∫📏
정적분은 안 어려워.
범위만 조심하면 돼
범위만 조심하면 돼
계산은 부정적분과 똑같아. 정적분에서 새로 생기는 건 딱 하나,
위끝과 아래끝이야. 이 둘만 정확히 챙기면 문제는 다 풀려.
위끝과 아래끝이야. 이 둘만 정확히 챙기면 문제는 다 풀려.
🔑 핵심① · 위끝을 넣고, 아래끝을 넣어 뺀다
∫ba f(x) dx = F(b) − F(a)
f(x) ≥ 0이면 이 값이 곧 그래프와 x축 사이의 넓이야.
🔑 핵심② · 위끝과 아래끝이 같으면 무조건 0
∫aa f(x) dx = F(a) − F(a) = 0
폭이 0이니 넓이도 0· 함수가 무엇이든 상관없다
뒤에 나올 ∫xa f(t) dt 문제에서 이게 결정적인 무기가 된다
뒤에 나올 ∫xa f(t) dt 문제에서 이게 결정적인 무기가 된다
🔑 핵심③ · 자리를 바꾸면 부호가 바뀐다
∫ba f(x) dx = − ∫ab f(x) dx
∫20 (3x² − 4x + 5) dx
= 10
∫02 (3x² − 4x + 5) dx
= −10
아래끝이 더 크게 적혀 있어도 겁먹지 마. 자리를 바꾸고 마이너스를 붙이면 끝.
✏️ 예제① · 분수는 약분부터
∫10 x³ + 1x + 1 dx
x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1) ⇒ x + 1 이 약분
∫10 (x² − x + 1) dx = 13 − 12 + 1 = 56
∫10 (x² − x + 1) dx = 13 − 12 + 1 = 56
분수라고 당황하지 마. 인수분해 → 약분 하면 다항식이 돼.
🔑 핵심④ · 같은 함수면 구간을 붙이고 뗀다
∫ba + ∫cb = ∫ca
거꾸로 잘라내기도 된다 ·
∫4−2 −
∫42 =
∫2−2
✏️ 예제② · 붙이고 합치면 그냥 1
∫21 x²x²+1 dx
+
∫42 x²x²+1 dx
+
∫41 1x²+1 dx
① 앞의 둘은 구간이 이어진다 ⇒
∫41 x²x²+1 dx
② 이제 셋째와 구간이 같다 ⇒ ∫41 x² + 1x² + 1 dx = ∫41 1 dx
③ = 4 − 1 = 3
② 이제 셋째와 구간이 같다 ⇒ ∫41 x² + 1x² + 1 dx = ∫41 1 dx
③ = 4 − 1 = 3
🔑 핵심⑤ · 절댓값이 보이면 반드시 끊는다
절댓값 안 = 0 이 되는 곳이 경계
음수인 구간 ⇒ 부호를 뒤집어서 적분
양수인 구간 ⇒ 그대로 적분
두 값을 더한다
양수인 구간 ⇒ 그대로 적분
두 값을 더한다
그래프로 보면 x축 아래로 내려간 부분을 위로 접어 올리는 거야.
✏️ 예제③ · ∫20 |x² − 1| dx
경계는 x² − 1 = 0 ⇒ x = 1
∫10(1 − x²)dx = 1 − 13 = 23
∫21(x² − 1)dx = 43
⇒ 답 = 2
∫10(1 − x²)dx = 1 − 13 = 23
∫21(x² − 1)dx = 43
⇒ 답 = 2
✏️ 예제④ · ∫20 |x² + x − 2| dx
x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1)
0 ≤ x ≤ 2 안의 경계는 x = 1
∫10(−x² − x + 2)dx = 76
∫21(x² + x − 2)dx = 116
⇒ 186 = 3
0 ≤ x ≤ 2 안의 경계는 x = 1
∫10(−x² − x + 2)dx = 76
∫21(x² + x − 2)dx = 116
⇒ 186 = 3
🔑 핵심⑥ · 대칭 구간이면 홀수는 지우고 짝수는 두 배
기함수 (홀수 차수)
x, x³, x⁵
∫a−a = 0
우함수 (짝수 차수·상수)
x², x⁴, 상수
∫a−a = 2∫a0
✏️ 예제⑤ · ∫2−2 (x³ + 4x² − 3x + 1) dx
① 홀수 차수 x³, −3x ⇒ 지운다 (0)
② 남은 것 4x² + 1 은 우함수 ⇒ 2 ∫20(4x² + 1)dx
③ = 2 × ( 323 + 2 ) = 2 × 383 = 763
② 남은 것 4x² + 1 은 우함수 ⇒ 2 ∫20(4x² + 1)dx
③ = 2 × ( 323 + 2 ) = 2 × 383 = 763
한 줄로 끝난다. 대칭 구간을 보면 먼저 홀수부터 지워라.
🔑 핵심⑦ · 구간이 숫자뿐이면 그 정적분은 그냥 상수
f(x) = 3x² + x ∫10 f(t) dt
① ∫10 f(t)dt = k 라 놓으면 ⇒ f(x) = 3x² + kx
② 다시 0 → 1 로 적분 : ∫10(3t² + kt)dt = 1 + k2
③ 이것이 k 와 같아야 하므로 ⇒ k = 2
④ f(x) = 3x² + 2x ⇒ f(2) = 16
② 다시 0 → 1 로 적분 : ∫10(3t² + kt)dt = 1 + k2
③ 이것이 k 와 같아야 하므로 ⇒ k = 2
④ f(x) = 3x² + 2x ⇒ f(2) = 16
🔑 핵심⑧ · 위끝에 x 가 있으면 무기는 딱 둘
∫xa f(t) dt = (어떤 식)
① 양변에 x = a 를 넣는다 ⇒ 왼쪽이 0
② 양변을 x 로 미분한다 ⇒ 왼쪽이 f(x)
② 양변을 x 로 미분한다 ⇒ 왼쪽이 f(x)
이 두 개면 이 꼴의 문제는 거의 다 풀린다.
✏️ 예제⑥ · ∫x3 f(t) dt = x² − ax − 3
① x = 3 대입 ⇒ 0 = 9 − 3a − 3 ⇒ 3a = 6 ⇒ a = 2
② 양변 미분 ⇒ f(x) = 2x − 2
③ 확인 ⇒ f(3) = 4
② 양변 미분 ⇒ f(x) = 2x − 2
③ 확인 ⇒ f(3) = 4
위끝과 아래끝이 같으면 0 — 이것 하나로 미지수가 잡힌다.
✏️ 예제⑦ · ∫x1 (x − t) f(t) dt = x³ − 2x² + x
① 적분 안의 x 는 상수 취급 ⇒
x∫x1f(t)dt − ∫x1 t f(t)dt
② 한 번 미분 ⇒ ∫x1f(t)dt = 3x² − 4x + 1
③ 한 번 더 미분 ⇒ f(x) = 6x − 4
④ ⇒ f(2) = 8
② 한 번 미분 ⇒ ∫x1f(t)dt = 3x² − 4x + 1
③ 한 번 더 미분 ⇒ f(x) = 6x − 4
④ ⇒ f(2) = 8
(x − t) 처럼 x 가 섞여 있으면 먼저 밖으로 빼고 미분한다.
🏁 한 걸음 더 · 그리고 오늘의 정리
limh→0
1h
∫1+2h1 f(t) dt = 2 f(1)
위끝=아래끝 ⇒ 0|
자리 바꾸면 ⇒ 부호 반대|
구간은 붙이고 뗀다
절댓값은 끊는다| 대칭 구간은 홀수를 지운다| 정적분은 상수 k
위끝에 x 가 있으면 대입하거나 미분한다
절댓값은 끊는다| 대칭 구간은 홀수를 지운다| 정적분은 상수 k
위끝에 x 가 있으면 대입하거나 미분한다
연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어.
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