 로 0 이 아니라 거기서 불연속이 된다.⇨ 「모든 실수에서」이면 분모의 근을 하나도 빠뜨리지 않고 세운다.
a = 0, b = −16, f(2) = 8
문제 8함숫값을 하나 더 주는 꼴
f(x) = x2 − ax + bx − 3(x ≠ 3) 이 x = 3 에서 연속이고 f(4) = 6 일 때, a, b 와 f(3) 을 구하여라.
풀이 — 원본 8번과 같은 구조 (숫자만 다르게)
① x = 3 에서 분자도 0 : 9 − 3a + b = 0.
⭐ 여기가 고비 — f(4) 는 「그냥 대입」이다 — x = 4 에서는 분모가 0 이 아니니까
두 번째 조건 f(4) = 6 를 다루는 손이 앞 문제와 다릅니다. 여기서 4 는 분모를 0 으로 만드는 값이 아니므로 (4 − 3 = 1 ≠ 0), 극한이니 지름길이니 할 것 없이 원래 식에 그대로 넣으면 됩니다 — f(4) = 16 − 4a + b1 = 6 ⇒ 10 − 4a + b = 0.
「분모가 0 이 되는 자리」와 「그렇지 않은 자리」를 갈라 보는 것이 이 문제의 고비입니다 — 전자는 조건식(분자도 0), 후자는 그냥 대입. 두 식을 빼면 (9 − 3a + b) − (10 − 4a + b) = −1 + a = 0 ⇒ a = 1, 넣으면 b = −6. 약분하면 x² − x − 6x − 3 = (x − 3)(x + 2)x − 3 = x + 2 이므로 f(3) = 5 이고, f(4) = 6 로 조건과도 맞습니다 ✔
a = 1, b = −6, f(3) = 5
문제 9분모가 0 이 되느냐부터 · 원본 6-1번
다음 두 함수 가운데 모든 실수에서 연속인 것을 고르고, 그렇지 않은 쪽은 어디서 불연속인지 밝혀라. g(x) = x + 1x2 + 4 /
h(x) = x2 + 4x + 1
풀이 — 분모가 0 이 될 수 있는지만 보면 된다
⭐ 여기가 고비 — 분수함수는 「분모가 0 이 될 수 있는가」만 보면 끝난다
두 함수는 분자와 분모가 서로 뒤바뀐 것뿐인데 답이 갈립니다. 볼 것은 분모 하나입니다. · g 의 분모 x² + 4 은 x² ≥ 0 이므로 x² + 4 ≥ 4 > 0 — 절대 0 이 되지 않습니다. · h 의 분모 x + 1 은 x = −1 에서 0 이 됩니다.분모가 0 이 되는 자리가 하나도 없으면 그것으로 「모든 실수에서 연속」이 증명됩니다 — 다항식은 어디서나 연속이고, 연속인 것끼리 나눈 것도 분모가 0 만 아니면 연속이니까요. 그래서 g 는 연속. h 는 x = −1 에서 분모가 0 인데, 그때 분자는 (−1)² + 4 = 5 ≠ 0 로 0 이 아니라 약분할 수도 없습니다 — 「뚫린 점」이 아니라 「솟구치는 자리」이므로 x = −1 에서 불연속입니다.
장대경 선생님 : "분모가 제로가 되면 연속이 안 된다" 원본 7:57
"뚫린 점만 약분. 0/0은 인수분해로 — 약분되는 꼴로 바꾸면 뚫린 점을 메운 진짜 극한값이 보인다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제17강 「함수의 극한과 연속」
g 는 모든 실수에서 연속 · h 는 x = −1 에서 불연속
문제 10⭐ 수능 단골 · "모든 실수"와 판별식 · 규칙 6
f(x) = x2 + 2x + 3x2 + kx + 4 가 모든 실수 x 에서 연속이 되게 하는 정수 k 의 개수를 구하여라.
풀이 — "모든 실수" 는 곧 "분모가 절대 0 이 되면 안 된다"
⭐ 여기가 고비 — 「모든 실수에서 연속」 = 분모가 절대 0 이 되면 안 된다 = 판별식 < 0
앞의 문제들과 정반대 방향입니다. 거기서는 분모가 0 인 자리를 찾아 메웠지만, 여기서는 미지수가 분모에 있어 메울 수가 없습니다(분자는 x² + 2x + 3 로 고정). 그러니 애초에 분모가 0 이 되는 자리가 없게 만들어야 합니다 — 곧 x² + kx + 4 = 0 가 실근을 갖지 않아야 하고, 그것이 D = k² − 16 < 0 입니다.
여기서 등호가 붙으면 안 된다는 것이 이 문제의 진짜 고비입니다. D = 0 이면 중근이 생기고, 중근도 엄연히 분모를 0 으로 만드는 실수이므로 그 자리에서 불연속이 됩니다. 그래서 D < 0 이고 k² < 16 ⇒ −4 < k < 4 ⇒ 정수는 k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 37개. 경계로 확인 — k = 4 이면 분모가 (x + 2)² 라 x = −2 에서 0 이라 탈락 ✔
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면「0 이 되어도 스치기만 하니 괜찮겠지」 하고 D ≤ 0 로 두면 −4 ≤ k ≤ 4 가 되어 9개가 된다.그런데 k = 4 를 넣어 보면 분모가 x² + 4x + 4 = (x + 2)² — x = −2 에서 정말로 0 이다. 그 자리에서 함수는 아예 정의되지 않는다.⇨ 부등식의 등호가 「0 이 되어도 되는가」를 묻는다. 분모라면 답은 언제나 「안 된다」.
"모든 실수가 보이면 판별식 D<0. 분모인 이차식이 절대 0이 되면 안 된다는 뜻. 수능 단골이다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제52강 「함수의 연속과 미정계수」 (선생님 원말)
7개 (k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3)
도전 6제
도전 1삼차식 · 조건 둘
f(x) = x3 + ax + bx − 1(x ≠ 1) 이 x = 1 에서 연속이고 f(1) = 5 일 때, ab 의 값을 구하여라.
풀이
① x = 1 에서 분자도 0 : 1 + a + b = 0.
⭐ 여기가 고비 — 삼차식이어도 지름길은 그대로 통한다
분자가 삼차라 조립제법부터 떠오르지만, 극한값 조건은 지름길이 훨씬 짧습니다.f(1) = 5 이라는 말은 곧 극한값이 5 이므로, 분자·분모를 각각 미분해 (3x² + a) ÷ 1 에 1 을 넣으면 3 + a = 5 ⇒ a = 2 — 미지수 하나가 곧바로 잡힙니다.
①에 넣으면 b = −3. 지름길이 미덥지 않으면 실제로 약분해 보면 됩니다 — x³ + 2x − 3 = (x − 1)(x² + x + 3) 이므로 f(x) = x² + x + 3 이고 f(1) = 5 ✔ 두 길이 같은 답을 냈으니 안심하고 넘어갑니다. 구하는 값은 ab = 2 × (−3) = −6.
a = 2, b = −3, ab = −6
도전 2⭐ 원본 강의 (전사 34:30~34:50) · 근호 + 미정계수
f(x) = a√(x − 1) + bx − 2(x ≠ 2) 가 x = 2 에서 연속이고 f(2) = 2 일 때, ab 의 값을 구하여라.
풀이 — 선생님이 강의 중 스스로 바로잡으신 문제
① x = 2 에서 분자도 0 : a√1 + b = 0 → a + b = 0, 곧 b = −a. 원본 33:14 "a + b가 제로"
⭐ 여기가 고비 — b 를 먼저 없애 놓아야 유리화가 깨끗하게 된다
①에서 b = −a 를 얻었으면 그것을 분자에 곧바로 대입합니다 — 분자가 a√(x − 1) − a = a(√(x − 1) − 1) 로 a 하나만 남습니다. 이 상태에서 켤레 (√(x − 1) + 1) 을 곱하면 a(x − 2) 이 되어 (x − 2) 가 약분되고, f(x) = a√(x − 1) + 1.
이제 2 를 넣으면 a2 = 2 ⇒ a = 4, 따라서 b = −4. 원본 34:41 "아 a가 4가 나와야 되네" — 처음 1이라 하셨다가 그 자리에서 고치신 대목b 를 남겨 둔 채 유리화하면 분자가 a²(x − 1) − b² 가 되어 식이 지저분해집니다.조건식에서 얻은 것은 바로바로 대입해 미지수를 줄여 놓는 것 — 이것이 이 문제의 손버릇입니다. 구하는 값은 ab = 4 × (−4) = −16. 원본 34:50 "곱하면 −16"
a = 4, b = −4, ab = −16
도전 3자리 둘 · 삼차 분자
f(x) = x3 + ax + bx2 − 1 가 모든 실수에서 연속일 때, f(1) + f(−1) 의 값을 구하여라.
풀이 — 두 자리에서 나온 두 식을 더하고 빼 본다
분모가 0 인 곳 : x = 1, x = −1.
x = 1 : 1 + a + b = 0 / x = −1 : −1 − a + b = 0.
⭐ 여기가 고비 — 두 식을 「더할지 뺄지」는 무엇이 지워지는지 보고 고른다
두 식에서 a 는 부호가 반대이고 b 는 부호가 같습니다. 그러니 더하면 a 가 지워지고, 빼면 b 가 지워집니다. 여기서는 더하는 쪽이 2b = 0 로 한 번에 끝납니다 ⇒ b = 0, 그러면 a = −1.
연립을 만나면 「무엇을 지울까」를 먼저 정하고 손을 대는 것이 빠릅니다. (문제 7 에서는 반대로 빼는 쪽이 짧았습니다 — 거기서는 a 의 부호가 반대였으니까요.) 약분하면 x³ − xx² − 1 = x(x² − 1)x² − 1 = x 이므로 f(1) = 1, f(−1) = −1 ⇒ 합은 0. 답이 f(x) = x 라는 홀함수라, 대칭인 두 점의 함숫값이 서로 지워지는 것도 눈여겨 두십시오.
a = −1, b = 0, f(1) + f(−1) = 0
도전 4근호 안에도 미지수
f(x) = √(x + a) − bx − 3(x ≠ 3) 이 x = 3 에서 연속이고 f(3) = 14 이다. a > 0, b > 0 일 때 ab 를 구하여라.
풀이 — 조건식 둘을 차례로 쓴다
① x = 3 에서 분자도 0 : √(3 + a) = b.
⭐ 여기가 고비 — ①에서 얻은 b² = 3 + a 을 유리화한 분자에 도로 끼워 넣는 것
켤레를 곱하면 분자가 (x + a) − b² 가 되는데, 이대로는 (x − 3) 이 안 보입니다. 그런데 ①의 양변을 제곱하면 b² = 3 + a 이고, 이것을 위 분자에 넣으면 (x + a) − (3 + a) = x − 3 — 드디어 (x − 3) 이 나타납니다.약분하면 f(x) = 1√(x + a) + b 이고, 3 을 넣으면 1b + b = 12b (①에서 √(3 + a) = b 이므로 두 항이 모두 b). 이것이 1/4 이라 했으니 b = 2, ①에 되돌리면 3 + a = 4 ⇒ a = 1. 「조건식 하나를 다른 자리에 도로 끼워 넣어 길을 여는 것」이 이 문제의 전부입니다. 검산 — f(x) = √(x + 1) − 2x − 3 = 1√(x + 1) + 2 로 x = 3 에서 1/4 ✔ 구하는 값은 ab = 1 × 2 = 2.
조건 a > 0 와 b > 0 도 만족한다 ✔
a = 1, b = 2, ab = 2
도전 5⭐ 사잇값 정리 · 원본 14번과 같은 구조
모든 실수에서 연속인 함수 f(x) 가 f(0) = 2, f(1) = a2 − a − 11 을 만족한다. 방정식 f(x) − x2 = 0 이 열린구간 (0, 1) 에서 오직 하나의 실근을 가질 때, 정수 a 의 합을 구하여라.
⭐ 여기가 고비 — 「방정식의 근」을 「함수가 0 을 지나가는 자리」로 바꿔 읽는 것
방정식 f(x) − x² = 0 을 그대로 다루면 f 의 정체를 모르니 손댈 수가 없습니다. 좌변 통째를 g(x) 로 놓으면 문제가 「연속함수 g 가 (0, 1) 에서 0 을 지나는가」로 바뀝니다. 연속인 함수는 끊기지 않고 이어지므로, 양 끝의 부호가 반대이면 그 사이 어딘가에서 반드시 0 을 지납니다 — 사잇값 정리입니다.
그러니 조건은 g(0)·g(1) < 0 입니다. g(0) = 2 > 0 이므로 (a − 4)(a + 3) < 0 ⇒ −3 < a < 4. 정수 a = −2, −1, 0, 1, 2, 3 이고 합은 −2 − 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 3. 부호가 반대인지만 보면 되므로 f 의 식을 몰라도 풀립니다 — 이것이 「연속」이라는 조건 하나로 얻는 힘입니다.
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면등호를 붙여 g(0)·g(1) ≤ 0 로 두면 a = 4 와 a = −3 도 들어와 합이 3 + 4 − 3 = 4 로 달라진다.그런데 a = 4 이면 g(1) = 0 이라 근이 x = 1 에 놓인다 — 구간이 열린구간 (0, 1) 이라 그 자리는 포함되지 않는다.⇨ 열린구간이면 끝점은 남이다. 부등호에 등호를 붙일지는 구간의 괄호가 정한다.
정수 a 의 합 = 3
도전 6⭐ 판별식 심화 · "모든 실수"
f(x) = 2x + 1x2 − 2kx + k + 6 가 모든 실수 x 에서 연속이 되게 하는 정수 k 의 개수를 구하여라.
풀이 — 분모가 절대 0 이 되면 안 된다
분모 x² − 2kx + (k + 6) 이 실근을 갖지 않아야 한다.
⭐ 여기가 고비 — 일차항 계수가 짝수이면 D/4 로 — 그리고 여기서도 등호는 안 붙는다
문제 10 과 같은 꼴인데 계산이 조금 다릅니다. 일차항 계수가 −2k 로 짝수이므로 D/4 = (−k)² − 1·(k + 6) 을 쓰면 4 가 사라져 셈이 짧아집니다 — k² − k − 6 < 0 ⇒ (k − 3)(k + 2) < 0 ⇒ −2 < k < 3.
정수는 k = −1, 0, 1, 24개. 양쪽 경계를 반드시 확인하십시오 — k = 3 이면 분모가 x² − 6x + 9 = (x − 3)² 로 x = 3 에서 0, 탈락 ✔ k = −2 이면 x² + 4x + 4 = (x + 2)² 로 x = −2 에서 0, 탈락 ✔ 통과하는 예로 k = 0 이면 분모가 x² + 6 로 언제나 양수입니다 ✔ 「구한 범위의 양 끝을 직접 넣어 본다」 — 개수를 세는 문제의 안전판입니다.
"모든 실수가 보이면 판별식 D<0. 분모인 이차식이 절대 0이 되면 안 된다는 뜻."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제52강 「함수의 연속과 미정계수」 (선생님 원말)
4개 (k = −1, 0, 1, 2)
더 넓혀 쓰는 비법
이 방법이 어디까지 가는가
"분모가 0 이면 분자도 0" — 이 한 줄이 고등수학 뒤쪽을 계속 떠받친다.
① 인수정리 — 분자가 (x − a) 를 인수로 갖는다는 뜻
고1 · 다항식
분자 g(x) 에 x = a 를 넣어 0 이 된다는 것은, 곧 g(x) 가 (x − a) 로 나누어떨어진다는 인수정리 그 자체다. 그래서 반드시 약분이 된다. 오늘 세운 조건식은 사실 인수정리를 극한으로 쓰는 것이었다.
② 미분계수의 정의식에 숨은 같은 구조
고2 · 수학Ⅱ
f′(a) = lim (f(x) − f(a)) / (x − a) 도 결국 분모가 0 이 되는데 극한이 있는 꼴이다. 분자가 f(a) − f(a) = 0 이라 자동으로 조건을 만족한다 — 그래서 미분이 가능한 것이다. "분자·분모를 각각 미분해 대입"하는 선생님 지름길이 통하는 뿌리도 여기에 있다.
③ "모든 실수" 와 판별식 — 부호가 안 바뀌는 이차식
고1~고3 · 수능
이차식이 절대 0 이 되지 않는다는 것은 항상 양수이거나 항상 음수라는 뜻이고, 그것이 곧 D < 0 이다. 이차부등식이 모든 실수에서 성립할 조건, 분모가 0 이 아닐 조건, 근이 없을 조건이 전부 같은 한 줄이다. 장대경 선생님이 "수능에도 두 문제는 반드시 출제한다"고 하신 자리.
④ 사잇값 정리 — 연속이면 근이 어디 있는지 안다
고2 · 수학Ⅱ
닫힌 구간에서 연속인 함수가 양 끝에서 부호가 반대면 그 사이에 반드시 0 을 지난다. 끊긴 데가 없으니 뛰어넘을 수가 없기 때문이다. 방정식의 실근이 어느 구간에 있는지, 실근이 몇 개인지 묻는 문제가 전부 여기서 나온다. ⚠️ 연속이 아니면 이 논리는 무너진다 — 끊긴 함수는 부호가 갈려도 0 을 지나지 않고 건너뛴다.
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 미정계수·함숫값·범위를 인수분해 약분과 미분 대입 두 갈래로 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음). ⭐ 표시가 붙은 문제는 원본 강의에 실제로 나온 문제이며, 전사 시각을 함께 적었습니다.