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"수학은 국어다" 9편
부피 공식도 왜 이렇게 많을까?
외우지 마 — 밑을 잡고 높이만큼 채우면 돼.
외우지 마 — 밑을 잡고 높이만큼 채우면 돼.
🔑 핵심
기둥의 부피 = 밑넓이 × 높이
밑면 한 층을, 높이만큼 쌓아 올린 것. 원기둥·삼각기둥·직육면체 모두 똑같아.
🐣 먼저 쉽게 — 쌓기나무
쌓기나무로 상자를 채워 봐. 한 층에 가로×세로 개, 그걸 높이(층수)만큼.
그게 부피야 — 아직 공식도 π도 필요 없어.
그게 부피야 — 아직 공식도 π도 필요 없어.
예제 · 원기둥 r=3, h=8
밑넓이 9π 에 높이 8 을 곱하면 끝.
부피는 72π.
부피는 72π.
뿔 = 기둥의 ⅓
뿔은 같은 밑면·같은 높이 기둥에 세 번 부어야 가득 차.
그래서 뿔 = ⅓ × 밑넓이 × 높이. r=3, h=8 원뿔이면 24π(바로 앞 원기둥과 같은 r,h).
그래서 뿔 = ⅓ × 밑넓이 × 높이. r=3, h=8 원뿔이면 24π(바로 앞 원기둥과 같은 r,h).
조심 — 뿔엔 "높이"를 쓴다
⅓ × 밑넓이 × 높이
겉넓이에선 모선을 썼지만, 부피엔 높이를 써.
밑넓이에 높이를 곱하고, 뿔이니까 ⅓.
밑넓이에 높이를 곱하고, 뿔이니까 ⅓.
구 — 외운다
구는 4/3 × π × 반지름 세제곱.
반지름 3이면 4/3 × π × 27 = 36π.
반지름 3이면 4/3 × π × 27 = 36π.
🏛 아르키메데스 — 3 : 2 : 1
딱 맞는 원기둥 : 구 : 원뿔 의 부피 비는 3 : 2 : 1.
구는 원기둥의 ⅔ — 아르키메데스가 묘비에 새긴 비율이야.
구는 원기둥의 ⅔ — 아르키메데스가 묘비에 새긴 비율이야.
결합은 더하고 · 구멍은 뺀다
아이스크림처럼 붙이면 더하기: 반구 18π + 원뿔 12π = 30π.
뚫린 관은 큰 것 − 뚫린 것 으로 빼면 돼.
뚫린 관은 큰 것 − 뚫린 것 으로 빼면 돼.
🍦 콘 vs 구슬 — 넘칠까?
반지름 3·높이 8 콘 용량은 24π, 반지름 3 구슬은 36π.
구슬이 더 커서 다 담으면 넘쳐.
구슬이 더 커서 다 담으면 넘쳐.
🎓 한 걸음 더 — 적분·카발리에리
부피는 단면을 얇게 잘라 쌓은 것 — 적분 ∫A(x)dx.
단면이 같으면 부피도 같아(카발리에리). 뿔의 ⅓도 적분으로 나와 — 오늘 배운 게 뿌리야.
단면이 같으면 부피도 같아(카발리에리). 뿔의 ⅓도 적분으로 나와 — 오늘 배운 게 뿌리야.
🎯
밑을 잡고 · 높이만큼 채운다
뿔은 ⅓, 구는 원기둥의 ⅔.
공식을 외우는 게 아니라, 속을 채우는 것이야.
공식을 외우는 게 아니라, 속을 채우는 것이야.
🧊✏️
"수학은 국어다"
입체도형 부피
입체도형 부피
채워서 보는 습관, 네 것으로 만들어봐.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 9편
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