입체도형 부피 완전정복
— 부피는 "속을 채우는 것" · 연습 10제

풀이 — 밑넓이 × 높이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「밑」에서 잡는 것이 둘레가 아니라 넓이 겉넓이를 먼저 배운 탓에 2πr = 6π(밑둘레)를 집어 드는 실수가 많습니다. 부피는 「밑넓이 × 높이」이니 잡아야 할 것은 πr² = 9π입니다. 뜻으로 보면 분명합니다 — 부피는 밑면 모양을 높이만큼 그대로 쌓아 올린 것입니다. 넓이 9π짜리 원판을 8겹 쌓은 것이지요. 그러니 9π × 8.
   겉넓이는 옆면을 펼친 종이의 넓이라 둘레가 필요했던 것입니다.
   「부피는 넓이를 쌓고, 겉넓이는 둘레를 펼친다」고 갈라 두면 다시는 안 섞입니다.
2. 밑넓이 = πr² = π·3² = 9π. 부피 = 9π × 8 = 72π.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 세 변 중 5는 쓰지 않는다 삼각형 넓이는 밑변 × 높이 ÷ 2인데, 직각삼각형에서는 직각을 낀 두 변이 곧 밑변과 높이입니다. 여기서는 3과 4. 5는 빗변이라 넓이 계산에 들어가지 않습니다 — ½ × 3 × 4 = 6. 세 변이 다 주어지면 가장 긴 변(빗변)이 무엇인지 먼저 찾아 옆으로 치워 두십시오. 3² + 4² = 25 = 5²이니 5가 빗변임이 확인됩니다 ✓
   「직각삼각형의 두 다리가 곧 밑변과 높이」 — 따로 수선을 그을 일이 없습니다.
   그다음은 기둥이니 밑넓이 6을 높이 10만큼 쌓아 60. (밑면이 삼각형이든 원이든 「밑넓이 × 높이」는 그대로입니다.)
2. 밑넓이 = ½ × 3 × 4 = 6. 부피 = 6 × 10 = 60.

풀이 — 밑넓이 × 높이 = 가로×세로×높이

1. ⭐ 여기가 고비 — 어느 면을 「밑」으로 잡아도 답이 같다 직육면체는 눕혀도 세워도 부피가 같습니다. 실제로 어느 면을 밑면으로 잡든 결과가 같습니다 — (4×3)×5 = 60, (3×5)×4 = 60, (4×5)×3 = 60. 세 수를 곱하는 것은 순서가 상관없기 때문이지요. 그래서 「가로×세로×높이」라는 초등의 공식이 사실은 「밑넓이×높이」의 한 경우였습니다. 새 공식을 배운 것이 아니라 같은 것을 더 넓게 말하는 법을 배운 것입니다.
   「기둥은 어느 면을 밑으로 잡아도 되지만, 뿔은 꼭짓점 반대쪽이 밑면으로 정해져 있다」는 차이도 함께 기억해 두십시오.
2. 밑넓이 = 4 × 3 = 12. 부피 = 12 × 5 = 60.

풀이 — 뿔은 기둥의 ⅓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 밑면이 바뀌어도 ⅓은 그대로 앞 문제는 원뿔, 이번은 사각뿔입니다. 바뀐 것은 밑넓이를 구하는 방법뿐이고 「기둥의 ⅓」이라는 성질은 그대로입니다 — 밑넓이 6×6 = 36, 같은 기둥이 36 × 10 = 360, 그 ⅓이 120. 뿔의 ⅓은 밑면이 원이든 삼각형이든 사각형이든 언제나 성립합니다. 그러니 뿔 문제는 언제나 두 걸음입니다 — ① 밑넓이를 구한다 ② 높이를 곱하고 3으로 나눈다.
   「밑면 모양은 ①에서만 신경 쓰고, ②는 늘 똑같다」고 갈라 두면 도형이 바뀌어도 흔들리지 않습니다.
2. 밑넓이 = 6 × 6 = 36. 뿔 = ⅓ × 36 × 10 = 120.

풀이 — 구는 외운다: 4/3 πr³

1. ⭐ 여기가 고비 — 구는 r²이 아니라 r³ 기둥·뿔의 밑넓이에서 πr²을 자주 쓴 탓에 구에서도 r²을 쓰는 실수가 잦습니다. 구의 부피는 (4/3)πr³ — 세제곱입니다. 3³ = 27이니 (4/3)π × 27 = 36π. 차수로 구별하면 헷갈리지 않습니다 — 넓이는 언제나 길이의 제곱(r²), 부피는 언제나 길이의 세제곱(r³)입니다. 구의 겉넓이가 4πr²인 것도 같은 이치이지요.
   그리고 (4/3) × 27은 27 ÷ 3 = 9, 9 × 4 = 36으로 3으로 먼저 나누면 분수를 다룰 일이 없습니다 — r이 3의 배수일 때 늘 쓰는 요령입니다.
2. 부피 = (4/3)πr³ = (4/3)π·27 = 36π.

풀이 — 큰 것 − 뚫린 것

1. ⭐ 여기가 고비 — 반지름은 반으로 줄었는데 부피는 ¼로 줄어든다 구멍의 반지름이 4에서 2로 반이 되었으니 부피도 반일 것 같지만, 아닙니다. 밑넓이가 πr²이라 반지름이 반이면 넓이는 ¼이 되고, 높이는 같으니 부피도 ¼입니다 — 80π → 20π. 그래서 남는 관은 60π, 곧 큰 것의 ¾입니다. "구멍이 반지름의 절반이니 절반쯤 파였겠지"라는 직감은 제곱 때문에 어긋납니다.
   그리고 빼기가 성립하려면 두 원기둥의 높이가 같아야 합니다 — 구멍이 위아래로 뚫려 있다고 했으니 높이가 똑같이 5입니다 ✓ (반쯤만 파여 있다면 그만큼만 빼야 하지요.)
   「빼기 전에 「같은 높이인가」를 확인한다」 — 이 유형의 안전판입니다.
2. 큰 원기둥 = π·4²·5 = 80π. 뚫린 원기둥 = π·2²·5 = 20π.
3. 관의 부피 = 80π − 20π.

풀이 — 반구 + 원뿔

풀이 — 아르키메데스의 3:2:1

1. 원기둥 = πr²·(2r) = 2πr³.
2. 구 = (4/3)πr³.
3. 원뿔 = ⅓·πr²·(2r) = (2/3)πr³.
4. ⭐ 여기가 고비 — πr³이 통째로 지워져 비만 남는다 세 부피가 2πr³, (4/3)πr³, (2/3)πr³으로 나왔습니다. 세 값 모두 πr³을 공통으로 품고 있으니, 비를 잡을 때 그것을 통째로 지울 수 있습니다 — 남는 것은 2 : 4/3 : 2/3. 여기에 3을 곱해 분수를 없애면 6 : 4 : 2 = 3 : 2 : 1. 그래서 이 비는 r이 얼마이든 언제나 3 : 2 : 1입니다 — 아르키메데스가 자기 묘비에 새겨 달라 했다는 그 관계이지요.
   「비에서는 모두에 공통인 것은 지우고, 분수는 최소공배수를 곱해 정수로 만든다」가 두 손놀림입니다.
   외워 두면 쓸모가 큽니다 — 구는 원기둥의 ⅔, 뿔은 원기둥의 ⅓, 그러니 구 = 뿔의 2배입니다.
5. 비 = 2 : 4/3 : 2/3, 각각 ×3 → 6 : 4 : 2 = 3 : 2 : 1.

풀이 — 두 부피 비교

1. ⭐ 여기가 고비 — 콘이 훨씬 커 보이는데 지는 까닭 콘은 높이가 8이고 아이스크림 구는 지름이 6뿐이라 눈으로는 콘이 커 보입니다. 그런데 뿔에는 ⅓이 붙습니다 — 같은 밑면·높이의 원기둥이 72π인데 콘은 그 ⅓인 24π뿐이지요. 반면 구는 36π. 그래서 넘칩니다. 「뿔은 생각보다 훨씬 작다」가 이 단원에서 몸에 붙여야 할 감각입니다 — 보이는 겉모습이 아니라 ⅓·⅔ 같은 계수가 승부를 가릅니다.
   얼마나 넘치는지도 말할 수 있습니다 : 36π − 24π = 12π, 곧 콘 용량의 절반만큼이 흘러넘칩니다.
   「비교 문제는 두 값을 끝까지 계산해 견주십시오」 — 어림으로는 반대로 답하기 쉽습니다.
2. 콘(원뿔) 용량 = ⅓ × π·3² × 8 = 24π.
3. 아이스크림(구) = (4/3)π·3³ = 36π.
4. 36π > 24π → 아이스크림이 콘보다 12π 만큼 더 많다.

풀이 — 겉넓이는 밑둘레×높이

1. ⭐ 여기가 고비 — 겉넓이는 「옆면 + 밑면 두 개」로 나눠 센다 부피는 한 줄이었는데 겉넓이는 두 부분입니다. 옆면은 잘라 펴면 가로가 밑둘레, 세로가 높이인 직사각형이므로 6π × 8 = 48π, 밑면은 위아래로 두 개라 9π × 2 = 18π. 합쳐 66π. 여기서 실수가 나는 자리는 둘입니다 — ① 밑면을 한 개만 세는 것, ② 옆면에 넓이(πr²) 대신 둘레(2πr)를 쓰는 것을 잊는 것.
   「부피는 밑넓이를 쌓고, 겉넓이는 밑둘레를 펼친다」는 대비가 여기서 그대로 보입니다.
   음료수 캔을 뜯어 펼쳐 본다고 생각하면 — 둥근 뚜껑 두 장과 네모난 라벨 한 장이 나오지요.
2. 밑넓이 2개 = 2·9π = 18π, 옆넓이 = 둘레×높이 = 6π×8 = 48π.
3. 겉넓이 = 18π + 48π.

풀이 — 먼저 반지름을 찾는다

1. ⭐ 여기가 고비 — 바로 부피로 갈 수 없다. 반지름을 먼저 되찾는다 겉넓이와 부피를 바로 잇는 공식은 없습니다. 둘 사이의 유일한 다리가 반지름입니다. 그러니 순서는 겉넓이 → r → 부피. 4πr² = 36π에서 양변의 π를 지우면 4r² = 36 → r² = 9 → r = 3. π를 지워도 되는 까닭은 양변에 똑같이 곱해져 있기 때문입니다 — 3.14…를 대입할 필요가 전혀 없습니다. 그리고 r은 길이이므로 −3은 버립니다.
   「값 하나가 주어지면 먼저 r을 되찾는다」 — 구 문제의 거의 모든 유형이 이 순서입니다.
   (겉넓이와 부피가 둘 다 36π로 같게 나오는 것은 r = 3일 때뿐인 우연이니 공식으로 여기지 마십시오.)
2. 겉넓이 4πr² = 36π → r² = 9 → r = 3.
3. 부피 = (4/3)π·27 = 36π.

풀이 — 큰 뿔 − 작은 뿔

1. ⭐ 여기가 고비 — 길이가 반이면 부피는 ⅛이라 잘라 낼 것이 얼마 안 된다 작은 원뿔은 반지름도 높이도 큰 것의 절반(6→3, 8→4)이니 닮음비 1:2입니다. 그러면 부피비는 세제곱인 1:8 — 작은 원뿔은 96π ÷ 8 = 12π밖에 되지 않습니다. 그래서 남는 원뿔대는 96π − 12π = 84π, 곧 큰 것의 ⅞입니다. "절반을 잘랐으니 절반 남겠지"라는 직감이 크게 어긋나는 자리입니다 — 위쪽 뾰족한 부분은 생각보다 아주 작습니다.
   공식으로 확인해도 같습니다 : ⅓·π·3²·4 = 12π ✓
   「닮음비 1:k 이면 넓이비 1:k², 부피비 1:k³」 — 이 한 줄이면 계산 없이 답이 보입니다.
2. 큰 원뿔 = ⅓·π·6²·8 = 96π. 작은 원뿔 = ⅓·π·3²·4 = 12π.
3. 원뿔대 = 96π − 12π.

풀이 — 직사각형 회전 = 원기둥

1. ⭐ 여기가 고비 — 축에 붙어 있는 변이 「높이」, 축에서 떨어진 변이 「반지름」 회전체 문제는 어느 변이 축이냐만 정하면 끝납니다. 여기서는 세로변(길이 8)이 축이므로 그 변이 높이 8이 되고, 축에서 가로 3만큼 떨어진 변이 돌면서 반지름 3인 원을 그립니다. 그래서 반지름 3 · 높이 8인 원기둥. 머릿속으로 돌리기 어려우면 「축에 붙은 변은 제자리, 축에서 떨어진 점이 원을 그린다」고 새기십시오. 문을 여닫을 때 경첩 쪽은 안 움직이고 손잡이 쪽이 크게 도는 것과 같습니다.
   만약 가로변을 축으로 돌렸다면 반지름 8 · 높이 3인 원기둥이 되어 부피가 π·64·3 = 192π로 훨씬 커집니다 — 반지름이 제곱으로 들어가기 때문이지요.
2. 반지름 3, 높이 8 원기둥 → π·3²·8 = 72π.

풀이 — 직각삼각형 회전 = 원뿔

1. ⭐ 여기가 고비 — 축이 「높이변」이니 반지름은 밑변 6 직각삼각형을 높이변(8)을 축으로 돌리면, 축에 붙은 8이 높이가 되고 축에서 떨어진 밑변 6이 반지름이 됩니다. 곧 반지름 6 · 높이 8인 원뿔. 두 수를 바꿔 넣으면 답이 크게 달라지므로 어느 변이 축인지를 문장에서 반드시 확인해야 합니다. 그리고 이때 생기는 원뿔의 모선은 삼각형의 빗변 √(6²+8²) = 10인데, 부피에는 쓰이지 않습니다(겉넓이에서 쓰입니다).
   반대로 밑변 6을 축으로 돌렸다면 반지름 8 · 높이 6이 되어 ⅓·π·64·6 = 128π — 다른 입체가 됩니다.
   「같은 삼각형도 어느 변을 축으로 삼느냐에 따라 다른 원뿔이 된다」는 것을 눈에 담아 두십시오.
2. 반지름 6, 높이 8 원뿔 → ⅓·π·36·8 = 96π.

풀이 — 반원 회전 = 구

1. ⭐ 여기가 고비 — 반원을 돌리면 반구가 아니라 「구」가 된다 "반원이니 반구겠지" 하는 순간 답이 절반으로 어긋납니다. 반원을 지름을 축으로 한 바퀴(360°) 돌리면, 반원이 축의 이쪽과 저쪽을 모두 쓸고 지나가 완전한 구가 만들어집니다. 축이 지름이라는 점이 핵심입니다 — 반원의 곧은 변이 축 위에 놓여 있으니, 돌리면 위쪽 반원이 아래쪽 자리까지 채웁니다.
   부채를 폈다 접는 것을 떠올리면 쉽습니다 — 반 바퀴만 돌면 반구, 한 바퀴를 다 돌면 구이지요. 그리고 「한 바퀴 돌린다」는 말은 언제나 360°입니다.
   「회전체는 「무엇이 · 어느 축으로 · 몇 도」 세 가지를 확인한다」가 순서입니다.
2. 반지름 3 구 → (4/3)π·27 = 36π.

풀이 — 단면을 쌓는 적분

1. ⭐ 여기가 고비 — 적분이 「단면을 쌓는 일」이라는 것 ∫₀⁸ A(x)dx라는 기호가 낯설 뿐, 하는 일은 중1 때와 똑같습니다 — 얇은 원판(넓이 9π)을 0부터 8까지 겹겹이 쌓는 것입니다. 단면 넓이가 어디서나 9π로 일정하니, 쌓은 결과는 9π × 8 = 72π — 문제 1의 답과 정확히 같습니다. 적분이 새로 해 주는 일은 「단면이 자리마다 달라질 때」입니다. 원뿔이라면 단면이 위로 갈수록 작아지므로 곱셈 하나로는 안 되고 변하는 넓이를 모두 더해야 하지요 — 그것이 적분입니다.
   「부피 = 단면넓이를 높이 방향으로 모두 더한 것」 — 중1의 「밑넓이 × 높이」는 그 넓이가 변하지 않는 가장 쉬운 경우였습니다.
2. ∫₀⁸ 9π dx = 9π × 8 = 72π.

풀이 — 부피는 길이의 세제곱

1. ⭐ 여기가 고비 — 괄호 안의 2까지 세제곱된다 (2r)³을 2r³으로 쓰면 답이 2배가 되어 버립니다. 괄호 전체가 세제곱이므로 (2r)³ = 2³ × r³ = 8r³ — 8배입니다. 뜻으로 보면 당연합니다 — 가로도 2배, 세로도 2배, 높이도 2배가 되었으니 2 × 2 × 2 = 8배이지요.
   같은 이치로 넓이는 2 × 2 = 4배입니다. 그래서 「길이 2배 → 넓이 4배 → 부피 8배」가 한 줄로 묶입니다.
   실생활로 옮기면 놀랍습니다 — 키가 2배인 사람은 몸무게가 8배가 되고, 지름이 2배인 피자는 양이 4배입니다.
2. (4/3)π(2r)³ = (4/3)π·8r³ → 2³ = 8배.

풀이 — 카발리에리 원리

1. ⭐ 여기가 고비 — 「기울었으니 다르겠지」라는 눈을 꺾는 것 기운 기둥은 모양이 달라 보이지만 부피는 똑같습니다. 까닭은 어느 높이에서 잘라도 단면의 넓이가 같기 때문입니다 — 단면이 옆으로 밀렸을 뿐 크기는 그대로이지요. 부피는 그 단면들을 쌓은 것이니, 쌓는 자리가 어긋나도 총량은 변하지 않습니다. 동전을 똑바로 쌓은 더미와 비스듬히 밀어 놓은 더미를 떠올리면 그대로입니다 — 동전 개수가 같으니 부피도 같습니다. 이것을 카발리에리의 원리라 합니다.
   다만 겉넓이는 다릅니다 — 기울면 옆면이 늘어나니까요. 「부피는 같고 겉넓이는 다르다」는 점을 함께 기억해 두십시오.
   그리고 여기서 쓰는 높이는 비스듬한 길이가 아니라 바닥에서 천장까지의 수직 거리입니다.
2. 같은 높이에서 자른 단면 넓이가 항상 같으므로 부피도 같다. 기울어져도 밑넓이×높이 그대로.