🤔
분모가 0인데
연속이 되게 하라고?
연속이 되게 하라고?
그 자리에서 분모가 0이면 값이 없어야 정상이야.
그런데 연속이 되게 하는 방법이 딱 하나 있어 — 오늘은 그 하나를 배운다.
그런데 연속이 되게 하는 방법이 딱 하나 있어 — 오늘은 그 하나를 배운다.
🔑 핵심① · 분모가 0이면 분자도 반드시 0
limx→a
분자분모
가 존재한다
분모 → 0 인데 극한값이 있으려면
⇒ 분자도 → 0 이어야 한다
장대경 선생님 : "분모가 제로나마 분자도 반드시 제로가 나와야 되는 걸 알 수가 있다" (원본 0:44)
장대경 선생님 : "분모가 제로나마 분자도 반드시 제로가 나와야 되는 걸 알 수가 있다" (원본 0:44)
🐣 먼저 쉽게 — 0으로 나눈다는 것
분자가 0 이 아닐 때
60
아예 값이 없다
구할 방법이 없다
구할 방법이 없다
분자도 0 일 때
00
값이 생길 수 있다
숨은 공통인수를 지우면 된다
숨은 공통인수를 지우면 된다
그러니까 분자도 0 이 되게 만드는 것이 — 연속으로 가는 유일한 문이다
🔑 무기① · 조건식 세우는 세 걸음
① 분모를 0 으로 만드는 x 를 찾는다
② 그 x 를 분자에 넣고 = 0 이라 놓는다
③ 그 식을 풀어 미정계수를 구한다
② 그 x 를 분자에 넣고 = 0 이라 놓는다
③ 그 식을 풀어 미정계수를 구한다
구한 뒤에는 약분하고 남은 식에 그 x 를 넣으면 — 그것이 함숫값이다.
✏️ 예제① · x² + x + ax − 2 가 모든 실수에서 연속
① 분모가 0 ⇒ x = 2
|
② 분자에 2 : 4 + 2 + a = 0
⇒ a = −6
③ 약분 : (x + 3)(x − 2)x − 2 = x + 3 ⇒ f(2) = 5
선생님 지름길(분자·분모를 각각 미분해 대입) : (2x + 1) ÷ 1 에 x = 2 ⇒ 5 — 약분으로 구한 값과 똑같다
③ 약분 : (x + 3)(x − 2)x − 2 = x + 3 ⇒ f(2) = 5
선생님 지름길(분자·분모를 각각 미분해 대입) : (2x + 1) ÷ 1 에 x = 2 ⇒ 5 — 약분으로 구한 값과 똑같다
🔑 무기② · 분모가 0 이 되는 자리가 둘이면
분모가 0 이 되는 자리마다 조건식이 하나씩 생긴다
⇒ 자리 둘 = 식 둘 ⇒ 연립방정식으로 푼다
⇒ 자리 둘 = 식 둘 ⇒ 연립방정식으로 푼다
미지수가 둘이어도 겁먹을 것 없어 — 원리는 똑같다.
각각의 자리에서 분자도 0.
✏️ 예제② · x⁴ + ax³ + bx² − 1 가 모든 실수에서 연속
분모 x² − 1 = 0 ⇒ x = 1 과 x = −1, 두 자리
x = 1 : 1 + a + b = 0 | x = −1 : 1 − a + b = 0
두 식을 빼면 2a = 0 ⇒ a = 0, 그러면 b = −1
x = 1 : 1 + a + b = 0 | x = −1 : 1 − a + b = 0
두 식을 빼면 2a = 0 ⇒ a = 0, 그러면 b = −1
⚠️ 함정 · 부호 하나가 답을 바꾼다
✗ 순간 이렇게 썼다
−4−2 = −2
선생님도 그러셨다
✓ 바로 고치셨다
−4−2 = +2
음수 ÷ 음수 = 양수
약분으로 확인 : x⁴ − 1x² − 1 = (x² − 1)(x² + 1)x² − 1 = x² + 1
⇒ f(1) = f(−1) = 2
원본 6:05 "−2가 나오네요" → 6:23 "−1 자리는 2가 나와야 돼" — 그 자리에서 바로잡으셨다
원본 6:05 "−2가 나오네요" → 6:23 "−1 자리는 2가 나와야 돼" — 그 자리에서 바로잡으셨다
🔑 무기③ · 조건이 하나 더 주어질 때
미지수는 둘인데 분모가 0 이 되는 자리는 하나뿐이면?
⇒ 문제가 함숫값 하나를 더 알려 준다 — 그것이 두 번째 식
⇒ 문제가 함숫값 하나를 더 알려 준다 — 그것이 두 번째 식
장대경 선생님 : "여기서 친절하게 가르쳐 줘 버렸어" (원본 39:46)
✏️ 예제③ · x² − ax + bx − 2 가 x = 2 에서 연속, f(3) = 4
① 분모가 0 인 자리 x = 2 : 4 − 2a + b = 0
② 더 준 조건 f(3) = 4 : 9 − 3a + b = 4
①−② : −5 + a = −4 ⇒ a = 1, 그러면 b = −2
③ 약분 : (x − 2)(x + 1)x − 2 = x + 1 ⇒ f(3) = 4 ✓, 답 f(2) = 3
② 더 준 조건 f(3) = 4 : 9 − 3a + b = 4
①−② : −5 + a = −4 ⇒ a = 1, 그러면 b = −2
③ 약분 : (x − 2)(x + 1)x − 2 = x + 1 ⇒ f(3) = 4 ✓, 답 f(2) = 3
🔑 핵심④ · 애초에 분모가 0 이 되느냐부터 본다
✓ 모든 실수에서 연속
x − 2x² + 1
x² + 1 은 항상 1 이상
0 이 될 수가 없다
0 이 될 수가 없다
✗ x = 2 에서 불연속
x² + 1x − 2
x = 2 에서 분모가 0
분자는 5 라 못 지운다
분자는 5 라 못 지운다
장대경 선생님 : "분모가 제로가 되면 연속이 안 된다는 것을 알아야 된다" (원본 7:57)
🎯 수능 단골 — "모든 실수" 가 보이면 판별식
분모가 이차식인데 모든 실수에서 연속이라면
⇒ 그 이차식이 절대 0 이 되면 안 된다 ⇒ 실근이 없다 ⇒ 판별식 D < 0
⇒ 그 이차식이 절대 0 이 되면 안 된다 ⇒ 실근이 없다 ⇒ 판별식 D < 0
장대경 선생님 : "이거 어마어마하게 중요하다 …
모든 실수란 말은 수능에도 두 문제는 반드시 출제한다" (원본 43:30~43:53)
🎓 한 걸음 더 · 연속이면 근이 어디 있는지도 안다
f 는 연속, f(0) = 1, f(1) = a² − a − 5
g(x) = f(x) − x² 로 놓으면 g(0) = 1, g(1) = a² − a − 6
(0, 1) 에 근이 하나 ⇒ g(0)·g(1) < 0 ⇒ (a − 3)(a + 2) < 0
⇒ −2 < a < 3 ⇒ 정수 −1, 0, 1, 2 ⇒ 합 2
g(x) = f(x) − x² 로 놓으면 g(0) = 1, g(1) = a² − a − 6
(0, 1) 에 근이 하나 ⇒ g(0)·g(1) < 0 ⇒ (a − 3)(a + 2) < 0
⇒ −2 < a < 3 ⇒ 정수 −1, 0, 1, 2 ⇒ 합 2
🏁 오늘의 정리
분모가 0 이면 분자도 0
| 여기서 조건식이 나온다
분모가 0 이 되는 자리가 둘이면 조건식도 둘 — 연립해서 푼다
미지수가 조건보다 많으면 문제가 함숫값을 하나 더 준다
약분하고 남은 식에 그 값을 넣은 것이 함숫값
"모든 실수" 가 나오면 판별식 D < 0 | 그리고 부호 하나를 절대 놓치지 마
분모가 0 이 되는 자리가 둘이면 조건식도 둘 — 연립해서 푼다
미지수가 조건보다 많으면 문제가 함숫값을 하나 더 준다
약분하고 남은 식에 그 값을 넣은 것이 함숫값
"모든 실수" 가 나오면 판별식 D < 0 | 그리고 부호 하나를 절대 놓치지 마
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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