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극한은 양쪽에서
다가가 보는 거야
다가가 보는 거야
"그 점의 값"이 아니야. 왼쪽에서 다가갈 때의 값과
오른쪽에서 다가갈 때의 값,
이 둘을 따로 보는 것 — 좌극한과 우극한이야.
이 둘을 따로 보는 것 — 좌극한과 우극한이야.
🔑 핵심① · 극한값이 존재한다 = 좌극한과 우극한이 같다
limx→a−f(x)
=
limx→a+f(x)
= L
이때에만 limx→af(x) = L
이라고 쓸 수 있다
하나라도 어긋나면 — 값이 다르든, 한쪽이 없든 — 극한값은 존재하지 않는다
하나라도 어긋나면 — 값이 다르든, 한쪽이 없든 — 극한값은 존재하지 않는다
🐣 먼저 쉽게 — 양쪽에서 걸어와 본다
왼쪽에서 걸어오면 1 로 간다
오른쪽에서 걸어오면 3 으로 간다
⇒ 둘이 만나지 못한다 ⇒ x = 2 에서 극한값은 없다
값이 하나로 정해지지 않으면 극한은 없는 것
오른쪽에서 걸어오면 3 으로 간다
⇒ 둘이 만나지 못한다 ⇒ x = 2 에서 극한값은 없다
값이 하나로 정해지지 않으면 극한은 없는 것
🔑 핵심② · 절댓값이 보이면 부호로 가른다
x > a 일 때 (오른쪽)
|x − a| = x − a
그대로 벗긴다
x < a 일 때 (왼쪽)
|x − a| = −(x − a)
부호를 뒤집어 벗긴다
절댓값은 두 줄로 나누어 쓴다 — 그러면 좌극한과 우극한이 저절로 갈린다
좌극한을 물으면 아래 줄만, 우극한을 물으면 위 줄만 쓰면 된다
좌극한을 물으면 아래 줄만, 우극한을 물으면 위 줄만 쓰면 된다
✏️ 예제① · |x − 2| ÷ (x − 2) 의 좌극한과 우극한
x < 2 : −(x − 2)x − 2
= −1
(좌극한)
x > 2 : x − 2x − 2 = 1 (우극한)
⇒ −1 ≠ 1 ⇒ x → 2 의 극한값은 없다
x > 2 : x − 2x − 2 = 1 (우극한)
⇒ −1 ≠ 1 ⇒ x → 2 의 극한값은 없다
🔑 핵심③ · 한 자리에서 셋을 따로 읽는다
① 좌극한
왼쪽에서 다가간 값
② 우극한
오른쪽에서 다가간 값
③ 함숫값 f(a)
그 점에 실제로 찍힌 값
뚫린 동그라미 = 그 값은 아니다
·
꽉 찬 점 = 이 값이 f(a) 다
셋은 서로 다를 수 있다 — 그래서 하나하나 따로 읽어야 한다
셋은 서로 다를 수 있다 — 그래서 하나하나 따로 읽어야 한다
✏️ 예제② · 그래프 한 장에서 셋을 읽어 보자
좌극한 = 3
· 우극한 = 1
· f(1) = 2
⇒ 3 ≠ 1 이므로 극한값부터 없다
⇒ 따라서 x = 1 에서 불연속
⇒ 3 ≠ 1 이므로 극한값부터 없다
⇒ 따라서 x = 1 에서 불연속
🔑 핵심④ · 불연속이 되는 이유는 셋뿐이다
① 뛴다
좌극한 ≠ 우극한
⇒ 극한 자체가 없다
⇒ 극한 자체가 없다
② 뚫렸다
극한은 있는데
⇒ f(a) 가 없다
⇒ f(a) 가 없다
③ 점이 떠 있다
둘 다 있는데
⇒ 극한 ≠ f(a)
⇒ 극한 ≠ f(a)
시험에서 "불연속인 이유를 고르라"고 하면 답은 반드시 이 셋 중 하나다
⇒ 좌극한·우극한·f(a) 를 순서대로 적어 보면 바로 갈린다
🔑 핵심⑤ · 뒤집으면 연속의 뜻은 한 줄
limx→a−f(x)
=
limx→a+f(x)
= f(a)
셋이 모두 같아야 그 점에서 연속이다
그래서 연속인 함수는 극한값이 곧 대입한 값 — 고민하지 말고 그냥 넣으면 끝이다
그래서 연속인 함수는 극한값이 곧 대입한 값 — 고민하지 말고 그냥 넣으면 끝이다
✏️ 예제③ · y = x³ ÷ |x| 는 x = 0 에서 연속일까?
x > 0 : x³x
= x²
⇒ 우극한 0
x < 0 : x³−x = −x² ⇒ 좌극한 0
f(0) = 0 으로 정하면 셋이 다 0 ⇒ 연속
x < 0 : x³−x = −x² ⇒ 좌극한 0
f(0) = 0 으로 정하면 셋이 다 0 ⇒ 연속
✏️ 예제④ · 짝을 이루는 y = x ÷ |x| 는 어떨까?
x > 0 : x ÷ x = 1
·
x < 0 : x ÷ (−x) = −1
좌극한 −1 ≠ 우극한 1 ⇒ 극한이 없다
게다가 x = 0 은 분모가 0 — 함숫값도 없다 ⇒ 불연속
좌극한 −1 ≠ 우극한 1 ⇒ 극한이 없다
게다가 x = 0 은 분모가 0 — 함숫값도 없다 ⇒ 불연속
🔑 핵심⑥ · 한쪽 극한만 있는 자리
정의역이 x ≥ −2 — 왼쪽에는 그래프가 아예 없다
x = −2 에서는 우극한 0 만 있고, 좌극한은 물을 수조차 없다
정의역의 끝, 분모가 0 이 되는 자리 — 여기서는 한쪽만 본다
x = −2 에서는 우극한 0 만 있고, 좌극한은 물을 수조차 없다
정의역의 끝, 분모가 0 이 되는 자리 — 여기서는 한쪽만 본다
🎓 한 걸음 더 · 계단이 뚝뚝 끊기는 가우스 함수 y = [x]
x = 2 에서 : 좌극한 1
· 우극한 2
· f(2) = 2
⇒ 좌극한만 어긋난다 ⇒ 불연속
정수마다 똑같이 끊기므로, 불연속점의 개수를 묻는 문제는 계단이 몇 칸 끊기는지만 세면 된다
⇒ 좌극한만 어긋난다 ⇒ 불연속
정수마다 똑같이 끊기므로, 불연속점의 개수를 묻는 문제는 계단이 몇 칸 끊기는지만 세면 된다
🏁 오늘의 정리
극한값이 있다 = 좌극한 = 우극한|
절댓값이 보이면 부호로 갈라 두 줄로 쓴다
그래프에서는 좌극한 · 우극한 · f(a) 셋을 따로 읽는다 | 뚫린 ○ 는 아니다, 꽉 찬 ● 가 f(a)
불연속의 이유는 뛴다 · 뚫렸다 · 떠 있다 셋뿐| 연속은 그 셋이 모두 같은 것
정의역의 끝과 분모가 0 인 자리에서는 한쪽만 본다 | 가우스 함수는 정수마다 끊긴다
그래프에서는 좌극한 · 우극한 · f(a) 셋을 따로 읽는다 | 뚫린 ○ 는 아니다, 꽉 찬 ● 가 f(a)
불연속의 이유는 뛴다 · 뚫렸다 · 떠 있다 셋뿐| 연속은 그 셋이 모두 같은 것
정의역의 끝과 분모가 0 인 자리에서는 한쪽만 본다 | 가우스 함수는 정수마다 끊긴다
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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