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"수학은 국어다" 35편
기울기, 이번엔 순간에 재보자.
미분은 어려운 게 아니라 "바로 지금"을 재는 도구야.
미분은 어려운 게 아니라 "바로 지금"을 재는 도구야.
🔑 핵심
미분계수 = 그 점에서의
순간 기울기(접선의 기울기)
순간 기울기(접선의 기울기)
평균이 아니라 딱 그 순간의 기울기야.
초등 직관 — 속도계
🚗💨
자동차 평균 속도가 아니라, 지금 이 순간 계기판이 가리키는 속도 —
그게 바로 미분계수의 감각이야.
그게 바로 미분계수의 감각이야.
1단계 — 평균변화율(할선)
두 점 (2,4)와 (4,16)을 잇는 할선의 기울기 = 16−4 나누기 4−2 = 6.
2단계 — 점점 가깝게(극한)
두 점을 점점 가깝게 하면 할선이 접선이 돼 —
x=3에서 순간 기울기(미분계수) = 6. 이게 "극한"의 뜻이야.
x=3에서 순간 기울기(미분계수) = 6. 이게 "극한"의 뜻이야.
3단계 — 거듭제곱 공식
xn → nxn−1
지수를 앞으로 내리고, 지수는 하나 줄인다. 상수는 미분하면 0.
4단계 — 곱미분
(f·g)′ = 앞미분 뒤 + 앞 뒤미분
두 식이 곱해져 있으면, 앞은 미분하고 뒤는 그대로 더하기
앞은 그대로 두고 뒤를 미분한 것을 더한다.
앞은 그대로 두고 뒤를 미분한 것을 더한다.
5단계 — 합성미분(체인룰)
{f(g(x))}′ = 겉미분 × 속미분
겉껍질부터 미분하고, 속 알맹이도 미분해서 곱한다.
예제 — 항별로 미분하기
f(x) = x³ + 2x² − 5
f′(x) = 3x² + 4x
항마다 거듭제곱 공식 적용, 상수 −5는 미분하면 0.
예제 — 곱미분 vs 직접전개
f(x) = (x+1)(x²−3)
직접전개 f′ = 3x²+2x−3
곱미분 f′ = 1·(x²−3) + (x+1)·2x = 3x²+2x−3
곱미분 f′ = 1·(x²−3) + (x+1)·2x = 3x²+2x−3
활용 — 속도 구하기
🚀
위치함수 s(t) = 5t²를 미분하면 속도 v(t) = 10t —
t=3초일 때 순간 속도는 30. 미분이 곧 속도야.
t=3초일 때 순간 속도는 30. 미분이 곧 속도야.
정의로 재검증 — 진짜일까?
lim(h→0) [(3+h)²−9]/h = 6+h → 6
공식 없이 극한 정의로 직접 풀어도 x=3에서 6 — 앞서 구한 값과 정확히 일치해.
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"수학은 국어다"
미분 — 순간의 기울기
미분 — 순간의 기울기
평균이 아니라 지금 이 순간을 재는 습관, 네 것으로 만들어봐.
— 연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어 · 35편
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