YEON MATH · 행복수학

사인법칙과 코사인법칙 완전정복
— "각을 알면 변이 보인다" 연습 10제

각 두 개, 변 하나만 알아도 삼각형이 다 풀린다 · 장대경 선생님의 특강 34편

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먼저 · 3단계로 끝내는 법

1
사인법칙(비율) — a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R. 각이 크면 마주보는 변도 크고, 이 비율은 삼각형 어디서나 똑같다(외접원 지름 2R까지).
2
코사인법칙(낀각) — c² = a² + b² − 2ab·cosC. 각C를 사이에 낀 두 변 a,b를 알면 마주보는 변 c까지 나온다.
3
직각삼각형은 다리 — 각C=90°면 cosC=0이 되어 코사인법칙이 그대로 a² + b² = c², 중2 때 배운 피타고라스 정리가 된다.
C A B a b c
위 그림: 변 a는 A의 맞은편(=BC), 변 b는 B의 맞은편(=CA), 변 c는 C의 맞은편(=AB). "각 이름의 맞은편이 그 변 이름."

연습 10제 · 계산 해설

문제 1사인법칙·변
삼각형 ABC에서 A=45°, B=60°, a=6√2일 때, 변 b를 구하여라.

풀이 — 「짝이 완성된 쪽」이 있으면 사인법칙

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 법칙 중 무엇을 꺼낼지 고르는 자리 계산보다 먼저 막히는 곳이 「사인이냐 코사인이냐」입니다. 잣대는 하나뿐입니다 — 「각과 그 맞은편 변」이 짝지어진 것이 이미 하나 있는가? 여기서는 A = 45°와 그 맞은편 a = 6√2가 완성된 짝 하나입니다. 사인법칙 a/sinA = b/sinB는 이 짝을 저울의 한쪽에 올려 놓고 반대쪽의 모자란 것을 알아내는 저울이라, 짝이 하나만 서 있으면 곧바로 쓸 수 있습니다. (코사인법칙은 낀각과 그 양옆 두 변이 있을 때 쓰는 것이라 여기서는 재료가 안 맞습니다.) 각 두 개와 변 하나 → 사인법칙, 이렇게 재료로 고르십시오.
  2. b = a·sinB/sinA, sinA = √2/2, sinB = √3/2.
  3. b = 6√2 · (√3/2)/(√2/2) = 6√2 · √3/√2 = 6√3.
  4. 검산: B = 60° > A = 45°이니 b > a여야 한다 — 6√3 ≈ 10.39 > 6√2 ≈ 8.49 ✓
"각을 알면 변이 보인다 — 사인법칙은 비율로, 코사인법칙은 낀각으로 삼각형을 완성한다."— 장대경 선생님 제34강 「삼각함수의 활용」
b = 6√3
문제 2사인법칙·외접원
삼각형 ABC에서 A=60°, a=9일 때, 외접원의 반지름 R은?

풀이 — 사인법칙의 그 「같은 값」이 곧 외접원 지름

  1. 사인법칙: a/sinA = 2R. sinA = √3/2.
  2. 2R = 9/(√3/2) = 18/√3 = 6√3.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 방금 구한 6√3은 R이 아니라 2R이다 가장 많이 잃는 점수가 여기서 나옵니다. 계산은 다 맞게 해 놓고 R = 6√3이라 적어 틀립니다. 사인법칙에서 세 비가 모두 같아지는 그 값은 반지름이 아니라 「지름」입니다. 왜 하필 지름일까요. 지름을 한 변으로 삼는 삼각형은 지름에 마주보는 각이 90°가 되고, 그때 변/sin(각) = 2R/sin90° = 2R입니다. 어느 삼각형이든 이 값은 같아야 하니 a/sinA도 똑같이 2R인 것입니다. 그러니 마지막에 반드시 2로 나누십시오 — R = 6√3 ÷ 2 = 3√3.
  4. 검산: R = 3√3 ≈ 5.196, 지름은 약 10.39. 현 a = 9는 지름보다 짧다 ✓
R = 3√3
문제 3코사인법칙·핵심
삼각형 ABC에서 a=6, b=10, 낀각 C=120°일 때, 변 c를 구하여라. (영상 34편의 핵심 예제)
C 120° A B a=6 b=10 c=?

풀이 — 빼기 자리에 음수가 들어와 더하기가 된다

  1. 낀각 C와 그 양옆 두 변 a, b가 있으니 코사인법칙: c² = a² + b² − 2ab·cosC.
  2. ⭐ 여기가 고비 — cos120° = −1/2의 음수 부호 식에는 빼기가 적혀 있는데 결과는 더해집니다. 여기서 부호를 놓쳐 136 − 60 = 76으로 가는 학생이 가장 많습니다. 부호를 두 번 다뭅니다 — 식이 가진 −와 cos120°가 가진 −가 만나 +가 됩니다 : − 2·6·10·(−1/2) = +60. 그리고 이것은 우연이 아니라 뜻이 있는 결과입니다. 낀각이 둔각이면 두 끝이 넓게 벌어지므로 마주보는 변은 직각일 때보다 길어져야 합니다 — 직각이라면 √136 ≈ 11.66인데 실제로는 14로 더 길어졌지요. 둔각이면 늘어나고 예각이면 줄어든다 — 부호를 이 그림으로 확인하십시오.
  3. c² = 36 + 100 + 60 = 196 → c = 14.
c = 14
문제 4코사인법칙·예각
삼각형 ABC에서 a=3, b=8, 낀각 C=60°일 때, 변 c를 구하여라.

풀이 — 이번엔 예각이라 진짜로 줄어든다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 앞 문제와 부호가 반대로 간다 앞 문제에서 「빼기인데 더해졌다」를 겪고 나면, 이번에도 더하려는 손버릇이 생깁니다. 여기서는 진짜로 뺍니다. cos60° = +1/2로 양수이기 때문입니다. 외우지 말고 그림으로 가리십시오. 낀각이 예각(작다)이면 두 변의 끝이 서로 가까이 모이므로 마주보는 변은 짧아집니다 — 직각이라면 √73 ≈ 8.54일 것이 실제로는 7로 줄었습니다. 낀각이 90°보다 작으면 빼고, 크면 더한다 — cosC의 부호가 그것을 그대로 나릅니다. (cos90° = 0이 바로 그 경계입니다.)
  2. c² = 9 + 64 − 2·3·8·(1/2) = 73 − 24 = 49 → c = 7.
c = 7
문제 5각의 비
삼각형의 세 각의 비가 3 : 7 : 5일 때, 세 각의 크기를 각각 구하여라. (영상 34편의 두 번째 예제)

풀이 — 비는 「몇 도」가 아니라 「몇 조각」이다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 3, 7, 5를 각도로 착각하지 않는 것 3 : 7 : 5는 각이 3°, 7°, 5°라는 뜻이 아닙니다. 「같은 크기 조각으로 3덩이 · 7덩이 · 5덩이」라는 뜻입니다. 그러니 먼저 물을 것은 「한 조각이 몇 도인가」 하나뿐입니다. 삼각형 세 각의 합은 언제나 180°이고, 조각은 모두 3 + 7 + 5 = 15덩이입니다. 따라서 한 조각은 180° ÷ 15 = 12°. 이 12°라는 한 값이 세 각을 한꺼번에 정합니다 — 여기까지 오면 나머지는 곱셈뿐입니다. 비가 나오는 문제는 언제나 「전체 ÷ 비의 합 = 한 조각」이 첫걸음입니다.
  2. 한 조각 = 180° ÷ 15 = 12°.
  3. 3×12 = 36°, 7×12 = 84°, 5×12 = 60°.
  4. 검산: 36 + 84 + 60 = 180 ✓ · 비도 36 : 84 : 60 = 3 : 7 : 5 ✓
"법칙을 쓰기 전에 세 각부터 — 세 각의 비가 주어지면 180°를 비의 합으로 나눠 각을 먼저 정확히 찾는다."— 장대경 선생님 제34강 「삼각함수의 활용」
36°, 84°, 60°
문제 6코사인법칙=피타고라스
직각삼각형에서 각 C=90°, a=3, b=4일 때, 코사인법칙으로 c를 구하고 피타고라스 정리와 같은지 확인하여라.
C A B b=4 a=3 c=?

풀이 — 마지막 항이 사라지는 순간

  1. cos90° = 0이므로 −2ab·cosC = −2·3·4·0 = 0.
  2. ⭐ 여기가 고비 — −2ab·cosC는 「직각에서 얼마나 벗어났나」를 재는 보정항이다 두 공식을 따로 외운 별개의 것으로 알고 있으면 여기서 놀랍니다. 코사인법칙을 이렇게 읽으십시오 — 앞의 a² + b²는 피타고라스가 예언한 값이고, 뒤의 −2ab·cosC는 「그 예언에서 얼마나 어긋나는가」를 메우는 삯입니다. 낀각이 정확히 직각이면 어긋날 것이 없으니 cos90° = 0이 되어 삯이 0 — 공식이 그대로 a² + b² = c²가 됩니다. 예각이면 삯이 음수가 되어 c가 줄고(문제4), 둔각이면 양수가 되어 c가 늘어납니다(문제3). 피타고라스 정리는 코사인법칙의 한 특별한 자리였던 것입니다.
  3. c² = 9 + 16 = 25 → c = 5. 중2 때의 3-4-5 직각삼각형과 정확히 같다.
c = 5 (피타고라스 정리와 일치)
문제 7역산·각 구하기
삼각형의 세 변이 a=5, b=8, c=7일 때, 각 C(a,b의 낀각)를 구하여라.

풀이 — 변 셋으로 각을 거꾸로 찾는다

  1. 식을 각 기준으로 옮기면 cosC = (a² + b² − c²)/(2ab).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 세 변 중 누구를 「c 자리」에 넣느냐 숫자 5, 8, 7을 아무 데나 넣으면 엉뚱한 각이 나옵니다. 자리를 정하는 것은 구하려는 각 하나입니다. 구하려는 각의 맞은편 변이 홀로 빼지는 자리(c²)에 들어가고, 그 각을 낀 두 변이 나머지 자리에 들어갑니다. 여기서는 C를 구하니 C의 맞은편 변인 c = 7이 빼지는 자리, C를 낀 두 변 a = 5, b = 8이 더해지는 자리와 분모 2ab에 들어갑니다. 분자에서 홀로 음수 자리에 있는 것이 언제나 「지금 구하는 각의 맞은편」 — 이 한 줄만 쥐면 자리는 안 헷갈립니다. 「각 이름의 맞은편이 그 변 이름」이라는 약속이 여기서 값을 합니다.
  3. cosC = (25 + 64 − 49)/(2·5·8) = 40/80 = 1/2 → C = 60°.
  4. 검산: c(=7)는 b(=8)보다 짧으니 C는 B보다 작은 각이어야 한다 — 60°는 알맞다 ✓
C = 60°
문제 8사인법칙·모호한 경우
삼각형 ABC에서 A=30°, a=5, b=5√3일 때, 가능한 각 B의 값을 모두 구하여라.

풀이 — sin은 두 각을 가리킨다

  1. 사인법칙: sinB = b·sinA/a = 5√3·(1/2)/5 = √3/2.
  2. ⭐ 여기가 고비 — sinB = √3/2에서 60°만 적으면 반만 푼 것 sin 값 하나가 각 하나를 정해 준다고 여기면 여기서 절반을 잃습니다. 0°와 180° 사이에서 sin이 같은 각은 언제나 둘입니다 — 60°와 그 보각인 180° − 60° = 120°. 까닭은 sin이 「높이」이기 때문입니다. 같은 높이에 오르는 자리는 올라갈 때 한 번, 내려올 때 한 번, 둘입니다. (cos는 부호가 갈려 하나로 정해지지만 sin은 둘 다 양수라 갈리지 않습니다.) 그러니 둘을 다 적어 놓고, 삼각형이 실제로 되는지 걸러야 합니다 — 잣대는 A + B < 180°입니다. 30 + 60 = 90 ✓, 30 + 120 = 150 ✓ 로 이번에는 둘 다 살아남습니다. 「각이 아닌 변 둘과 각 하나(SSA)」가 주어지면 답이 둘일 수 있다는 신호로 새겨 두십시오.
  3. 따라서 B = 60° 또는 B = 120°. 둘 다 실제 삼각형이 된다.
B = 60° 또는 120° (변 두 개 + 낀각이 아닌 각을 알 때는 답이 하나로 안 정해질 수 있다!)
문제 9실생활·측량
한 지점 O에서 나무 A까지 거리가 7m, 나무 B까지 거리가 8m이고 ∠AOB=120°일 때, 두 나무 사이의 거리 AB는?
O 120° 🌳 A 🌳 B 7m 8m ?

풀이 — O를 낀각으로 하는 코사인법칙

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「삼각형」이라는 말이 한 번도 안 나온다 문제에는 나무 둘과 사람 하나뿐이고 삼각형이라는 말도, a·b·c도 없습니다. 그래서 어느 법칙을 쓸지 안 보입니다. 세 점이 있으면 이미 삼각형입니다 — O, A, B를 잇는 순간 재료가 드러납니다. 드러난 재료를 세어 보십시오 — 두 변 OA = 7, OB = 8과 그 사이에 낀 각 120°. 이것이 코사인법칙의 재료 그대로입니다. 구하려는 AB는 낀각 O의 맞은편 변이므로 c 자리에 놓입니다. 실생활 문제는 「무엇을 아는가」를 변·각으로 옮겨 적는 순간 이미 절반이 풀립니다. (게다가 이 각은 둔각이라, 앞서 본 대로 결과가 늘어나는 쪽이 됩니다.)
  2. AB² = 7² + 8² − 2·7·8·cos120° = 49 + 64 + 56 = 169.
  3. 검산: 두 변의 합 15보다 짧고 차 1보다 길다 — 1 < 13 < 15 ✓
AB = 13m
문제 10종합·두 법칙 잇기
문제3의 삼각형(a=6, b=10, C=120°, c=14)에서, 이번엔 사인법칙으로 외접원의 반지름 R을 구하여라.

풀이 — 코사인법칙으로 구한 c를 사인법칙에 이어서

  1. ⭐ 여기가 고비 — 세 짝 중 어느 것을 골라도 되지만, 「완성된 짝」은 하나뿐이다 사인법칙에는 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R로 고를 수 있는 짝이 셋 있습니다. 그런데 지금 아는 각은 C = 120° 하나뿐이고, A와 B는 모릅니다. 쓸 수 있는 짝은 각과 맞은편 변을 「둘 다」 아는 것뿐이므로 골라야 할 것은 c와 C입니다. 그 c = 14는 문제3에서 코사인법칙으로 이미 벌어 둔 값입니다 — 코사인법칙으로 모자란 변을 채우고, 그 변을 사인법칙에 넣는 것이 두 법칙을 잇는 표준 길입니다. (a와 A로 하려 들면 A를 모르니 한 걸음 더 돌아가야 합니다.) 「이미 짝이 선 쪽」을 고르는 것 — 문제1에서 세운 잣대가 그대로 여기서도 답을 정합니다.
  2. c/sinC = 2R, sin120° = √3/2.
  3. 2R = 14/(√3/2) = 28/√3 = 28√3/3 → 2로 나누어 R = 14√3/3.
  4. 검산: R ≈ 8.08, 지름 약 16.17. 가장 긴 변 14보다 크다 ✓
R = 14√3/3

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"각을 알면 변이 보인다" 하나로 위·아래 학년까지

사인법칙·코사인법칙에서 익힌 이 눈이, 학년을 오르내리며 그대로 쓰입니다. 핵심은 언제나 "각과 변은 서로를 비추는 거울".

① 중2·중3 · 피타고라스 정리는 코사인법칙의 특수한 경우
중2 2학기 피타고라스 정리
각C=90°를 코사인법칙 c²=a²+b²−2ab·cosC에 넣으면 cosC=0이 되어 그대로 a²+b²=c². 문제6이 그 증거입니다.
② 고1 · 이차방정식 — 두 근이 나오는 이유
고1 수학(상) 이차방정식
낀각이 아닌 각을 알 때(문제8의 상황) 코사인법칙을 변 하나에 대해 정리하면 이차방정식이 나와요. 근이 두 개면 삼각형도 두 가지가 나올 수 있습니다 — 이게 바로 "모호한 경우(SSA)".
③ 고등 물리 · 벡터의 합성(평행사변형법칙)
고등 물리 힘의 합성
두 힘(벡터)을 더할 때 쓰는 R²=F₁²+F₂²+2F₁F₂cosφ는 코사인법칙과 완전히 같은 구조예요. 문제9의 측량 삼각형이 그대로 힘의 삼각형이 됩니다.
④ 고등 기하 · 벡터의 내적
고등 기하 벡터
벡터의 내적 정의 a·b=|a||b|cosθ에 삼각형의 세 변을 벡터로 놓고 전개하면, 코사인법칙이 그대로 유도됩니다. 코사인법칙은 사실 벡터 내적의 그림자예요.

도전 · 이 비법만으로 위·아래 학년 문제 풀기

도전 · 중3(직관)코사인법칙→피타고라스
직각삼각형에서 a=9, b=12, 낀각 C=90°일 때, 코사인법칙으로 빗변 c를 구하여라.

풀이 — 피타고라스 수를 몰라도 나온다

  1. cos90° = 0이므로 보정항이 사라진다: c² = 81 + 144 − 0 = 225.
  2. ⭐ 여기가 고비 — √225를 손으로 어떻게 여느냐 9와 12를 보고 「3-4-5 아닌가?」가 떠오르지 않으면 √225 앞에서 손이 멈춥니다. 외운 수를 못 떠올려도 길이 있습니다 — 공통인수를 먼저 빼내는 것입니다. 9 = 3×3, 12 = 3×4이니 두 변을 3으로 나눠 보면 3과 4입니다. 세 변을 똑같은 수로 줄인 삼각형은 모양이 같으므로(닮음) 답도 그 수만큼 줄어듭니다 — 3-4-5의 빗변 5에 다시 3을 곱해 15. 제곱으로 확인하면 15² = 225 ✓ 로 딱 맞습니다. 큰 수가 나오면 먼저 공통인수를 빼내 아는 삼각형으로 줄이십시오.
  3. 따라서 c = 15.
c = 15 (3-4-5를 3배 키운 9-12-15 직각삼각형)
도전 · 고1이차방정식(모호한 경우)
삼각형 ABC에서 a=7, b=8, A=60°일 때, 코사인법칙을 c에 대한 이차방정식으로 세워 c를 모두 구하여라.

풀이 — 모르는 변이 두 자리에 나오면 이차식이 된다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 갑자기 이차방정식이 나오는가 지금까지는 코사인법칙에 값을 넣으면 답이 바로 떨어졌습니다. 이번엔 안 떨어집니다. 까닭은 아는 각 A가 「낀각이 아니기」 때문입니다. A를 기준으로 쓰면 a² = b² + c² − 2bc·cosA인데, 모르는 c가 c²에도 있고 −2bc·cosA에도 있습니다. 한 미지수가 제곱 자리와 일차 자리에 함께 나타나면 그것이 곧 이차방정식입니다 — 그래서 근이 둘일 수 있고, 근이 둘이면 삼각형도 두 가지입니다. 이것이 문제8에서 본 「모호한 경우(SSA)」가 대수의 얼굴로 나타난 것입니다. 낀각이면 답이 하나, 낀각이 아니면 답이 둘일 수 있다 — 두 문제가 같은 말을 하고 있습니다.
  2. 49 = 64 + c² − 2·8·c·cos60° = 64 + c² − 8c.
  3. 정리하면 c² − 8c + 15 = 0 → (c − 3)(c − 5) = 0.
  4. 검산: c = 3일 때 64 + 9 − 24 = 49 ✓ · c = 5일 때 64 + 25 − 40 = 49 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「길이는 하나뿐일 테니」 작은 근을 버리면 근이 둘 나오면 c = 3은 너무 짧아 보여 버리고 c = 5만 답이라 적어 봅시다. 정말 안 되는지 세 변으로 삼각형을 만들어 보면 — 7, 8, 3은 3 + 7 = 10 > 8이라 멀쩡히 삼각형이 됩니다. 게다가 검산에서 등식도 딱 맞았습니다. → 근을 버리는 잣대는 「짧아 보인다」가 아니라 「길이가 양수인가 · 삼각부등식을 지키는가」입니다. 둘 다 통과했으므로 c = 3, 5 둘 다 답입니다.
c = 3 또는 c = 5 (둘 다 실제 삼각형이 된다)
도전 · 고등벡터의 합성(물리)
두 힘 F₁=7N, F₂=8N이 이루는 각이 60°일 때, 평행사변형법칙 R²=F₁²+F₂²+2F₁F₂cosφ으로 합력 R을 구하여라.

풀이 — 같은 식인데 부호가 +인 까닭

  1. ⭐ 여기가 고비 — 코사인법칙은 −인데 힘의 합성은 +다 두 식이 판박이처럼 닮았는데 가운데 부호만 반대라 여기서 반드시 한 번은 틀립니다. 까닭은 재는 각이 서로 다른 각이기 때문입니다. 코사인법칙의 C는 삼각형 안쪽의 낀각이고, 힘의 합성에서 φ는 두 힘이 같은 곳에서 출발해 벌어진 각입니다. 두 힘을 잇대어 삼각형으로 그리면 안쪽 각은 180° − φ가 되고, cos(180° − φ) = −cosφ이므로 부호가 뒤집혀 +로 바뀝니다. 공식이 둘인 것이 아니라, 하나의 공식을 어느 각으로 재느냐의 차이입니다.
  2. cos60° = 1/2이므로 R² = 49 + 64 + 2·7·8·(1/2) = 113 + 56 = 169.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 코사인법칙처럼 −로 쓰면 R² = 49 + 64 − 56 = 57 → R ≈ 7.55N. 7N짜리 힘과 8N짜리 힘을 고작 60°만 벌려 놓고 합쳤는데 합력이 한쪽 힘 8N보다도 작다는 말이 됩니다. 같은 방향으로 나란히 놓으면 15N, 정반대면 1N이니 합력은 1과 15 사이여야 하고, 60°는 나란한 쪽에 가까우니 15에 가까운 값이라야 합니다. → 부호를 +로 바로잡으면 R = 13N — 15에 가까운, 뜻이 통하는 값입니다.
R = 13N
※ 이 자료의 예제·그림은 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다.
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