경우의 수와 확률 완전정복
— 장대경 선생님 3대 직관법 연습 10제

풀이 — 이겨야 할 관문 수만 세기

풀이 — 각자 진출 확률의 곱

1. A반 결승 진출 = 2경기 승리 → (1/2)² = 1/4. B반은 1경기 → 1/2.
2. ⭐ 여기가 고비 — 「만난다」가 왜 곱인가, 그리고 관문 수가 달라도 되는 까닭 「만난다」는 말이 더하기처럼 들려 1/4 + 1/2로 손이 갑니다. 말을 풀어 보면 곧바로 갈립니다 — 「둘 다 올라온다」입니다. 「그리고」는 곱, 「또는」은 더하기입니다. 더해 보면 바로 이상해집니다 — 1/4 + 1/2 = 3/4로, B반이 혼자 올라올 확률 1/2보다도 커집니다. 조건이 더 붙었는데 확률이 커질 수는 없습니다. 한편 두 반이 서로 다른 조에 있어 맞붙지 않으므로 서로의 승패에 영향을 주지 않습니다 — 그래서 관문 수가 2와 1로 서로 달라도 그냥 곱하면 됩니다. 각자 제 길을 걸어 결승에서 만나는 것이니까요.
3. 둘 다 올라와야 하므로 곱한다: 1/4 × 1/2 = 1/8.

풀이 — 절대 공을 합치지 말 것! 주머니를 먼저 고른다

풀이 — 같은 방식(주머니 먼저 × 안쪽 확률)

1. A로 검은공: 1/2 × 3/5 = 3/10. B로 검은공: 1/2 × 1/4 = 1/8.
2. 더하기: 3/10 + 1/8 = 12/40 + 5/40 = 17/40.
3. ⭐ 여기가 고비 — 답이 맞았는지 스스로 가릴 줄 아는 것 같은 방식이니 계산은 어렵지 않습니다. 정작 어려운 것은 「17/40이 말이 되는 값인가」를 스스로 확인하는 일입니다. 잣대가 있습니다 — 두 주머니를 반반으로 고르니, 답은 반드시 두 주머니 확률의 「가운데」에 있어야 합니다. A의 검은공 비율은 3/5 = 0.6, B는 1/4 = 0.25입니다. 답 17/40 = 0.425는 0.25와 0.6 사이에 있고, 심지어 정확히 그 한가운데입니다 ((0.6 + 0.25) ÷ 2 = 0.425 ✓). 주머니를 반반으로 골랐으니 정확히 평균이 되는 것이 맞습니다. 만약 답이 0.6보다 크거나 0.25보다 작게 나왔다면 어딘가에서 틀린 것입니다 — 계산을 다시 볼 신호입니다.

풀이 — 순서만 바뀐 두 경우는 확률이 같다

풀이 — 같은색 = 둘 다 검 + 둘 다 흰

1. 둘 다 검: 6/10 × 5/9 = 30/90. (두 번째는 검은공이 하나 줄어 5/9)
2. 둘 다 흰: 4/10 × 3/9 = 12/90.
3. 더하기: 30/90 + 12/90 = 42/90 = 7/15.
4. ⭐ 여기가 고비 — 여사건 검산이 「언제」 쓸 수 있는가 1 − 8/15 = 7/15로 딱 맞았습니다. 그런데 이 검산은 아무 때나 되는 것이 아닙니다. 두 사건이 「빠짐없이 · 겹침없이」 전체를 가를 때만 성립합니다. 여기서는 두 공의 색이 같거나 다르거나 둘 중 하나이고, 동시에 그럴 수는 없으며(겹침 없음), 셋째 경우도 없습니다(빠짐 없음). 그래서 두 확률의 합이 반드시 1이 되고, 한쪽을 알면 다른 쪽이 저절로 나옵니다. ⛔ 견주어 보십시오 — 「둘 다 검」의 반대는 「둘 다 흰」이 아닙니다. 색이 다른 경우가 남아 있으니 빠진 것이 있어 1 − 30/90은 틀립니다. 검산 전에 「이 둘이 전체를 남김없이 두 쪽으로 가르는가」를 먼저 물으십시오.

풀이 — 순서 두 경우, 값이 같다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「정확히 한 명」은 「첫째가 당첨」이 아니다 한 명만 당첨이라 하니 2/5로 끝내고 싶어집니다. 그러면 절반을 잃습니다. 「누가」 당첨인지는 정해 주지 않았습니다 — 첫째일 수도, 둘째일 수도 있습니다. 그래서 갈래가 둘입니다 — ①당첨·꽝과 ②꽝·당첨. (⛔ 당첨·당첨은 두 명이라 안 되고, 꽝·꽝은 영 명이라 안 됩니다 — 이 둘을 걸러 내는 것이 「정확히」의 뜻입니다.) 두 갈래는 함께 일어날 수 없으니 더합니다. 그리고 앞 문제에서 본 대로 두 값은 같습니다 — 2/5 × 3/4와 3/5 × 2/4는 분자·분모가 모두 2×3, 5×4. 「정확히 하나」가 보이면 갈래부터 세십시오.
2. 첫째 당첨·둘째 꽝: 2/5 × 3/4 = 6/20.
3. 첫째 꽝·둘째 당첨: 3/5 × 2/4 = 6/20 — 값이 같다.
4. 더하기: 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5.

풀이 — 서로 영향이 없으면 곱한다

1. 한 번 던져 짝수(2, 4, 6)일 확률 = 3/6 = 1/2.
2. ⭐ 여기가 고비 — 두 번째 던질 때 분모가 왜 그대로 6인가 바로 앞 문제들(제비뽑기·주머니)에서는 한 번 뽑을 때마다 분모가 줄었습니다 (10 → 9, 5 → 4). 그 손버릇이 남아 여기서도 줄이려 합니다. 주사위는 줄지 않습니다. 가른 잣대는 「꺼낸 것을 도로 넣는가」입니다. 제비는 뽑으면 사라지므로 남은 것이 달라집니다(비복원). 주사위는 한 번 던져도 눈이 없어지지 않으므로 다음 번에도 여전히 여섯 면입니다(복원·독립). 서로 영향이 없으니 앞의 결과를 알아도 뒤의 확률이 그대로이고, 그래서 그냥 곱합니다 — 1/2 × 1/2 = 1/4. 문제를 읽을 때 「다시 넣는가」부터 확인하십시오 — 그 한 줄이 분모를 정합니다.
3. 따라서 1/2 × 1/2 = 1/4.
4. 검산: 36가지 중 (짝, 짝)은 3 × 3 = 9가지 → 9/36 = 1/4 ✓

풀이 — 동시에 못 일어나면(배반) 더한다

풀이 — "적어도"는 반대를 세는 게 빠르다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「적어도 하나」의 반대를 바로 세우는 일 여기서 가장 많이 나오는 잘못은 반대를 「정확히 하나만 앞면」이라 잡는 것입니다. 그러면 답이 어그러집니다. 「적어도 하나 있다」의 반대는 「하나도 없다」입니다 — 개수를 따지는 말이 아니라 있고 없고의 말입니다. 「적어도 하나 앞면」 안에는 앞면 1개, 2개, 3개가 다 들어 있어 세 갈래를 따로 세야 합니다. 그런데 반대인 「모두 뒷면」은 딱 한 가지뿐이라 (1/2)³ = 1/8로 한 줄에 끝납니다. 정면으로 세면 셋, 뒤로 돌아가면 하나 — 그래서 여사건이 빠른 것입니다. (동전이 10개로 늘어도 반대는 여전히 한 가지입니다. 그때 힘이 확 드러납니다.)
2. 모두 뒷면일 확률 = (1/2)³ = 1/8.
3. 여사건: 1 − 1/8 = 7/8.
4. 검산: 8가지 중 「모두 뒷면」 1가지만 빼면 7가지 → 7/8 ✓

풀이 — 반대는 "다 틀림"

1. ⭐ 여기가 고비 — 옷만 갈아입은 문제인 것을 알아보는 눈 O·X 찍기라 하니 새 문제 같습니다. 문제 10(동전 3개)과 완전히 같은 문제입니다. 「2가지 중 하나가 반반으로 · 3번 되풀이 · 적어도 하나」 — 뼈대가 한 자도 다르지 않습니다. 확률 문제는 이야기가 아니라 뼈대로 알아보는 것입니다. 동전의 앞면 자리에 「맞힘」이, 뒷면 자리에 「틀림」이 들어왔을 뿐입니다. 반대는 「3문제 모두 틀림」 한 가지뿐이니 (1/2)³ = 1/8, 답은 1 − 1/8 = 7/8. 새 문제를 만나면 「전에 본 어느 뼈대인가」를 먼저 물으십시오 — 그것이 실력입니다.
2. 반대 = 3문제 모두 틀림 = (1/2)³ = 1/8.
3. 여사건: 1 − 1/8 = 7/8.

풀이 — 조건이 붙으면 "그 시점의 주머니"로 다시 센다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「이미 일어났다」는 말이 주머니를 바꿔 놓는다 「첫 번째가 검은공이었다면」이라는 말이 단순한 배경 설명처럼 읽혀서, 처음 주머니 그대로 4/10이라 답하기 쉽습니다. 이 한마디가 하는 일은 그보다 훨씬 큽니다. 그 말은 「검은공 하나가 이미 빠져 나갔다」는 뜻이고, 곧 주머니 자체가 달라졌다는 뜻입니다. 그러니 바뀐 주머니를 새로 그려 놓고 처음부터 다시 세십시오 — 검은공 6 − 1 = 5개, 흰공은 그대로 4개, 모두 9개. 이제 흰공일 확률은 4/9입니다. 이것이 조건부확률의 전부입니다 — 어려운 새 공식이 아니라, 「그 시점의 주머니」로 갈아 끼우는 일입니다. 문제 5에서 검→흰을 계산할 때 쓴 두 번째 분수가 바로 이 값이었습니다.
2. 남은 것은 검은공 5 · 흰공 4 = 9개 → 흰공일 확률 = 4/9.

풀이 — ⑴은 곱, ⑵는 여사건

1. ⑴ 둘 다 명중은 「그리고」이니 곱한다: 0.8 × 0.6 = 0.48.
2. ⭐ 여기가 고비 — ⑵의 반대를 세울 때 「각자」의 반대를 먼저 만든다 「적어도 한 명 명중」의 반대가 「둘 다 빗맞음」이라는 데까지는 어렵지 않습니다. 정작 손이 멈추는 곳은 「빗맞을 확률을 어디서 가져오나」입니다. 문제는 명중 확률만 주었으니까요. 반대를 사람마다 따로 세우십시오 — 첫째가 빗맞을 확률은 1 − 0.8 = 0.2, 둘째는 1 − 0.6 = 0.4. 둘 다 빗맞아야 하므로(「그리고」) 곱합니다 — 0.2 × 0.4 = 0.08. 그런 다음 맨 마지막에 딱 한 번만 1에서 뺍니다 — 1 − 0.08 = 0.92. 1에서 빼는 것은 처음이 아니라 끝이라는 차례를 지키는 것이 이 문제의 전부입니다.
3. ⑵ 반대 「둘 다 빗맞음」: (1 − 0.8)(1 − 0.6) = 0.2 × 0.4 = 0.08.
4. 여사건: 1 − 0.08 = 0.92.