십자곱 인수분해 완전정복
— 두 수를 한 번에 · 연습 10제

풀이 — 두 수 찾기

1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 하필 「곱해서 상수, 더해서 가운데」인가 두 수를 a, b 라 두고 거꾸로 펼쳐 보면 까닭이 한 줄에 보입니다 — (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab. 가운데 계수 자리에는 두 수의 합이, 상수 자리에는 두 수의 곱이 그대로 앉습니다. 그러니 인수분해는 이미 앉아 있는 합과 곱을 보고 두 수를 되찾는 일입니다 — 곱해서 12, 더해서 7 ⇒ 3과 4. 먼저 「곱」으로 후보를 좁히고, 그 다음 「합」으로 고릅니다. 곱이 12인 쌍은 1·12, 2·6, 3·4 넷뿐이고 그중 합이 7인 것은 3 + 4 하나뿐입니다. 합부터 보면 후보가 무한히 많지만, 곱부터 보면 손에 꼽힙니다 — 순서가 곧 속도입니다.
2. 검산 — 펼쳐 보면 (x+3)(x+4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 곱이 6인 쌍을 먼저 「다 적고」 합을 고른다 곱해서 6, 더해서 5. 머릿속에서 헤매지 말고 곱이 6인 쌍을 모두 적어 놓고 시작합니다 — 1 · 6 과 2 · 3. 이제 합을 하나씩 보면 1 + 6 = 7, 2 + 3 = 5. 답은 2와 3입니다. 후보를 「다 적는 일」이 오히려 빠릅니다. 상수가 6이면 쌍은 두 가지, 12여도 세 가지밖에 안 됩니다. 떠오르는 대로 찍으면 맞을 때까지 몇 번이나 되돌아가지만, 적어 놓고 고르면 한 번에 끝나고 빠뜨릴 것도 없습니다.
2. 그래서 (x+2)(x+3). 검산 — 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 곱이 「양수」인데 합이 「음수」 — 그러면 둘 다 음수다 부호는 곱을 먼저 보고, 합으로 마무리합니다. 곱이 +12 로 양수라는 것은 두 수의 부호가 같다는 뜻입니다 (같은 부호끼리 곱해야 양수가 되니까요). 그런데 합이 −7 로 음수이니 둘 다 양수일 수는 없습니다 — 그러므로 둘 다 음수. 부호가 정해지고 나면 남는 것은 크기뿐입니다. 곱이 12, 합의 크기가 7인 두 수는 3과 4이니 −3과 −4. 「곱의 부호 → 두 수의 부호가 같은지 다른지」, 「합의 부호 → 어느 쪽이 큰지」 — 이 두 줄로 모든 부호 문제가 끝납니다.
2. 검산 — (x−3)(x−4) = x² − 7x + 12 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 곱이 「음수」 — 부호가 다르고, 합의 부호가 「큰 쪽」을 가리킨다 곱이 −15 로 음수이면 두 수의 부호가 다릅니다. 여기까지는 쉬운데, 어느 쪽에 +를 붙이느냐에서 갈립니다. 그것은 합의 부호가 알려 줍니다 — 합이 +2 로 양수이니 절댓값이 큰 쪽이 양수입니다. 곱이 15인 쌍 1·15, 3·5 중 차가 2인 것은 5 − 3 ⇒ +5와 −3. 곱이 음수일 때 「합」은 사실 두 수의 「차」입니다. 5 + (−3) = 5 − 3 = 2 처럼요. 그래서 후보를 볼 때 더해서가 아니라 빼서 2가 되는 쌍을 찾으면 훨씬 빨리 잡힙니다. 부호는 맨 마지막에 큰 쪽으로 붙이면 됩니다.
2. 검산 — (x+5)(x−3) = x² + 2x − 15 ✓

풀이

1. 곱이 −12 로 음수 ⇒ 두 수의 부호가 다르다. 곱이 12인 쌍은 1·12, 2·6, 3·4.
2. ⭐ 여기가 고비 — 합이 −1 이니 「큰 쪽」에 −를 붙인다 차가 1인 쌍은 3 · 4 하나뿐이니 두 수의 크기는 3과 4로 정해집니다. 남은 것은 부호인데, 합이 −1 로 음수이므로 절댓값이 큰 4 쪽이 음수입니다 ⇒ −4와 +3. 여기서 부호를 거꾸로 붙여 +4와 −3 이라 쓰면 합이 +1 이 되어 문제의 −x 와 어긋납니다. 곱은 −12 로 똑같이 맞아떨어지므로 곱만 보고 넘어가면 절대 못 잡습니다 — 부호를 정한 뒤에는 반드시 「합」으로 한 번 더 확인하십시오.
3. 검산 — (x−4)(x+3) = x² − x − 12 ✓

풀이 — 십자로 곱해 확인

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풀이 — 인수분해가 곧 해

1. 좌변을 십자곱: (x+3)(x+4) = 0.
2. ⭐ 여기가 고비 — 「곱이 0」이면 둘 중 하나가 0 — 그래서 근의 공식이 필요 없다 인수분해가 방정식으로 이어지는 다리가 바로 이 한 줄입니다 — 두 수를 곱해 0이 되었다면 적어도 하나는 0이다. (0이 아닌 수끼리 곱하면 절대 0이 될 수 없으니까요.) 그러므로 x + 3 = 0 또는 x + 4 = 0 ⇒ x = −3 또는 x = −4. 찾은 두 수 3·4 의 부호를 뒤집은 값이 곧 해입니다 — 인수분해만 되면 근의 공식을 꺼낼 일이 없습니다. 다만 이 성질은 우변이 0일 때만 씁니다. (x+3)(x+4) = 2 같은 꼴이라면 x+3 = 2 라고 갈라서는 안 되고, 먼저 모두 좌변으로 옮겨 「= 0」을 만든 뒤 인수분해해야 합니다.

풀이 — 넓이 = 가로 × 세로 = 인수분해

1. ⭐ 여기가 고비 — 넓이식을 인수분해하는 일이 곧 「가로·세로 찾기」다 넓이는 가로 × 세로, 곧 두 식의 곱입니다. 그러니 넓이식 x² + 5x + 6 를 곱의 꼴로 되돌리는 것이 그대로 가로와 세로를 찾는 일입니다. 곱 6·합 5 ⇒ 2와 3 ⇒ (x+2)(x+3). 문장은 도형이지만 손은 앞의 문제와 똑같습니다. 이것이 「식 하나를 곱으로 되돌려 놓으면 뜻이 보인다」는 자리입니다 — 넓이면 가로·세로, 부피면 세 모서리, 방정식이면 해가 그 곱 안에서 그대로 읽힙니다. 가로와 세로는 서로 바꿔 써도 같은 답입니다(직사각형이니까요).

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 십자곱에서 찾던 「합 7 · 곱 12」가 곧 근과 계수의 관계다 근을 직접 구하지 말라고 했으니 공식 그대로 씁니다 — x² + bx + c = 0 의 두 근에 대해 α + β = −b, αβ = c. 여기서는 α + β = −(−7) = 7, αβ = 12. 새로 외울 것이 아니라 이미 쓰던 것입니다. 인수분해하면 (x−3)(x−4) 이니 두 근은 3과 4 — 십자곱에서 찾던 「곱해서 12, 더해서 7」인 두 수 바로 그것입니다. 다만 부호에 한 번 꺾이는 자리가 있습니다 — 근은 +3, +4 인데 x 의 계수는 −7 이라 합에는 마이너스가 한 번 붙습니다. 곱에는 안 붙습니다.

풀이

1. 십자곱: (x−4)(x+3) < 0 → 두 근 −3, 4.
2. ⭐ 여기가 고비 — 부등호가 「< 0」이면 두 근 사이, 「> 0」이면 바깥 두 괄호의 곱이 음수라는 것은 두 괄호의 부호가 서로 다르다는 뜻입니다. 수직선 위에서 그런 자리는 두 근 사이뿐입니다 — 예를 들어 x = 0 을 넣으면 0 − 4 = −4, 0 + 3 = +3 로 부호가 갈려 곱이 음수가 됩니다. 그래서 −3 < x < 4. 외우려 들지 말고 포물선 y = (x−4)(x+3) 를 한 번 그려 보면 다시 안 헷갈립니다 — 위로 열린 포물선이 x축 아래(음수)로 내려가는 곳은 두 근 사이, 위(양수)로 올라가는 곳은 두 근 바깥. 「아래로 볼록이면 뒤집힌다」는 것도 같은 그림에서 저절로 나옵니다.

풀이 — 덩어리를 X로 보고 십자곱

1. ⭐ 여기가 고비 — 반복되는 덩어리에 이름을 붙인다 — 그리고 「되돌린 뒤」가 진짜 끝이 아니다 x⁴ − 5x² + 4 은 사차식이지만 등장하는 것은 x² 와 상수뿐입니다. 그러니 x² = X 로 놓으면 보던 이차식이 됩니다 — X² − 5X + 4. 곱 4·합 −5 ⇒ −1과 −4 ⇒ (X−1)(X−4) ⇒ 되돌리면 (x²−1)(x²−4). 여기서 멈추면 절반만 푼 것입니다. 되돌아온 두 괄호 x² − 1 와 x² − 4 는 합차공식으로 한 번 더 쪼개집니다 ⇒ (x−1)(x+1)(x−2)(x+2). 치환 문제의 마지막 걸음은 언제나 「되돌린 뒤 더 쪼개지는지 보는 것」입니다.
2. 검산 — x = 1 이면 1 − 5 + 4 = 0 ✓