YEON MATH · 행복수학

접선의 방정식 실전 완전정복
— "기울기가 바로 미분이다" · 연습 10제

곡선 위의 점에서의 접선 · 다시 만나는 점과 중근 · 평행·수직으로 기울기가 먼저 · 곡선 밖의 점은 접점을 t로 · 두 곡선이 접할 조건 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 접선을 구하는 규칙 여섯 가지

1
직선을 정하는 건 기울기와 점, 딱 둘 — y − f(a) = f′(a)(x − a). 접선 문제는 결국 이 둘 중 무엇이 빠졌는지를 찾는 일이다.
2
기울기는 언제나 미분 — 곡선 위의 점 (a, f(a)) 에서라면 기울기는 그냥 f′(a). 여기서 더 생각할 것이 없다.
3
다시 만나는 점은 중근으로 찾는다 — 곡선과 접선을 같다고 놓고 풀면 접점이 반드시 중근으로 나온다. 남는 근이 다시 만나는 점이다.
4
기울기를 먼저 주면 순서가 거꾸로 — "평행" 은 기울기가 같다는 뜻, "수직" 은 곱해서 −1. f′(x) = (그 기울기) 로 놓아 접점부터 찾는다.
5
"접한다" 는 "만난다" 와 다르다 — 만난다는 점 하나를 같이 쓴다는 뜻이고, 접한다는 그 점에서 기울기까지 같다는 뜻이다. 식으로 옮기면 중근이 나온다.
6
곡선 밖의 점이면 접점을 t 로 놓는다 — 접점 (t, f(t)), 기울기 f′(t) 로 접선을 세워 놓고, 그 접선이 주어진 점을 지난다고 놓으면 t 에 대한 방정식이 된다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
공을 실에 매달아 돌리다 놓으면 원을 따라가지 않고 그 순간 향하던 방향으로 곧게 날아간다. 그 방향이 곧 접선이다.
📐 고2 (핵심)
곡선 위의 점에서의 접선, 다시 만나는 점, 평행·수직 조건, 곡선 밖의 점에서 그은 접선, 두 곡선이 접할 조건.
🎓 그 위 (확장)
법선과 곡률, 뉴턴의 근사법, 음함수·매개변수 미분에서의 접선, 이계도함수와 변곡점에서의 접선.

🐣 저학년도 알 수 있는 직관 — 접선은 "그 순간의 방향"

운동장에서 원을 그리며 달리다가, 어느 순간 딱 멈추지 않고 그대로 몸이 나가면 어디로 갈까요? 원을 따라 휘어지지 않고, 그 순간 향하고 있던 방향으로 곧게 나갑니다. 그 곧은 선이 바로 접선입니다.

그러니까 접선을 안다는 건 "지금 어느 쪽으로 얼마나 가파르게 가고 있나"를 안다는 뜻이고, 그 "얼마나 가파른가" 를 재는 도구가 바로 미분입니다.

접선 = 그 순간의 방향 · 미분 = 그 순간의 가파름

연습 10제

문제 1곡선 위의 점 · 규칙 2
곡선 y = x3 − 2x 위의 점 (1, −1) 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

풀이 — 곡선 위의 점이니 기울기는 곧 f′(1)

  1. ⭐ 여기가 고비 — 직선을 정하려면 기울기와 점, 딱 둘 접선 문제가 어려워 보이는 까닭은 무엇을 구해야 하는지가 흐려서입니다. 구할 것은 늘 둘뿐입니다. 점은 문제가 이미 주었고, 남은 것은 기울기 하나 — 그리고 그 기울기가 미분입니다. y′는 「그 자리에서 곡선이 기울어진 정도」를 돌려줍니다. 그러니 x=1에서의 기울기 = f′(1)이고, 그것으로 끝입니다.
    y′ = 3x² − 2, y′(1) = 1.
    점 (1,−1)과 기울기 1이 손에 들어왔으니 직선의 식은 자동입니다 — y − (−1) = 1·(x − 1) → y = x − 2.
    맨 처음 「점이 정말 곡선 위에 있나」를 대 보는 것도 빼먹지 마십시오. 위에 없으면 이 방법을 아예 못 씁니다.
  2. 점이 곡선 위에 있는지 확인 : 1 − 2 = −1 ✓
  3. 미분 : y′ = 3x2 − 2, x = 1 을 넣으면 기울기 3 − 2 = 1.
  4. y − (−1) = 1 · (x − 1) → y = x − 2.
"기울기가 바로 뭐냐면 미분이다."— 장대경 선생님 원말 (특강 핵심① · 원본 1:20)
y = x − 2
문제 2곡선 위의 점 · 규칙 2
곡선 y = x2 − 3x + 4 위의 점 (2, 2) 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

풀이 — 순서는 늘 같다 : 확인 → 미분 → 대입

  1. ⭐ 여기가 고비 — 곡선이 바뀌어도 순서 세 걸음은 한 글자도 안 바뀐다 앞 문제는 삼차, 이번은 이차입니다. 그런데 하는 일이 완전히 같습니다 — ① 점이 곡선 위인지 확인 → ② 미분해서 기울기 → ③ 점과 기울기로 직선. 문제마다 새 방법을 찾으려 들면 시험장에서 시간이 사라집니다. 「곡선 위의 점에서의 접선」은 이 세 걸음 말고 다른 길이 없습니다.
    ① 4 − 6 + 4 = 2 ✓   ② y′ = 2x−3, y′(2)=1   ③ y − 2 = 1·(x−2) → y = x.
    정리하면 상수항이 사라져 접선이 원점을 지납니다 — 계산이 예쁘게 떨어지면 대개 맞게 푼 것입니다.
  2. 확인 : 4 − 6 + 4 = 2 ✓
  3. y′ = 2x − 3, x = 2 → 기울기 1.
  4. y − 2 = 1 · (x − 2) → y = x. 접선이 원점을 지나는 셈이다.
y = x
문제 3미정계수 · 규칙 1·2
곡선 y = x3 + ax + b 위의 점 (1, 3) 에서 접선의 기울기가 5 일 때, 상수 a, b 의 값을 구하여라.

풀이 — 기울기가 주어졌으니 미분부터, 그 다음이 "지난다"

  1. ⭐ 여기가 고비 — 조건이 둘이면 「기울기」 쪽을 먼저 쓴다 미지수가 a, b 둘이니 식도 둘이 필요합니다. 문제가 준 조건도 정확히 둘 — 「기울기가 5」와 「점 (1,3)을 지난다」입니다. 어느 것부터 쓰느냐로 계산량이 갈립니다. 기울기 조건에는 b가 아예 등장하지 않습니다. 미분하면 y′ = 3x² + a로 상수항 b가 사라지기 때문입니다. 그래서 이 식은 a 하나만 담긴 식이 되어 곧바로 3 + a = 5 → a = 2로 풀립니다.
    a가 손에 들어온 뒤에 「지난다」 조건을 쓰면 남은 미지수가 b 하나뿐이라 또 그냥 풀립니다.
    「미분하면 상수항이 죽는다」 — 이 성질 때문에 기울기 조건이 언제나 더 간단합니다. 거꾸로 하면 두 미지수가 엉킨 연립을 풀어야 합니다.
  2. 미분 : y′ = 3x2 + a. x = 1 에서 3 + a = 5 → a = 2.
  3. 곡선이 (1, 3) 을 지난다 : 1 + a + b = 3.
  4. a = 2 를 넣으면 3 + b = 3 → b = 0.
  5. 확인 : y = x3 + 2x 에서 y(1) = 3 ✓, y′(1) = 5 ✓
a = 2, b = 0
문제 4다시 만나는 점 · 규칙 3
곡선 y = x3 − 3x + 1 위의 점 (1, −1) 에서의 접선을 구하고, 그 접선이 곡선과 다시 만나는 점을 구하여라.
(1, −1) (−2, −1) O
접선이 가로선이 되는 것부터 알아채면 계산이 훨씬 짧아집니다.

풀이 — 접점은 반드시 중근으로 나온다

  1. y′ = 3x2 − 3, x = 1 → 기울기 0. 접선은 y = −1 (가로선).
  2. 두 식을 같다고 놓으면 x3 − 3x + 1 = −1 → x3 − 3x + 2 = 0.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 인수분해할 삼차식이 저절로 풀린다, 답을 이미 알기 때문에 삼차방정식 x³ − 3x + 2 = 0을 보면 막막해 보입니다. 그런데 우리는 근 하나를 이미 알고 있습니다 — 접점 x=1이 반드시 근입니다. 게다가 그냥 근이 아니라 「중근」입니다. 까닭 : 접한다는 것은 두 만남점이 하나로 포개진 것이므로 접점은 두 번 세어지는 근입니다. 그러니 (x−1)²이 반드시 인수로 들어 있습니다.
    삼차식이 (x−1)²(x − k) 꼴이니 남은 k는 상수항만 맞춰 보면 바로 나옵니다 — (−1)²·(−k) = 2 → k = −2.
    「접점이 중근으로 나온다」를 알면, 삼차·사차식을 무턱대고 나눠 볼 일이 없어집니다. 거꾸로 인수분해했는데 (x−접점)²이 안 보이면, 앞에서 틀린 것입니다.
  4. 인수분해 : (x − 1)2(x + 2) = 0. 1 이 중근 — 그래서 그 자리가 접점이다.
  5. 남는 근 x = −2, 이때 y = −8 + 6 + 1 = −1.
"인수분해했을 때 (x − 접점)² 이 보이면 — 제대로 푼 것이다."— 장대경 선생님 특강 핵심② (만난다 ≠ 접한다)
접선 y = −1, 다시 만나는 점 (−2, −1)
문제 5평행 · 규칙 4
곡선 y = x3 − 4x 의 접선 중에서 직선 y = 8x + 1 과 평행한 것을 모두 구하여라.

풀이 — 기울기가 먼저, 접점은 그 다음

  1. 평행 → 기울기는 8. y′ = 3x2 − 4 = 8 → x2 = 4.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 순서가 거꾸로다 : 기울기가 먼저, 접점이 나중 앞 문제들은 점 → 기울기 차례였습니다. 이 문제는 기울기부터 주어지고 접점을 찾아야 합니다. 그리고 그 뒤집힘 때문에 접점이 하나가 아닐 수 있습니다. y′ = 8이라는 방정식을 푸는 것이 접점 찾기입니다 → 3x² − 4 = 8 → x² = 4 → x = ±2.
    이차방정식이라 근이 둘입니다 — 곧 기울기 8인 접선이 두 개입니다. 삼차곡선은 올라갔다 내려왔다 다시 올라가므로 같은 기울기를 두 자리에서 가질 수 있습니다.
    문제가 굳이 「모두」라고 못 박은 것이 신호입니다. 「기울기를 먼저 주는 문제」에서는 근의 개수부터 세십시오.
  3. x = 2 : y = 8 − 8 = 0 → y = 8(x − 2) → y = 8x − 16.
  4. x = −2 : y = −8 + 8 = 0 → y = 8(x + 2) → y = 8x + 16.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — x=2만 쓰고 끝내면 x² = 4에서 x = 2만 챙겨 답을 y = 8x − 16 하나로 쓰면? x = −2도 y′ = 3·4 − 4 = 8로 똑같이 기울기 8입니다. 접선이 하나 통째로 빠졌습니다. → 「모두」라는 두 글자와 「제곱이 나왔다」는 신호를 함께 보십시오. x²=4 → x=±2.
y = 8x − 16, y = 8x + 16
문제 6수직 · 규칙 4
곡선 y = x2 + 1 의 접선 중에서 직선 x + 2y − 3 = 0 과 수직인 것을 구하여라.

풀이 — 주어진 직선의 기울기부터 꺼낸다

  1. x + 2y − 3 = 0 → y = −12x + 32, 기울기 −12.
  2. ⭐ 여기가 고비 — x + 2y − 3 = 0인 채로는 기울기가 안 보인다 이 문제에서 막히는 자리는 미분이 아니라 맨 처음입니다. x + 2y − 3 = 0을 보고 기울기를 1이나 −1/2 중 무엇으로 읽을지 헷갈립니다. 답은 하나 — y = (기울기)x + (절편) 꼴로 고쳐 쓰기 전에는 읽지 않는 것입니다. 2y = −x + 3 → y = −½x + ³⁄₂ → 비로소 기울기가 −½임이 보입니다.
    그다음 수직 조건은 「기울기의 곱이 −1」이므로 (−½) × m = −1 → m = 2. 「뒤집고 부호 바꾸기」로 외워도 같습니다.
    여기까지가 이 문제의 팔 할이고, 남은 것은 y′ = 2x = 2로 접점을 찾는 익숙한 일뿐입니다.
  3. y′ = 2x = 2 → x = 1, 접점은 (1, 2).
  4. y − 2 = 2(x − 1) → y = 2x.
y = 2x
문제 7곡선 밖의 점 · 규칙 6
점 (0, −4) 에서 곡선 y = x2 에 그은 접선의 방정식을 모두 구하여라.
(2, 4) (−2, 4) (0, −4)
점이 곡선 밖에 있으므로 접점을 모릅니다. 모르면 t 로 놓습니다.

풀이 — 접점을 t 로 놓고, "그 점을 지난다" 로 t 를 구한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — (0, −4)는 접점이 아니다 이 단원에서 가장 많이 무너지는 자리입니다. (0,−4)를 곡선에 넣어 보면 0² = 0 ≠ −4 — 이 점은 곡선 위에 없습니다. 그러니 f′(0)을 계산해서는 안 됩니다. 그 자리에는 곡선이 없으니까요. 주어진 점은 「접선이 지나가는 점」일 뿐, 「접하는 점」이 아닙니다. 둘을 갈라 보는 것이 전부입니다.
    접점을 모르니 이름을 붙입니다 → (t, t²). 기울기는 2t.
    접선을 t로 써 놓고 → y = 2tx − t² → 「그 접선이 (0,−4)를 지난다」는 조건으로 t를 잡습니다 → −4 = −t² → t = ±2.
    모르면 t로 놓는다 — 곡선 밖의 점 문제는 예외 없이 이 한 수입니다.
  2. 접점을 (t, t2) 라 놓자. y′ = 2x 이므로 기울기는 2t.
  3. 접선 : y = 2t(x − t) + t2 = 2tx − t2.
  4. (0, −4) 를 넣으면 −4 = −t2 → t2 = 4 → t = 2 또는 t = −2.
  5. t = 2 : y = 4x − 4  /  t = −2 : y = −4x − 4.
  6. 둘 다 (0, −4) 를 지난다 ✓ — 곡선 밖의 점에서는 접선이 둘 이상 나오는 것이 보통이다.
"곡선 밖에 있는 점은 새로운 식을 세워서 … 요기 자 중요하다."— 장대경 선생님 원말 (특강 유형③ · 원본 22:20)
y = 4x − 4, y = −4x − 4
문제 8곡선 밖의 점 · 규칙 6
점 (2, 0) 에서 곡선 y = x3 에 그은 접선의 방정식을 모두 구하여라.

풀이 — t 의 방정식이 인수분해되는 꼴을 놓치지 말 것

  1. 접점 (t, t3), 기울기 3t2.
  2. 접선 : y = 3t2(x − t) + t3 = 3t2x − 2t3.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 2t²을 나눠 버리면 답 하나가 사라진다 2t²(3 − t) = 0까지 왔을 때, 양변을 2t²으로 나누고 싶어집니다. 그 순간 t = 0이라는 답이 조용히 없어집니다. 나눗셈은 「나누는 것이 0이 아닐 때만」 허락된 연산입니다. 그런데 t=0은 바로 그 0인 경우라, 나누는 순간 검토 대상에서 빠져 버립니다.
    곱이 0이면 「인수 중 하나가 0」으로 갈라야 합니다 → 2t² = 0 또는 3 − t = 0 → t = 0 또는 t = 3.
    t=0도 진짜 접선을 줍니다 — 접점 (0,0), 기울기 0, 접선 y = 0. 그리고 이 x축은 실제로 (2,0)을 지납니다 ✓
    「= 0」인 식에서는 절대 나누지 말고 인수분해로 갈라 세십시오.
  4. (2, 0) 대입 : 0 = 6t2 − 2t3 = 2t2(3 − t) → t = 0 또는 t = 3.
  5. t = 0 : 기울기 0, 접점 (0, 0) → 접선은 y = 0 (x축).
  6. t = 3 : 기울기 27, 접점 (3, 27) → y = 27(x − 3) + 27 = 27x − 54. x = 2 를 넣으면 0 ✓
  7. ⚠️ t = 0 은 중근이라 눈에 잘 안 띈다. 2t2 를 그냥 나눠 버리면 답 하나를 잃는다.
y = 0, y = 27x − 54
문제 9접할 조건 · 규칙 5
곡선 y = x3 + ax + 1 이 직선 y = 2x + b 와 x = 1 에서 접할 때, 상수 a, b 의 값을 구하여라.

풀이 — "접한다" = ① 점이 같다 ② 기울기가 같다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「접한다」는 조건이 하나가 아니라 둘이다 미지수가 a, b 둘인데 조건은 「접한다」 하나뿐인 것 같아 막힙니다. 「접한다」가 실은 두 마디를 한꺼번에 말한 것입니다 — ① 그 자리에서 만난다(점이 같다) ② 그 자리에서 기울기까지 같다. 「만난다」만이면 조건이 하나라 못 풉니다. 접선은 스치듯 붙어 가므로 기울기까지 같아야 합니다.
    · 기울기 : 3·1² + a = 2 → a = −1 (여기도 b가 안 나옵니다 — 미분이 상수를 죽이니까)
    · 점 : 곡선의 값 1 + a + 1 = 1, 직선의 값 2 + b → b = −1
    다 풀고 두 식을 빼 보면 (x−1)²(x+2) — 중근이 나와야 진짜 접한 것입니다 ✓ 이 검산 한 줄이 「만난다」로 잘못 읽었는지를 잡아 줍니다.
  2. 기울기가 같다 : y′ = 3x2 + a, x = 1 에서 3 + a = 2 → a = −1.
  3. 점이 같다 : 곡선의 x = 1 에서의 값은 1 + a + 1 = 1 − 1 + 1 = 1.
  4. 직선도 그 점을 지나야 하므로 2 · 1 + b = 1 → b = −1.
  5. 확인 : x3 − x + 1 − (2x − 1) = x3 − 3x + 2 = (x − 1)2(x + 2) — 중근이 나온다 ✓
"만난다는 점을 같이 쓰는 것, 접한다는 기울기까지 같은 것. 식으로는 중근이다."— 장대경 선생님 비법 카드 제56강
a = −1, b = −1
문제 10다시 만나는 점 · 규칙 3
곡선 y = x3 − 3x2 + 2x 위의 원점에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점을 구하여라.

풀이 — 원점도 그냥 "곡선 위의 점" 하나일 뿐이다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「원점」이라는 말에 특별한 공식은 없다 원점이라 하면 무언가 다른 방법이 있을 것 같지만, 그냥 (0, 0)이라는 점 하나입니다. x=0을 넣으면 y=0이니 곡선 위의 점이고, 그러면 문제 1과 같은 세 걸음입니다. ① 곡선 위 확인 ✓   ② y′ = 3x² − 6x + 2, y′(0) = 2   ③ y − 0 = 2(x − 0) → y = 2x.
    원점이라 오히려 편합니다 — 대입하면 대부분의 항이 0으로 죽어 계산이 짧아지니까요.
    그다음은 문제 4와 똑같습니다 : 두 식을 같다고 놓아 x³ − 3x² = 0, 접점 0이 중근이므로 x²(x−3) = 0 → 남는 근 x=3. 중근이 정말 나왔는지가 검산입니다 ✓
  2. y′ = 3x2 − 6x + 2, x = 0 → 기울기 2. 접선은 y = 2x.
  3. 같다고 놓으면 x3 − 3x2 + 2x = 2x → x3 − 3x2 = 0.
  4. 인수분해 : x2(x − 3) = 0. 0 이 중근(= 원점이 접점) ✓
  5. 남는 근 x = 3, 이때 y = 2 · 3 = 6.
(3, 6)

도전 6제

도전 1두 곳에서 접하는 접선
곡선 y = x4 − 2x2 위의 점 (1, −1) 에서의 접선을 구하고, 이 접선과 곡선이 만나는 점을 모두 구하여라. 무엇이 특별한가?
(1, −1) (−1, −1) O
사차함수는 골짜기가 둘입니다. 한 직선이 두 곳에서 동시에 접할 수 있습니다.

풀이 — 중근이 두 번 나온다 (이중접선)

  1. y′ = 4x3 − 4x, x = 1 → 4 − 4 = 0. 접선은 y = −1.
  2. 같다고 놓으면 x4 − 2x2 + 1 = 0.
  3. 인수분해 : (x2 − 1)2 = (x − 1)2(x + 1)2 = 0.
  4. ⭐ 여기가 고비 — 나온 근이 「다시 만나는 점」이 아니라 또 하나의 접점이다 앞 문제들에서는 중근 하나 + 보통 근 하나가 나왔습니다. 그래서 남은 근을 습관적으로 「다시 만나는 점」이라 부르게 됩니다. 여기서는 그 습관이 함정입니다. (x−1)²(x+1)² = 0 — 1도 두 번, −1도 두 번입니다. 중근이 둘이라는 것은 접점이 둘이라는 뜻입니다.
    기울기로 확인하면 확실합니다 — y′(−1) = −4 + 4 = 0. y = −1의 기울기 0과 같으므로 진짜로 접합니다 ✓
    사차함수는 골짜기가 둘이라 한 가로선이 두 바닥을 동시에 받칠 수 있습니다 — 이중접선.
    지수가 1이면 뚫고 지나가고, 2면 접한다 — 인수의 지수를 읽는 것이 답을 가릅니다.
  5. 1 도 중근, −1 도 중근이다. 곧 이 직선은 (1, −1) 뿐 아니라 (−1, −1) 에서도 접한다.
  6. 확인 : y′(−1) = −4 + 4 = 0 ✓ — 기울기까지 같으니 진짜 접선이다.
  7. 이런 직선을 이중접선이라 한다. "다시 만나는 점" 이 아니라 "또 하나의 접점" 이라는 것이 이 문제의 함정이다.
접선 y = −1, 접점 (1, −1) 과 (−1, −1) — 이중접선
도전 2두 곡선이 접할 조건
두 곡선 y = x3 + ax + b 와 y = x2 이 점 (1, 1) 에서 접할 때, 상수 a, b 의 값을 구하여라.

풀이 — 곡선끼리 접해도 조건은 똑같이 둘이다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 곡선과 곡선이 접해도 조건은 똑같이 둘 지금까지는 곡선과 직선이 접했습니다. 이번에는 곡선끼리 접해서 새 유형처럼 보입니다. 그런데 「접한다」의 뜻이 바뀌지 않았으므로 조건도 그대로 둘입니다. 두 곡선이 (1,1)에서 접한다는 것은 —
    ① 그 자리에서 두 곡선의 값이 같고, ② 그 자리에서 두 곡선의 기울기도 같다는 말입니다. (뜻을 살려 말하면 「두 곡선이 그 점에서 같은 접선을 나눠 가진다」는 것입니다.)
    · 기울기 : 3x² + a와 2x를 x=1에서 맞춘다 → 3 + a = 2 → a = −1
    · 값 : 삼차곡선이 (1,1)을 지난다 → 1 + a + b = 1 → b = 1
    다 풀고 두 식을 빼 보면 (x−1)²(x+1) — 중근이 나옵니다 ✓ 이것이 검산입니다.
  2. 기울기가 같다 : 3x2 + a 와 2x 가 x = 1 에서 같다 → 3 + a = 2 → a = −1.
  3. 점이 같다 : 삼차곡선이 (1, 1) 을 지난다 → 1 + a + b = 1.
  4. a = −1 을 넣으면 b = 1 → b = 1.
  5. 확인 : (x3 − x + 1) − x2 = x3 − x2 − x + 1 = (x − 1)2(x + 1) — 중근 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「접한다」를 「만난다」로 읽으면 "두 곡선이 (1,1)에서 만나니까" 하고 1 + a + b = 1 한 줄만 세워 보자. a + b = 0 — 미지수는 둘인데 식이 하나라 답이 정해지지 않습니다. 실제로 a=0, b=0도 이 식을 만족하지만, 그때 y=x³은 y=x²과 그냥 가로질러 지나갑니다. → 「접한다」는 조건을 둘 준 것입니다. 기울기가 같다는 식을 반드시 한 줄 더 세우십시오.
a = −1, b = 1
도전 3곡선 위의 점에서 그은 접선이 둘
점 (1, −2) 에서 곡선 y = x3 − 3x 에 그은 접선의 방정식을 모두 구하여라. (이 점은 곡선 위에 있다.)

풀이 — 점이 곡선 위에 있어도 접선이 하나뿐은 아니다

  1. 먼저 확인 : 1 − 3 = −2 — 이 점은 곡선 위에 있다.
  2. 그래도 접점을 (t, t3 − 3t) 로 놓는다. 기울기는 3t2 − 3.
  3. 접선 : y = (3t2 − 3)(x − t) + t3 − 3t. (1, −2) 대입 :
    −2 = (3t2 − 3)(1 − t) + t3 − 3t = −2t3 + 3t2 − 3
  4. 정리하면 2t3 − 3t2 + 1 = 0 → (t − 1)2(2t + 1) = 0 → t = 1 또는 t = −12.
  5. t = 1 : 기울기 3 − 3 = 0 → 접선 y = −2. (자기 자리에서 그은 접선)
  6. t = −12 : 접점 (−12, 118), 기울기 34 − 3 = −94
    → y = −94x + 14. x = 1 을 넣으면 −94 + 14 = −2 ✓
  7. ⭐ 여기가 고비 — 곡선 위의 점인데도 접점을 t로 놓아야 한다 "점이 곡선 위에 있으면 f′ 한 번이면 끝"이라고 배웠는데, 이 문제는 그것이 함정입니다. 문제가 물은 것은 「그 점에서의 접선」이 아니라 「그 점을 지나는 접선」이기 때문입니다. 두 말은 다릅니다 —
    · 「(1,−2)에서의 접선」 : 접점이 (1,−2)로 못 박힌 것 → f′(1) 하나면 끝.
    · 「(1,−2)를 지나는 접선」 : 접점은 어디여도 좋고, 다만 그 접선이 이 점을 통과하기만 하면 됩니다.
    삼차곡선은 구불구불 돌아 나가므로, 멀리 떨어진 다른 자리에서 그은 접선이 되돌아와 이 점을 지날 수 있습니다.
    그래서 곡선 위든 밖이든 「지나는」이면 t로 놓습니다. 실제로 (t−1)²(2t+1)=0에서 자기 자리 t=1과 돌아온 접선 t=−½ 둘이 나옵니다.
y = −2, y = −(9/4)x + 1/4
도전 4수직인 두 접선의 교점
곡선 y = x2 위의 서로 다른 두 점에서 그은 접선이 서로 수직일 때, 두 접선의 교점의 y좌표를 구하여라.

풀이 — 답이 접점과 상관없이 하나로 정해진다

  1. 접점을 (α, α2), (β, β2) 라 하면 기울기는 2α, 2β.
  2. 수직 : 2α · 2β = −1 → αβ = −14.
  3. 두 접선은 y = 2αx − α2, y = 2βx − β2.
  4. 교점 : 2αx − α2 = 2βx − β2 → 2x(α − β) = α2 − β2 → x = α + β2.
  5. 이때 y = 2α · α + β2 − α2 = α2 + αβ − α2 = αβ.
  6. ⭐ 여기가 고비 — 교점의 y좌표가 αβ 하나로 뭉쳐진다 α, β 두 글자가 끝까지 남을 것 같아 불안한데, 정리하는 순간 αβ 하나로 뭉칩니다. 그리고 αβ는 수직 조건이 이미 값을 정해 준 것이라 답이 숫자로 떨어집니다. 교점의 y좌표를 계산해 보면 — y = 2α · α+β2 − α² = α² + αβ − α² = αβ. α²이 서로 지워지는 것이 이 문제의 심장입니다.
    그런데 수직 조건에서 2α · 2β = −1 → αβ = −¼이 이미 정해져 있었습니다.
    그러니 접점을 어디에 잡든 교점의 높이는 언제나 −¼입니다. 「답에 문자가 안 남는다」는 것 자체가 이 문제가 말하려는 것이고, 이 가로선을 포물선의 준선이라 부릅니다.
  7. 그러므로 y = −14 — 접점이 어디든 언제나 같은 높이다. (이 가로선을 준선이라 한다.)
y = −1/4 (접점과 무관하게 항상)
도전 5문자로 일반화하기
곡선 y = x3 − x 위의 점 (t, t3 − t) 에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점의 x좌표를 t 로 나타내어라. (단 t ≠ 0)

풀이 — 근과 계수의 관계를 쓰면 한 줄로 끝난다

  1. 기울기 3t2 − 1, 접선 y = (3t2 − 1)(x − t) + t3 − t.
  2. 같다고 놓고 정리하면 x3 − 3t2x + 2t3 = 0.
  3. 접점 t 가 중근이므로 (x − t)2(x − k) = 0 꼴이다.
  4. ⭐ 여기가 고비 — 삼차식을 나누지 않고 「합」만 보면 한 줄이다 x³ − 3t²x + 2t³ = 0을 (x−t)²으로 실제 나누려 들면 문자 계산이 길어집니다. 우리가 원하는 것은 남은 근 하나뿐이니, 세 근의 합만 보면 끝납니다. 삼차방정식 x³ + px² + qx + r = 0에서 세 근의 합은 −p입니다. 이 식에는 x² 항이 아예 없으므로 p = 0 → 세 근의 합이 0.
    근은 t(중근이라 두 번)와 남은 근 k이므로 t + t + k = 0 → k = −2t.
    검산으로 펴 보면 (x−t)²(x+2t) = x³ − 3t²x + 2t³ ✓ 정확히 같습니다.
    「접점은 두 번 세어지는 근」이라는 것을 알면 근과 계수의 관계가 그냥 쓰입니다.
  5. 세 근의 합은 x2 의 계수가 0 이므로 t + t + k = 0 → k = −2t.
  6. 확인 : (x − t)2(x + 2t) = x3 − 3t2x + 2t3 ✓
  7. ⚠️ 삼차식을 억지로 나눠 풀지 말고 합이 0 이라는 것을 보면 훨씬 빠르다.
x = −2t
도전 6실생활 · 미끄러진 자동차
굽은 도로가 좌표평면에서 곡선 y = x24 의 모양이다(단위 100 m). 이 도로를 따라 오른쪽으로 달리던 자동차가 점 (2, 1) 에서 미끄러져 그 순간의 진행 방향으로 곧게 나갔다. ① 이 직선의 방정식과 ② 이 직선이 y축과 만나는 점을 구하여라.

풀이 — "그 순간의 진행 방향" 이 바로 접선이다

  1. 점이 도로 위에 있는지 : 224 = 1 ✓
  2. y′ = x2, x = 2 → 기울기 1.
  3. 접선 : y − 1 = 1 · (x − 2) → y = x − 1.
  4. y축과 만나는 점은 x = 0 일 때이므로 (0, −1).
  5. 단위가 100 m 이므로 원점에서 100 m 아래 지점을 지나간다는 뜻이다.
  6. ⭐ 여기가 고비 — 「그 순간의 진행 방향」이라는 말을 접선으로 옮기기 계산은 쉽습니다. 이 문제의 어려움은 국어에 있습니다 — 「미끄러져 곧게 나갔다」를 「접선을 그었다」로 읽어 내는 것입니다. 자동차는 곡선을 「따라」 가는 것이 아니라, 매 순간 「그 순간의 방향」으로 나아가고 있습니다. 그 방향을 붙잡아 주던 마찰이 사라지면 그 방향 그대로 곧게 나갑니다. 그리고 「그 순간의 방향」이 곧 접선의 기울기 = 미분값입니다.
    y′ = x/2, x=2 → 기울기 1 → y = x − 1.
    이것이 접선을 배우는 진짜 까닭입니다 — 접선은 「지금 이 순간의 방향」을 재는 도구입니다. 커브 길 바깥쪽에 가드레일이 서 있는 것도 이 때문입니다.
① y = x − 1   ② (0, −1)

더 넓혀 쓰는 비법

이 방법이 어디까지 가는가

"기울기는 미분, 접선은 기울기와 점" — 이 한 줄이 계속 자란다.

① 법선 — 접선과 수직인 직선
고2 · 수학Ⅱ
접점에서 접선과 수직인 직선을 법선이라 한다. 기울기는 −1 ÷ f′(a). 특강의 마지막 문제에서 원의 반지름이 곧 법선이었던 것이 바로 이것이다. 원과 접선 문제는 거의 다 법선으로 풀린다.
② 뉴턴의 방법 — 접선으로 근을 찾는다
고3 · 미적분 / 컴퓨터
방정식 f(x) = 0 의 근을 못 구할 때, 아무 점에서나 접선을 긋고 그 접선의 x절편을 다음 후보로 삼는 일을 되풀이하면 근에 아주 빠르게 다가간다. 계산기가 √2 를 구하는 방법이 이것이다.
③ 접선의 개수 = 방정식의 실근의 개수
수능 빈출
곡선 밖의 점에서 접선을 몇 개 그을 수 있는지 묻는 문제는, 결국 t 에 대한 방정식의 실근이 몇 개인가 를 묻는 것이다. 그 방정식을 또 한 번 미분해 증가·감소를 보면 답이 나온다.
④ 접선으로 근삿값 구하기
물리·공학
a 근처에서 f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a). 곡선을 접선으로 갈아 끼우는 것이다. 물리에서 진자의 주기를 구할 때 sin θ ≈ θ 로 두는 것이 바로 이 근사다.
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 기울기·접점·접선·좌표를 sympy와 손계산으로 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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