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"수학은 국어다" 35편
대입했는데 0/0? 막힌 게 아니라 —
아직 못 지운 공통인수가 숨어 있는 거야. 오늘은 그걸 지우는 법, 세 가지.
아직 못 지운 공통인수가 숨어 있는 거야. 오늘은 그걸 지우는 법, 세 가지.
🔑 핵심
함수의 극한 = 그 점 근처로
다가갔을 때 값이 정해지는 곳
다가갔을 때 값이 정해지는 곳
값이 딱 하나로 정해지면 수렴 — 좌극한과 우극한이 같아야 그 값이 존재해.
초등 직관 — 다리 난간
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다리 한가운데 널빤지 하나가 빠져 있어도, 양쪽에서 살금살금 다가가 보면 —
거기 있었어야 할 높이는 알 수 있잖아? 그게 극한의 감각이야.
거기 있었어야 할 높이는 알 수 있잖아? 그게 극한의 감각이야.
0/0의 정체 — 숨은 공통인수
분자·분모에 똑같은 인수가 숨어 있다는 신호야. 그 인수를 지우면 진짜 값이 드러나.
무기① — 인수분해
분자·분모를 인수분해해서
공통인수를 지운다
공통인수를 지운다
대입해서 0/0이 나오면, 분자·분모 모두 (x−a)를 인수로 가진다는 뜻이야.
예제① — 인수분해
limx→−1 (x²−1)/(x+1)
(x−1)(x+1) / (x+1) = x−1 → −2
분자를 (x−1)(x+1)로 쪼개면 (x+1)이 지워져 — 남는 건 x−1, x=−1에서 −2.
무기② — 유리화
루트가 있으면
켤레를 곱해 루트를 지운다
켤레를 곱해 루트를 지운다
분자에 √가 있으면, 켤레(더한 꼴)를 위아래에 곱해서 없애 버려.
예제② — 유리화
limx→4 (√x−2)/(x−4)
×(√x+2)/(√x+2) = 1/(√x+2) → 1/4
위아래에 (√x+2)를 곱하면 x−4가 지워져 — x=4에서 4분의 1.
무기③ — 선생님표 지름길
분자·분모를 각각 미분해서
그 점을 대입하면 더 빠르다
그 점을 대입하면 더 빠르다
유리화가 머리 아프면, 분자·분모를 각각 미분한 다음 그 점을 대입해봐 — 같은 답이 나와.
예제③ — 지름길로 재확인
limx→4 (√x−2)/(x−4)
분자′ = 1/(2√x), 분모′ = 1 → 1/(2√4) = 1/4
유리화로 구한 값과 정확히 똑같아 — 우연이 아니야.
예제④ — 두 방법 교차검증
limx→−2 (2x²+3x−2)/(x³+8)
인수분해: (2x−1)(x+2) / (x+2)(x²−2x+4) = −5/12
지름길: (4x+3)/(3x²) → (−8+3)/12 = −5/12
지름길: (4x+3)/(3x²) → (−8+3)/12 = −5/12
예고 — 지름길의 진짜 이름
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이 "각각 미분해서 대입"하는 지름길, 정체가 궁금하지?
다음 학기 미분계수와 도함수 단원에서 그 원리를 제대로 배운다.
다음 학기 미분계수와 도함수 단원에서 그 원리를 제대로 배운다.
정리
대입 → 0/0이면 인수분해 또는 유리화
급하면 → 미분 지름길
급하면 → 미분 지름길
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"수학은 국어다"
함수의 극한 — 약분에서 미분까지
함수의 극한 — 약분에서 미분까지
대입이 막히면 지워라 — 인수분해든 유리화든 미분이든, 같은 답으로 통한다.
— 연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어 · 35편
— 연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학이었어 · 35편
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