장대경 선생님 특강 8편 · 조합 실전 — "무기는 넷, 통하는 학년은 전부"

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"수학은 국어다" 8편

조합 문제 수백 개, 매번 새로워 보이지?
사실 진짜 무기는 딱 네 개 — 그리고 이 넷은 모든 학년 수학이랑 통해.

🧒 저학년도 — 그냥 세어보면 돼

경우의 수는 어려운 말 아니야. 가지를 쳐서 세어보는 것부터야.
티셔츠 2, 바지 2 → 갈래를 세면 2 곱하기 2, 네 가지. 이 ‘세어보기’가 조합의 씨앗이야.

🔑 조합의 세 정신

① 뽑고 나서 세운다 — 선택과 배열을 분리
② 구조를 먼저 잡는다 — 낱개 말고 짝·덩어리로
③ 중복은 나누고, 자리엔 배분 — 같은 건 ÷, 다른 자리엔 ×

무기 넷은 전부 이 세 정신에서 나와. 이것만 붙잡으면 조합이 한 덩어리로 보여.

무기① 문제 — 구조 먼저

12짝에서 4짝을 뽑는데
딱 한 켤레만 짝이 맞게!

이런 ‘짝’ 문제, 낱개로 세면 지옥이야. 켤레를 통째로 다뤄야 해.

무기① 풀이 — 짝은 통째로

짝 맞을 1켤레 먼저 ₆C₁=6
× 낱개로 데려올 2켤레 ₅C₂=10
× 각 켤레서 한 짝 2²=4 = 240

이 ‘구조 먼저’ 눈이 중3에서 또 나와 — x²+y²을 낱개로 안 구하고 (x+y)²과 xy 덩어리로. 우리 2편 식의 구조랑 똑같아!

무기② 문제 — 뽑고 세우기

어른 3·어린이 2 뽑아 한 줄!
어린이끼리 이웃 금지 🚫

뽑기랑 세우기가 섞였지? 절대 한꺼번에 하지 마.

무기② 풀이 — 상대를 먼저 세운다

뽑기 ₅C₃·₄C₂=60
세우기 3!·₄P₂=72 = 4,320

어른 먼저 세워 빈자리 4곳 만들고, 거기 어린이를 순서대로. 이 ‘단계로 곱하기’가 중2 경우의 수(곱의 법칙) 바로 그거야.

무기③ — 격자는 두 방향씩

빨 4줄 · 파 3줄 · 초 2줄
평행사변형은 몇 개?

평행사변형 = 두 방향의 평행선 각각 2줄씩. 방향을 2개씩 짝지어 세면 돼.

무기③ 풀이 — 방향 2개씩 짝지어

빨·파 : ₄C₂·₃C₂ = 18
빨·초 : ₄C₂·₂C₂ = 6
파·초 : ₃C₂·₂C₂ = 3 → 27

두 줄씩 뽑아 곱하고 다 더한다. 이 격자 세는 눈이 중1 좌표 모눈, 우리 3편 기울기의 ‘가로·세로 칸’과 똑같아.

무기④ — 크기 같은 조는 나눈다

구분 없는 두 바구니에
각각 최소 1개씩 나눠 담으면?

바구니를 구분할 수 없어서 크기가 같은 3·3 조는 조심해야 해.

무기④ 풀이 — 크기 같은 조만 ÷2!

1·5 나누기 ₆C₁=6
2·4 나누기 ₆C₂=15
3·3 나누기 ₆C₃÷2!=10 → 31

1·5나 2·4는 크기가 다르니 그냥 세면 끝, 3·3만 바구니를 바꿔도 같은 조라서 2로 나눠. 이 ‘÷대칭’이 중3 같은 것이 있는 순열(바나나 = 6!÷3!2!) 바로 그거야.

그래서 — 무기는 넷, 뿌리는 셋

① 구조 먼저 · ② 뽑고 세우기 · ③ 격자 2방향 · ④ ÷대칭 ×배분
↓ 전부
분리하고 · 덩어리로 잡고 · 중복은 나눈다

문제는 수백 개라도 붙잡을 건 세 정신뿐. 새 문제를 만나도 ‘셋 중 뭐지?’만 물으면 돼.

🎓 고학년은 — 이항정리로

(a+b)ⁿ 의 계수가
전부 ₙCᵣ — 조합!

고2 이항정리의 계수는 전부 조합 ₙCᵣ. 그리고 ₙCᵣ은 결국 ‘같은 것 나눠주기’. 오늘 무기가 고등까지 그대로 이어져.

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무기는 넷, 통하는 학년은 전부

① 구조먼저 = 중3 곱셈공식 · ② 뽑고세우기 = 중2 경우의 수 · ③ 격자 = 기울기 · ④ ÷대칭 = 같은것 순열.
몇 개 법칙으로 모든 학년이 이어진 하나 — 그게 ‘수학은 국어다’야.

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"수학은 국어다"
조합 — 무기는 넷

새 문제를 만나면 ‘셋 중 뭐지?’만 물어. 네 것으로 만들어봐.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 8편