∫📐
정적분의 활용,
결국 넓이야
결국 넓이야
적분 계산은 이미 다 배웠지. 활용에서 새로 챙길 건 딱 둘.
어디부터 어디까지인지 범위를 찾고, 위에서 아래를 뺀다.
어디부터 어디까지인지 범위를 찾고, 위에서 아래를 뺀다.
🔑 핵심① · x축 위는 +, x축 아래는 −
넓이는 음수가 될 수 없다 ⇒ 부호가 바뀌는 자리에서 끊는다
아래쪽은 − 를 붙여 적분하고, 위쪽은 그대로 적분한 뒤 더한다
아래쪽은 − 를 붙여 적분하고, 위쪽은 그대로 적분한 뒤 더한다
✏️ 예제① · y = x² − 6x, x축, x = −1, x = 1
x² − 6x = x(x − 6) ⇒ 0 과 6 에서 x축을 만난다
∫0−1(x² − 6x)dx = 103 (x축 위)
− ∫10(x² − 6x)dx = 83 (x축 아래 — 뒤집는다)
⇒ 답 = 6
∫0−1(x² − 6x)dx = 103 (x축 위)
− ∫10(x² − 6x)dx = 83 (x축 아래 — 뒤집는다)
⇒ 답 = 6
✏️ 예제② · y = x² − 4x + 3 과 x축 (1 ≤ x ≤ 2)
x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) ⇒ 1 과 3 에서 만난다
1 < x < 2 는 x축 아래 ⇒ 부호를 뒤집는다
∫21(−x² + 4x − 3)dx = 23
1 < x < 2 는 x축 아래 ⇒ 부호를 뒤집는다
∫21(−x² + 4x − 3)dx = 23
🔑 핵심② · 두 그래프 사이는 「위 − 아래」
∫βα
{ 위의 그래프 − 아래의 그래프 } dx
그런데 그 전에 반드시 범위부터·
두 식을 같다고 놓고 풀면 교점이 나온다
그 교점이 곧 적분 구간 — 적분은 범위와 계산, 이 둘이 전부다
그 교점이 곧 적분 구간 — 적분은 범위와 계산, 이 둘이 전부다
✏️ 예제③ · y = −x² + 6x 와 y = 2x
① 교점 : −x² + 6x = 2x ⇒ x² − 4x = 0 ⇒ x = 0, 4
② 이 구간에서는 포물선이 위, 직선이 아래
③ ∫40(−x² + 4x)dx = 323
② 이 구간에서는 포물선이 위, 직선이 아래
③ ∫40(−x² + 4x)dx = 323
🔑 핵심③ · 아주 중요한 공식
S =
|a|6
(β − α)3
쓸 수 있는 때 · 위 − 아래 가 ax² + bx + c 꼴이고,
두 점 α, β 에서만 만날 때
아까 예제③ ⇒ a = 1, α = 0, β = 4 ⇒ 16 × 43 = 646 = 323
아까 예제③ ⇒ a = 1, α = 0, β = 4 ⇒ 16 × 43 = 646 = 323
적분하지 않고도 답이 바로 나온다. 다만 차가 이차식일 때만이야.
✏️ 예제④ · y = −x² + 3x 와 y = −x + 3
① −x² + 3x = −x + 3 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
② (x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ α = 1, β = 3
③ 공식 ⇒ 16(3 − 1)3 = 86 = 43
② (x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ α = 1, β = 3
③ 공식 ⇒ 16(3 − 1)3 = 86 = 43
✏️ 예제⑤ · y = x² − 4x + 5 와 y = −x² + 6x − 3
① 같다고 놓으면 2x² − 10x + 8 = 0
② 2(x − 1)(x − 4) = 0 ⇒ α = 1, β = 4, a = 2
③ 26(4 − 1)3 = 13 × 27 = 9
② 2(x − 1)(x − 4) = 0 ⇒ α = 1, β = 4, a = 2
③ 26(4 − 1)3 = 13 × 27 = 9
✏️ 예제⑥ · 삼차가 되면 공식은 못 쓴다
① 차 : (x³ − 4x) − 3x² = x(x + 1)(x − 4)
② 교점이 −1, 0, 4 세 개 ⇒ 두 덩어리로 나뉜다
③ −1 → 0 은 삼차가 위 : ∫0−1(x³ − 3x² − 4x)dx = 34
④ 0 → 4 는 이차가 위 : −∫40(x³ − 3x² − 4x)dx = 32
⑤ ⇒ 34 + 32 = 1314
② 교점이 −1, 0, 4 세 개 ⇒ 두 덩어리로 나뉜다
③ −1 → 0 은 삼차가 위 : ∫0−1(x³ − 3x² − 4x)dx = 34
④ 0 → 4 는 이차가 위 : −∫40(x³ − 3x² − 4x)dx = 32
⑤ ⇒ 34 + 32 = 1314
✏️ 예제⑦ · 곡선 y = x² + 2 위의 점 (1, 3) 에서의 접선과 y축
① 기울기는 미분 : y′ = 2x ⇒ x = 1 에서 2
② 접선 : y = 2x + b, (1, 3) 대입 ⇒ y = 2x + 1
③ 곡선 − 접선 = x² − 2x + 1 = (x − 1)²
④ ∫10(x − 1)²dx = 13
② 접선 : y = 2x + b, (1, 3) 대입 ⇒ y = 2x + 1
③ 곡선 − 접선 = x² − 2x + 1 = (x − 1)²
④ ∫10(x − 1)²dx = 13
🔑 핵심④ · "두 넓이가 서로 같다" — 게임은 끝났다
한쪽은 +, 다른 쪽은 − 로 나온다 ⇒
둘을 합친 정적분 = 0
그러니 (위 − 아래) 를 전체 구간에서 적분해 0 으로 놓으면 끝
그러니 (위 − 아래) 를 전체 구간에서 적분해 0 으로 놓으면 끝
✏️ 예제⑧ · y = x³ 와 y = a (0 ≤ x ≤ 1) 의 두 넓이가 같다
넓이가 같다 ⇒ 정적분 = 0
∫10(x³ − a)dx = 0
⇒ 14 − a = 0 ⇒ a = 14
∫10(x³ − a)dx = 0
⇒ 14 − a = 0 ⇒ a = 14
🔑 핵심⑤ · 속도를 적분하면 위치, 절댓값을 씌우면 거리
위치의 변화량
∫ba v(t) dt
부호를 그대로
움직인 거리
∫ba |v(t)| dt
뒤집어서 더한다
거리에는 마이너스가 없다 ⇒
속도가 음수인 구간은 부호를 뒤집어 더한다
그래서 "제자리로 돌아왔다" = 위치의 변화량 0 이지만, 움직인 거리는 0 이 아니다
그래서 "제자리로 돌아왔다" = 위치의 변화량 0 이지만, 움직인 거리는 0 이 아니다
✏️ 예제⑨ · 원점을 출발한 점의 속도가 v(t) = t² − 2t
① v(t) = t(t − 2) ⇒ 0 과 2 에서 방향이 바뀐다
② 원점 복귀 ⇒ ∫k0(t² − 2t)dt = 0 ⇒ k³3 − k² = 0 ⇒ k = 3
③ 거리 : ∫20(2t − t²)dt = 43, ∫32(t² − 2t)dt = 43
④ ⇒ 움직인 거리 = 83
② 원점 복귀 ⇒ ∫k0(t² − 2t)dt = 0 ⇒ k³3 − k² = 0 ⇒ k = 3
③ 거리 : ∫20(2t − t²)dt = 43, ∫32(t² − 2t)dt = 43
④ ⇒ 움직인 거리 = 83
🏁 한 걸음 더 · 그리고 오늘의 정리
속도 그래프가 직선이면 적분하지 말고
삼각형·사다리꼴의 넓이로 — 훨씬 빠르다
x축 위는 +, 아래는 − — 끊어서 더한다| 두 그래프 사이는 위 − 아래| 그 전에 교점부터
차가 이차이고 두 점에서 만나면 |a| ÷ 6 × (β − α)³| 삼차가 되면 구간을 나눈다
넓이가 같다 = 정적분 0| 속도를 적분하면 위치, 절댓값을 씌우면 움직인 거리
x축 위는 +, 아래는 − — 끊어서 더한다| 두 그래프 사이는 위 − 아래| 그 전에 교점부터
차가 이차이고 두 점에서 만나면 |a| ÷ 6 × (β − α)³| 삼차가 되면 구간을 나눈다
넓이가 같다 = 정적분 0| 속도를 적분하면 위치, 절댓값을 씌우면 움직인 거리
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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