YEON MATH · 행복수학

함수의 극한 완전정복
— 약분에서 미분까지 연습 10제

0/0은 막힌 게 아니라, 아직 안 지운 것뿐 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY
🎬 영상으로 먼저 보기

먼저 · 3단계로 끝내는 법

1
0/0 확인 — x=a를 대입해서 분모·분자가 둘 다 0이 되면, 아직 끝난 게 아니다. 분자·분모가 (x−a)라는 공통인수를 숨기고 있다는 신호다.
2
인수분해·유리화로 약분 — 다항식이면 인수분해해서 공통인수를 지우고, 근호가 있으면 켤레(더한 꼴)를 곱해 유리화한다. 지운 뒤에 x=a를 대입.
3
(지름길) 분자·분모를 각각 미분해서 대입 — 인수분해·유리화가 복잡할 때는, 분자를 미분한 것과 분모를 미분한 것을 각각 만들어 x=a를 대입해도 똑같은 값이 나온다. 왜 그런지는 다음 학기 미분계수 단원에서 확인한다(비법 ③).
0/0 → 진짜 값이 숨어있다

연습 10제 · 계산 해설

문제 1인수분해 기본영상 예제
lim(x→−1) (x²−1)/(x+1)의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해 후 약분

  1. ⭐ 여기가 고비 — 0/0을 「답 없음」으로 읽지 않는 것 x=−1을 넣으면 분자도 0, 분모도 0. 여기서 멈추는 학생이 많습니다. 0/0은 계산이 끝난 것이 아니라, 위아래에 똑같은 (x+1)이 숨어 있다는 신호입니다. 분자를 인수분해해서 그것을 꺼내 지우면 진짜 값이 드러납니다. 왜 지워도 되나요? 극한은 x가 −1에 「가까이 갈 때」의 값이지 −1을 넣은 값이 아닙니다. x ≠ −1인 동안에는 (x+1)이 0이 아니므로 마음 놓고 약분할 수 있습니다.
    그림으로 보면 그래프에 점 하나가 뻥 뚫려 있고, 극한은 그 뚫린 자리를 메운 높이입니다.
    「0/0을 만나면 인수분해 · 근호가 있으면 유리화」 — 이것이 극한 계산의 첫 갈림길입니다.
  2. x²−1=(x−1)(x+1)이므로 (x+1)을 약분하면 x−1.
  3. x=−1 대입: −1−1=−2.
  4. 지름길 교차검증: 분자의 미분 2x, 분모의 미분 1. x=−1 대입 → −2/1=−2. 일치!
"대입이 막히면 지워라 — 0/0은 막힌 게 아니라, 아직 못 지운 공통인수가 숨어 있다는 신호다."— 장대경 선생님 제35강 함수의 극한
−2
문제 2유리화 기본영상 예제
lim(x→4) (√x−2)/(x−4)의 값을 구하라.

풀이 — 켤레를 곱해 유리화

  1. ⭐ 여기가 고비 — 근호가 있으면 인수분해 대신 「켤레 곱하기」 √x−2는 인수분해로 (x−4)를 꺼낼 수 없습니다. 그래서 도구를 바꿉니다 — 부호만 바꾼 짝(켤레) √x+2를 분자·분모에 곱합니다. 그러면 분자가 (√x)² − 2² = x − 4가 되어 숨어 있던 (x−4)가 드러나고 약분됩니다. 근거는 합·차 공식 (a−b)(a+b) = a²−b²입니다 — 제곱이 되면서 근호가 사라지지요.
    그리고 위아래에 같은 것을 곱하는 것은 값을 바꾸지 않습니다.
    「다항식이면 인수분해, 근호가 있으면 유리화」 — 0/0을 지우는 두 연장은 이렇게 갈라 씁니다. 어느 쪽에 근호가 있든(분자든 분모든) 그쪽에 켤레를 곱하면 됩니다.
  2. 켤레 (√x+2)를 곱하면 1/(√x+2).
  3. x=4 대입: 1/(2+2)=1/4.
  4. 지름길 교차검증: 1/(2√x)에 x=4 대입 → 1/4. 일치!
1/4
문제 3고차 인수분해 · 세제곱의 합영상 예제
lim(x→−2) (2x²+3x−2)/(x³+8)의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해(세제곱의 합) 후 약분

  1. ⭐ 여기가 고비 — 어떤 인수가 지워질지 미리 알 수 있다 x³+8 앞에서 손이 멈춥니다. 그런데 무엇으로 인수분해될지는 이미 정해져 있습니다 — x → −2에서 0/0이 되었으니 위아래 모두 (x+2)를 품고 있어야 합니다. 그러니 (x+2)를 꺼내는 것만 목표로 삼으면 됩니다 — 세제곱의 합 a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)에 a=x, b=2를 넣어 x³+8=(x+2)(x²−2x+4). 이 「미리 알기」가 큰 힘입니다. 0/0이 된 그 값 a에 대해 위아래는 반드시 (x−a)를 인수로 가집니다 (인수정리). 그러니 아무 방향으로나 인수분해하지 말고 (x+2)로 나눠떨어지게만 하면 됩니다.
    공식이 기억나지 않으면 조립제법으로 (x+2)를 나눠도 같은 결과가 나옵니다.
    분자도 마찬가지 — 2x²+3x−2에서 (x+2)가 나와야 하니 나머지는 (2x−1)로 정해집니다.
  2. 2x²+3x−2=(2x−1)(x+2), x³+8=(x+2)(x²−2x+4) (세제곱의 합 a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)).
  3. (x+2)를 약분하면 (2x−1)/(x²−2x+4). x=−2 대입: (−4−1)/(4+4+4)=−5/12.
  4. 지름길 교차검증: 분자의 미분 4x+3, 분모의 미분 3x². x=−2 대입 → (−5)/12. 일치!
−5/12
문제 4고차 인수분해 · 세제곱의 차
lim(x→2) (x³−8)/(x−2)의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해(세제곱의 차) 후 약분

  1. ⭐ 여기가 고비 — 부호 하나가 어긋나면 값이 통째로 달라진다 세제곱의 합과 차는 가운데 항의 부호가 반대입니다 — a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²), a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²). 앞 괄호의 부호와 가운데 항의 부호가 서로 반대라고 외우면 헷갈리지 않습니다. 여기서는 차이므로 (x−2)(x²+2x+4). 확인은 전개해 보면 5초입니다 — (x−2)(x²+2x+4) = x³+2x²+4x −2x²−4x−8 = x³−8 ✓ 가운데 항들이 서로 지워지도록 짜여 있는 것이 이 공식의 정체입니다.
    부호를 반대로 써서 (x−2)(x²−2x+4)로 두면 x=2에서 4−4+4 = 4가 되어 답이 12가 아니라 4로 나옵니다 — 세 배나 어긋납니다.
  2. x³−8=(x−2)(x²+2x+4). 약분하면 x²+2x+4.
  3. x=2 대입: 4+4+4=12.
  4. 지름길 교차검증: 분자의 미분 3x², 분모의 미분 1. x=2 대입 → 3×4=12. 일치!
12
문제 5유리화 · 다른 수
lim(x→9) (√x−3)/(x−9)의 값을 구하라.

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 문제 2와 구조가 같다는 것을 알아보는 것 숫자만 4에서 9로 바뀌었을 뿐, (√x−a)/(x−a²)라는 같은 틀입니다. 그러니 결과도 같은 꼴로 나옵니다 — 유리화하면 1/(√x+a), 대입하면 1/(2a). 문제 2는 1/4, 여기는 1/6. 이 눈이 생기면 도전 문제(√x−4)/(x−16)도 계산 없이 1/8임을 바로 압니다.
    「문제를 풀 때마다 「이 틀을 전에 본 적이 있는가」를 묻는 것」 — 수학 공부에서 문제 수를 줄이는 가장 확실한 방법입니다.
    그리고 그 틀이 사실은 √x 의 x=a² 에서의 미분계수라는 것을 다음 학기에 배웁니다.
  2. 켤레 (√x+3)을 곱하면 1/(√x+3). x=9 대입: 1/(3+3)=1/6.
  3. 지름길 교차검증: 1/(2√x)에 x=9 대입 → 1/6. 일치!
1/6
문제 6유리화 · 분모에 근호
lim(x→0) x/(√(x+1)−1)의 값을 구하라.

풀이 — 분모를 유리화

  1. ⭐ 여기가 고비 — 근호가 분모에 있어도 켤레는 그쪽에 곱한다 앞 문제들과 달리 근호가 아래에 있습니다. 그렇다고 방법이 달라지지 않습니다 — 근호가 있는 쪽의 켤레를 위아래에 곱하면 됩니다. (√(x+1)−1)(√(x+1)+1) = (x+1) − 1 = x가 되어 분모가 x가 되고, 분자의 x와 약분되어 √(x+1)+1만 남습니다. 여기서 놀라운 점은 약분 뒤에 분수가 아예 사라진다는 것입니다 — 분모가 통째로 지워졌으니까요.
    「유리화는 분모를 깨끗이 하려고 배운 것이지만, 극한에서는 「지울 인수를 만들려고」 씁니다」 — 같은 도구를 다른 목적으로 쓰는 것입니다.
    답 2가 그럴듯한지도 봅니다 : x=0.01이면 0.01/(√1.01−1) ≈ 0.01/0.004988 ≈ 2.005 ✓
  2. 켤레 (√(x+1)+1)을 곱하면 분모는 x가 되어 약분: √(x+1)+1.
  3. x=0 대입: 1+1=2.
  4. 지름길 교차검증: 분자의 미분 1, 분모의 미분 1/(2√(x+1)). x=0 대입 → 1÷(1/2)=2. 일치!
2
문제 7복합형 · 인수분해+유리화
lim(x→1) (√(x+3)−2)/(x²−1)의 값을 구하라.

풀이 — 분자는 유리화, 분모는 인수분해

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 연장을 한 문제에서 나눠 쓴다 분자에는 근호가, 분모에는 다항식이 있습니다. 한 가지 방법으로 밀어붙이면 막힙니다. 분자는 유리화, 분모는 인수분해 — 각각 제 연장을 씁니다. 그러면 분자에서 x−1이, 분모에서 (x−1)(x+1)이 나와 공통인수 (x−1)이 드러나 지워집니다. 여기서 흔한 실수는 켤레를 곱한 뒤 분모까지 전개해 버리는 것입니다. 분모의 (√(x+3)+2)는 곱해진 채로 그냥 두십시오 — 어차피 마지막에 x=1을 넣어 4가 될 뿐입니다.
    「지울 것이 보일 때까지만 손대고, 그 뒤로는 건드리지 않는다」가 극한 계산을 짧게 만드는 요령입니다.
  2. 분자에 켤레 (√(x+3)+2)를 곱하면 분자는 x−1이 됨.
  3. 분모 x²−1=(x−1)(x+1)과 (x−1)을 약분: 1/[(x+1)(√(x+3)+2)].
  4. x=1 대입: 1/(2×4)=1/8.
  5. 지름길 교차검증: 분자의 미분 1/(2√(x+3)), 분모의 미분 2x. x=1 대입 → (1/4)÷2=1/8. 일치!
1/8
문제 8 · 함정0/0 확인이 먼저다
lim(x→2) (x²+1)/(x−1)의 값을 구하라. (지름길을 아무 데나 쓰면 안 되는 이유를 확인하는 문제)

풀이 — 먼저 0/0인지부터 확인

  1. ⭐ 여기가 고비 — 연장을 꺼내기 전에 「0/0인가」부터 본다 앞의 일곱 문제가 모두 0/0이었던 탓에, 이 문제도 인수분해나 지름길부터 손이 나갑니다. 그러면 틀립니다. 맨 먼저 할 일은 x=2를 그냥 넣어 보는 것입니다 — 분모가 2−1=1로 0이 아닙니다. 0/0이 아니니 지울 것도 없고, 그냥 대입하면 끝입니다. 지름길(분자·분모를 각각 미분)은 0/0일 때만 성립하는 약속입니다. 아무 데나 쓰면 2x/1 에 x=2 를 넣어 4라는 엉뚱한 값이 나옵니다 — 진짜 값 5와 다르지요.
    「연장은 자물쇠가 맞을 때만 쓴다」 — 0/0 확인이 그 자물쇠입니다. 분모만 0이면(분자는 0이 아니면) 극한은 무한대로 발산하고, 둘 다 0이 아니면 그냥 대입입니다.
  2. (4+1)/(2−1)=5.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 확인 없이 지름길을 쓰면 분자의 미분 2x, 분모의 미분 1 → x=2 대입 → 4. 참값은 5인데 4가 나왔습니다. 지름길이 틀린 것이 아니라, 자물쇠(0/0)가 아닌데 열쇠를 꽂은 것입니다. → 극한 문제의 첫 줄은 언제나 「대입해 보기」입니다. 0/0일 때에만 연장을 꺼내십시오.
5 지름길 오용 시 4 (오답)
문제 9인수분해 · 이차/이차
lim(x→3) (x²−2x−3)/(x²−9)의 값을 구하라.

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 약분한 뒤에도 여전히 분수라 끝까지 대입한다 지금까지는 약분하면 분모가 사라지거나 간단해졌는데, 여기서는 약분 후에도 분수 (x+1)/(x+3)가 남습니다. 그래도 놀랄 것 없습니다 — 남은 분모 x+3에 x=3을 넣으면 6으로 0이 아니므로 그대로 대입하면 됩니다. 0/0에서 지워야 할 것은 「0을 만드는 인수」 하나뿐입니다. 여기서는 그것이 (x−3)이었고, 그것만 지우면 남은 식은 더 이상 0/0이 아닙니다.
    「약분한 뒤 다시 대입해 보아 0/0이 아니면 그것이 답」입니다. (드물게 한 번 더 0/0이 나오면 같은 인수가 두 번 들어 있었다는 뜻이니 한 번 더 지웁니다.)
  2. x²−2x−3=(x−3)(x+1), x²−9=(x−3)(x+3). 약분하면 (x+1)/(x+3).
  3. x=3 대입: 4/6=2/3.
  4. 지름길 교차검증: 분자의 미분 2x−2, 분모의 미분 2x. x=3 대입 → 4/6=2/3. 일치!
2/3
문제 10고차 결합형 · 마무리
lim(x→1) (x⁴−1)/(x³−1)의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해는 복잡하니 지름길이 빛을 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 길 중 어느 쪽으로 갈지 고르는 눈 인수분해로도 풀리고 지름길로도 풀립니다. 고르는 잣대는 「인수분해가 눈에 보이는가」입니다. 여기서는 x⁴−1을 두 번 쪼개야 하고((x²−1)(x²+1) → (x−1)(x+1)(x²+1)), x³−1도 세제곱의 차를 떠올려야 합니다. 반면 지름길은 4x³과 3x²에 1을 넣어 끝입니다. 차수가 높아질수록 지름길의 이득이 커집니다. x¹⁰−1과 x⁷−1이었다면 인수분해는 엄두가 안 나지만 지름길은 10/7로 즉시 끝나지요.
    다만 지름길은 0/0을 확인한 뒤에만 쓴다는 조건이 붙습니다(문제 8).
    「두 길이 다 되면 짧은 쪽으로 가고, 시간이 남으면 다른 길로 검산한다」 — 위 두 줄이 바로 그것입니다.
  2. 인수분해 길: x⁴−1=(x−1)(x+1)(x²+1), x³−1=(x−1)(x²+x+1) → (2×2)/3=4/3.
  3. 지름길: 분자의 미분 4x³, 분모의 미분 3x². x=1 대입 → 4/3. 일치!
"선생님표 지름길 — 유리화가 머리 아프면 분자·분모를 각각 미분한 다음 그 점을 대입하면 같은 답."— 장대경 선생님 제35강 함수의 극한
4/3

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"0/0을 지운다"는 눈 하나로 위·아래 학년까지

오늘 쓴 인수분해·유리화·지름길이, 학년이 바뀌어도 이름만 달리해서 계속 다시 등장합니다.

① 중2~고1 · 유리화는 이미 알던 도구
중2~고1 근호와 유리화
분모의 무리식을 없애는 유리화, 중2~고1에서 이미 배운 그 계산이 오늘 문제 2·5·6·7의 핵심 무기였습니다. 새로운 게 아니라 이미 아는 도구를 새 상황에 쓴 것뿐입니다.
② 고1 · 인수분해 감각이 기초 체력
고1 다항식의 인수분해
세제곱의 합·차 공식 a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)처럼, 빠르게 인수분해하는 감각이 없으면 오늘의 약분도 느려집니다. 그래서 지름길(무기③)이 더 소중해집니다.
③ 고3 미적분 · 지름길의 정체
고3 미적분 미분계수의 정의
"분자·분모를 각각 미분해서 대입"하는 오늘의 지름길은, 사실 미분계수의 정의 f′(a)=lim(h→0)[f(a+h)−f(a)]/h를 변형한 것입니다. 다음 학기에 그 증명을 직접 확인합니다 — 도전 문제②에서 미리 맛봅니다.
④ 고3 미적분 · 극한값 = 접선의 기울기
고3 미적분 도함수의 기하적 의미
오늘 구한 극한값이 사실은 그래프 위 한 점에서의 접선의 기울기와 정확히 같습니다. 도전 문제③에서 문제 4의 답 12가 어떤 접선의 기울기인지 확인해봅니다.

도전 · 이 비법만으로 위·아래 학년 문제 풀기

도전 · 중2~고1유리화는 이미 아는 도구
lim(x→16) (√x−4)/(x−16)의 값을 구하라.

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 중2에서 배운 유리화가 그대로 쓰인다 「극한」이라는 새 이름이 붙었을 뿐, 실제로 하는 일은 중2~고1에서 분모의 근호를 없애려고 배운 그 유리화입니다. 새 도구를 배우는 것이 아니라 아는 도구를 새 자리에 쓰는 것이지요. 켤레 (√x+4)를 곱하면 1/(√x+4), 대입하면 1/8. 문제 2·5와 나란히 놓아 보십시오 — 1/4 · 1/6 · 1/8. (√x−a)/(x−a²)는 언제나 1/(2a)입니다.
    「세 문제를 풀고 나면 네 번째는 계산 없이 보인다」 — 그것이 유형을 익힌다는 뜻입니다.
  2. 켤레 (√x+4)를 곱하면 1/(√x+4). x=16 대입: 1/(4+4)=1/8.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 근호를 그냥 없애면 "√x−4를 제곱해서 x−16으로 보면 위아래가 같으니 답은 1." 제곱한 것은 다른 식입니다. (√x−4)² = x − 8√x + 16이지 x−16이 아니지요. 실제로 x=16.01을 넣어 보면 값이 1이 아니라 0.125 언저리입니다. → 극한을 구할 때는 식을 「같은 값」으로만 바꿉니다. 그 도구가 켤레 곱하기입니다.
1/8
도전 · 고3지름길의 정체 = 미분계수 정의
f(x)=x³−2x일 때, 미분계수의 정의 lim(h→0) [f(2+h)−f(2)]/h로 x=2에서의 미분계수를 직접 구하라.

풀이 — 정의대로 전개

  1. f(2+h)=(2+h)³−2(2+h)=4+10h+6h²+h³, f(2)=8−4=4.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 상수항 4가 서로 지워지는 것이 이 정의의 심장 f(2+h)−f(2)를 하면 h가 없는 항(상수항 4)이 정확히 지워집니다. 그래야 남은 10h+6h²+h³이 모두 h를 품게 되어 분모의 h와 약분됩니다. 이것이 미분계수의 정의가 언제나 0/0이 되는 까닭이자, 언제나 지워지는 까닭입니다. 약분하면 10+6h+h²이고, h→0이면 h가 붙은 것들이 사라져 10만 남습니다.
    여기서 10은 h가 하나도 안 붙은 항, 곧 1차항의 계수였다는 점을 눈여겨보십시오.
    「미분계수 = 전개했을 때 h의 1차항 계수」 — 이 눈으로 보면 도함수 공식이 왜 그렇게 생겼는지 보입니다.
  3. [f(2+h)−f(2)]/h=(10h+6h²+h³)/h=10+6h+h². h→0: 10.
  4. 지름길로 확인: f′(x)=3x²−2, f′(2)=12−2=10. 정확히 일치 — 지름길이 바로 이 정의였다!
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — h를 그냥 0으로 놓으면 약분하기 전에 h=0을 넣으면 (4−4)/0 = 0/0 — 아무 값도 못 얻습니다. 그렇다고 "답이 없다"가 아닙니다. h가 0으로 「가는 중」이지 0이 된 것은 아니므로 약분할 수 있습니다. → 먼저 지우고, 그다음에 0을 넣습니다. 순서가 반대면 언제나 0/0에서 막힙니다.
10
도전 · 고3극한값 = 접선의 기울기
문제 4에서 구한 lim(x→2) (x³−8)/(x−2)=12가, 곡선 y=x³ 위의 점 (2,8)에서의 접선의 기울기와 같음을 확인하라.

풀이 — 도함수로 접선의 기울기 계산

  1. ⭐ 여기가 고비 — (x³−8)/(x−2)가 기울기 식이었다는 것을 알아보는 것 두 값이 같은 것은 우연이 아닙니다. (x³−8)/(x−2)를 다시 읽어 보십시오 — 8 = 2³이므로 이것은 (y의 변화)/(x의 변화), 곧 곡선 위 두 점 (2, 8)과 (x, x³)을 이은 직선의 기울기입니다. 그 x를 2로 가까이 보내면 두 점이 붙으면서 「이은 직선」이 「접선」으로 바뀝니다. 그 극한값이 12. 그래서 「극한을 구했다」와 「접선의 기울기를 구했다」가 같은 말이 됩니다.
    도함수로 확인하면 y′=3x², x=2에서 12 ✓
    「분수 꼴 극한을 만나면 「이것이 무엇과 무엇의 변화 비인가」를 한 번 물어 보십시오」 — 그 순간 계산이 그림으로 바뀝니다.
  2. y=x³의 도함수는 y′=3x². x=2에서 y′=3×4=12.
  3. 문제 4의 극한값 12와 정확히 같다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 아무 두 점으로 재면 (2,8)과 (3,27)을 이어 기울기를 재면 (27−8)/(3−2) = 19. 이는 접선이 아니라 「이은 직선(할선)」의 기울기입니다. 두 점이 멀리 떨어져 있으니 당연히 다르지요. 점을 (2.1, 9.261)로 당기면 12.61, (2.01, …)이면 12.06… 12로 모여 갑니다. → 접선의 기울기는 「두 점을 붙였을 때의 극한」입니다. 그래서 극한이 필요한 것입니다.
12 (일치)
※ 이 자료의 예제·그래프는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 문제 1~3은 영상(장대경_미분계수와도함수/index.html)에서 실제로 다룬 예제와 같은 수치를 재사용했고(원문 전사 대조로 확인, 인수분해·유리화·지름길 모두 두 가지 방식으로 재검산 완료), 문제 4~10과 도전 3문제·비법 카드는 같은 방법으로 새로 만들고 두 가지 방식(인수분해 또는 유리화 vs. 지름길)으로 교차검산한 오리지널 문제입니다. 원본 강의 중 교육과정 밖 내용(로피탈의 정리 명칭)은 다루지 않습니다.
← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로