모눈종이에 밑변 4칸, 높이 3칸인 직사각형을 그리면 칸이 12개, 넓이는 12이에요. 그런데 비스듬한 선이 들어가면 칸이 반쪽씩 남죠? 그럴 땐 칸을 더 잘게 쪼개서 세면 훨씬 정확해져요.
적분은 바로 이 "잘게 쪼개서 다 더하기"예요. 그리고 "어디부터 어디까지" 셀지를 정해 주는 것이 위끝과 아래끝이랍니다. 세는 구간이 없으면(위끝 = 아래끝) 넓이도 0이겠죠.
밑변 4 × 높이 3 = 12칸 · 세는 구간이 없으면 0
연습 10제
문제 1기본 계산 · 규칙 1
다음 정적분의 값을 구하여라. ∫2−1 (3x2 − 2x + 1) dx
풀이 — 부정적분을 구하고 위끝, 아래끝을 넣어 뺀다
⭐ 여기가 고비 — 새로 생긴 것은 위끝과 아래끝, 딱 둘뿐이다
정적분이라 하면 새 계산법을 배워야 할 것 같지만, 계산은 부정적분과 한 글자도 다르지 않습니다.달라진 것은 「구한 F(x)에 두 수를 넣어 빼는 일」 하나입니다.
그리고 그 뺄셈에서 부호를 놓치는 것이 이 단원 실수의 절반입니다.
F(−1) = −3인데 F(2) − F(−1)은
6 − (−3) = 6 + 3 = 9 — 빼기와 음수가 만나 더하기가 됩니다.
그냥 6 − 3 = 3이라 쓰면 틀립니다. 습관 하나로 막습니다 — 아래끝의 값은 반드시 괄호에 넣어 적는다.6 − (−3)처럼 써 놓으면 눈이 부호를 놓치지 않습니다. 적분상수 C는 왜 안 쓰나요? 어차피 빼면서 사라지기 때문입니다.
부정적분 F(x) = x3 − x2 + x.
F(2) = 8 − 4 + 2 = 6.
F(−1) = −1 − 1 − 1 = −3.
F(2) − F(−1) = 6 − (−3) = 9.
"계산은 부정적분과 똑같아. 정적분에서 새로 생기는 건 딱 하나, 위끝과 아래끝이야. 이 둘만 정확히 챙기면 문제는 다 풀려."— 장대경 선생님 특강 핵심① (위끝을 넣고 아래끝을 넣어 뺀다)
9
문제 2값이 음수일 수도 있다
다음 정적분의 값을 구하고, 그 값이 음수인 까닭을 그래프로 설명하여라. ∫30 (x2 − 4x) dx
풀이 — 정적분은 "부호가 있는 넓이"다
F(x) = 13x3 − 2x2.
F(3) = 9 − 18 = −9, F(0) = 0.
따라서 값은 −9 − 0 = −9.
⭐ 여기가 고비 — 정적분 ≠ 넓이. 넓이는 늘 양수지만 정적분은 음수도 된다
"넓이가 −9라니?" 하고 계산을 다시 뒤지게 되는 자리입니다. 계산은 맞았습니다.정적분은 「넓이」가 아니라 「부호가 있는 넓이」이기 때문입니다.
x² − 4x = x(x−4)이므로 0 < x < 4에서는 함수값이 음수,
곧 구간 0 ~ 3 내내 그래프가 x축 아래에 있습니다.
x축 아래에 있는 부분은 마이너스로 세어집니다. 그래서 −9.
· 「정적분의 값을 구하라」 → 부호를 그대로 → −9
· 「넓이를 구하라」 → 절댓값을 씌워 → 9 문제가 무엇을 물었는지에 따라 답이 갈립니다.이 구분이 뒤에 나오는 절댓값 적분(문제 6·7)의 뿌리입니다.
x2 − 4x = x(x − 4)이므로 0 < x < 3에서 그래프가 x축 아래에 있다. 넓이를 물었다면 절댓값을 씌워 9가 되지만, 정적분 자체는 부호를 그대로 가지므로 −9다.
−9 (넓이로 물었다면 9)
문제 3자리 바꾸기 · 규칙 3
다음 정적분의 값을 구하여라. 아래끝이 위끝보다 크다는 점에 주의하여라. ∫02 (2x + 3) dx
풀이 — 자리를 바꾸고 마이너스를 붙인다
⭐ 여기가 고비 — 아래끝이 더 크면 그대로 계산해도 되지만, 부호를 놓치기 쉽다
위끝이 0이고 아래끝이 2 — 거꾸로 적혀 있어 손이 멈춥니다. 겁먹을 것은 없습니다.
「자리를 바꾸고 마이너스를 붙인다」 한 손이면 익숙한 꼴로 돌아옵니다.
까닭은 정의에 그대로 들어 있습니다 —
F(0) − F(2)는 −[F(2) − F(0)]과 같은 것이니까요.
뺄셈의 순서를 뒤집으면 부호가 바뀐다 — 그것이 전부입니다.
그래서 ∫₂⁰ = −∫₀². 정방향 값이 10이므로 답은 −10. 사실 그냥 F(0) − F(2) = 0 − 10 = −10으로 계산해도 같습니다.바꿔 쓰기를 권하는 까닭은 「부호를 눈에 보이게 적어 두려는 것」입니다 —
머릿속에서만 뒤집으면 반드시 한 번은 놓칩니다.
자리를 바꾸면 ∫02 = − ∫20.
F(x) = x2 + 3x, F(2) = 4 + 6 = 10, F(0) = 0.
정방향 값은 10이므로 구하는 값은 −10.
−10
문제 4약분 · 인수분해
다음 정적분의 값을 구하여라. ∫20x3 + 8x + 2 dx
풀이 — 분수는 인수분해해서 약분부터
⭐ 여기가 고비 — 분수인 채로는 적분할 수 없다, 먼저 다항식으로(x³+8)/(x+2)를 보고 분자와 분모를 따로 적분하려 들면 그 자리에서 끝납니다.
나눗셈은 적분과 따로 놀지 않습니다. 먼저 약분해서 다항식으로 만드는 것이 유일한 길입니다.
분모가 x+2이니 분자에서 (x+2)를 찾아내야 합니다.
세제곱의 합 공식이 그것을 줍니다 —
x³ + 8 = x³ + 2³ = (x+2)(x² − 2x + 4).
약분하면 x² − 2x + 4라는 깨끗한 다항식이 남고, 그때부터는 문제 1과 같습니다. 공식이 기억나지 않으면 조립제법(또는 직접 나누기)으로도 같은 몫이 나옵니다. 「적분 기호를 보기 전에 식부터 정리한다」 — 분수·괄호·곱이 있으면 늘 먼저 풀어 놓습니다.
다음 정적분의 값을 구하여라. 대칭 구간임을 이용하여라. ∫2−2 (x5 − 3x3 + 2x2 − x + 4) dx
풀이 — 홀수는 지우고, 짝수는 두 배
⭐ 여기가 고비 — 다섯 항 가운데 셋을 아예 계산하지 않는다
다섯 항을 전부 적분하면 분수가 뒤엉켜 실수가 납니다.
구간이 −2 ~ 2로 대칭이라는 것을 먼저 보면 절반 이상이 그냥 사라집니다.까닭은 기함수(홀수 차수)의 그래프가 원점 대칭이기 때문입니다.
왼쪽 절반에서 x축 아래로 내려간 만큼 오른쪽 절반에서 위로 올라가므로 더하면 정확히 0입니다.
· 홀수 차수x⁵, −3x³, −x → 모두 0. 계산하지 않는다.
· 짝수 차수와 상수2x² + 4 → 좌우가 똑같으니 절반만 구해 두 배. 「홀수는 지우고, 짝수는 두 배」 — 대칭 구간을 보면 먼저 홀수부터 지웁니다. 주의 : 이 수법은 구간이 −a ~ a로 대칭일 때만 씁니다.
0 ~ 2였다면 하나도 지울 수 없습니다.
홀수 차수 x5, −3x3, −x는 기함수 → 대칭 구간에서 모두 0.
남는 것은 우함수인 2x2 + 4 → 2∫20(2x2 + 4)dx.
∫20(2x2 + 4)dx = 163 + 8 = 403.
두 배 하면 803.
"한 줄로 끝난다. 대칭 구간을 보면 먼저 홀수부터 지워라."— 장대경 선생님 특강 핵심⑥ (대칭 구간)
80/3
문제 6절댓값 · 일차식
다음 정적분의 값을 구하여라. ∫30 |x − 2| dx
풀이 — 절댓값 안이 0이 되는 x = 2 에서 끊는다
⭐ 여기가 고비 — 절댓값은 벗기는 것이 아니라 끊는 것|x−2|를 그냥 x−2로 벗겨 적분하면 음수 부분이 그대로 마이너스로 세어져 틀립니다.
절댓값이 보이면 「안이 0이 되는 곳」에서 구간을 끊습니다.여기서는 x − 2 = 0 → 경계는 x = 2, 그리고 그것이 구간 0~3 안에 있습니다.
· 0 ≤ x < 2 : 안이 음수 → 부호를 뒤집어(2 − x)로 적분
· 2 ≤ x ≤ 3 : 안이 양수 → 그대로(x − 2)로 적분 그림으로 보면 「x축 아래로 내려간 부분을 위로 접어 올리는 것」입니다 — 그래서 값이 늘 0 이상이 됩니다. 경계가 구간 밖에 있으면 끊을 필요가 없습니다 — 그때는 한쪽 부호로 통째로 갑니다.
"그래프로 보면 x축 아래로 내려간 부분을 위로 접어 올리는 거야."— 장대경 선생님 특강 핵심⑤ (절댓값이 보이면 반드시 끊는다)
5/2
문제 7절댓값 · 이차식
다음 정적분의 값을 구하여라. ∫30 |x2 − 4| dx
풀이 — 인수분해로 경계를 찾고 끊는다
⭐ 여기가 고비 — 영점이 둘(−2, 2)인데 끊는 곳은 하나다x² − 4 = 0을 풀면 x = ±2 — 영점이 둘입니다.
그런데 x = −2에서도 끊으려 하면 안 됩니다.적분 구간이 0 ≤ x ≤ 3이므로 −2는 구간 밖입니다.
구간 밖의 영점은 아무 일도 하지 않습니다.
그러니 실제로 끊는 곳은 x = 2 하나뿐이고, 구간은 둘로 갈립니다.
· 0 ≤ x < 2 : x²−4가 음수 → 뒤집어 (4 − x²)
· 2 ≤ x ≤ 3 : 양수 → 그대로 (x² − 4) 순서를 못 박아 두십시오 — ① 영점을 모두 구한다 ② 그중 구간 안의 것만 남긴다 ③ 그 자리에서 끊는다.
②를 건너뛰면 있지도 않은 구간을 만들게 됩니다.
x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) → 구간 0 ≤ x ≤ 3 안의 경계는 x = 2.
⭐ 여기가 고비 — 붙일 수 있는 조건은 둘이다
두 정적분을 하나로 붙이면 계산이 반으로 줄지만, 아무 때나 붙일 수 있는 것은 아닙니다.① 피적분함수가 같아야 하고 ② 앞의 위끝과 뒤의 아래끝이 같아야 합니다.
여기서는 둘 다 2x이고(①), 앞의 위끝이 3·뒤의 아래끝이 3으로 같습니다(②) →
∫₁³ + ∫₃⁵ = ∫₁⁵. 뜻으로 보면 당연합니다 — 1에서 3까지 간 것과 3에서 5까지 간 것을 이으면 1에서 5까지이니까요.
가운데 3이 「지워지는」 것입니다.
그러면 F(5) − F(1) = 25 − 1 = 24로 중간 계산이 통째로 사라집니다. 따로 구해도 같은지 검산해 두면 안심됩니다 : (9−1) + (25−9) = 8 + 16 = 24 ✓
가운데 9가 더해졌다 빠지는 것이 보입니다.
피적분함수가 같고 가운데 끝점이 3으로 같으므로 ∫51 2x dx로 붙는다.
F(x) = x2 → F(5) − F(1) = 25 − 1 = 24.
검산: 따로 구해도 (9 − 1) + (25 − 9) = 8 + 16 = 24 ✔
24
문제 9정적분은 상수 · 규칙 7
함수 f(x)가 다음을 만족할 때 f(1)의 값을 구하여라. f(x) = 3x2 + ∫10 t f(t) dt
풀이 — 숫자 구간의 정적분은 상수이므로 통째로 k라 놓는다
⭐ 여기가 고비 — 적분 기호가 사실은 숫자 하나다f(x)를 구해야 하는데 그 정의 안에 f가 또 들어 있어 돌고 도는 것처럼 보입니다.
여기서 멈추지 않으려면 적분 부분을 「모르는 숫자 k」로 바라보는 눈이 필요합니다.
까닭 : ∫₀¹ t f(t) dt는 위끝·아래끝이 모두 숫자라
그 값이 x와 아무 상관 없는 고정된 값입니다. 변수가 아니라 상수인 것이지요.
(적분변수 t는 계산이 끝나면 사라집니다.)
그러니 k라 이름 붙이면 f(x) = 3x² + k —
모르는 것이 k 하나뿐인 아주 평범한 문제가 됩니다.
그다음은 그 f를 원래 정의식에 되넣어 k에 대한 방정식을 만드는 것뿐입니다 →
k = ¾ + k/2 → k = 3/2. 「구간이 숫자뿐이면 그 정적분은 그냥 상수」 — 이 한 줄이 이 유형의 전부입니다.
∫10 t f(t)dt = k라 하면 f(x) = 3x2 + k.
이것을 정의식에 되넣는다: k = ∫10 t(3t2 + k)dt = ∫10(3t3 + kt)dt.
= [34t4 + k2t2]10 = 34 + k2.
k = 34 + k2 → k2 = 34 → k = 32.
f(x) = 3x2 + 32 → f(1) = 3 + 32 = 92.
"구간이 숫자뿐이면 그 정적분은 그냥 상수 — 통째로 k라 놓는다."— 장대경 선생님 특강 핵심⑦
9/2
문제 10위끝에 x · 규칙 2 + 7
다음이 모든 실수 x에 대하여 성립할 때, 상수 a의 값과 f(2)를 구하여라. ∫x2 f(t) dt = x2 + ax − 6
풀이 — ① x = 2 를 넣어 0, ② 미분해서 f(x)
⭐ 여기가 고비 — 위끝에 x가 있으면 무기는 딱 둘, 대입과 미분∫₂ˣ f(t)dt는 x에 따라 값이 변하므로 상수가 아닙니다 — 문제 9의 수법이 안 통합니다.
대신 이 꼴에는 전용 무기가 둘 있고, 그 둘이면 끝납니다.
① 아래끝과 같은 수를 대입한다 —
x = 2를 넣으면 위끝 = 아래끝이라 왼쪽이 무조건 0입니다.
그러면 오른쪽도 0이어야 하므로 4 + 2a − 6 = 0 → a = 1.
미지수가 이 한 줄로 잡힙니다.
② 양변을 x로 미분한다 — 왼쪽은 미분하면 그냥 f(x)가 됩니다.
오른쪽을 미분하면 2x + a = 2x + 1 → f(x) = 2x + 1 →
f(2) = 5. 「대입해서 미지수, 미분해서 f」 — 이 두 손이면 이 꼴의 문제는 거의 다 풀립니다.
양변에 x = 2를 넣으면 왼쪽은 위끝 = 아래끝이므로 0.
오른쪽은 4 + 2a − 6 = 2a − 2.
2a − 2 = 0 → a = 1.
양변을 x로 미분하면 f(x) = 2x + 1.
f(2) = 5.
"위끝과 아래끝이 같으면 0 — 이것 하나로 미지수가 잡힌다."— 장대경 선생님 특강 핵심⑧ (위끝에 x가 있을 때)
a = 1, f(2) = 5
제일 밑에 · 이 방법을 다른 개념·과목에 쓰는 비법
"어디부터 어디까지 다 더한다" 하나로 넓이·부피·물리까지
오늘 익힌 "범위를 정해 놓고 잘게 쪼개 다 더한다"는, 뒤로 갈수록 넓이·부피·거리·확률로 그대로 이어집니다.
① 두 곡선 사이의 넓이 — "위 − 아래"를 적분한다
고2 · 적분법
두 그래프가 만나는 교점의 x좌표가 위끝·아래끝이 되고, (위쪽 함수 − 아래쪽 함수)를 그 구간에서 적분하면 넓이입니다. 오늘의 절댓값 끊기가 바로 이것의 연습이에요.
② 속도를 적분하면 위치, 속력을 적분하면 거리
고2 · 적분의 활용 / 물리
속도 v(t)를 a → b로 적분하면 위치의 변화량이고, |v(t)|를 적분하면 실제로 움직인 거리입니다. 되돌아온 만큼 상쇄되느냐 아니냐 — 오늘의 절댓값 이야기와 똑같습니다.
③ 구분구적법 — 적분은 원래 "잘게 쪼개 더한 것의 극한"
고2 · 정적분의 정의
구간을 n등분해 직사각형 넓이를 더하고 n을 무한대로 보내면 정적분이 됩니다. 초등학교에서 모눈 칸을 세던 것이 여기까지 이어져요.
④ 회전체의 부피 — 원의 넓이를 적분한다
고2~ · 적분의 활용
곡선을 x축 둘레로 돌리면 단면이 반지름 f(x)인 원이므로, π{f(x)}²를 구간에서 적분하면 부피입니다. "단면을 다 더한다"는 같은 발상이에요.
⑤ 우함수·기함수는 계산 시간을 절반으로 줄인다
모든 학년 · 대칭성
대칭 구간에서 홀수 차수는 0이라는 사실 하나로 긴 다항식이 순식간에 짧아집니다. 시험장에서 −a → a를 보면 반사적으로 홀수부터 지우세요.
도전 6제 · 규칙을 두 개 이상 겹쳐 쓰기
한 문제에 규칙이 둘 이상 들어 있습니다. 어떤 규칙을 쓰는지 먼저 말해 보고 푸세요.
도전 1절댓값 + 인수분해
다음 정적분의 값을 구하여라. ∫20 |x2 − x| dx
풀이 — 경계가 구간의 끝(0)과 안쪽(1) 두 곳
⭐ 여기가 고비 — 영점 x=0은 구간의 끝이라 끊을 것이 없다
영점이 0과 1 둘인데, 0은 적분 구간의 아래끝 그 자체입니다.
여기서 또 끊으려 하면 길이가 0인 조각이 생겨 헛일이 됩니다.
끊는다는 것은 「구간을 둘로 가른다」는 뜻이므로, 구간의 안쪽(양 끝이 아닌 곳)에 있는 영점만 씁니다.
· x = 0 : 아래끝과 같음 → 끊을 필요 없음
· x = 1 : 구간 0~2의 안쪽 → 여기서 끊는다
그러면 두 조각 : 0~1은 음수라 뒤집고, 1~2는 양수라 그대로. 부호를 확인하는 가장 빠른 법은 한 점을 넣어 보는 것입니다 —
x = 0.5면 0.25 − 0.5 = −0.25 < 0 ✓ (음수 확인)
x2 − x = x(x − 1) → 영점은 x = 0, 1. 구간 안쪽의 경계는 x = 1.
다음 정적분의 값을 구하여라. 먼저 전개한 뒤 대칭성을 이용하여라. ∫1−1 (x + 1)2 dx
풀이 — 괄호가 있으면 대칭성이 안 보인다. 먼저 풀어라
⭐ 여기가 고비 — (x+1)²은 우함수도 기함수도 아니다
구간이 −1 ~ 1로 대칭이니 곧장 대칭성을 쓰고 싶어집니다.
그런데 (x+1)²은 제곱이라고 우함수가 아닙니다 — 괄호 안에 +1이 있어
그래프의 중심이 x = −1로 옮겨져 있기 때문입니다.
확인해 보면 압니다 — f(1) = 4인데 f(−1) = 0.
좌우가 다르니 우함수가 아닙니다. 이 상태로 「두 배」를 쓰면 틀립니다. 그래서 먼저 전개합니다 — x² + 2x + 1.
항으로 쪼개 놓아야 비로소 홀수·짝수를 가릴 수 있습니다 :
2x는 기함수라 0, x² + 1은 우함수라 두 배. 「괄호가 있으면 대칭성이 안 보인다. 먼저 풀어라.」
검산으로 직접 적분해도 8/3 ✓ 두 길이 같습니다.
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
홀수 차수 2x는 대칭 구간에서 0.
남은 x2 + 1은 우함수 → 2∫10(x2 + 1)dx = 2(13 + 1) = 83.
검산: 직접 하면 [13(x+1)3]1−1 = 83 − 0 = 83 ✔
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 전개하지 않고 대칭성을 쓰면"제곱이니까 우함수" 하고 2∫₀¹(x+1)²dx를 써 보자 → 2 × 7/3 = 14/3.
참값 8/3과 다릅니다. (x+1)²은 중심이 x=−1로 옮겨져 있어 좌우가 다릅니다
(f(1)=4인데 f(−1)=0).
→ 「두 배」는 좌우가 정말 같을 때만 씁니다. 먼저 전개해 항으로 쪼갠 뒤 홀수·짝수를 가르십시오.
8/3
도전 3두 번 미분
다음이 모든 실수 x에 대하여 성립할 때 f(3)의 값을 구하여라. ∫x1 (x − t) f(t) dt = x3 − 3x2 + 3x − 1
풀이 — 적분 안의 x를 밖으로 빼고 두 번 미분한다
⭐ 여기가 고비 — 적분 안의 x를 밖으로 빼내는 것이 첫 손∫₁ˣ (x − t) f(t) dt는 적분 기호 안에 x와 t가 섞여 있어 미분할 수가 없습니다.
먼저 x를 밖으로 빼내야 합니다.
까닭 : 적분변수는 t이므로, 적분하는 동안 x는 움직이지 않는 상수입니다.
상수는 적분 기호 밖으로 나올 수 있습니다 →
x∫₁ˣ f(t)dt − ∫₁ˣ t f(t)dt. 이제 미분할 수 있습니다. 앞엣것은 곱의 미분이라
∫₁ˣ f(t)dt + x f(x)가 나오고, 뒤엣것을 미분한 x f(x)와
서로 지워집니다.
남는 것은 ∫₁ˣ f(t)dt = 3x² − 6x + 3 — 한 번 더 미분하면f(x) = 6x − 6. 「x가 섞여 있으면 먼저 밖으로 빼고, 두 번 미분한다」 — 이 꼴은 언제나 이 차례입니다.
적분변수는 t이므로 x는 상수 취급 →
x∫x1f(t)dt − ∫x1 t f(t)dt.
한 번 미분(곱의 미분): ∫x1f(t)dt + x f(x) − x f(x) = ∫x1f(t)dt.
오른쪽은 3x2 − 6x + 3.
한 번 더 미분하면 f(x) = 6x − 6.
f(3) = 18 − 6 = 12.
검산: x = 1일 때 양변이 모두 0이고, 미분한 식도 3 − 6 + 3 = 0으로 맞다 ✔
f(3) = 12
도전 4상수 k · 답이 음수
함수 f(x)가 다음을 만족할 때 f(2)의 값을 구하여라. f(x) = x2 + ∫20 f(t) dt
풀이 — k가 음수로 나와도 당황하지 않는다
∫20 f(t)dt = k라 하면 f(x) = x2 + k.
⭐ 여기가 고비 — 상수 k를 적분하면 k가 아니라 2k∫₀²(t² + k)dt에서 k가 그대로 k로 나온다고 착각하는 것이
이 문제에서 가장 흔한 실수입니다.
상수를 적분하면 ∫k dt = kt이고, 여기에 위끝·아래끝을 넣으면
k·2 − k·0 = 2k입니다.
구간의 길이(2)만큼 곱해집니다 — 넓이로 보면 가로 2·세로 k인 직사각형이니 당연합니다.
그래서 k = 8/3 + 2k → −k = 8/3 → k = −8/3. k가 음수로 나와도 당황할 것 없습니다 —
f(x) = x² − 8/3은 x축 아래로 내려간 부분이 있어 정적분이 음수가 되는 것이 자연스럽습니다. 검산으로 되넣어 보면 확실합니다 :
∫₀²(t² − 8/3)dt = 8/3 − 16/3 = −8/3 = k ✓
되넣으면 k = ∫20(t2 + k)dt = 83 + 2k.
−k = 83 → k = −83.
f(x) = x2 − 83 → f(2) = 4 − 83 = 43.
검산: ∫20(t2 − 83)dt = 83 − 163 = −83 = k ✔
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 상수 k를 그대로 k로 두면∫₀²(t² + k)dt = 8/3 + k라 쓰면 k = 8/3 + k → 0 = 8/3.말이 안 되는 식이 나옵니다. 여기서 "문제가 이상하다"고 넘기면 안 됩니다 — 계산이 틀린 것입니다.
→ 상수를 적분하면 구간의 길이만큼 곱해집니다 : ∫₀² k dt = 2k.
식이 무너지면 「어디서 길이를 안 곱했나」를 먼저 보십시오.
f(2) = 4/3
도전 5극한 = 미분계수의 정의
f(x) = x3 + 1일 때 다음 극한값을 구하여라. limx→21x − 2∫x2 f(t) dt
풀이 — 이 꼴은 계산하지 말고 정의로 읽는다
⭐ 여기가 고비 — 적분을 계산하지 않고 「미분계수의 정의」로 읽는다∫₂ˣ (t³+1)dt를 실제로 계산해 대입하려 들면 식이 길어지고, 게다가
x → 2에서 분모도 분자도 0이 되어 그냥은 값을 못 냅니다.
이 꼴은 계산하는 것이 아니라 「알아보는 것」입니다.
F(x) = ∫₂ˣ f(t)dt라 두면 두 가지가 공짜로 따라옵니다 —
· F(2) = 0 (위끝 = 아래끝)
· F′(x) = f(x) (미적분의 기본정리)
그러면 주어진 식은 lim F(x) − F(2)x − 2 —
이것은 F의 x=2에서의 미분계수의 정의 그 자체입니다.
그러니 값은 F′(2) = f(2) = 2³ + 1 = 9. 「분모가 x − a이고 분자가 a에서 0이 되는 적분」이면 미분계수를 의심하십시오.
F(x) = ∫x2f(t)dt라 하면 F(2) = 0이고 F′(x) = f(x).
그러면 주어진 식은 limx→2F(x) − F(2)x − 2 = F′(2), 곧 미분계수의 정의.
F′(2) = f(2) = 23 + 1 = 9.
9
도전 6거꾸로 · 위끝을 구한다
다음을 만족하는 양수a의 값을 구하여라. ∫a0 (3x2 − 4x) dx = 0
풀이 — 값이 0 = "x축 위와 아래가 똑같이 상쇄되는 지점"
F(x) = x3 − 2x2, F(0) = 0.
따라서 조건은 a3 − 2a2 = 0.
⭐ 여기가 고비 — a=0은 답이지만 답이 아니다a²(a−2) = 0에서 근이 0과 2 둘 나옵니다.
a=0도 식은 만족시킵니다 — 위끝과 아래끝이 같으니 적분값이 당연히 0이니까요.
하지만 그것은 아무것도 말해 주지 않는 「자명한 해」입니다.
문제가 「양수 a」라고 못 박은 까닭이 바로 이것입니다 → a = 2. 그리고 a=2가 뜻하는 것이 이 문제의 알맹이입니다.
3x² − 4x = x(3x − 4)이므로 0 < x < 4/3에서는 x축 아래,
그 뒤로는 위입니다. 「정적분 = 0」은 아래로 내려간 넓이와 위로 올라간 넓이가 정확히 같다는 말이고,
그 균형이 맞는 자리가 x = 2입니다. 「= 0」인 식에서 인수를 나눠 버리면 근을 잃습니다 — 반드시 인수분해로 갈라 세우십시오.
a2(a − 2) = 0 → a = 0 또는 a = 2.
a는 양수이므로 a = 2. (a = 0은 위끝 = 아래끝이라 당연히 0이 되는 자명한 해다.)
뜻: 0 < x < 43에서 x축 아래로 내려간 넓이와 그 뒤 위로 올라간 넓이가 x = 2에서 정확히 상쇄된다.
a = 2
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 적분값을 sympy와 손계산으로 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).