YEON MATH · 행복수학

정적분의 활용 실전 완전정복
— "위에서 아래를 빼면 넓이" · 연습 10제

x축과의 넓이 · 두 곡선 사이의 넓이 · |a|/6 (β−α)³ 공식 · 삼차함수 · 접선 · 넓이가 같으면 정적분 0 · 속도와 움직인 거리 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 정적분의 활용을 푸는 규칙 일곱 가지

1
범위(교점)부터 찾는다 — 두 식을 같다고 놓고 풀면 나오는 교점이 곧 적분 구간이다. 적분은 범위와 계산, 이 둘이 전부다.
2
x축 위는 +, x축 아래는 − — 넓이는 음수가 될 수 없으므로 부호가 바뀌는 자리에서 끊고, 아래쪽은 마이너스를 붙여 적분한 뒤 더한다.
3
두 그래프 사이는 「위 − 아래」 — ∫βα {위 − 아래} dx. 위·아래가 바뀌면 그 자리에서 끊는다.
4
공식 — 위 − 아래가 ax² + bx + c 꼴이고 두 근이 α, β이면 S = |a|6(β − α)3. 차가 이차식이고 두 점에서만 만날 때만 쓴다.
5
삼차가 되면 공식은 못 쓴다 — 교점이 셋이면 넓이가 두 덩어리로 나뉜다. 구간마다 누가 위인지를 확인하고 따로 적분해 더한다.
6
"두 넓이가 같다" = 정적분이 0 — 한쪽은 +, 다른 쪽은 −로 나오므로 (위 − 아래)를 전체 구간에서 적분해 0으로 놓으면 미지수가 잡힌다.
7
속도를 적분하면 위치, 절댓값을 씌우면 거리 — 위치의 변화량 ∫ v dt, 움직인 거리 ∫ |v| dt. 속도 그래프가 직선이면 삼각형·사다리꼴 넓이로 풀어도 된다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
모눈종이 위에서 칸을 세어 넓이 구하기. 큰 도형에서 작은 도형을 빼면 남는 부분의 넓이가 나온다 — "위에서 아래를 뺀다"의 뿌리.
📐 고2 (핵심)
곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이, 접선이 만드는 넓이, 넓이가 같을 조건, 속도·위치·움직인 거리.
🎓 그 위 (확장)
회전체의 부피, 곡선의 길이, 구분구적법과 급수, 매개변수·극좌표에서의 넓이.

🐣 저학년 직관 — "큰 것에서 작은 것을 빼면 남는다"

가로 6칸, 세로 4칸인 직사각형 안에 밑변 6칸, 높이 4칸인 삼각형이 들어 있어요. 직사각형은 24칸, 삼각형은 6 × 4 ÷ 2 = 12칸. 그러면 삼각형 바깥에 남은 부분은 24 − 12 = 12칸이지요.

고등학교에서 배우는 "두 그래프 사이의 넓이"도 똑같아요. 위에 있는 것에서 아래에 있는 것을 빼면 사이에 낀 부분이 남습니다. 다른 점은 딱 하나 — 경계가 곧은 선이 아니라 구부러진 곡선이라서, 칸을 아주 잘게 쪼개 더하는 적분을 쓴다는 것뿐이에요.

직사각형 24칸 − 삼각형 12칸 = 남은 부분 12칸

연습 10제

문제 1x축과의 넓이 · 규칙 2
곡선 y = x2 − 4x + 3과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
1 3 O
그래프가 x축 아래에 있는 구간이 어디인지 먼저 확인하세요.

풀이 — x축 아래이므로 부호를 뒤집는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 적분 범위를 문제가 주지 않았다. 내가 찾아야 한다 앞 단원(정적분)에서는 위끝·아래끝이 문제에 적혀 있었습니다. 활용에서는 그것이 사라집니다. 「둘러싸인 부분」이라는 말 자체가 범위를 숨겨 놓은 것이고, 교점이 곧 범위입니다. 그러니 첫 손은 언제나 「어디서 어디까지인가」를 찾는 것입니다 — x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3) = 0 → x = 1부터 3까지.
    그리고 그 구간에서 그래프가 x축 위인지 아래인지를 봅니다. 두 근 사이는 아래로 볼록한 포물선의 골짜기라 x축 아래입니다 (한 점 넣어 보면 x=2 → 4−8+3 = −1 < 0 ✓).
    아래에 있으면 정적분이 음수로 나오므로 부호를 뒤집어야 넓이가 됩니다.
    「범위를 찾고, 위에서 아래를 뺀다」 — 활용에서 새로 챙길 것은 이 둘뿐입니다.
  2. x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) → x축과 만나는 점은 x = 1, 3.
  3. 1 < x < 3에서 그래프는 x축 아래이므로 넓이는 −∫31(x2 − 4x + 3)dx.
  4. F(x) = 13x3 − 2x2 + 3x, F(3) = 9 − 18 + 9 = 0, F(1) = 13 − 2 + 3 = 43.
  5. ∫31 = 0 − 43 = −43 → 넓이는 43.
"적분 계산은 이미 다 배웠지. 활용에서 새로 챙길 건 딱 둘. 어디부터 어디까지인지 범위를 찾고, 위에서 아래를 뺀다."— 장대경 선생님 특강 🏁 오늘의 정리
4/3
문제 2부호가 바뀌면 끊는다
곡선 y = x2 − 4x와 x축, 그리고 직선 x = 5로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. (단, x ≥ 0)

풀이 — x = 4 에서 부호가 바뀐다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 통째로 적분하면 서로 지워져 넓이가 줄어든다 ∫₀⁵(x²−4x)dx를 한 번에 계산하고 절댓값을 씌우면 틀립니다. 아래 부분의 음수와 위 부분의 양수가 서로 깎아 먹기 때문입니다. 실제로 통째로 하면 F(5) − F(0) = −25/3, 절댓값이 25/3 ≈ 8.3. 그런데 참 넓이는 13입니다 — 위쪽 7/3만큼이 아래쪽에서 깎여 나간 것이지요.
    넓이를 물으면 부호가 바뀌는 곳에서 반드시 끊습니다. 여기서는 x(x−4) = 0의 근 가운데 구간 안쪽인 x = 4가 그 자리입니다.
    · 0 ~ 4 : 아래 → 뒤집어서 (4x − x²)
    · 4 ~ 5 : 위 → 그대로 (x² − 4x)
    둘을 각각 구해 더합니다. 빼는 것이 아닙니다.
  2. x2 − 4x = x(x − 4) → 0 < x < 4는 x축 아래, 4 < x < 5는 x축 위. x = 4에서 끊는다.
  3. 아래 구간 : ∫40(4x − x2)dx = 32 − 643 = 323.
  4. 위 구간 : F(x) = 13x3 − 2x2, F(5) = 1253 − 50 = −253, F(4) = 643 − 32 = −323 → ∫54 = 73.
  5. 넓이 = 323 + 73 = 393 = 13.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 통째로 적분하고 절댓값을 씌우면 ∫₀⁵(x²−4x)dx = F(5) − F(0) = −25/3 → 절댓값 25/3 ≈ 8.33. 참값 13보다 작습니다. x축 위로 올라간 7/3이 아래쪽 음수에 깎여 없어졌기 때문입니다. → 넓이를 물으면 부호가 바뀌는 곳에서 끊고, 각각의 절댓값을 더합니다. 절댓값은 마지막에 한 번이 아니라 조각마다 씌웁니다.
13
문제 3두 그래프 사이 · 규칙 3·4
곡선 y = x2과 직선 y = x + 2로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. 공식으로도 확인하여라.
−1 2 O
이 구간에서는 직선이 위, 포물선이 아래입니다.

풀이 — 교점부터, 그다음 「위 − 아래」

  1. 교점 : x2 = x + 2 → x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) = 0 → x = −1, 2.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「위 − 아래」면 x축은 신경 쓰지 않아도 된다 문제 1·2에서는 x축 위인지 아래인지를 일일이 따졌습니다. 그런데 두 그래프 사이의 넓이에서는 그 걱정이 통째로 사라집니다. 까닭 : 「위 − 아래」는 그 자체로 이미 0 이상이기 때문입니다. 두 그래프가 함께 x축 아래에 있어도, 위엣것에서 아래엣것을 빼면 둘 사이의 세로 길이가 나옵니다 — 그 길이는 늘 양수입니다.
    그러니 볼 것은 「이 구간에서 누가 위인가」 하나뿐입니다. 여기서는 두 교점 사이에서 직선이 위이므로 (x+2) − x².
    누가 위인지 헷갈리면 가운데 점 하나를 넣어 보십시오 — x = 0이면 직선은 2, 포물선은 0 → 직선이 위 ✓
    순서를 거꾸로 쓰면 답의 부호가 뒤집혀 음수가 나옵니다 — 그것이 신호입니다.
  3. 이 구간에서는 직선이 위이므로 ∫2−1{(x + 2) − x2}dx.
  4. F(x) = 12x2 + 2x − 13x3, F(2) = 2 + 4 − 83 = 103, F(−1) = 12 − 2 + 13 = −76.
  5. 103 + 76 = 276 = 92.
  6. 공식 확인 : 아래 − 위를 정리하면 x2 − x − 2이므로 a = 1, β − α = 3 → 16 × 33 = 276 = 92 ✔
9/2
문제 4공식 연습 · 규칙 4
곡선 y = x2 − 2x와 직선 y = x로 둘러싸인 부분의 넓이를 공식으로 구하여라.

풀이 — 차를 만들고 두 근을 읽는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 공식에 넣는 a는 「차」의 이차항 계수다 |a|6(β−α)³ 공식에서 a를 어디서 가져오는지가 갈림길입니다. 원래 곡선의 계수가 아니라, 두 식을 뺀 뒤의 이차항 계수입니다. 그러니 순서가 못 박힙니다 — ① 두 식을 뺀다 ② 정리한다 ③ 거기서 a와 두 근을 읽는다.
    (x² − 2x) − x = x² − 3x = x(x−3) → a = 1, α = 0, β = 3.
    공식 : 16(3−0)³ = 27/6 = 9/2.
    공식을 쓸 수 있는 조건도 함께 붙잡아 두십시오 — 「차가 이차식」이고 「두 점에서만 만날 때」뿐입니다. 삼차가 섞이거나(문제 6) 접해서 한 점에서만 만나면(문제 7) 못 씁니다.
    공식이 미덥지 않으면 직접 적분해 견주십시오 — 여기서도 9/2로 같습니다 ✓
  2. 차 : (x2 − 2x) − x = x2 − 3x = x(x − 3) → α = 0, β = 3, a = 1.
  3. 공식 : |1|6(3 − 0)3 = 276 = 92.
  4. 검산(직접 적분) : ∫30(3x − x2)dx = 272 − 9 = 92 ✔
"적분하지 않고도 답이 바로 나온다. 다만 차가 이차식일 때만이야."— 장대경 선생님 특강 핵심③ (|a|/6 공식)
9/2
문제 5포물선 두 개 · a ≠ 1
두 곡선 y = x2과 y = −x2 + 4x로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

풀이 — 이때 a는 1이 아니다

  1. 교점 : x2 = −x2 + 4x → 2x2 − 4x = 2x(x − 2) = 0 → x = 0, 2.
  2. ⭐ 여기가 고비 — a를 습관적으로 1로 두면 답이 절반이 된다 앞 문제들에서 a가 줄곧 1이었기에 여기서도 1로 넘겨짚기 쉽습니다. 포물선이 둘이면 뺄 때 이차항이 겹쳐져 계수가 1이 아닙니다. 차를 실제로 만들어 보면 — x² − (−x² + 4x) = 2x² − 4x = 2x(x − 2) → a = 2입니다.
    두 곡선의 x² 계수가 1과 −1이라 빼는 순간 1 − (−1) = 2가 된 것이지요.
    공식 : 26(2−0)³ = 16/6 = 8/3. a=1로 잘못 두면 4/3 — 정확히 절반이 됩니다.
    그래서 공식을 쓸 때는 「차를 반드시 종이에 적어 놓고」 거기서 a를 읽습니다. 검산으로 직접 적분해도 8/3 ✓
  3. 차의 이차항 계수가 a = 2임에 주의. 공식 : 26(2 − 0)3 = 166 = 83.
  4. 검산 : ∫20(−2x2 + 4x)dx = −163 + 8 = 83 ✔
8/3
문제 6삼차 · 규칙 5
곡선 y = x3 − x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
−1 1 O
교점이 −1, 0, 1 세 개 → 넓이가 두 덩어리로 나뉩니다.

풀이 — 구간마다 누가 위인지 확인한다

  1. x3 − x = x(x + 1)(x − 1) → 교점 x = −1, 0, 1.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 교점이 셋이면 넓이는 두 덩어리다 삼차식이라 교점이 셋(−1, 0, 1)입니다. 그러면 「둘러싸인 부분」도 하나가 아니라 둘입니다. 여기서 한 덩어리만 구하고 끝내거나, 통째로 적분해 답을 잃습니다. 가운데 교점 x=0에서 곡선이 x축을 뚫고 지나가므로 부호가 바뀝니다.
    · −1 < x < 0 : x축 위 (넣어 보면 x=−0.5 → 0.375 > 0 ✓)
    · 0 < x < 1 : x축 아래 → 뒤집는다
    둘을 각각 구해 더하면 ¼ + ¼ = ½.
    통째로 ∫₋₁¹ 했다면 0이 나옵니다 — 기함수라 완전히 상쇄되니까요. 그 0이 「넓이가 없다」는 뜻이 아니라 「위아래가 같다」는 뜻임을 기억하십시오.
    대칭이므로 한쪽만 구해 2배 해도 됩니다 — 계산이 절반으로 줄어듭니다.
  3. −1 < x < 0에서는 곡선이 x축 위, 0 < x < 1에서는 x축 아래.
  4. F(x) = 14x4 − 12x2, F(0) = 0, F(−1) = F(1) = −14.
  5. 앞 구간 = 0 − (−14) = 14, 뒤 구간의 절댓값 = 14.
  6. 넓이 = 14 + 14 = 12. (원점에 대칭이므로 한쪽만 구해 2배 해도 된다.)
1/2
문제 7접선 · 미분과 함께
곡선 y = x2 위의 점 (2, 4)에서의 접선과 곡선, 그리고 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

풀이 — 접선의 기울기는 미분, 그다음 「곡선 − 접선」

  1. y′ = 2x → x = 2에서 기울기 4. 접선 : y − 4 = 4(x − 2) → y = 4x − 4.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 차가 완전제곱이라 |a|/6 공식을 쓸 수 없다 앞 문제들의 버릇대로 공식을 꺼내면 여기서 막힙니다 — 두 근 α, β가 없기 때문입니다. 차를 구해 보면 x² − (4x − 4) = x² − 4x + 4 = (x−2)² — 중근입니다. 곡선과 접선은 접점 한 곳에서만 만나므로 두 근이 아니라 겹친 한 근이지요. 공식은 「두 점에서 만날 때」만 도는 물건이라 여기서는 못 씁니다.
    대신 이 꼴은 오히려 적분이 쉽습니다 — (x−2)²은 (x−2)³/3으로 바로 적분됩니다.
    그리고 범위는 어디서 오나요? 한쪽 끝은 접점 x=2, 다른 쪽 끝은 문제가 준 y축, 곧 x=0입니다 — 「둘러싸는 셋째 선」이 범위를 정해 줍니다.
    (x−2)² ≥ 0이라 곡선이 늘 위이므로 부호를 뒤집을 일도 없습니다.
  3. 곡선 − 접선 = x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 ≥ 0 → 곡선이 늘 위(접점에서만 만난다).
  4. y축부터 접점까지이므로 ∫20(x − 2)2dx = [(x − 2)33]20 = 0 − (−83).
  5. 넓이 = 83.
  6. ⚠️ 이 문제는 공식을 쓸 수 없다 — 곡선과 접선은 한 점에서만 만나므로 두 근 α, β가 없다.
8/3
문제 8넓이가 같다 = 정적분 0 · 규칙 6
곡선 y = x2과 직선 y = a가 0 ≤ x ≤ 2에서 만드는 두 부분의 넓이가 서로 같을 때, 양수 a의 값을 구하여라.

풀이 — "같다"는 말을 정적분 0으로 바꾼다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「두 넓이가 같다」는 말이 나오면 게임은 끝난 것 두 넓이를 각각 구해서 같다고 놓으려 들면 교점이 무리수라 식이 험해집니다. 「같다」는 말은 「합치면 0」이라는 뜻이고, 그 순간 교점을 구할 필요가 아예 없어집니다. 까닭 : 정적분은 부호가 있는 넓이입니다. 직선 y=a보다 곡선이 아래인 쪽은 x² − a가 음수, 위인 쪽은 양수로 나옵니다.
    두 넓이가 같다면 크기가 같고 부호가 반대이니 더하면 정확히 0 → ∫₀²(x² − a)dx = 0. 한 줄로 방정식이 섭니다.
    8/3 − 2a = 0 → a = 4/3.
    다 풀고 나면 「교점이 정말 구간 안에 있나」만 확인합니다 — x = 2/√3 ≈ 1.155로 0~2 사이 ✓ (밖이었다면 두 부분이 생기지 않아 문제가 성립하지 않습니다.)
  2. 두 부분의 넓이가 같다 → 한쪽은 +, 다른 쪽은 −이므로 ∫20(x2 − a)dx = 0.
  3. [13x3 − ax]20 = 83 − 2a = 0.
  4. 2a = 83 → a = 43.
  5. 확인 : 교점은 x2 = 43 → x = 2√3 ≈ 1.155로 0과 2 사이에 있다 ✔
"넓이가 같다는 말은 정적분이 0이다 — 이 말이 나오면 게임은 끝난 거다."— 장대경 선생님 특강 핵심④
a = 4/3
문제 9속도와 거리 · 규칙 7
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t) = 3t2 − 6t이다. 0 ≤ t ≤ 3일 때 위치의 변화량과 움직인 거리를 각각 구하여라.

풀이 — 위치는 부호 그대로, 거리는 절댓값

  1. ⭐ 여기가 고비 — 위치와 거리는 다른 것을 묻는 두 물음이다 「위치의 변화량이 0인데 움직인 거리가 8」이라는 것이 처음에는 이상해 보입니다. 두 말은 서로 다른 것을 세고 있습니다. · 위치의 변화량 = 출발점에서 끝점까지 얼마나 옮겨 갔나 → 뒤로 간 것은 마이너스로 깎입니다 → ∫v(t)dt (부호 그대로)
    · 움직인 거리 = 실제로 발이 지나간 길이 → 뒤로 갔어도 움직인 것은 움직인 것 → ∫|v(t)|dt (절댓값)
    집에서 나가 100m 갔다가 그대로 돌아오면 — 위치 변화는 0, 걸은 거리는 200m. 똑같은 이야기입니다.
    그래서 거리를 물으면 속도의 부호가 바뀌는 자리에서 반드시 끊습니다 — v(t) = 3t(t−2)이므로 t = 2에서.
    「위치인가 거리인가」를 문제에서 먼저 읽는 것이 이 유형의 전부입니다.
  2. 위치의 변화량 = ∫30(3t2 − 6t)dt = [t3 − 3t2]30 = 27 − 27 = 0. 제자리로 돌아왔다.
  3. v(t) = 3t(t − 2) → 0 < t < 2는 음수, 2 < t < 3은 양수.
  4. ∫20(6t − 3t2)dt = 12 − 8 = 4.
  5. ∫32(3t2 − 6t)dt = (27 − 27) − (8 − 12) = 4.
  6. 움직인 거리 = 4 + 4 = 8. 위치는 0인데 거리는 8 — 이 둘은 다르다.
"속도를 적분하면 위치, 절댓값을 씌우면 거리."— 장대경 선생님 특강 핵심⑤
위치의 변화량 0, 움직인 거리 8
문제 10직선이면 삼각형 넓이로
직선 위를 움직이는 물체의 시각 t초에서의 속도가 v(t) = 10 − 2t(m/초)이다. 0 ≤ t ≤ 10일 때 위치의 변화량과 움직인 거리를 구하여라. (적분하지 말고 넓이로 구해 보아라.)
5 10 O 10 + −
삼각형 두 개가 보이면 적분할 필요가 없습니다.

풀이 — 밑변 × 높이 ÷ 2 로 끝난다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 속도가 직선이면 적분이 곧 삼각형 넓이다 문제가 「적분하지 말고 넓이로」라고 한 것은 장난이 아닙니다. 정적분은 원래 그래프 아래의 넓이이므로, 그 넓이가 삼각형이나 사다리꼴이면 공식으로 세면 끝입니다. v(t) = 10 − 2t는 기울기 −2인 직선이고, t=5에서 x축을 뚫습니다.
    · 0 ~ 5 : t축 위 삼각형 — 밑변 5, 높이 10 → 5×10÷2 = 25 (앞으로 25m)
    · 5 ~ 10 : t축 아래 삼각형 — 밑변 5, 높이 10 → 25 (뒤로 25m)
    그러니 위치 변화는 25 − 25 = 0, 움직인 거리는 25 + 25 = 50.
    더하느냐 빼느냐가 「거리냐 위치냐」를 가릅니다.
    적분으로 검산해도 위치 변화 0 ✓ — 두 길이 같은 답을 줍니다.
  2. v(t) = 0이 되는 때는 t = 5. 0 < t < 5는 양수(앞으로), 5 < t < 10은 음수(뒤로).
  3. 앞 삼각형 : 밑변 5, 높이 10 → 5 × 10 ÷ 2 = 25.
  4. 뒤 삼각형 : 밑변 5, 높이 10(v(10) = −10) → 25.
  5. 위치의 변화량 = 25 − 25 = 0(m) — 출발점으로 돌아왔다.
  6. 움직인 거리 = 25 + 25 = 50(m).
  7. 적분으로 검산 : ∫100(10 − 2t)dt = [10t − t2]100 = 100 − 100 = 0 ✔
위치의 변화량 0 m, 움직인 거리 50 m

도전 6제

도전 1근이 무리수여도 공식은 돈다
두 곡선 y = x2 − 2x + 3과 y = −x2 + 6x − 1로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

풀이 — 근을 다 구하지 말고 (β − α)만 구한다

  1. 차 : (x2 − 2x + 3) − (−x2 + 6x − 1) = 2x2 − 8x + 4 = 2(x2 − 4x + 2) → a = 2.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 근을 각각 구할 필요가 없다, 필요한 것은 β − α뿐 근이 2 ± √2라는 무리수라 겁이 납니다. 그런데 공식이 요구하는 것은 「두 근의 차」 하나입니다. 차는 근을 구하지 않고도 나옵니다. 근과 계수의 관계에서 (β − α)² = (α+β)² − 4αβ이므로, x² − 4x + 2 = 0에서 α+β = 4, αβ = 2 → (β−α)² = 16 − 8 = 8 → β − α = 2√2.
    (근의 공식으로 확인해도 (2+√2) − (2−√2) = 2√2 ✓)
    그리고 a는 「차」의 이차항 계수인 2임을 잊지 마십시오 (괄호로 묶어 낸 2(x²−4x+2)의 그 2입니다).
    26(2√2)³ = 13×16√2 = 16√2/3. 세제곱할 때 (2√2)³ = 8 × 2√2임을 조심하십시오.
  3. x2 − 4x + 2 = 0 → x = 2 ± √2. 따라서 β − α = 2√2.
  4. 공식 : 26(2√2)3 = 13 × 16√2 = 16√23.
  5. ※ (2√2)3 = 8 × 2√2 = 16√2. 근이 무리수여도 β − α는 근과 계수의 관계로 √(16 − 8) = 2√2로 바로 나온다.
16√2 / 3
도전 2삼차 × 직선 · 대칭 이용
곡선 y = x3 − 3x와 직선 y = x로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

풀이 — 교점이 셋이면 두 덩어리, 그리고 대칭

  1. 차 : (x3 − 3x) − x = x3 − 4x = x(x + 2)(x − 2) → 교점 x = −2, 0, 2.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 가운데 교점에서 위아래가 뒤바뀐다 두 그래프 사이 문제라고 ∫₋₂²를 한 번에 하면 0이 나옵니다. 교점이 셋이면 「누가 위인가」가 가운데에서 뒤집히기 때문입니다. 차 x³ − 4x = x(x+2)(x−2)의 부호를 한 점씩 넣어 봅니다 —
    · x = −1 → −1 + 4 = 3 > 0 → 곡선이 위
    · x = 1 → 1 − 4 = −3 < 0 → 직선이 위
    위아래가 바뀌었으니 각 구간에서 「위 − 아래」를 다시 써야 합니다. 그래서 두 덩어리를 각각 구해 더합니다 → 4 + 4 = 8.
    차가 기함수라 두 덩어리가 합동이므로 한쪽만 구해 2배 해도 됩니다 — 대칭을 알아보면 계산이 절반입니다.
  3. −2 < x < 0에서는 차가 양수(곡선이 위), 0 < x < 2에서는 음수(직선이 위).
  4. F(x) = 14x4 − 2x2, F(0) = 0, F(−2) = F(2) = 4 − 8 = −4.
  5. 앞 구간 = 0 − (−4) = 4, 뒤 구간의 절댓값 = |−4 − 0| = 4.
  6. 넓이 = 4 + 4 = 8. (차가 기함수라 두 덩어리가 합동이므로 한쪽만 구해 2배 해도 된다.)
8
도전 3거꾸로 · 넓이가 주어졌다
곡선 y = x2과 직선 y = mx로 둘러싸인 부분의 넓이가 92일 때, 양수 m의 값을 구하여라.

풀이 — 공식을 방정식으로 뒤집어 쓴다

  1. 교점 : x2 = mx → x(x − m) = 0 → α = 0, β = m (m > 0).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 공식을 미지수가 든 방정식으로 뒤집어 쓴다 지금까지는 공식에 숫자를 넣어 넓이를 구했습니다. 이 문제는 넓이를 주고 숫자를 묻습니다. 그런데 쓰는 식은 똑같습니다 — 넣는 자리에 m이 들어갈 뿐입니다. 교점이 α = 0, β = m이므로 β − α = m, 차 x² − mx의 이차항 계수는 a = 1.
    넓이 = 16m³ — 이것을 주어진 9/2와 같다고 놓으면 m³ = 27 → m = 3.
    직접 적분해서 m을 풀려 했다면 식이 훨씬 길어집니다 — 공식을 알면 삼차방정식 한 줄로 끝납니다.
    양수 조건이 왜 붙었나 : m이 음수면 교점이 원점 왼쪽이 되어 β−α = |m|로 부호를 다시 따져야 합니다. 조건이 그 수고를 덜어 준 것입니다.
  3. 차는 x2 − mx이므로 a = 1 → 넓이 = 16m3.
  4. m36 = 92 → m3 = 27 → m = 3.
  5. 검산 : ∫30(3x − x2)dx = 272 − 9 = 92 ✔
m = 3
도전 4넓이가 같다 · 위끝을 구한다
곡선 y = x2 − 4x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가, 이 곡선과 x축 및 직선 x = a(a > 4)로 둘러싸인 부분의 넓이와 서로 같을 때 a의 값을 구하여라.

풀이 — 아래쪽 넓이 = 위쪽 넓이 ⇒ 합치면 정적분 0

  1. x2 − 4x = x(x − 4) → 0 < x < 4는 x축 아래(음의 넓이), 4 < x < a는 위(양의 넓이).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 두 넓이를 각각 구하지 않고 「0으로 붙인다」 아래쪽 넓이와 위쪽 넓이를 따로 구해 같다고 놓아도 풀립니다. 하지만 계산이 두 배가 되고 실수도 두 배가 됩니다. 문제 8과 똑같이 「같다 = 합쳐서 0」으로 한 줄에 붙입니다. 아래쪽은 0~4에서 음의 넓이, 위쪽은 4~a에서 양의 넓이입니다. 크기가 같고 부호가 반대이므로 0부터 a까지 통째로 적분하면 0 → ∫₀ᵃ(x²−4x)dx = 0.
    가운데 끊는 점 4가 아예 나오지 않는 것이 이 수법의 힘입니다.
    a³/3 − 2a² = 0 → a²(a/3 − 2) = 0 → a = 0 또는 6. 조건 a > 4가 a=0을 걸러 줍니다.
    검산 : 아래 32/3, 위 32/3 — 정말 같습니다 ✓
  3. 두 넓이가 같으면 부호가 서로 지워지므로 ∫a0(x2 − 4x)dx = 0.
  4. a33 − 2a2 = 0 → a2(a3 − 2) = 0 → a = 0 또는 a = 6.
  5. a > 4이므로 a = 6.
  6. 검산 : 아래 ∫40(4x − x2)dx = 323, 위 ∫64(x2 − 4x)dx = 323 ✔
a = 6
도전 5속도의 부호가 두 번 갈린다
수직선 위를 움직이는 점 P의 속도가 v(t) = t2 − 4t + 3이다. 0 ≤ t ≤ 3에서 위치의 변화량과 움직인 거리를 구하여라.

풀이 — 부호가 바뀌는 t = 1 에서 끊는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 영점이 1과 3인데 끊는 곳은 1 하나다 v(t) = (t−1)(t−3)이라 영점이 둘입니다. 그런데 t = 3은 구간의 끝이라 거기서 끊을 것이 없습니다 — 뒤에 남는 구간이 없으니까요. 그러니 실제로 끊는 곳은 t = 1 하나이고, 구간은 둘로 갈립니다.
    · 0 ≤ t < 1 : 양수(앞으로) — 넣어 보면 v(0) = 3 > 0 ✓
    · 1 < t ≤ 3 : 음수(뒤로) — v(2) = −1 < 0 ✓
    움직인 거리는 두 조각의 절댓값을 더합니다 → 4/3 + 4/3 = 8/3.
    위치의 변화량은 F(3) − F(0) = 0 — 앞으로 4/3 갔다가 그만큼 되돌아와 제자리입니다. 「끊는 곳은 구간 안쪽의 영점뿐」이라는 잣대는 절댓값 적분과 똑같습니다.
  2. v(t) = (t − 1)(t − 3) → 0 ≤ t < 1은 양수, 1 < t ≤ 3은 음수.
  3. F(t) = 13t3 − 2t2 + 3t, F(0) = 0, F(1) = 43, F(3) = 9 − 18 + 9 = 0.
  4. 위치의 변화량 = F(3) − F(0) = 0.
  5. 움직인 거리 = |F(1) − F(0)| + |F(3) − F(1)| = 43 + 43 = 83.
  6. 뜻 : 앞으로 43만큼 갔다가 그만큼 되돌아와 제자리가 되었다.
위치의 변화량 0, 움직인 거리 8/3
도전 6실생활 · 쏘아 올린 물체
지면에서 초속 40 m로 똑바로 위로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 속도가 v(t) = 40 − 10t(m/초)이다. ① 최고 높이와 ② 다시 지면에 떨어질 때까지 움직인 거리를 구하여라.

풀이 — 꼭대기는 속도가 0, 지면은 위치가 0

  1. ⭐ 여기가 고비 — 꼭대기는 「속도 0」, 지면은 「위치 0」 — 0의 뜻이 다르다 두 물음이 모두 「0이 되는 때」를 묻는데, 0이 되는 대상이 서로 다릅니다. 여기서 뒤섞이면 답이 어긋납니다. · ① 최고 높이 — 물체가 더 올라가지 못하고 멈추는 순간이므로 v(t) = 0 → 40 − 10t = 0 → t = 4. 그때까지의 위치가 최고 높이 → ∫₀⁴(40−10t)dt = 80 m (삼각형으로도 4 × 40 ÷ 2 = 80 ✓)
    · ② 지면 복귀 — 제자리로 돌아온 것이므로 위치의 변화량이 0 → 40T − 5T² = 0 → 5T(8−T) = 0 → T = 8초.
    올라가는 데 4초, 내려오는 데 4초 — 딱 절반씩입니다.
    그리고 움직인 거리는 80 + 80 = 160 m이지만 위치의 변화량은 0입니다. 이 둘을 절대로 섞지 마십시오.
  2. 꼭대기 : v(t) = 0 → 40 − 10t = 0 → t = 4(초).
  3. 최고 높이 = ∫40(40 − 10t)dt = [40t − 5t2]40 = 160 − 80 = 80(m).
    (삼각형으로 : 밑변 4 × 높이 40 ÷ 2 = 80)
  4. 지면 복귀 : 위치가 다시 0 → ∫T0(40 − 10t)dt = 40T − 5T2 = 0 → 5T(8 − T) = 0 → T = 8(초).
  5. 움직인 거리 = ∫80|40 − 10t|dt = 80 + 80 = 160(m). 올라간 80 m, 내려온 80 m.
  6. ⚠️ 위치의 변화량은 0(제자리)이지만 움직인 거리는 160 m다. 이 둘을 절대로 섞지 말 것.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 8초까지 통째로 적분하면 "떨어질 때까지가 8초니까" 하고 ∫₀⁸(40−10t)dt = 320 − 320 = 0. 0 m? 물체는 분명히 80 m까지 올라갔다 왔는데 말이 되지 않습니다. 그 0은 「움직인 거리」가 아니라 「위치의 변화량」입니다 — 출발한 자리로 돌아왔다는 뜻이지요. → 거리를 물으면 t=4에서 끊어 절댓값으로 : 80 + 80 = 160 m.
최고 높이 80 m, 움직인 거리 160 m

더 넓혀 쓰는 비법

이 방법이 어디까지 가는가

"위에서 아래를 빼고, 범위 안에서 더한다" — 이 한 줄이 계속 자란다.

① 회전체의 부피
고3 · 미적분
넓이가 {위 − 아래}를 더한 것이었듯, 부피는 단면의 넓이를 더한 것이다. x축 둘레로 돌리면 단면이 원이 되어 π{f(x)}²을 적분한다. 두 곡선 사이를 돌리면 큰 원 − 작은 원, 곧 여기서 배운 "위 − 아래"가 그대로 쓰인다.
② 구분구적법 — 왜 적분이 넓이인가
고2~고3
구간을 n등분해 직사각형으로 덮고 n을 무한히 크게 하면 그 합의 극한이 정적분이 된다. 초등학교에서 모눈 칸을 세던 것과 뿌리가 같다 — 칸을 무한히 잘게 쪼갠 것뿐이다.
③ 가속도 → 속도 → 위치
물리와 이어짐
미분하면 위치 → 속도 → 가속도로 내려가고, 적분하면 거꾸로 올라간다. 등가속도 운동에서 v = v₀ + at를 적분하면 s = v₀t + ½at²이 그대로 나온다 — 물리 공식을 외울 필요가 없어진다.
④ 넓이의 최댓값·최솟값
경시·심화
넓이를 미지수 a로 나타내면 a에 대한 함수가 된다. 그것을 미분해서 0이 되는 곳을 찾으면 넓이가 최소가 되는 자리를 잡을 수 있다. "적분해서 함수를 만들고, 다시 미분한다" — 미적분이 한 바퀴 도는 자리다.
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 적분값·교점·넓이를 sympy와 손계산으로 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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