사잇값 정리, 최대·최소 정리, 미분가능성(좌미분계수 = 우미분계수), 대학의 엡실론-델타 논법.
🐣 저학년 직관 — "양쪽에서 만나야 자리가 정해진다"
계단 한가운데에 서기로 약속했어요. 왼쪽에서 올라오는 친구는 그 자리에서 3층 높이에 서게 되고, 오른쪽에서 내려오는 친구는 같은 자리인데 5층 높이에 서게 된대요. 그러면 "그 자리의 높이"는 3층인가요, 5층인가요?
정할 수가 없지요. 둘이 만나지 못했으니까요. 그래서 이럴 때 수학에서는 "극한값이 없다"고 말해요. 반대로 양쪽에서 온 친구가 똑같이 4층 높이에서 만난다면, 그 자리의 높이는 4층으로 하나로 정해집니다. 그것이 극한값이에요.
여기서 한 가지 더. 그 자리에 실제로 놓인 발판의 높이는 또 따로예요. 양쪽에서 4층으로 모였는데 발판만 6층에 매달려 있을 수도 있거든요. 그래서 양쪽에서 온 값과 실제로 찍힌 값, 이 둘을 늘 따로 봐야 합니다.
왼쪽 3층 ≠ 오른쪽 5층 → 그 자리의 높이는 정할 수 없다
연습 10제
문제 1절댓값을 부호로 · 규칙 2
f(x) = |x − 1|x − 1 일 때, limx→1−f(x) 와 limx→1+f(x) 를 각각 구하고, limx→1f(x) 가 존재하는지 답하여라.
풀이 — 절댓값을 두 줄로 나눈다
⭐ 여기가 고비 — |x − 1| 을 벗기는 순간 식이 「두 줄」이 된다x → 1이니 1을 그냥 넣어0/0이 되고 막힙니다.
절댓값은 「값」이 아니라 「부호에 따라 달라지는 두 식」입니다 — 그것을 벗겨 두 줄로 갈라 적는 것이 첫 걸음입니다.
벗기는 규칙은 안쪽이 양수면 그대로, 음수면 부호를 뒤집는다입니다 —
x > 1이면 |x − 1| = x − 1이라 f(x) = 1,
x < 1이면 |x − 1| = −(x − 1)이라 f(x) = −1.
두 줄로 갈라 적는 순간 좌극한과 우극한이 저절로 갈립니다 — 계산할 것도 없이 −1과 1.
그리고 둘이 다르면 극한값은 「없다」고 잘라 말해야 합니다 —
⛔ 「0이다」나 「±1이다」라고 적으면 안 됩니다.양쪽에서 다가간 곳이 서로 다르면, 다가가는 목적지 자체가 없는 것입니다.
함수 f(x) 가 2x + 1 (x < 1) x2 + a (x ≥ 1) 로 주어질 때, f(x) 가 x = 1 에서 연속이 되도록 하는 상수 a의 값을 구하여라.
풀이 — 좌극한 = 우극한 = f(1) 을 그대로 쓴다
⭐ 여기가 고비 — x = 1 은 안 들어가는데 1을 넣는다
좌극한을 구할 때 x < 1이라 1은 들어가지 않는데 어떻게 1을 넣느냐에서 걸립니다.
넣어도 됩니다. 극한은 「그 점의 값」이 아니라 「그 점에 다가갈 때 향하는 값」이고,
2x + 1은 끊긴 데 없는 매끈한 식이라 다가가는 곳이 곧 넣은 값이기 때문입니다 — 3.
그리고 함숫값 f(1)은 극한과 따로 봅니다 —
등호(≥)가 아래 줄에 붙어 있으니 x = 1은 아래 줄 소속,
그래서 f(1) = 1 + a입니다. 이 「등호가 어느 줄에 붙었나」를 놓치면 자리를 잘못 잡습니다.
연속의 조건은 「좌극한 = 우극한 = f(1)」 셋이 모두 같음이고,
여기서는 우극한과 f(1)이 같은 식이라 실제로 맞출 것은 3 = 1 + a 하나 — a = 2.
좌극한 : 2x + 1 에 1 을 넣어 3. 우극한 : x2 + a 에 1 을 넣어 1 + a.
아래 그래프에서 x = 2 일 때 ① 좌극한 ② 우극한 ③ f(2) 를 각각 읽고, ④ x = 2 에서 연속인지 판정하여라. 불연속이라면 세 가지 이유 중 어느 것인지도 밝혀라.
뚫린 ○ 와 꽉 찬 ● 가 서로 다른 높이에 있다는 데 주목하세요.
풀이 — 셋을 순서대로 적으면 바로 갈린다
⭐ 여기가 고비 — 꽉 찬 점 (2, 3) 은 극한을 읽을 때 쳐다보지도 않는다
그래프에 꽉 찬 점이 3의 높이에 또렷이 찍혀 있으니 그것을 극한이라 읽기 쉽습니다.
극한을 읽을 때는 그 점을 가려 놓고 보십시오.극한은 「그 자리에 무엇이 찍혀 있는가」가 아니라 「가지가 어디로 다가가는가」이기 때문입니다.
가지만 따라가 보면 왼쪽 가지도 오른쪽 가지도 모두 높이 1로 다가갑니다 —
좌극한 = 우극한 = 1이니 극한값은 분명히 존재합니다(1).
함숫값은 그와 따로 읽습니다 — 꽉 찬 점이 (2, 3)에 있으니 f(2) = 3.
「다가가는 곳」과 「실제로 찍힌 곳」이 서로 다른 것, 이것이 불연속 유형 ⓒ 떠 있다입니다.
극한이 있어도 연속이 아닐 수 있다는 것을 이 그림 하나가 말해 줍니다.
왼쪽 가지도 오른쪽 가지도 (2, 1) 로 다가간다 → 좌극한 = 우극한 = 1, 극한값은 존재한다.
그런데 꽉 찬 점은 (2, 3) 에 있으므로 f(2) = 3.
1 ≠ 3 이므로 불연속 — 세 유형 중 ⓒ 점이 떠 있다(극한 ≠ f(a))에 해당한다.
"양쪽에서 다가가 본다 — 극한은 그 점의 값이 아니다. 좌극한과 우극한이 같아야 극한값이 있다."— 장대경 선생님 제49강 「극한과 연속」
좌극한 1, 우극한 1, f(2) = 3 → 불연속(유형 ⓒ)
문제 5분모에 절댓값 · 규칙 2
f(x) = x2 − x|x| 일 때, x → 0 에서의 좌극한과 우극한을 각각 구하여라.
풀이 — 분자에서 x 를 묶고, 분모의 |x| 를 부호로 가른다
⭐ 여기가 고비 — 분자에서 묶어야 할 것은 x 하나다
앞 문제들에서 (x − 2)·(x − 1) 같은 괄호를 꺼냈으니
여기서도 괄호를 찾으려 두리번거리게 됩니다.
이 문제에서 분모의 절댓값 안은 그냥 x이므로, 분자에서 꺼낼 것도 x 하나입니다 —
x² − x = x(x − 1).
그러면 앞과 똑같이 갈립니다 —
x > 0이면 |x| = x라 약분되어 f(x) = x − 1 → 우극한 −1,
x < 0이면 |x| = −x라 부호가 하나 남아 f(x) = 1 − x → 좌극한 1.
「약분해서 없어지는 것」은 분모의 절댓값 안에 있는 바로 그것이니,
분모를 먼저 보고 그것을 분자에서 꺼낼 수 있는지 묻는 것이 차례입니다.
(x = 0.1 → −0.9, x = −0.1 → 1.1로 값을 넣어 보면 확인됩니다.)
[x] 를 x 를 넘지 않는 최대의 정수라 할 때, limx→2−[x], limx→2+[x], [2] 를 각각 구하고 x = 2 에서의 연속 여부를 판정하여라.
계단의 왼쪽 끝은 꽉 찬 점, 오른쪽 끝은 뚫린 점입니다.
풀이 — 정수 바로 앞과 바로 뒤에서 계단이 다르다
⭐ 여기가 고비 — 좌극한은 2 가 아니라 1 이다x → 2이니 좌극한도 [2] = 2일 것 같습니다.아닙니다.왼쪽에서 다가가는 동안 x는 끝까지 2보다 작습니다 —
1.9, 1.99, 1.999 … 그 값들의 [x]는 모두 1입니다.
가우스 함수는 정수를 지날 때마다 한 칸씩 뛰어오르는 계단이라,
1 ≤ x < 2인 동안 값이 줄곧 1이고 2 ≤ x < 3이 되어서야 2가 됩니다.
그러니 좌극한 1, 우극한 2로 갈리고, [2] = 2는 우극한 쪽에 붙습니다
(계단의 왼쪽 끝이 꽉 찬 점이라서 그렇습니다).
좌극한 ≠ 우극한이니 극한값 자체가 없어 불연속이고, 그 모습이 ⓐ 뛴다입니다.
정수마다 똑같이 뛰므로 y = [x]는 모든 정수에서 불연속입니다.
1 ≤ x < 2 에서는 [x] = 1 → 좌극한 = 1.
2 ≤ x < 3 에서는 [x] = 2 → 우극한 = 2.
[2] = 2 (2를 넘지 않는 최대 정수).
1 ≠ 2 이므로 극한값 자체가 없다 → 불연속, 유형 ⓐ 뛴다.
정수마다 똑같이 끊기므로 y = [x] 는 모든 정수에서 불연속이다.
좌극한 1, 우극한 2, [2] = 2 → 불연속(유형 ⓐ)
문제 7한쪽 극한만 있는 자리 · 규칙 6
f(x) = √(4 − x2) 의 정의역을 구하고, x = 2 에서 좌극한과 우극한이 각각 존재하는지 답하여라.
⭐ 여기가 고비 — 우극한이 「0이 아니다」가 아니라 「물을 수조차 없다」
우극한을 구하라 하면 어떻게든 값을 하나 적으려 하게 됩니다.
x > 2를 넣어 보면 근호 안이 음수라 실수로는 값이 아예 없습니다.그러니 「우극한이 0이다」도 아니고 「−∞이다」도 아니고, 우극한이라는 것이 없습니다.극한을 물으려면 먼저 그쪽에 함수가 살고 있어야 합니다.
정의역은 4 − x² ≥ 0, 곧 −2 ≤ x ≤ 2이고,
x = 2는 그 오른쪽 끄트머리라 오른쪽에는 다가갈 길 자체가 없습니다.
왼쪽에서는 다가갈 수 있으니 좌극한 = √(4 − 4) = 0은 어엿이 존재합니다.
이런 자리에서는 양쪽 극한을 따지지 않고 한쪽 극한만 봅니다 —
정의역의 끝점에서는 「연속」도 그 한쪽만으로 판정합니다.
x = 2 는 정의역의 오른쪽 끝. 좌극한 = √(4 − 4) = 0 — 존재한다.
우극한 : x > 2 에서는 함수가 정의되어 있지 않으므로 우극한은 존재하지 않는다(물을 수조차 없다).
따라서 limx→2f(x) 라는 양쪽 극한도 생각하지 않는다. 이런 자리는 한쪽 극한만 본다.
정의역 −2 ≤ x ≤ 2 · 좌극한 0 은 존재, 우극한은 존재하지 않음
문제 8뚫린 자리 vs 무한으로 튀는 자리
f(x) = x − 3x2 − 9 에 대하여, ① x → 3 과 ② x → −3 에서 좌·우극한이 어떻게 되는지 각각 조사하고, 두 자리의 불연속 성질이 어떻게 다른지 설명하여라.
풀이 — 같은 "분모 0"이라도 성질이 다르다
x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) 이므로 x ≠ 3 에서 f(x) = 1x + 3.
⭐ 여기가 고비 — 같은 「분모가 0」인데 3은 구멍이고 −3은 절벽이다x = 3과 x = −3 둘 다 분모를 0으로 만드는 자리라 같아 보입니다.
완전히 다릅니다. 가르는 것은 「분자도 함께 0이 되는가」 하나입니다.
x = 3 — 분자 x − 3도 함께 0이 되어
약분되어 사라집니다 : f(x) = 1/(x + 3).
그러면 좌·우 모두 1/6로 다가가 극한은 멀쩡히 존재하고,
다만 그 자리에 점이 찍히지 못했을 뿐입니다 → ⓑ 뚫렸다(구멍).
f(3) = 1/6이라고 메워 주기만 하면 이어지는 자리입니다.
x = −3 — 여기서는 분자가 0이 아니라 약분되지 않습니다.x + 3이 0으로 가는데 왼쪽에서는 음수, 오른쪽에서는 양수라
좌극한 −∞, 우극한 +∞ → ⓐ (무한으로 발산).
아무리 메워도 이을 수 없는 절벽입니다.
① x → 3 : 분자·분모가 함께 0이라 약분되어 f(x) = 1/(x + 3) → 좌·우 모두 1/6. 그런데 f(3) 은 정의되지 않는다 ⇒ 유형 ⓑ 뚫렸다.
② x → −3 : x + 3 이 0 으로 가는데 부호가 갈린다. x < −3 이면 x + 3 < 0 이므로 좌극한 = −∞, x > −3 이면 우극한 = +∞. ⇒ 한 값으로 수렴하지 않으므로 극한값이 없다. 유형 ⓐ(그중에서도 무한으로 발산).
정리 : x = 3 은 점 하나만 메우면 이어지는 구멍, x = −3 은 아무리 메워도 이을 수 없는 자리다.
x = 3 : 극한 1/6 존재하나 f(3) 없음(구멍) · x = −3 : 좌극한 −∞, 우극한 +∞ (극한 없음)
문제 9미지수 둘 · 규칙 5
함수 f(x) 가 x2 + a (x < 1) b (x = 1) 3x − 1 (x > 1) 로 주어질 때, f(x) 가 x = 1 에서 연속이 되도록 하는 상수 a, b의 값을 구하여라.
풀이 — 세 조각이 그대로 좌극한·f(1)·우극한이다
⭐ 여기가 고비 — 세 조각이 곧 좌극한·함숫값·우극한 셋이다
미지수가 둘이라 식을 어떻게 두 개 세울지가 막막합니다.
그런데 문제가 이미 세 조각으로 갈라 놓았고, 그 셋이 그대로 연속 조건의 세 항목입니다.
짝지어 보십시오 —
x < 1 줄은 좌극한을 맡습니다 : 1 + a.
x = 1 줄은 함숫값을 맡습니다 : f(1) = b.
x > 1 줄은 우극한을 맡습니다 : 2.
(x = 1이 따로 한 줄로 나와 있어 문제 3에서 헷갈리던 「등호가 어느 줄이냐」가 여기서는 없습니다.)
연속이려면 셋이 모두 같아야 하므로 1 + a = 2 = b —
식 하나에 미지수 둘이 한꺼번에 잡혀a = 1, b = 2.
구간별 함수 문제는 「조각 ↔ 세 항목」을 짝지어 적는 것부터 하십시오.
아래는 −2 ≤ x ≤ 4 에서 정의된 함수 y = f(x) 의 그래프이다. 불연속인 점을 모두 찾고, 각각 세 가지 이유 중 어느 것인지 밝혀라.
뚫린 ○ 가 몇 개인지, 그 위·아래에 꽉 찬 ● 이 있는지를 보세요.
풀이 — 자리마다 좌극한·우극한·f(a) 를 적어 본다
⭐ 여기가 고비 — 「뚫린 ○ 가 보인다」만으로는 유형을 못 가른다
뚫린 점이 보이면 곧바로 「ⓑ 뚫렸다」로 몰아 적기 쉽습니다.
세 유형은 뚫린 점이 있느냐로 갈리는 것이 아니라, 「좌극한·우극한·f(a)」 셋을 적어 보아야 갈립니다.자리마다 셋을 적어 보십시오 —
x = −1 : 좌·우가 같은 자리로 모이나 꽉 찬 점이 아예 없다 → ⓑ 뚫렸다.
x = 1 : 좌극한 ≠ 우극한이라 극한 자체가 없다 → ⓐ 뛴다.
x = 3 : 좌·우는 모이는데 꽉 찬 점이 그보다 위에 따로 떠 있다 → ⓒ 떠 있다.
ⓑ와 ⓒ는 둘 다 뚫린 점이 보입니다 — 가르는 것은 「그 위에 꽉 찬 점이 따로 있느냐」입니다.
x = −1 : 좌·우가 같은 자리로 다가가나 꽉 찬 점이 없다 → 유형 ⓑ 뚫렸다.
x = 1 : 왼쪽에서는 아래쪽 뚫린 점으로, 오른쪽에서는 훨씬 위에서 출발한다. ⇒ 좌극한 ≠ 우극한 → 극한 자체가 없다 → 유형 ⓐ 뛴다.
x = 3 : 왼쪽 가지와 오른쪽 가지가 같은 자리로 모이는데(뚫린 ○), 꽉 찬 점은 그보다 위에 따로 떠 있다. ⇒ 극한도 있고 f(3) 도 있지만 서로 다르다 → 유형 ⓒ 떠 있다.
그 밖의 자리에서는 선이 끊기지 않으므로 연속이다.
"뛴다 · 뚫렸다 · 떠 있다 — 불연속의 이유는 이 셋뿐. 연속은 좌극한 = 우극한 = f(a)."— 장대경 선생님 제49강 「극한과 연속」
불연속점 3개 — x = −1 (ⓑ 뚫림), x = 1 (ⓐ 뜀), x = 3 (ⓒ 떠 있음)
도전 6제
도전 1조건이 둘 · 미지수도 둘
함수 f(x) 가 x2 + ax (x < 2) bx + 1 (x ≥ 2) 로 주어져 있다. f(x) 가 x = 2 에서 연속이고 f(2) = 5 일 때, 상수 a, b의 값을 구하여라.
풀이 — 주어진 함숫값부터 쓰고, 그다음 좌극한을 맞춘다
⭐ 여기가 고비 — 조건 f(2) = 5 를 먼저 쓰면 미지수가 하나씩 잡힌다
미지수가 a, b 둘이라 연립을 세우려 들면 복잡해집니다.
순서만 잘 잡으면 하나씩 따로 잡힙니다. 먼저 쓸 것은 공짜로 주어진 f(2) = 5입니다.
등호가 아래 줄(x ≥ 2)에 붙어 있으니 f(2)는 아래 줄에서 나옵니다 —
2b + 1 = 5에서 b = 2가 곧바로 정해집니다.
게다가 우극한도 같은 아래 줄이라 따로 맞출 것이 없습니다(이미 5).
남은 것은 좌극한 하나뿐 — x² + ax에 2를 넣어 4 + 2a,
이것이 5여야 하므로 a = 1/2.
「주어진 값 → 그 값이 걸린 줄 → 남은 줄」 차례로 가면 미지수가 하나씩 떨어집니다.
f(2) 는 아래 줄에서 나온다 : 2b + 1 = 5 → b = 2. 우극한도 같은 줄이라 이미 만족한다.
f(x) = x2 − 3x + 2|x − 1| 일 때, x → 1 에서의 좌극한과 우극한을 각각 구하여라.
풀이 — 분자를 쪼갠 뒤 |x − 1| 을 부호로 가른다
⭐ 여기가 고비 — 약분되었다고 「그냥 넣으면 된다」가 아니다
분자·분모가 (x − 1)을 함께 가져 약분이 되니,
약분한 뒤 1을 넣어 1 − 2 = −1 하나로 끝내기 쉽습니다.
그러면 좌극한을 놓칩니다.약분되는 것은 |x − 1|이지 (x − 1)이 아니기 때문입니다.
절댓값을 벗겨야 약분할 수 있고, 벗기는 순간 두 갈래가 생깁니다 —
x > 1이면 깨끗이 약분되어 f(x) = x − 2 → 우극한 −1,
x < 1이면 「−」 하나가 살아남아f(x) = 2 − x → 좌극한 1.
분모에 절댓값이 있으면 약분 뒤에도 반드시 양쪽을 따로 확인하십시오.
x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2).
x > 1 : |x − 1| = x − 1 → f(x) = x − 2 → 우극한 = −1.
⚠️ 분자가 (x − 1) 을 인수로 가져 0/0 꼴이지만, 약분한 뒤에도 분모의 절댓값 때문에 좌·우가 갈린다는 것이 이 문제의 핵심이다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 약분했으니 그냥 1을 넣으면분자·분모가 (x − 1) 을 함께 가지니 약분해 f(x) = x − 2,
1을 넣어 −1 하나로 끝내 봅시다.x = 0.9 를 넣어 보면 0.11 ÷ 0.1 = 1.1 로 −1 근처가 전혀 아닙니다.
약분된 것은 (x − 1) 이 아니라 |x − 1| 이라 왼쪽에서는 부호 하나가 살아남기 때문입니다.
→ 분모에 절댓값이 있으면 약분한 뒤에도 좌·우를 따로 봅니다.
좌극한 1, 우극한 −1 (극한값 없음)
도전 3가우스 함수 응용
f(x) = x − [x] 라 할 때, limx→2−f(x) 와 limx→2+f(x) 를 각각 구하여라. (이 함수는 소수 부분 함수라 부른다.)
풀이 — [x] 가 바뀌는 순간을 좌·우로 갈라 본다
⭐ 여기가 고비 — 좌극한이 0이 아니라 1이다
소수 부분이니 2에 다가가면 소수 부분도 0에 가까워질 것 같아 좌극한을 0이라 적기 쉽습니다.
거꾸로입니다.1.9의 소수 부분은 0.9,
1.99는 0.99 — 1에 가까워집니다.까닭은 [x]가 바뀌는 순간이 바로 2이기 때문입니다.
1 ≤ x < 2인 동안 [x] = 1이라 f(x) = x − 1,
그래서 좌극한은 2 − 1 = 1.
2를 넘어서면 [x] = 2로 바뀌어 f(x) = x − 2,
우극한은 2 − 2 = 0으로 뚝 떨어집니다.왼쪽에서는 1까지 차오르다가 정수를 넘는 순간 0으로 떨어지는 톱니 —
그래서 이 함수는 모든 정수에서 불연속입니다.
(x = 1.99 → 0.99, x = 2.01 → 0.01로 확인됩니다.)
1 ≤ x < 2 에서는 [x] = 1 → f(x) = x − 1 → 좌극한 = 1.
2 ≤ x < 3 에서는 [x] = 2 → f(x) = x − 2. 따라서 우극한 = 2 − 2 = 0.
수치 확인 : x = 1.99 이면 0.99, x = 2.01 이면 0.01 ✔
1 ≠ 0 이므로 x → 2 의 극한값은 없다. 이 함수는 모든 정수에서 불연속이고, 정수 사이에서는 0 에서 1 로 매끄럽게 올라가는 톱니 모양이다.
좌극한 1, 우극한 0 (극한값 없음)
도전 4각각은 없어도 곱하면 있다
f(x) = |x|x 라 하자. ① limx→0f(x) 가 존재하지 않음을 보이고, ② 그럼에도 limx→0{ f(x) · x } 는 존재함을 보이고 그 값을 구하여라.
풀이 — "극한이 없다"가 곱의 극한까지 없앤다는 뜻은 아니다
① x > 0 이면 f(x) = xx = 1, x < 0 이면 f(x) = −xx = −1. 좌극한 −1, 우극한 1 → 극한값 없음.
⭐ 여기가 고비 — 「극한이 없는 것끼리는 곱해도 없다」가 아니다
①에서 f(x)의 극한이 없다는 것을 보이고 나면,
「없는 것에 무엇을 곱해도 없겠지」 하고 ②도 없다고 답하기 쉽습니다. 있습니다.곱을 먼저 정리해 보십시오 — x ≠ 0에서
f(x) · x = (|x|/x) · x = |x|.
|x|는 좌극한도 0, 우극한도 0이라 극한이 어엿이 존재합니다(0).
뜻으로 읽으면 이렇습니다 — f(x)는 ±1로 튀지만 크기가 1 안에 묶여 있고,
거기에 0으로 가는 x를 곱하니 튀는 폭 자체가 0으로 눌립니다.
(「묶여 있는 것 × 0으로 가는 것 = 0」 — 뒤에 배울 조임정리의 씨앗입니다.)
⚠️ 거꾸로는 성립하지 않습니다 — 곱의 극한이 있다고 각 인수의 극한이 있는 것은 아닙니다.
② x ≠ 0 에서 f(x) · x = |x|x · x = |x|.
|x| 의 좌극한도 0, 우극한도 0 이므로 limx→0|x| = 0 — 존재한다.
뜻 : f(x) 는 ±1 로 튀지만 크기가 1 로 묶여 있고, 거기에 0 으로 가는 x 를 곱하면 튀는 폭이 0 으로 눌린다.
⚠️ 거꾸로는 성립하지 않는다 — 곱의 극한이 있다고 해서 각 인수의 극한이 있는 것은 아니다.
① 존재하지 않음(좌 −1, 우 1) ② 존재하며 값은 0
도전 5둘 다 ∞ 라도 "수렴"은 아니다
① limx→1−1x − 1 와 limx→1+1x − 1, ② limx→1−1(x − 1)2 와 limx→1+1(x − 1)2 를 각각 구하고, 두 경우의 차이를 설명하여라.
y = 1/(x − 1) — 점근선 양쪽에서 반대 방향으로 갑니다.
풀이 — 분모의 부호가 갈리느냐, 안 갈리느냐
① x < 1 이면 x − 1 < 0 이고 크기가 0 으로 가므로 좌극한 = −∞. x > 1 이면 x − 1 > 0 이므로 우극한 = +∞. ⇒ 좌·우가 반대 방향이라 극한은 없다.
⭐ 여기가 고비 — ②는 좌·우가 같은데도 「수렴」이 아니다
①은 좌·우가 달라서 극한이 없습니다. ②는 제곱이라 분모가 늘 양수여서 좌·우 모두 +∞로 같습니다.
그러면 「극한이 있다」고 말하고 싶어지는데, 여기서 조심해야 합니다.+∞는 수가 아니라「끝없이 커진다」는 모양을 적은 말이라,
lim = +∞라 쓰되 수렴이 아니라 발산입니다.
①은 좌·우가 달라서, ②는 수로 정해지지 않아서 — 까닭이 다릅니다.
② (x − 1)2 은 제곱이라 언제나 양수 → 양쪽 모두 +∞.
여기서 주의할 점 : ②는 좌·우가 같은 모습이라 limx→1 = +∞ 라고 쓰기는 한다. 하지만 +∞ 는 수가 아니므로 이것은 수렴이 아니라 발산이다.
정리 : ①은 좌·우가 달라서 극한이 없고, ②는 좌·우가 같지만 수로 정해지지 않아서 수렴하지 않는다. 이유가 서로 다르다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — ②를 「수렴한다」고 적으면좌·우가 +∞ 로 같으니 「수렴한다」고 적어 봅시다.
수렴한다면 그 값에 1을 더할 수 있어야 하는데 +∞ + 1 은 여느 수처럼 다룰 수 없습니다.→ 수렴이 아니라 「양의 무한대로 발산」입니다.
① 좌 −∞, 우 +∞ (극한 없음) ② 좌·우 모두 +∞ (양의 무한대로 발산 — 수렴은 아님)
도전 6연속이면 쓸 수 있는 무기 · 사잇값 정리
방정식 x3 − 3x + 1 = 0 이 0 과 1 사이에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라.
풀이 — 두 끝의 부호가 갈리면 그 사이를 반드시 지나간다
f(x) = x3 − 3x + 1 이라 하자. 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이다.
f(0) = 1 > 0, f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 < 0.
⭐ 여기가 고비 — 근을 「구하지 않고」 있음을 보이는 것x³ − 3x + 1 = 0은 인수분해가 되지 않아 근을 손으로 구할 수 없습니다.
그래서 「구할 수 없으니 못 푸는 문제」로 느껴집니다.
문제가 요구하는 것은 근을 구하는 것이 아니라 「있다」를 보이는 것입니다 — 그것은 구하지 않고도 됩니다.쓸 무기는 연속 하나입니다.
다항함수는 어디서도 끊기지 않으므로그래프가 붓을 떼지 않고 이어집니다.
그런데 f(0) = 1 > 0, f(1) = −1 < 0으로
한쪽 끝은 x축 위, 다른 쪽 끝은 아래에 있습니다.
끊긴 데 없이 위에서 아래로 내려오려면 x축을 뚫고 지날 수밖에 없습니다 —
뛰어넘을 틈이 없기 때문입니다. 그것이 사잇값 정리이고, 그 지나는 자리가 곧 근입니다.
⚠️ 연속이 아니면 이 논리는 무너집니다 — y = 1/(x − 0.5)는 부호가 갈려도 0을 지나지 않습니다.
(실제 근은 약 0.347로 과연 0과 1 사이에 있습니다.)
연속인 함수가 두 끝에서 부호가 다르면 그 사이에서 반드시 0 을 지난다(사잇값 정리).
따라서 0 < c < 1 인 c 가 있어 f(c) = 0 — 실근이 존재한다.
확인 : 실제 근은 약 0.347 로 과연 0 과 1 사이에 있다 ✔
⚠️ 연속이 아니면 이 논리는 무너진다. 예를 들어 y = 1/(x − 0.5) 는 x = 0.5 에서 끊겨 있어, 부호가 갈려도 0 을 지나지 않는다.
f(0) = 1 > 0, f(1) = −1 < 0 이고 연속이므로 0과 1 사이에 실근이 존재
더 넓혀 쓰는 비법
이 방법이 어디까지 가는가
"양쪽에서 따로 다가가 본다" — 이 한 줄이 고등수학 뒤쪽을 계속 떠받친다.
① 미분가능성 — 좌미분계수 = 우미분계수
고2 · 수학Ⅱ
미분계수도 결국 극한이다. 그러니 왼쪽에서 잰 기울기와 오른쪽에서 잰 기울기가 같아야 미분가능하다. y = |x| 가 x = 0 에서 연속인데 미분은 안 되는 까닭이 바로 이것 — 왼쪽 기울기 −1, 오른쪽 기울기 1 로 어긋난다. 오늘 배운 "부호로 가르기"가 그대로 쓰인다.
② 사잇값 정리와 최대·최소 정리
고2 · 수학Ⅱ
닫힌 구간에서 연속이기만 하면 두 가지가 공짜로 따라온다 — 두 끝 사이의 모든 값을 반드시 한 번은 지난다(사잇값), 그리고 최댓값과 최솟값을 반드시 가진다. 근이 있음을 보이는 문제, 방정식의 실근 개수 문제가 전부 여기서 나온다.
③ 무한대에서의 극한과 점근선
고2~고3
"한 점의 양쪽"을 보던 눈을 수직선의 양 끝으로 넓히면 x → +∞ 와 x → −∞ 가 된다. 이 둘이 서로 다른 값으로 가면 수평점근선이 두 개가 생긴다. 도전 5번에서 본 것처럼, 한 점에서 ±∞ 로 갈리면 그 자리가 수직점근선이다.
④ 엡실론-델타 — 대학에서 다시 만난다
대학 미적분학
"다가간다"를 그림 없이 부등식만으로 못 박은 것이 엡실론-델타 논법이다. 그때 좌극한과 우극한은 a − δ < x < a 냐 a < x < a + δ 냐 로 갈린다. 오늘 부호로 두 줄을 나눈 그 습관이 그대로 이어진다.
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 극한값·미정계수·정의역을 sympy와 손계산으로 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).