YEON MATH · 행복수학

좌표평면과 그래프 완전정복
— 순서쌍부터 그래프 읽기까지 연습 10제

점은 순서쌍, 그래프는 이야기 · 장대경 선생님의 특강

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먼저 · 순서쌍과 사분면으로 끝내는 법

1
순서쌍 — 점 (x, y)는 먼저 가로(x), 그다음 세로(y). 순서가 바뀌면 다른 점이다.
2
사분면 부호표 — 1사분면(+,+) → 2사분면(−,+) → 3사분면(−,−) → 4사분면(+,−). 1사분면부터 반시계 방향으로 부호가 바뀐다.
3
대칭 — x축 대칭은 y부호만, y축 대칭은 x부호만, 원점 대칭은 둘 다 바뀐다.
4
그래프 읽기 — 가로는 시간(또는 원인), 세로는 결과. 기울어질수록 빠르게 변한다, 수평이면 변화가 멈춘 것.

연습 10제 · 순서쌍과 그래프로 풀기

문제 1사분면 판별
점 (−4, 3)은 몇 사분면 위의 점인가?

풀이 — 부호쌍 (−,+)이 곧 방 번호

  1. x = −4 → 음수, y = 3 → 양수. 부호쌍은 (−,+).
  2. ⭐ 여기가 고비 — (−,+)를 왜 「2」라고 부르나 부호쌍까지는 누구나 씁니다. 거기에 번호를 붙이는 자리에서 갈립니다. 사분면 번호는 오른쪽 위(1사분면)에서 시작해 반시계 방향으로 돌며 붙습니다 — 1(+,+) → 2(−,+) → 3(−,−) → 4(+,−). 외우려 들지 말고 자리로 찾으십시오. x가 음수면 왼쪽, y가 양수면 위 — 곧 왼쪽 위입니다. 오른쪽 위에서 반시계로 한 칸 돌면 바로 그 자리, 그래서 2사분면. 부호를 번호로 번역하는 것이 아니라, 부호가 가리키는 자리를 눈으로 찾는 것입니다.
2사분면
문제 2사분면 판별
점 (5, −1)은 몇 사분면 위의 점인가?

풀이 — 아래냐 위냐를 먼저, 오른쪽이냐 왼쪽이냐를 나중에

  1. x = 5 → 양수, y = −1 → 음수. 부호쌍은 (+,−).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 두 부호 중 「일을 하는 하나」는 y다 이 문제에서 학생이 잘 틀리는 답은 3사분면입니다. 「음수가 하나 있으니 아래쪽」까지는 맞게 갔는데 왼쪽·오른쪽을 안 따진 것입니다. 순서를 이렇게 잡으십시오. ① y의 부호가 위·아래를 정한다 — y = −1이 음수이니 아래 두 방(3·4)으로 좁혀집니다. ② 남은 둘 중에서 x의 부호가 왼쪽·오른쪽을 고른다 — x = 5가 양수이니 오른쪽, 곧 4사분면. 부호 둘을 한꺼번에 보지 말고, 하나로 좁히고 하나로 고르십시오.
4사분면
문제 3부호로 거꾸로 찾기
점 (a, b)가 3사분면 위에 있을 때, a와 b의 부호는?

풀이 — 이번에는 방 번호에서 부호로, 거꾸로 읽는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「3사분면」이라는 말 한마디가 부등식 둘을 동시에 정한다 앞의 두 문제는 부호 → 방 번호였고, 이 문제는 방 번호 → 부호로 화살표가 거꾸로입니다. 그래서 새로 외울 것이 있는 줄 알고 막힙니다. 그런데 쓰는 그림은 똑같습니다. 3사분면은 왼쪽 아래 방입니다. 왼쪽이니 x좌표가 음수, 아래이니 y좌표가 음수 — 그것이 그대로 a < 0, b < 0입니다. 「3사분면 위에 있다」는 조건 하나가 부등식 두 개 값을 한꺼번에 낳습니다 — 조건이 하나라고 결론도 하나인 것은 아닙니다.
  2. 따라서 a < 0이고 b < 0.
a < 0, b < 0 (둘 다 음수)
문제 4x축 대칭
점 (3, −7)과 x축에 대칭인 점의 좌표는?

풀이 — x축 대칭은 y부호만 바뀐다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「x축 대칭인데 왜 x가 그대로냐」 이름에 x가 들어 있으니 x가 바뀔 것 같습니다. 거꾸로입니다. x축은 좌우로 뻗은 거울이고, 거울에 대고 종이를 접으면 위아래가 뒤집힙니다. 점 (3, −7)은 x축에서 아래로 7칸 떨어져 있습니다. 거울 반대편의 같은 자리는 위로 7칸, 곧 y = 7. 그동안 가로로는 한 칸도 움직이지 않았으므로 x = 3은 그대로입니다. 「축의 이름 = 거울」이고, 거울을 가로지르는 좌표만 부호가 바뀝니다.
  2. (3, −7) → (3, 7).
(3, 7)
문제 5y축 대칭
점 (−2, 6)과 y축에 대칭인 점의 좌표는?

풀이 — y축 대칭은 x부호만 바뀐다

  1. y축이 거울이니, 거울을 가로지르는 좌표는 x다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 두 대칭이 헷갈릴 때 1초 만에 가리는 법 x축 대칭과 y축 대칭은 문제를 풀 때마다 헷갈립니다. 외워 두는 대신 확인법 하나를 쥐십시오 — 「그 축 위에 있는 점은 대칭시켜도 제자리여야 한다.」 시험해 보십시오. y축 위의 점 (0, 6)을 y축 대칭시키면 제자리인 (0, 6)이어야 합니다. 「x부호만 바꾼다」로 하면 (−0, 6) = (0, 6) ✓ 맞습니다. 거꾸로 「y부호만 바꾼다」로 해 보면 (0, −6)이 되어 제자리가 아니니 틀린 규칙입니다. 1초짜리 이 시험 하나면 어느 부호를 바꿀지 매번 스스로 확인할 수 있습니다.
  3. (−2, 6) → (2, 6).
(2, 6)
문제 6원점 대칭
점 (4, −5)와 원점에 대칭인 점의 좌표는?

풀이 — 원점 대칭은 x, y 부호가 둘 다 바뀐다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 원점 대칭은 「접기」가 아니라 「반 바퀴 돌리기」다 x축·y축 대칭은 거울에 접는 것이었는데, 원점에는 접을 거울이 없습니다. 그래서 새 규칙처럼 느껴집니다. 원점 대칭은 원점을 압정으로 꽂고 종이를 180° 돌리는 것입니다. 그런데 반 바퀴 돌리기 = x축에 접고 이어서 y축에 접기입니다. 직접 해 보십시오 — (4, −5) → x축 대칭 (4, 5) → y축 대칭 (−4, 5). 그래서 부호가 둘 다 바뀝니다. 새로 외울 것이 아니라 앞의 두 개를 이어 붙인 것입니다.
  2. (4, −5) → (−4, 5).
(−4, 5)
문제 7그래프 읽기 — 속력 비교
거리-시간 그래프에서 A구간은 6분 동안 300m, B구간은 3분 동안 300m를 이동했다. 어느 구간이 더 빠른가?

풀이 — 거리가 같으니, 답을 정하는 것은 시간 하나뿐

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「많이 갔으니 빠르다」가 안 통하는 문제 A도 300m, B도 300m로 간 거리가 똑같습니다. 그러니 거리를 아무리 들여다봐도 답이 안 나옵니다. 여기서 일을 하는 것은 시간 하나입니다 — 같은 거리를 더 짧은 시간에 갔으면 그것이 더 빠릅니다. 그래서 거리 ÷ 시간으로 「1분에 몇 m」라는 같은 잣대로 바꿔 놓고 견줍니다. A는 300 ÷ 6 = 50, B는 300 ÷ 3 = 100. 그래프에서 이 값이 바로 선의 기울어진 정도입니다 — 가로로 조금 가는 동안 세로로 많이 올라가면 가파르고, 가파른 것이 곧 빠른 것입니다.
  2. A: 300 ÷ 6 = 분속 50m.
  3. B: 300 ÷ 3 = 분속 100m.
  4. 검산: B는 A의 100 ÷ 50 = 2배. 같은 300m를 B는 절반인 3분에 갔으니 ✓
"점은 순서쌍, 그래프는 이야기 — 먼저 가로 그다음 세로. 그래프의 기울어진 정도가 곧 이야기의 속도다."— 장대경 선생님 제29강 「좌표평면과 그래프」
B구간이 더 빠르다
문제 8그래프 읽기 — 수평 구간
물통에 일정한 속도로 물을 채우다가 중간에 수도꼭지를 잠갔다. 이 상황의 시간-물의 양 그래프에서 수평인 구간은 무엇을 의미하는가?

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 수평은 「물이 0」이 아니라 「변화가 0」이다 가장 많이 나오는 틀린 답이 「물이 하나도 없는 구간」입니다. 수평선이 바닥에 붙어 있다고 착각해서 그렇습니다. 그런데 수평선은 바닥에서 한참 높은 자리에도 그어질 수 있습니다. 읽는 자리를 갈라 두십시오. 선의 높이 = 지금 물이 얼마나 있나, 선의 기울기 = 물이 얼마나 빨리 늘고 있나. 수평이라는 것은 기울기가 0이라는 뜻이니 「늘지 않는다」일 뿐, 높이는 그대로 남아 있습니다. 물통에 물은 이미 차 있고, 다만 더 들어오지 않는 것 — 그것이 수도꼭지를 잠근 구간입니다.
  2. 기울기 0 → 시간이 지나도 세로값(물의 양)이 변하지 않는다 → 채우기를 멈춘 구간.
수도꼭지를 잠그고 멈춘 구간
문제 9축 위의 점 — 미지수
점 (2a−1, 3)이 y축 위에 있을 때, a의 값은?

풀이 — y축 위의 점은 x좌표가 0

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「y축 위」인데 손대는 것은 x좌표다 y축이라 하니 3 = 0이라 놓아야 하나 싶어 막힙니다. 그림을 떠올리면 곧바로 풀립니다. y축은 세로로 곧게 선 선이고, 그 위의 점은 좌우로 한 칸도 벗어나 있지 않습니다. 곧 x좌표가 0입니다. 거꾸로 세로 자리(y좌표)는 y축 위 어디든 될 수 있으니 아무 조건도 주지 않습니다 — 그래서 3은 건드리지 않습니다. 축 위의 점은 「그 축의 이름이 아닌 쪽」 좌표가 0이라고 한 줄로 쥐어 두십시오. 그러면 조건은 2a − 1 = 0 하나로 서고, 미지수도 하나이니 답이 정해집니다.
  2. 2a − 1 = 0 → 2a = 1 → a = 1/2.
  3. 검산: a = 1/2이면 x좌표는 2·(1/2) − 1 = 0 → 점은 (0, 3), 과연 y축 위 ✓
a = 1/2
문제 10상황을 그래프로
그네를 탈 때 그네의 높이를 시간에 따라 그래프로 그리면 어떤 모양이 될까?

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 그리는 것은 그네의 「길」이 아니라 「높이의 이야기」다 그네를 떠올리면 좌우로 왔다 갔다 하는 모습이 먼저 그려집니다. 그래서 옆으로 흔들리는 그림을 그리려다 막힙니다. 그런데 이 그래프의 가로축은 그네의 위치가 아니라 시간입니다. 시간은 되돌아가지 않고 오른쪽으로만 흐릅니다. 그러니 그릴 것은 「그네가 어디 있나」가 아니라 「그때그때 높이가 얼마인가」입니다. 그네는 가장 낮은 바닥 → 한쪽 끝에서 가장 높음 → 다시 바닥 → 반대쪽 끝에서 또 가장 높음을 되풀이합니다. 높이만 시간 순서로 이어 찍으면 같은 오르내림이 되풀이되는 물결이 됩니다. 왕복 한 번에 봉우리는 두 개가 생긴다는 것까지 보이면 다 읽은 것입니다.
  2. 그네가 오르내림을 되풀이하므로 그래프도 오르내림을 되풀이하는 물결 모양이 된다.
오르내림을 반복하는 물결 모양

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

“점 찍고 이야기 읽기”가 함수의 뿌리

중1에서 익힌 순서쌍과 그래프 읽기가, 학년이 올라가면 함수의 언어로 그대로 이어집니다.

① 순서쌍의 규칙 → 중2 정비례·반비례
중2 · 정비례와 반비례
순서쌍을 규칙(y=ax 등)대로 계속 찍으면 직선이나 곡선이 나와요. 정비례 y=2x가 지나는 점 중 x=3이면 y=6 — 순서쌍 찾기와 완전히 같은 방법이에요.
② 그래프 기울어짐 → 중2 일차함수 기울기
중2 · 일차함수
문제 7의 "가파를수록 빠르다"가 바로 기울기예요. 두 점 (1,2), (4,8)을 지나는 직선의 기울기는 (8−2)÷(4−1) = 2. 세로 증가량 ÷ 가로 증가량, 오늘 배운 속력 계산과 똑같은 나눗셈이에요.
③ 상황 → 그래프 매칭 → 고1 함수의 그래프 해석
고1 · 함수와 그래프
문제 10처럼 "상황을 보고 그래프 모양을 떠올리는" 힘은 고등학교에서 복잡한 함수 그래프를 해석할 때도 그대로 쓰여요. 그래프는 늘 "숫자로 된 이야기"라는 걸 잊지 마세요.

도전 · 이 방법만으로 위 학년 문제 풀기

"순서쌍·사분면·기울기" 하나로, 아직 안 배운 학년 문제도 풀린다. 학년별 도전!

도전 · 초등격자에서 칸 세기
출발점에서 오른쪽으로 4칸, 위로 1칸 간 곳에 깃발이 있다. 이 위치를 순서쌍으로 쓰면?

풀이 — 가로 먼저, 세로 나중

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「(1, 4)」라고 쓰면 아주 다른 자리다 숫자 4와 1은 금방 찾는데, 어느 것을 앞에 쓰느냐에서 갈립니다. 순서쌍은 언제나 (가로, 세로)입니다 — 문제에 오른쪽이 먼저 나왔든 위가 먼저 나왔든 상관없습니다. (4, 1)은 오른쪽으로 4칸, 위로 1칸인 납작한 자리이고, (1, 4)는 오른쪽으로 1칸, 위로 4칸인 높다란 자리 — 완전히 다른 점입니다. 그래서 「순서」쌍이라고 부릅니다. 지도에서 가로줄을 먼저 짚고 세로줄을 나중에 짚는 것과 똑같습니다.
  2. 가로 4, 세로 1 → (4, 1).
(4, 1)
도전 · 중2정비례 그래프
정비례 그래프 y = 2x가 지나는 점 중, x = 3일 때 y의 값은?

풀이 — 「그래프 위에 있다」는 말은 「식에 넣으면 맞는다」는 뜻

  1. ⭐ 여기가 고비 — 그래프를 그리지 않고도 답이 나오는 까닭 「그래프가 지나는 점」이라 하니 먼저 그래프를 그려야 할 것 같습니다. 그릴 필요가 없습니다. 어떤 점이 그래프 위에 있다 = 그 점의 x, y를 식에 넣으면 등식이 맞는다 — 이 둘은 같은 말입니다. 그러니 그림 문제가 계산 문제로 바뀝니다. x = 3을 y = 2x에 넣으면 y = 2 × 3 = 6. 점은 (3, 6)입니다. 이 한 줄이 중2 정비례부터 고등 함수까지 그대로 쓰입니다 — 그래프와 식을 오갈 수 있게 해 주는 다리이기 때문입니다.
  2. y = 2 × 3 = 6.
y = 6, 즉 점 (3, 6)
도전 · 중2기울기 계산
두 점 (1, 2)와 (4, 8)을 지나는 직선의 기울기는?

풀이 — 세로 증가량 ÷ 가로 증가량

  1. 세로 증가량 8 − 2 = 6, 가로 증가량 4 − 1 = 3.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 어느 점부터 빼야 하나 두 점이 주어지면 「(1,2)에서 빼야 하나, (4,8)에서 빼야 하나」에서 손이 멈춥니다. 답은 어느 쪽부터 빼도 된다입니다. 다만 위아래를 같은 순서로 맞추기만 하면 됩니다. 거꾸로 빼 보십시오 — (2 − 8) ÷ (1 − 4) = (−6) ÷ (−3) = 2. 분자와 분모의 부호가 함께 뒤집히므로 몫은 그대로입니다. ⛔ 오직 한쪽만 뒤집는 것, 곧 (8 − 2) ÷ (1 − 4) = −2가 틀립니다. 「같은 점을 먼저 쓴다」 하나만 지키면 됩니다.
  3. 기울기 = 6 ÷ 3 = 2.
  4. 검산: x가 1에서 4로 3만큼 갈 때 y는 2에서 8로 6만큼 = 1칸에 2씩 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 위아래 순서를 엇갈리게 빼면 세로는 (4, 8) 쪽부터, 가로는 (1, 2) 쪽부터 빼서 (8 − 2) ÷ (1 − 4) = 6 ÷ (−3) = −2 라 해 봅시다. 기울기가 음수라면 오른쪽으로 갈수록 내려가야 하는데, 이 직선은 x 가 1에서 4로 커질 때 y 도 2에서 8로 커집니다. 그림과 답의 부호가 어긋나니 틀린 것입니다. → 위아래 모두 같은 점부터 빼면 됩니다 — (8 − 2) ÷ (4 − 1) = 2, 거꾸로 (2 − 8) ÷ (1 − 4) = 2 도 같습니다.
기울기 = 2
※ 이 자료의 문제·풀이는 장대경 선생님의 방법(순서쌍·사분면 부호표·그래프 기울기)을 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 답을 직접 손으로 검산했습니다. — 연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학
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