합동 기호를 순서대로 읽어라 — △ABC≡△DEF 면 A↔D, B↔E, C↔F. 쓴 순서가 곧 대응이다. 대응변·대응각은 이 순서로 짝지어 찾는다.
2
세 조건 중 무엇이 있나 세어라 — 변(S)·각(A)을 세어 SSS 세 변 · SAS 두 변+끼인각 · ASA 한 변+양 끝각 중 무엇인지 판별. 각이 ‘어디’에 있는지가 핵심.
3
함정 3형제를 거른다 — SSA(끼인각이 아닌 각) · AAA(모양만 같은 닮음) · AAS(중1 세 조건 아님)는 합동 확정 아님. 여기서 대부분 틀린다.
같은 색 꼭짓점끼리가 대응(A·D=빨강, B·E=파랑, C·F=초록). 같은 표시(빗금·호)끼리 길이·각이 같다는 뜻.
이 개념, 학년마다 이렇게 써요
🧒 저학년 · 초등
기호·공식은 몰라도 돼. 두 도형을 딱 포개서 삐져나옴 없이 겹치면 합동 — 눈과 손으로 아는 단계.
📐 이 강의 · 중1
대응 순서로 짝짓고, SSS·SAS·ASA로 판별하고, SSA·AAA·AAS 함정을 거른다.
🎓 고학년 · 중2~고등
이등변·평행사변형 증명, 직각삼각형 RHS, 닮음, 그리고 좌표·거리공식으로 계산 증명까지.
→ 뿌리는 하나예요: ‘완전히 포개지는가’. 아래에서 초등 직관부터, 중1 핵심, 위 학년 확장까지 한 번에 봅니다.
연습 10제 · 그림 해설
문제 1대응의 성질
사각형 ABCD ≡ 사각형 EFGH 이다. ∠E = 80°, ∠F = 120°, GF = 5 일 때, ∠A 와 BC 를 구하라.
풀이 — 기호 순서대로 대응시키기
⭐ 여기가 고비 — 기호를 「세로로 줄 세워」 짝을 만든다
그림도 없이 기호만 있는데 무엇을 해야 할지 막막합니다. 할 일은 하나 —
두 이름을 위아래로 나란히 적는 것입니다.
ABCD 아래 EFGH를 적으면 A↔E · B↔F · C↔G · D↔H가 눈으로 보입니다.이 짝짓기만 끝나면 나머지는 읽기입니다 —
∠A의 짝은 ∠E이니 80°, BC의 짝은 B↔F·C↔G에서 FG이니 5. GF와 FG는 같은 변이라는 것도 함께 확인하십시오 — 변 이름은 순서를 바꿔 써도 됩니다. 「합동 문제의 첫 줄은 언제나 대응 적기」 — 이것을 건너뛰면 그다음이 전부 어림짐작이 됩니다.
ABCD≡EFGH 를 순서대로: A↔E, B↔F, C↔G, D↔H.
∠A 의 대응각은 ∠E. 합동이면 대응각이 같으니 ∠A = ∠E = 80°.
BC 의 대응변은 FG (B↔F, C↔G). 합동이면 대응변이 같으니 BC = FG = 5. (GF = FG)
"쓴 순서가 곧 대응 — △ABC≡△DEF라 쓰면 A–D, B–E, C–F. 쓴 자리끼리가 짝이다."— 장대경 선생님 제4강 작도와 합동
∠A = 80° · BC = 5
🔑 “어느 게 대응이지?”는 계산이 아니라 기호 순서를 읽는 것. 헷갈리면 선생님처럼 대응 도형을 옆에 같은 순서로 다시 그려 보세요.
문제 2대응 참·거짓
△ABC ≡ △DEF 이고 ∠A = 65°, ∠E = 40°, CB = 8 이다. 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.
ㄱ. ∠B = 40° ㄴ. ∠D = 70° ㄷ. ∠F = 75° ㄹ. EF = 8 ㅁ. DE = 8
풀이 — 대응부터, 그다음 각의 합
⭐ 여기가 고비 — 주어진 각이 「같은 삼각형의 것」이 아니다∠A = 65°는 △ABC의 각인데 ∠E = 40°는 △DEF의 각입니다.
그대로는 한 삼각형 안에서 셈을 할 수 없습니다.
그래서 대응을 써서 한쪽으로 옮겨 놓는 것이 첫걸음입니다 —
∠B = ∠E = 40°. 이제 △ABC 안에 두 각이 모였으니
세 각의 합 180°로 ∠C = 180 − 65 − 40 = 75°가 나옵니다.
순서를 뒤집으면 막힙니다 — 먼저 대응으로 옮기고, 그다음에 각의 합입니다.
변도 마찬가지입니다 : CB의 짝은 C↔F·B↔E에서 FE이므로 EF = 8 ✔
반면 DE의 짝인 AB는 주어진 적이 없으니 「알 수 없다」가 답입니다 —
모르는 것을 모른다고 하는 것도 답입니다.
대응: A↔D, B↔E, C↔F.
ㄱ: ∠B의 대응각 ∠E=40° → ∠B = 40°. ✔
삼각형 세 각의 합 180°: ∠C = 180° − 65° − 40° = 75°. ㄷ: ∠F=∠C=75° ✔
ㄴ: ∠D=∠A=65° ≠ 70° ✘
ㄹ: CB의 대응변은 FE → EF=CB=8 이므로 ㄹ은 참? CB=8, FE=8 → EF = 8 ✔
ㅁ: DE의 대응변은 AB(주어지지 않음) → 알 수 없다 ✘
옳은 것 : ㄱ, ㄷ, ㄹ
⚠️ ㄹ 주의: CB의 대응변은 ‘순서대로’ FE예요. C↔F, B↔E니까 CB↔FE. EF=FE=8 로 참. 대응은 글자 순서를 뒤집지 말고 맞춰야 실수가 없어요.
문제 3SAS · 끼인각
보기의 삼각형: 두 변이 16 과 13, 두 밑각이 53° 와 77°. 이와 합동인 것을 고르라.
① 세 변 14, 13, 16 ② 두 변 13, 16 사이각 53° ③ 두 변 13, 16 사이각 50° ④ 두 변 16, 13 사이각 77°
풀이 — 두 변 사이의 ‘꼭지각’을 먼저 만든다
⭐ 여기가 고비 — 주어진 두 각이 「끼인각」이 아니라 밑각이다
보기에는 두 변 16·13과 두 각 53°·77°가 있는데, 그 각들은 두 변 사이에 있지 않습니다.
SAS로 견주려면 두 변 사이에 낀 각(꼭지각)이 필요하므로, 먼저 그것을 만들어야 합니다 —
180° − 53° − 77° = 50°.
그러고 나서야 "두 변 16·13과 끼인각 50°"라는 같은 잣대로 보기와 선택지를 견줄 수 있습니다.
이 한 걸음을 건너뛰면 ②(끼인각 53°)나 ④(77°)를 골라 버립니다 —
두 변은 같아도 벌어진 각이 다르면 아예 다른 삼각형이지요.
①은 세 번째 변 14가 주어졌지만 보기의 세 번째 변이 14라는 보장이 없어 SSS로 맞출 수 없습니다. 「견주기 전에 두 도형을 같은 꼴(같은 조건 종류)로 고쳐 놓는다」 — 판별 문제의 정석입니다.
보기의 두 변 16·13 사이에 낀 각(꼭지각): 180° − 53° − 77° = 50°.
즉 보기 = 두 변 16·13 과 그 끼인각 50° → SAS 로 확정된 삼각형.
③ 은 두 변 13·16 과 사이각 50° → 완전히 같은 SAS. 합동!
②·④ 는 두 변은 같아도 끼인각이 53°·77° 라 딴 모양. ① 은 세 번째 변 14가 보기(밑변)와 같다는 보장이 없음.
③ (두 변 16·13, 끼인각 50°)
⚠️ 끼인각의 위치가 전부다. 변 두 개가 같아도 각이 ‘사이’에 있지 않으면 SAS가 아니에요 → 이게 SSA 함정(문제 8에서 다시).
문제 4기호·조건 쓰기 · ASA
두 삼각형이 합동이다. △ABC: ∠A = 75°, ∠C = 60°, AB = 8. △DEF: ∠D = 75°, ∠F = 45°, DF = 8. 합동을 기호로 나타내고 사용한 합동 조건을 말하라.
풀이 — 세 번째 각을 채우고 ‘같은 짝’을 순서대로
⭐ 여기가 고비 — 기호를 △DEF가 아니라 △DFE로 써야 한다
합동인 것은 맞는데 이름을 어떻게 쓰느냐에서 점수가 갈립니다.
대응하는 꼭짓점끼리 같은 자리에 와야 하기 때문입니다.
세 번째 각을 채워 보면 A(75°)↔D(75°), B(45°)↔F(45°), 남은 C(60°)↔E(60°) —
그러니 △ABC ≡ △DFE이지 △DEF가 아닙니다.
여기서 배점의 절반이 「E와 F의 순서」에 있습니다.
그리고 조건 이름도 정확해야 합니다 — 변 AB=8이 ∠A와 ∠B 사이에 있고
DF=8도 ∠D와 ∠F 사이에 있으니
한 변과 그 양 끝각, 곧 ASA입니다. 「합동을 쓸 때는 세 각(또는 세 변)을 나란히 적어 짝을 확인한 뒤 이름을 쓴다」 —
순서를 눈대중으로 쓰면 반드시 틀립니다.
△ABC: ∠B = 180° − 75° − 60° = 45°. 변 AB=8 은 ∠A(75°) 와 ∠B(45°) 사이.
△DEF: ∠E = 180° − 75° − 45° = 60°. 변 DF=8 은 ∠D(75°) 와 ∠F(45°) 사이.
짝 맞추기: A↔D(75°), B↔F(45°), 남은 C↔E(60°). 한 변 8과 그 양 끝각(75°·45°) 이 같음 → ASA.
대응 순서대로 쓰면 △ABC ≡ △DFE (E와 F 순서 주의!).
△ABC ≡ △DFE (ASA 합동)
⚠️ ∠F=45°=∠B 이므로 C가 아니라 F가 B의 짝. 겉모양(ABC↔DEF)에 속지 말고 같은 각·같은 변끼리 순서를 정하세요.
문제 5조건 추가
△ABC 와 △DEF 에서 AB = DE, ∠A = ∠D 이다. 한 가지 조건을 더해 △ABC ≡ △DEF 가 되게 하려 한다. 알맞은 것을 모두 골라라.
ㄱ. AC = DF ㄴ. BC = EF ㄷ. ∠B = ∠E ㄹ. ∠C = ∠F
풀이 — 지금 가진 건 ‘한 변 + 그 변의 한 끝각’
⭐ 여기가 고비 — 지금 가진 것이 「한 변 + 그 변의 한 끝각」임을 못 박는 것
무엇을 더할지 고르려면 지금 무엇을 쥐고 있는지부터 정확히 말해야 합니다 —
변 AB 하나와 그 변의 한 끝에 있는 각 ∠A입니다.
여기서 갈 수 있는 길은 딱 두 갈래이지요 —
① ∠A를 「끼인각」으로 만들어 주는 변을 하나 더(AC=DF → SAS),
② 변 AB의 「반대쪽 끝각」을 하나 더(∠B=∠E → ASA).
나머지가 왜 안 되는지도 같은 잣대로 갈립니다 —
ㄴ(BC=EF)은 두 변 AB·BC가 되지만 낀 각이 ∠B인데 그것을 모르므로 SSA ✘ ㄹ(∠C=∠F)은 두 각과 한 변이지만 그 변이 두 각 사이에 있지 않아 AAS —
논리로는 합동이나 중1 세 조건(SSS·SAS·ASA)에는 들어 있지 않습니다. 「보태기 문제는 「가진 것 → 갈 수 있는 곳」 순서로 생각합니다.」
주어진 것: 변 AB=DE, 각 ∠A=∠D (∠A는 변 AB의 한 끝각).
ㄱ AC=DF: ∠A는 변 AB와 AC 사이의 끼인각 → 두 변+끼인각 SAS ✔
ㄷ ∠B=∠E: 변 AB의 양 끝각(∠A·∠B) 이 갖춰짐 → 한 변+양 끝각 ASA ✔
ㄴ BC=EF: AB·BC 두 변은 되지만 낀 각은 ∠B (안 주어짐). ∠A는 낀 각이 아님 → SSA ✘
ㄹ ∠C=∠F: ∠A·∠C 두 각 + 낀 변이 아닌 AB → AAS. 논리적으론 합동이지만 중1의 세 합동조건(SSS·SAS·ASA) 에는 없음 → 이 단원 답으론 제외 ✘
ㄱ (SAS) · ㄷ (ASA)
⚠️ ㄹ의 함정: 두 각과 한 변이면 세 번째 각도 정해져 사실상 ASA와 같아 ‘합동은 맞다’. 하지만 중1에서 ‘합동 조건’으로 인정하는 건 SSS·SAS·ASA 셋뿐. 그래서 답에서 뺍니다.
문제 6뒤틀린 대응
△ABC ≡ △FED 이고 ∠A = 55°, ∠B = 80°, BC = a 이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
① AC의 대응변은 DE이다 ② DE의 길이는 a 이다 ③ ∠A=∠F, ∠B=∠E 이다 ④ ∠D=45° 이다 ⑤ ∠F=55° 이다
풀이 — 순서가 뒤틀렸을수록 ‘기호 순서’만 믿는다
⭐ 여기가 고비 — 알파벳 순서가 아니라 「쓴 순서」가 짝이다△ABC ≡ △FED처럼 뒤틀려 있으면 눈이 저절로 A↔D, B↔E, C↔F로 읽으려 합니다.
그것이 이 문제의 함정입니다. 짝은 쓴 자리끼리이므로
A↔F · B↔E · C↔D입니다.
그래서 AC의 짝은 DE가 아니라 FD — ①이 거짓입니다.
뒤틀린 대응에서 흔들리지 않는 법은 하나 —
두 이름을 위아래로 나란히 적고 세로줄로 잇는 것입니다.
A B C 아래 F E D를 적으면 눈으로 보입니다. DE의 짝은 CB이므로 DE = a(②는 참), ∠D = ∠C = 45°(④도 참)로 이어집니다. 「모양을 상상하지 말고 기호만 믿으십시오」 — 돌려 놓았든 뒤집어 놓았든 기호는 거짓말을 하지 않습니다.
△ABC≡△FED → A↔F, B↔E, C↔D. (세로로 줄 세워 짝짓기)
① AC의 대응변은? A↔F, C↔D → AC↔FD. 그런데 보기는 ‘DE’라 함 → 거짓! (DE의 대응변은 CB=a) ✘
② DE↔CB=BC=a ✔ 계산용: ∠C = 180°−55°−80° = 45°.
③ ∠A=∠F ✔, ∠B=∠E ✔ ④ ∠D=∠C=45° ✔ ⑤ ∠F=∠A=55° ✔
옳지 않은 것 : ①
⚠️ △ABC≡△FED 처럼 알파벳이 A→F로 껑충 뛰면 눈대중이 무너져요. 1번째끼리·2번째끼리·3번째끼리 세로로 줄 세워 대응을 적으면 절대 안 틀립니다.
문제 7합동 짝 찾기
다음 네 삼각형 중 서로 합동인 짝을 찾아라.
ㄱ. 세 각 100°·50°·30°, 30°와 50° 사이 변 = 6 ㄴ. 두 변 4·6, 사이각 30°
ㄷ. 한 변 6, 양 끝각 30°·50° ㄹ. 두 변 6·4, 사이각 30°
풀이 — 같은 ‘조건 종류’끼리 맞춰본다
⭐ 여기가 고비 — 넷을 서로 견주지 말고 먼저 「조건 종류」로 갈라 둔다
네 개를 둘씩 맞대어 보면 여섯 번을 견주어야 합니다. 그럴 필요가 없습니다 —
각각이 SSS·SAS·ASA 중 무엇인지 딱지를 먼저 붙이면 짝이 저절로 드러납니다.
ㄱ·ㄷ은 ASA(한 변과 양 끝각), ㄴ·ㄹ은 SAS(두 변과 끼인각) —
딱지가 다른 것끼리는 아예 견줄 필요가 없습니다.딱지를 붙일 때 보는 것은 「각이 두 변 사이에 있는가」 하나입니다 —
사이에 있으면 SAS · 변의 양 끝에 있으면 ASA.
그다음 같은 딱지끼리만 숫자를 견줍니다 :
ㄱ과 ㄷ은 변 6과 각 30°·50°가 같고, ㄴ과 ㄹ은 변 4·6과 끼인각 30°가 같습니다 ✔ 「먼저 갈래를 나누고, 같은 갈래 안에서만 견준다」 — 견줄 횟수가 절반 이하로 줄어듭니다.
ㄱ: 변 6이 30°·50° 두 각 사이 → 한 변+양 끝각 ASA.
ㄷ: 변 6과 양 끝각 30°·50° → 똑같은 ASA. 세 각·낀 변이 완전히 일치 → ㄱ ≡ ㄷ ✔
ㄴ: 두 변 4·6 + 끼인각 30° SAS. ㄹ: 두 변 6·4 + 끼인각 30° 같은 SAS → ㄴ ≡ ㄹ ✔
ㄱ ≡ ㄷ (ASA) · ㄴ ≡ ㄹ (SAS)
문제 8함정 판별
다음 중 △ABC ≡ △DEF 라고 할 수 없는 것을 모두 골라라.
① AB=DE, BC=EF, CA=FD ② AB=DE, BC=EF, ∠B=∠E ③ AB=DE, BC=EF, ∠C=∠F ④ ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F ⑤ AB=DE, ∠A=∠D, ∠B=∠E
풀이 — 각이 ‘끼인각’인지, 변이 하나라도 있는지
⭐ 여기가 고비 — ③과 ②의 차이는 「각이 어디 있느냐」 하나뿐
②와 ③은 주어진 재료가 똑같습니다 — 두 변 AB·BC와 각 하나.
그런데 ②는 합동이고 ③은 아닙니다. 갈리는 것은 그 각의 자리입니다.
②의 ∠B는 두 변 사이에 낀 각이라 삼각형이 하나로 정해지지만(SAS),
③의 ∠C는 사이에 있지 않아(SSA) 모양이 두 가지 나올 수 있습니다.그림으로 보면 분명합니다 — 두 변 사이 각을 정하면
두 변을 그 각만큼 벌리고 끝을 이으면 끝이라 딱 하나뿐입니다.
그러나 SSA는 남은 변을 컴퍼스로 돌릴 때 원이 상대 변과 두 곳에서 만나 삼각형이 둘 생깁니다.
④ AAA는 모양만 같고 크기가 자유라 합동이 아닙니다 — 확대·축소가 얼마든지 가능하지요. 「각이 끼여 있는가 · 변이 하나라도 있는가」 두 물음이면 함정 둘이 다 걸러집니다.
① 세 변 → SSS ✔ 합동
② AB·BC 두 변 + 낀 각 ∠B → SAS ✔ 합동
③ AB·BC 두 변 + ∠C: ∠C는 두 변 사이 각이 아님 → SSA ✘ 할 수 없다
④ 세 각만 같음 → 모양만 같은 AAA(닮음), 크기는 자유 ✘ 할 수 없다
⑤ 한 변 AB + 양 끝각 ∠A·∠B → ASA ✔ 합동
"짝짓고 · 세고 · 거른다 — 순서대로 짝짓고, 조건(SSS·SAS·ASA)을 세고, 함정(SSA·AAA)을 거른다."— 장대경 선생님 제4강 작도와 합동
할 수 없는 것 : ③ (SSA) · ④ (AAA)
⚠️ 함정 3형제 총정리 — SSA: 변·변·각인데 각이 사이에 없음. AAA: 각·각·각(닮음일 뿐). AAS: 논리적 합동이나 중1 세 조건 밖. 이 셋만 걸러내면 합동 문제는 거의 다 잡힙니다.
문제 9합동으로 증명
△ABC 는 정삼각형이고, 변 위의 점 D(AB 위), E(BC 위), F(CA 위)가 AD = BE = CF 를 만족한다. △DEF 는 어떤 삼각형인가?
풀이 — 작은 삼각형 3개가 SAS로 합동
⭐ 여기가 고비 — 「남은 조각도 서로 같다」를 끌어내는 것
주어진 것은 AD=BE=CF뿐인데, SAS를 쓰려면 두 변이 필요합니다.
나머지 한 변은 빼기로 만들어 냅니다 — 세 변이 모두 같은 정삼각형에서 같은 길이를 덜어 냈으니
남은 조각도 서로 같습니다: DB = EC = FA.
이제 각 작은 삼각형이 두 변(AD와 FA 꼴)과 끼인각 60°를 갖추어 SAS로 합동입니다.
끼인각이 60°인 까닭은 정삼각형의 각이 그대로 남아 있기 때문입니다 —
점 D·E·F는 변 위에 있으니 꼭짓점의 각은 건드려지지 않았지요.
합동이면 대응변이 같으니 DF = ED = FE → △DEF도 정삼각형. 「전체가 같고 일부가 같으면 나머지도 같다」 — 도형 증명에서 가장 자주 쓰는 한 수입니다.
정삼각형이라 세 변이 같고 세 각이 60°. 또 AD=BE=CF 이므로 남는 조각도 DB=EC=FA (전체 변 − 같은 길이).
△ADF, △BED, △CFE 를 보면: 두 변(AD=BE=CF, FA=DB=EC) 과 그 끼인각 60° 가 모두 같음 → SAS 로 셋이 서로 합동.
합동이면 대응변이 같으니 DF = ED = FE → 세 변이 같다.
△DEF 는 정삼각형
🔑 “복잡한 도형 = 작은 합동 삼각형의 모임.” 큰 그림을 합동인 조각으로 쪼개는 눈이 증명의 시작이에요.
문제 10실생활 활용
강을 건너지 않고 강폭 AB 를 재려 한다. B에서 직각으로 돌아 BC 를 잡고, 그 중점 M을 지나 반대편으로 CD ⊥ BC 인 D를 A·M이 일직선이 되게 잡았다. 이때 CD 를 재면 왜 강폭 AB 와 같은가?
풀이 — 두 삼각형이 ASA로 합동
⭐ 여기가 고비 — 왜 「중점」과 「직각 두 개」를 일부러 만들었나
이 측량법은 합동을 쓰려고 조건을 손수 갖춘 것입니다.
M을 중점으로 잡은 것은 BM = CM(한 변)을 만들기 위해서이고,
BC에 직각으로 두 번 꺾은 것은 ∠ABM = ∠DCM = 90°(끝각 하나)를 만들기 위해서이며,
A·M·D를 일직선으로 잡은 것은 맞꼭지각∠AMB = ∠DMC(끝각 하나)를 얻기 위해서입니다.
한 변과 그 양 끝각 — ASA가 갖추어집니다.
그러면 △ABM ≡ △DCM이고, 대응변이 같으니 AB = DC —
건널 수 없는 강폭을 이쪽 땅에서 재게 됩니다. 「합동은 「같음을 확인하는 도구」이자 「잴 수 없는 것을 재는 도구」」입니다.
세 가지 장치 중 하나라도 빠지면 조건이 무너지니, 측량 순서를 그대로 지켜야 합니다.
🔑 옛 측량가들이 강폭·산 높이를 잰 방법이 바로 이 ‘합동’. 못 재는 길이를 잴 수 있는 길이로 옮겨주는 것이 합동의 힘이에요.
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
“대응 순서 + 조건 3개”는 학년이 올라가도 그대로다
합동에서 익힌 이 눈 — 순서대로 짝짓고, 무슨 조건인지 세고, 함정을 거른다 — 은 이름만 바뀌어 위 학년에서 계속 쓰입니다.
① 중2 · 삼각형의 성질 — 이등변·외심·내심 증명
중2 1학기 도형의 성질
이등변삼각형의 두 밑각이 같다는 것, 세 수선·이등분선이 한 점에서 만난다는 것 — 전부 보조선을 그어 합동 삼각형을 만드는 증명이에요. 문제 9처럼 “큰 그림을 합동 조각으로 쪼개기”가 핵심.
② 중2 · 사각형 — 평행사변형이 되는 조건
중2 2학기 사각형의 성질
평행사변형의 대각선이 서로를 이등분하는 것, 마주 보는 변·각이 같은 것도 대각선으로 나눈 두 삼각형이 합동(SAS·ASA) 임을 보이는 것. 합동이 사각형 성질의 뿌리입니다.
③ 중3 · 직각삼각형의 합동 — RHA·RHS
중3 · 직각삼각형
직각삼각형에선 빗변(H)+한 각(A) 또는 빗변(H)+한 변(S) 만으로 합동이 돼요(RHA·RHS). 그냥 SSA는 함정이지만, 직각이 끼면 특별히 성립 — 문제 5·8의 SSA 함정을 정확히 이해해야 왜 직각에선 되는지 보입니다.
④ 중3 · 닮음 — 합동은 ‘비율 1’인 닮음
중3 · 삼각형의 닮음
닮음 조건 SSS·SAS·AA는 합동 조건의 ‘비율 버전’. 함정이던 AAA가 닮음에선 AA로 정식 조건이 됩니다. 합동을 제대로 알면 닮음은 그 확장으로 자연스럽게 이어져요.
⑤ 고1 · 도형의 방정식 — 좌표로 ‘길이 같음’ 증명
고1 · 도형의 방정식
두 선분이 같은지, 삼각형이 합동인지를 좌표와 거리공식으로 계산해 증명합니다. 눈으로 짝짓던 대응을, 이제 √{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²} 로 ‘계산해서’ 확인하는 것.
저학년(초등)도 — 눈과 손으로 아는 합동
기호도 공식도 필요 없어요. 합동은 ‘완전히 포개지는 것’. 오려서 겹쳐 보면 초등학생도 바로 알아요.
초등 · 놀이포개보기
색종이에 똑같은 삼각형 두 개를 그려 오린 뒤 포개면 어떻게 될까? 왜 ‘합동’일까?
풀이
⭐ 여기가 고비 — 「비슷하다」가 아니라 「하나도 안 남고 겹친다」
합동은 보기에 닮았다는 뜻이 아닙니다. 포갰을 때 삐져나오는 곳이 한 군데도 없어야 합니다.
변도 각도 꼭짓점도 모두 짝이 맞아 딱 겹치는 것 — 그것이 합동입니다.
그래서 「포개 본다」가 곧 「짝을 찾는다」입니다.
어느 꼭짓점이 어느 꼭짓점 위에 얹히는지가 중학교에서 배우는 「대응」이지요. 크기가 조금이라도 다르면 삐져나오니 합동이 아닙니다 — 그런 것은 닮음이라 부릅니다.
직접 오려서 겹쳐 보는 것이 가장 확실합니다 — 손으로 한 번 해 보면 평생 안 잊습니다.
두 삼각형을 포개면 변도 각도 꼭짓점도 하나도 안 남고 딱 겹쳐요.
이렇게 모양과 크기가 똑같아서 완전히 포개지는 두 도형을 합동이라고 불러요. (중학교 가면 이걸 기호 ≡로 써요.)
완전히 포개지니까 합동!
초등 · 놀이짝 찾기
아래 네 도형 중 보기와 완전히 같은(포개지는) 짝은 어느 것일까? 큰 것·삐뚠 것은 왜 안 될까?
풀이
⭐ 여기가 고비 — 「모양이 같다」와 「크기까지 같다」는 다른 말
큰 것도 모양은 똑같아 보입니다. 그런데 포개면 삐져나옵니다.합동은 「모양 + 크기」 둘 다 같아야 합니다. 모양만 같은 것은 닮음이라 하고 중3에서 배웁니다.
삐뚠 것은 또 다릅니다 — 돌리거나 뒤집어서 포개지면 그것은 합동입니다.방향이 다른 것은 문제가 되지 않습니다.
그러니 짝을 고를 때 두 가지만 보십시오 —
① 크기가 같은가 ② 돌리거나 뒤집어서 겹칠 수 있는가. 「눈으로 겹쳐 보는 것이 「대응」을 찾는 첫걸음」입니다.
모양이 같아도 크기가 크면 포개도 삐져나와요 → 합동 아님(그건 ‘닮음’, 중3에서 배워요).
크기까지 똑같아 딱 포개지는 짝만 합동. 눈으로 겹쳐 보는 게 곧 ‘대응’을 찾는 첫걸음이에요.
크기까지 똑같아 딱 포개지는 짝
초등 · 놀이돌리고 뒤집기
삼각형을 돌리거나 뒤집어 놓으면 다른 도형이 될까? 그래도 합동일까?
풀이
⭐ 여기가 고비 — 돌리고 뒤집어도 「길이와 각」은 하나도 안 변한다
삼각형을 돌리거나 뒤집으면 보이는 모습은 달라지지만, 변의 길이와 각의 크기는 그대로입니다.
바뀌는 것은 놓인 방향뿐이지요. 그러니 옮겨서 포개면 여전히 딱 겹칩니다 — 합동입니다.
종이를 들어 돌려 보십시오 — 종이 자체가 늘어나거나 줄어들지 않으니 당연한 일입니다.
중학교에서 만나는 △ABC ≡ △FED처럼 순서가 뒤틀린 기호가 바로 이것입니다 —
돌리거나 뒤집어 놓은 상태를 글자로 적어 둔 것이지요. 「방향이 달라도 합동」 — 그래서 눈이 아니라 대응 기호를 믿어야 합니다.
돌리거나(회전) 뒤집어도(대칭) 모양과 크기는 그대로예요. 옮겨서 포개면 여전히 딱 겹쳐요.
그래서 방향이 달라도 합동. 중학교에서 △ABC≡△FED처럼 순서가 뒤틀린 것도 바로 이 ‘돌리고 뒤집기’예요.
돌리고 뒤집어도 포개지면 합동
도전 · 이 비법으로 위 학년 문제 풀기
“순서대로 짝짓고, 조건을 세고, 함정을 거른다” 하나로 위 학년 문제도 풀린다. 학년별 도전!
도전 · 중2이등변삼각형
이등변삼각형 △ABC(AB=AC)에서 꼭지각 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라 하자. △ABD ≡ △ACD 인 이유와, 그로부터 ∠B = ∠C 임을 설명하라.
풀이 — SAS 합동 → 대응각
⭐ 여기가 고비 — 세 번째 조건은 「공통변 AD」다
두 조각 삼각형을 견주려면 조건이 셋 필요한데, 문제가 준 것은 둘뿐입니다 —
AB=AC와 ∠BAD=∠CAD(이등분선).
나머지 하나는 그림에서 찾습니다 — 변 AD를 두 삼각형이 함께 쓰고 있습니다.공통변은 「같다」고 쓸 수 있는 조건이지요. 그래서 두 변과 끼인각 — SAS입니다.
「공통변·공통각」은 문제에 적혀 있지 않아도 언제나 쓸 수 있는 공짜 조건입니다.
조건이 하나 모자랄 때 가장 먼저 찾아볼 자리이지요.
합동이 되면 대응각이 같으니 ∠B = ∠C —
「이등변삼각형의 두 밑각은 같다」는 성질을 증명한 것입니다. 「성질을 외우는 것과 증명하는 것은 다릅니다」 — 합동이 그 다리입니다.
△ABD 와 △ACD: AB=AC(주어짐), ∠BAD=∠CAD(이등분), AD 공통.
두 변과 끼인각이 같음 → SAS 합동.
합동이면 대응각이 같으니 ∠B = ∠C. (이등변삼각형 두 밑각이 같다는 성질의 증명!)
SAS 합동 → ∠B = ∠C
도전 · 중2평행사변형
평행사변형 ABCD에서 대각선 AC를 그으면 △ABC ≡ △CDA 임을 보이고, 그로부터 AB = CD 임을 설명하라.
풀이 — ASA 합동
⭐ 여기가 고비 — 「평행」이 곧 「각이 같다」로 바뀐다
평행사변형이 준 것은 두 쌍의 변이 나란하다는 사실뿐, 길이는 아직 모릅니다(그것이 증명할 것이지요).
평행을 쓸 수 있게 만드는 것이 대각선 AC입니다 —
대각선이 두 평행선을 가로지르면서 엇각이 생겨
∠BAC = ∠DCA, ∠BCA = ∠DAC가 됩니다.
여기에 공통변 AC를 더하면 한 변과 양 끝각 — ASA.
그러면 △ABC ≡ △CDA이고 대응변이 같으니
AB = CD — 평행사변형의 마주 보는 변이 같다가 증명됩니다. 「평행 → 엇각·동위각 → 각이 같다」가 도형 증명에서 평행을 쓰는 유일한 길입니다.
그리고 그 다리를 놓아 주는 것이 대각선(또는 보조선)이지요 —
평행선만 있고 가로지르는 선이 없으면 각을 만들 수 없습니다.
AC는 공통변. 평행선의 엇각으로 ∠BAC=∠DCA, ∠BCA=∠DAC.
한 변(AC)과 그 양 끝각이 같음 → ASA 합동.
대응변이 같으니 AB = CD (평행사변형의 마주 보는 변이 같다).
ASA 합동 → AB = CD
도전 · 중2함정 재확인
“두 변의 길이가 같고 한 각이 같으면 항상 합동이다.” 이 말은 참인가?
풀이
⭐ 여기가 고비 — 「항상」이라는 낱말 하나가 참·거짓을 가른다
이 말은 절반만 맞습니다. 각이 두 변 사이에 낀 각이면 SAS라 참이지만,
사이가 아니면 SSA가 되어 서로 다른 두 삼각형이 나옵니다.「항상」이라 했으므로 한 가지 반례만 있어도 이 말은 거짓입니다.
반례를 실제로 만들어 보십시오 —
두 변 5·8과 「8이 아닌 5의 반대쪽 각」이 30°인 삼각형은 두 개 그려집니다.
컴퍼스로 그 원을 돌리면 상대 변과 두 곳에서 만나기 때문이지요. 「참·거짓을 묻는 문제는 「항상·모든」이 붙었는지 먼저 보십시오」 —
붙어 있으면 반례 하나 찾기가 답을 내는 가장 빠른 길입니다.
각이 두 변 사이(끼인각)면 SAS로 참. 하지만 사이가 아니면 SSA라 서로 다른 두 삼각형이 생겨 거짓.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「대개 맞으니 참」이라 하면"두 변과 한 각이 같으면 보통은 같은 삼각형이던데, 참 아닌가?"
수학에서 「항상」은 예외를 하나도 허락하지 않습니다. SSA로 두 삼각형이 나오는 그림이 실제로 있으니 거짓입니다.
→ 반례가 하나라도 있으면 「항상」은 무너집니다. 참이 되려면 「끼인각일 때만」이라는 단서가 붙어야 합니다.
거짓 (끼인각일 때만 참)
도전 · 중3직각삼각형 RHS
두 직각삼각형이 빗변의 길이가 같고 다른 한 변이 같으면 합동이다(RHS). 그냥 SSA는 함정이었는데, 왜 직각삼각형에선 성립할까?
풀이 — 피타고라스로 세 번째 변이 ‘하나로’ 정해진다
⭐ 여기가 고비 — RHS는 새 조건이 아니라 「변장한 SSS」다
SSA는 함정이었는데 직각삼각형에서는 왜 통할까요? 직각이 세 번째 변을 하나로 못 박아 주기 때문입니다.
(빗변)² = (변1)² + (변2)²에서 빗변과 한 변이 정해지면 나머지 변은 계산으로 딱 하나가 나옵니다.
그러면 세 변이 모두 같아져 결국 SSS — 그래서 합동입니다.
일반 SSA에서 삼각형이 둘 생겼던 까닭은 컴퍼스로 그린 원이 상대 변과 두 곳에서 만났기 때문인데,
직각일 때는 그 두 교점 중 하나가 사라집니다. 「직각은 그저 각 하나가 아니라 「피타고라스를 쓸 수 있는 자격」」입니다 —
그래서 직각삼각형에는 특별한 합동 조건이 붙습니다.
RHA(빗변과 한 예각)도 같은 이치로 성립합니다 — 나머지 각이 저절로 정해지니 ASA가 되지요.
직각삼각형은 (빗변)² = (변1)² + (변2)². 빗변과 한 변이 정해지면 나머지 변도 자동으로 하나로 결정.
그러면 세 변이 모두 같아져 결국 SSS → 합동. SSA 함정이 직각 덕분에 풀린 것.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「RHS도 결국 SSA니 안 된다」고 하면"두 변과 한 각인데 그 각이 사이에 없으니 SSA 함정 아닌가?"
모양은 SSA가 맞지만 그 각이 하필 90°라는 것이 전부를 바꿉니다.
직각일 때는 피타고라스로 세 번째 변이 하나로 정해져 두 번째 삼각형이 생길 자리가 없습니다.
→ SSA 중에서 「각이 직각인 경우」만 예외로 통합니다. 그것이 RHS입니다.
직각 때문에 세 번째 변이 하나로 정해져 SSS가 되므로 합동
도전 · 중3닮음과의 연결
두 삼각형이 세 각이 각각 같다(AAA). 합동인가, 닮음인가?
풀이 — 합동의 함정이 닮음의 조건
⭐ 여기가 고비 — 합동에서 「가짜」였던 것이 닮음에서는 「진짜」
AAA는 합동 조건으로는 함정이었습니다 — 각이 다 같아도 크기가 자유라 확대·축소가 얼마든지 되니까요.
그런데 바로 그 「크기가 자유롭다」가 닮음의 정의입니다.
그러니 AAA는 합동은 아니지만 닮음은 맞습니다(실은 두 각만 같아도 되어 AA라 부릅니다).
각이 둘 같으면 세 번째 각은 180°에서 빼면 저절로 같아지므로 세 번째는 셀 필요가 없습니다.
정리하면 —
「각만 같다 → 닮음」 · 「각도 같고 크기도 같다 → 합동」.
합동은 닮음 중에서 비율이 1인 것입니다. 「조건이 하나 모자라 실패한 자리가, 다음 단원의 문이 되기도 합니다.」
AAA는 모양만 같고 크기는 다를 수 있음 → 합동은 아니다.
하지만 크기 비율만 다른 것이니 닮음(AA 조건). 합동에서 ‘가짜’였던 게 닮음에선 ‘진짜’ 조건이 됩니다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「세 각이 다 같으니 합동」이라 하면"세 가지나 같은데 합동이 아니라고?"세 각이 같은 삼각형은 무수히 많습니다 — 종이에 그린 삼각형과, 그것을 복사기로 200% 확대한 것.
각은 모두 같지만 포개면 삐져나옵니다.→ 합동 조건에는 반드시 「변」이 하나 이상 있어야 크기가 못 박힙니다. AAA는 닮음까지만입니다.
합동 ✘ · 닮음 ✔ (AA)
도전 · 중3삼각비 준비
한 예각이 같은 두 직각삼각형은 ‘닮음’이다. 그래서 대변/빗변 같은 변의 비가 일정해지는데, 이 일정한 비를 무엇이라 부르나?
풀이
⭐ 여기가 고비 — 「닮음이라 비가 같다」가 삼각비를 낳는다
직각 하나와 예각 하나가 같으면 AA로 닮음입니다. 닮음이면 대응변의 비가 모두 같지요.
그런데 크기가 제각각인 삼각형들이 같은 비를 갖는다는 말은,
그 비가 크기가 아니라 「각 하나」에만 달려 있다는 뜻입니다.
그래서 각마다 고유한 수를 표로 만들 수 있게 되고, 그것을 삼각비(sin·cos·tan)라 부릅니다.
이 순서를 놓치면 삼각비가 하늘에서 떨어진 공식처럼 보입니다.
실은 합동의 실패(AAA) → 닮음 → 비의 고정 → 삼각비로 이어진 한 줄기입니다. 「sin 30° = ½」이라 외울 수 있는 것도 「크기와 무관하기 때문」입니다 —
크기마다 값이 달랐다면 표를 만들 수조차 없었겠지요.
직각+한 예각 같음 → AA 닮음 → 대응변의 비가 각에 의해서만 정해짐. 이 비가 곧 삼각비(sin·cos·tan).
삼각비 (sin, cos, tan)
도전 · 고1좌표로 합동
세 점 A(0,0), B(4,0), C(0,3) 인 삼각형과 D(0,0), E(0,4), F(−3,0) 인 삼각형이 합동임을 세 변의 길이로 확인하라.
A→B: 가로 4칸 = 4 A→C: 세로 3칸 = 3 B→C: √(4²+3²)=5
풀이 — 거리공식으로 세 변 비교 (SSS)
⭐ 여기가 고비 — 좌표가 달라도 「세 변」이 같으면 합동
두 삼각형은 놓인 자리도 방향도 다릅니다(하나는 오른쪽 위, 하나는 왼쪽 위).
그래도 세 변의 길이만 같으면 합동입니다 — SSS.
좌표는 「어디에 놓였는가」를 말할 뿐, 「어떤 모양인가」는 변의 길이가 말합니다.계산은 거리공식(피타고라스)으로 세 번 :
△ABC는 4·3·5, △DEF는 4·3·5 — 같습니다 ✓
축 위에 놓인 변은 좌표 차이만 보면 되어 더 빠릅니다. 「합동은 위치·방향과 무관하다」는 초등 놀이(돌리고 뒤집기)에서 배운 것이
좌표평면에서 숫자로 확인되는 자리입니다.
실제로 △DEF는 △ABC를 90° 돌려 놓은 것입니다.
△ABC: AB=4, AC=3, BC=√(4²+3²)=5.
△DEF: DE=4, DF=3, EF=√(3²+4²)=5.
세 변이 각각 같음 → SSS 합동. (좌표만 다르고 크기·모양은 동일)
세 변 3·4·5로 같음 → SSS 합동
💡 눈으로 짝짓던 합동을, 고1에선 거리공식으로 계산해 증명합니다. 방법의 뿌리는 똑같아요.
도전 · 고1수직이등분선
선분 AB의 수직이등분선 위의 임의의 점 P는 왜 항상 PA = PB 인가? 합동으로 설명하라.
풀이 — SAS 합동
⭐ 여기가 고비 — 「수직이등분선」이라는 낱말 하나에 조건이 둘
이름을 두 조각으로 갈라 읽으면 필요한 조건이 그대로 나옵니다 —
「이등분」에서 AM = BM(변 하나),
「수직」에서 ∠PMA = ∠PMB = 90°(끼인각).
거기에 공통변 PM을 더하면 두 변과 끼인각 — SAS입니다.
그러면 △PMA ≡ △PMB이고 대응변이 같으니 PA = PB.
P를 선 위 어디에 잡아도 같은 증명이 통하므로 「수직이등분선 위의 모든 점은 두 끝점에서 같은 거리」가 됩니다. 「긴 이름의 낱말은 조건 창고입니다」 —
이등변삼각형·중선·각의 이등분선·수직이등분선… 이름을 뜯어보면 쓸 조건이 나옵니다.
이 성질이 훗날 외심(세 변의 수직이등분선의 교점)으로 이어집니다.
수직이등분선이 AB와 만나는 점 M은 중점 → AM=BM. 또 ∠PMA=∠PMB=90°, PM 공통.
두 변+끼인각 → SAS, △PMA ≡ △PMB → 대응변 PA=PB.
△PMA ≡ △PMB (SAS) → PA = PB
도전 · 고1원의 성질
원의 중심 O에서 두 현 AB, CD에 내린 수선의 길이가 같으면 AB = CD 이다. 합동으로 왜 그런지 설명하라.
풀이 — RHS 합동
⭐ 여기가 고비 — 말하지 않은 조건 「반지름이 같다」를 스스로 꺼내 온다
문제가 준 것은 두 수선의 길이가 같다 하나뿐입니다. RHS를 쓰려면 빗변이 더 필요하지요.
그것은 원이라는 말 속에 숨어 있습니다 — 중심에서 원 위의 점까지는 모두 반지름이므로
OA = OC. 이제 직각 + 빗변 + 한 변 — RHS가 갖추어집니다.
합동이 되면 AM = CN이고,
중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로
AB = 2AM, CD = 2CN → AB = CD.
여기서도 「구한 것이 절반인가 전체인가」를 마지막에 짚어야 합니다 — 2배 하는 것을 잊으면 안 됩니다. 「원 문제에서 반지름은 언제나 공짜 조건입니다」 — 중심에서 그은 선이 보이면 먼저 같다고 적으십시오.
수선의 발을 M, N이라 하면 △OMA·△ONC 는 직각삼각형. 빗변 OA=OC(반지름), 한 변 OM=ON(수선 길이 같음).
빗변+한 변 → RHS 합동 → AM=CN. 수선은 현을 이등분하므로 AB=2AM=2CN=CD.
중심에서 같은 거리의 두 현은 길이가 같다
※ 이 자료의 문제·수치·그림은 장대경 선생님 강의의 방법(대응 순서 맞추기·SSS/SAS/ASA·함정 거르기)을 살려 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 대응·각·조건을 직접 검산했으며, 원본 영상의 수치와는 다를 수 있습니다.