장대경 선생님 특강 4편 · 삼각형의 합동

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"수학은 국어다" 4편

두 삼각형이 딱 봐도 똑같은데, 왜 합동일까?
합동은 계산이 아니야 — 딱 세 가지, 순서 · 조건 · 함정이야.

🧒 저학년도 — 포개면 보인다

어려운 말 아니야. 두 그림을 딱 겹쳐서 완전히 포개지면 그게 합동이야.
색종이 두 장을 겹쳐 봐 — 삐져나옴 없이 똑같이 포개지면 합동! 각도·기호 몰라도 눈으로 알 수 있어.

🔑 핵심 — 쓴 순서가 곧 대응

△ABC ≡ △DEF
같은 자리끼리 — A와 D, B와 E, C와 F. 쓴 순서가 곧 대응이야.

성질 — 대응변·대응각은 같다

사각형 ABCD ≡ EFGH 라면 A↔E, B↔F, C↔G, D↔H.
그래서 ∠A = ∠E = 80°, BC = FG = 5. 대응만 찾으면 답이 보여.

조건 ① SSS — 세 변

세 변의 길이가 각각 같으면 두 삼각형은 합동.
변만 세 개 맞으면 모양이 하나로 딱 정해져 — 에스에스에스.

조건 ② SAS — 두 변 + 끼인각

두 변과 그 사이에 낀 각(끼인각)이 같으면 합동.
여기서 각은 반드시 두 변 사이여야 해 — 에스에이에스.

조건 ③ ASA — 한 변 + 양 끝각

한 변과 그 양 끝의 두 각이 같으면 합동.
변 하나에 양쪽 각을 걸면 삼각형이 하나로 정해져 — 에이에스에이.

예제 — 두 변의 ‘꼭지각’을 먼저

두 변 16·13, 밑각 53°·77°. 꼭지각은 180−53−77 = 50°.
즉 두 변 + 끼인각 50° → 이 조건이 같은 삼각형이 합동!

⚠️ 함정 ① SSA — 각이 사이에 없으면

두 변과 한 각이 같아도, 그 각이 사이(끼인각)가 아니면
모양이 두 개 생겨 하나로 안 정해져 — 에스에스에이는 합동 아님.

⚠️ 함정 ② AAA — 세 각만 같으면 닮음

세 각이 같아도 크기가 다를 수 있어. 모양만 같은 닮음이지 합동이 아니야.
각·각·각(에이에이에이) 은 합동 조건이 아니다.

활용 — 한 조건만 더하면?

AB = DE, ∠A = ∠D 인 상태

+ AC = DF → 두 변+끼인각 SAS ✓
+ ∠B = ∠E → 한 변+양 끝각 ASA ✓
+ ∠C = ∠F → AAS — 중1 세 조건엔 없음

가진 게 한 변 + 그 변의 한 끝각일 때, 무얼 더하느냐로 조건이 갈려.

증명 — 큰 그림을 합동 조각으로

정삼각형 ABC 에서 AD=BE=CF 면, 작은 삼각형 셋이 에스에이에스로 합동.
그래서 안쪽 △DEF 도 정삼각형이야.

🎓 고학년은 — 좌표 · RHS · 닮음으로

다른 학년에서 더 나가. 삼각형을 좌표 위에 올려 거리공식으로 ‘길이가 같다’를 계산으로 증명하고, 직각삼각형은 빗변과 다른 한 변이 맞으면 RHS, 크기 비율만 다르면 닮음.
뿌리는 전부 오늘 배운 대응과 세 조건이야.

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순서대로 짝짓고 · 조건을 세고 · 함정을 거른다

SSS·SAS·ASA 는 통하고, SSA·AAA 는 함정. (AAS는 사실 성립하지만 중1 세 조건엔 없어)
이 둘만 걸러내면 합동 문제는 거의 다 잡혀.

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"수학은 국어다"
삼각형의 합동

대응 순서로 읽는 눈, 네 것으로 만들어봐.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 4편

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