삼각비 완전정복
— 빗대높 법칙 연습 10제

풀이

풀이 — 30° 특수각 표 이용

1. ⭐ 여기가 고비 — 빗변을 알고 있으니 삼각비는 곱하는 쪽으로 쓴다 sin θ = 높이/빗변은 분수지만, 실제로 쓸 때는 양변에 빗변을 곱한 꼴이 훨씬 편합니다 — 높이 = 빗변 × sin θ. 아는 것이 빗변일 때는 언제나 곱하기이고, 아는 것이 밑변·높이인데 빗변을 구할 때만 나누기가 됩니다. 그래서 순서가 이렇게 잡힙니다 — ① 아는 변에 이름표를 붙이고 ② 아는 변과 구할 변을 한 줄에 담은 삼각비를 고른다.
   빗변과 높이 → sin · 빗변과 밑변 → cos · 밑변과 높이 → tan. 이 문제는 빗변 10을 알고 높이·밑변을 둘 다 물었으니 sin 한 번, cos 한 번으로 갈립니다.
2. sin 30° = 1/2이므로 높이 = 10 × 1/2 = 5.
3. cos 30° = √3/2이므로 밑변 = 10 × √3/2 = 5√3.
4. 검산: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10² ✓ (피타고라스로 빗변이 되돌아온다)

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — √2가 두 번 나와 서로 지워진다 6√2 × √2/2에서 학생들이 계산기를 찾습니다. 그럴 필요가 없습니다. √2 × √2 = 2이므로 6√2 × √2/2 = 6 × 2 ÷ 2 = 6 — 근호가 통째로 사라집니다. 이것은 우연이 아닙니다. 45°짜리 직각이등변삼각형의 세 변 비가 1 : 1 : √2라서, 빗변에 일부러 √2가 붙은 수를 주면 답이 깔끔한 정수로 떨어지도록 문제를 만든 것입니다. 빗변에 √2가 보이면 45°, √3(또는 2)이 보이면 30°·60°를 의심하십시오 — 출제자의 손이 보입니다.
2. sin 45° = cos 45° = √2/2 (45°는 높이·밑변이 같음).
3. 높이 = 밑변 = 6√2 × √2/2 = 6.
4. 검산: 6² + 6² = 72 = (6√2)² ✓

풀이 — 밑변·높이 비를 삼각형으로

풀이 — 그림자=밑변, 나무=높이

1. ⭐ 여기가 고비 — 그림자는 밑변이지 빗변이 아니다 말로만 주어진 문제는 먼저 직각삼각형을 그려 세 변에 이름표를 붙이는 것이 전부입니다. 나무는 땅에 수직으로 서 있으니 직각은 나무 밑동에 있고 — 그림자 10m = 밑변, 나무 = 높이, 햇빛 줄기가 빗변, 고도각 60°는 그림자 끝에 있는 각입니다. 이름표가 붙으면 고를 삼각비가 저절로 정해집니다. 여기서는 아는 것이 밑변, 구할 것이 높이이므로 빗변이 아예 등장하지 않는 tan입니다. 「빗변이 문제에 나오지 않으면 tan」 — 이 한 줄이면 5·8·10번 문제가 한꺼번에 정리됩니다.
2. tan 60° = 높이/밑변 = 높이/10 = √3
3. 높이 = 10 × √3 = 10√3 (m)
4. 검산: 10√3 ≈ 17.3 — 60°는 45°보다 가파르니 높이가 그림자(10)보다 커야 한다 ✓

풀이 — 사다리=빗변, 벽 높이=높이

1. ⭐ 여기가 고비 — 5번과 각도가 같은데 답이 다르다. 왜? 앞 문제도 60°, 이 문제도 60°인데 10√3과 5√3으로 갈립니다. 갈린 자리는 딱 하나 — 주어진 10m가 어느 변이냐입니다. 그림자는 땅에 누운 밑변이었지만, 사다리는 벽에 기대어 비스듬하니 빗변입니다. 사다리가 빗변인 까닭 : 직각은 벽과 바닥이 만나는 곳에 있고, 사다리는 그 직각의 맞은편에 있기 때문입니다. 그러니 아는 것은 빗변, 구할 것은 높이 → sin.
   「길이가 주어졌다」가 아니라 「그 길이가 어느 변인가」를 묻는 것 — 실생활 문제는 언제나 여기서 갈립니다.
2. sin 60° = 높이/빗변 = 높이/10 = √3/2
3. 높이 = 10 × √3/2 = 5√3 (m)
4. 검산: 5√3 ≈ 8.7 < 10 — 벽 높이는 사다리(빗변)보다 반드시 짧아야 한다 ✓

풀이 — 닮음이면 값이 똑같다

1. sin θ = 8/10 = 4/5, cos θ = 6/10 = 3/5, tan θ = 8/6 = 4/3
2. ⭐ 여기가 고비 — 삼각비가 길이가 아니라 「모양」의 값이라는 것 변은 전부 2배로 커졌는데 값은 하나도 안 바뀌었습니다. 우연이 아니라 삼각비의 정의가 「나눈 값」이기 때문입니다. 분자와 분모가 똑같이 2배가 되면 그 몫은 그대로입니다 — 8/10 = (4×2)/(5×2) = 4/5. 그래서 삼각비는 삼각형의 크기가 아니라 각 θ 하나에만 달려 있습니다. 이 사실 덕분에 「sin 30° = 1/2」처럼 값을 표로 외워 둘 수 있는 것입니다 — 크기마다 값이 달랐다면 표를 만들 수조차 없었겠지요. 삼각비는 「그 각이 가진 고유한 수」라고 생각하십시오.
3. 따라서 3-4-5 삼각형을 2배 늘린 이 삼각형은 문제 1과 값이 완전히 똑같다.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — "수평으로 20m"는 경사면을 따라간 거리가 아니다 "언덕을 20m 나아갔다"였다면 그 20m는 빗변이지만, 문제는 수평으로 20m라고 못 박았습니다. 수평 방향은 곧 밑변입니다. 아는 것이 밑변, 구할 것이 높이 → tan. 한 낱말이 답을 바꿉니다. 빗변으로 읽으면 20 × sin45° = 10√2 ≈ 14.1, 밑변으로 읽으면 20 — 아예 다른 수가 됩니다. 실생활 삼각비 문제에서 「수평으로 · 그림자 · 지면에서 떨어진」은 모두 밑변, 「사다리·경사면을 따라·시선 방향」은 빗변입니다. 읽자마자 이름표를 붙이십시오.
2. tan 45° = 높이/밑변 = 높이/20 = 1
3. 높이 = 20 × 1 = 20 (m)
4. 검산: 45°는 밑변과 높이가 같은 각이므로 높이도 20 ✓

풀이

1. 닮음이면 세 변의 비율이 그대로 유지된다 — 크기만 다르고 모양(비율)은 같다.
2. ⭐ 여기가 고비 — "더 큰 삼각형이니 값도 클 것"이라는 직감을 꺾는 것 이 문제는 계산이 없습니다. 다만 「크면 크다」는 일상의 직감과 싸우는 문제입니다. 삼각비는 변의 길이가 아니라 두 변을 나눈 값이라, 분자와 분모가 함께 커지면 몫은 제자리입니다. 그래서 답은 같다. 그림으로 확인해 보십시오 — A를 그대로 확대·축소하면 B가 됩니다. 복사기로 200% 확대한 종이 위의 각도는 그대로이지요. 각이 그대로면 삼각비도 그대로입니다.
   삼각비 값이 바뀌는 것은 오직 「θ가 바뀔 때」뿐입니다.
3. 그래서 sin θ 값은 둘 다 똑같다. 크기가 아니라 "각 θ"에만 값이 달려있다.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — tan 30°를 1/√3인 채로 두지 않는다 표에서 tan 30° = 1/√3로 외운 학생이 많습니다. 값은 맞지만 분모에 근호가 남은 꼴은 답으로 쓰지 않습니다. 분모·분자에 √3을 곱해 1/√3 = √3/3으로 바꿔 두고 시작해야 마지막에 헤매지 않습니다. 유리화를 마지막에 하려 하면 50/√3 같은 꼴이 나와 한 번 더 손이 갑니다. 근호는 「분모에 들어가기 전에」 미리 위로 올려 두는 것이 순서입니다.
   덧붙여, 50√3/3은 50/√3과 같은 수입니다 — 둘 다 약 28.9. 다르게 생겼다고 틀린 답이 아닙니다.
2. tan 30° = 높이/밑변 = 높이/50 = √3/3
3. 높이 = 50 × √3/3 = 50√3/3 (m)
4. 검산: 50√3/3 ≈ 28.9 < 50 — 30°는 45°보다 완만하니 높이가 수평거리보다 작아야 한다 ✓

풀이 — 닮은 삼각형은 비율이 같다(삼각비의 뿌리)

1. ⭐ 여기가 고비 — 막대와 나무가 왜 닮은 삼각형인가 두 삼각형은 크기도 다르고 서로 떨어져 있습니다. 그런데도 닮음이라 말할 수 있는 근거는 「같은 시각」이라는 다섯 글자입니다. 같은 시각이면 햇빛이 들어오는 각이 똑같고, 막대도 나무도 땅에 수직이니 직각도 똑같습니다. 두 각이 같으면 삼각형은 닮음입니다. 닮음이 확인된 순간, 대응하는 변끼리의 비가 같아집니다 — (높이) : (그림자)가 두 삼각형에서 동일.
   이 「높이 ÷ 그림자」가 몇 년 뒤 tan θ라는 이름을 받습니다. 여기서는 1/2이 그것입니다.
2. 막대: 높이 : 그림자 = 1 : 2.
3. 나무도 같은 비율이어야 하므로 x : 10 = 1 : 2 → x = 5.
4. 검산: 5 ÷ 10 = 0.5 = 1 ÷ 2 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 13이 빗변이므로 더하기가 아니라 빼기 피타고라스 정리에서 혼자 있는 쪽(등호 오른쪽)은 언제나 빗변입니다. 이 문제는 빗변 13을 이미 알고 짧은 변 하나를 묻고 있으므로, 5² + 높이² = 13²에서 5²을 넘겨 빼야 합니다. 「빗변을 아느냐 모르느냐」가 부호를 정합니다 — 빗변을 모르면 더하기(a²+b²), 빗변을 알면 빼기(c²−a²).
   그리고 가장 긴 변이 누구인지 먼저 정하는 것이 언제나 첫 걸음입니다. 여기서는 13 > 5이니 13이 빗변임이 분명합니다.
2. (밑변)²+(높이)²=(빗변)² → 5²+높이²=13²
3. 높이² = 169-25=144 → 높이=12
4. 검산: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓ (12 < 13 — 빗변보다 짧다 ✓)

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 기울기가 왜 tan인가 기울기는 (세로 변화)/(가로 변화)입니다. 그런데 직선이 x축과 각 θ를 이루면 가로로 간 만큼과 세로로 오른 만큼이 직각삼각형의 밑변과 높이가 됩니다. 그러면 (세로)/(가로) = (높이)/(밑변) = tan θ — 같은 것을 두 이름으로 부르고 있었을 뿐입니다. 그래서 45°의 기울기는 가로로 1 간 만큼 세로로도 1 오른다는 뜻이고, 값은 1입니다.
   이 다리 하나로 「각도 문제」와 「기울기 문제」가 서로 오갈 수 있게 됩니다 — 각을 주고 기울기를 묻거나, 기울기를 주고 각을 묻거나.
2. 기울기 = tan θ = tan 45° = 1

풀이 — 직각삼각형 밖으로 확장된 sin

1. ⭐ 여기가 고비 — 분수로 나누기에서 손이 멈춘다 식은 한 줄인데 5 ÷ (1/2)에서 많이 틀립니다. 분수로 나누는 것은 뒤집어 곱하는 것이므로 5 ÷ (1/2) = 5 × 2 = 10입니다. 여기서 5 × (1/2) = 2.5로 쓰면 답이 4배 어긋납니다. 「나누면 커진다」가 이상하게 느껴지면 뜻으로 확인하십시오 — sin A = 1/2는 대변 a가 지름 2R의 절반이라는 말입니다. 절반이 5이니 전체는 10. 계산 없이도 맞습니다.
   답이 나온 뒤 「지름이 대변보다 커야 한다」로 한 번 재 보는 것이 이 유형의 안전판입니다.
2. 2R = a/sin A = 5/sin30° = 5/(1/2) = 10
3. 검산: 2R = 10 > a = 5 — 지름이 현(대변)보다 길다 ✓