크기는 직각삼각형 — 가로 1칸 갈 때 세로 몇 칸? 기울기 = 세로 ÷ 가로 = (y의 증가량)/(x의 증가량). 음수여도 삼각형 크기는 같고 방향만 왼팔.
연습 10제 · 그림 해설
문제 1그리기
y = 3x 의 그래프를 그리고, 오른팔·왼팔 중 어느 쪽인지 답하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — 왜 하필 x=1을 넣는가
직선은 점 두 개면 그려집니다. y=3x는 상수항이 없어
원점 (0,0)이 공짜로 하나 주어지니, 나머지 하나만 만들면 됩니다.
그때 x=1을 넣는 것이 가장 좋습니다.왜냐하면 x=1을 넣으면 y값이 그대로 기울기가 되기 때문입니다.
(1, 3)을 찍는 순간 「가로 1칸 갈 때 세로 3칸 오른다」는 것이 눈에 보입니다.
기울기를 따로 외우지 않아도 점 하나에 다 들어 있는 셈입니다.
x=0 → y=0, x=1 → y=3. 두 점 (0,0),(1,3)을 잇는다.
기울기 3 은 양수 → 오른팔 · 우상향
x가 1 늘 때 y가 3 늘어 가파르게 올라간다.
오른팔 (우상향), 기울기 3
"점 · 위아래 · 오른팔 왼팔 — 점 찍고, 위아래로 옮기고, 방향은 팔로. 이 셋이면 어떤 일차함수든 그린다."— 장대경 선생님 제3강 「기울기」
문제 2평행이동
y = 3x + 2 는 y = 3x 를 어느 방향으로 몇 칸 옮긴 것인가? 지나는 점 두 개도 구하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — +2는 「오른쪽으로」가 아니라 「위로」다y = 3x + 2는 같은 x에 대해 y값이 늘 2만큼 큽니다.
그러니 모든 점이 2칸 위에 있고, 그래프는 통째로 위로 2칸 올라간 것입니다.
기울기 3은 손도 대지 않았으므로 기울어진 정도는 그대로입니다 —
사다리를 눕히거나 세운 것이 아니라, 그대로 들어 올린 것이라고 보면 됩니다.
x 앞의 수는 기울기(모양), 뒤에 더한 수는 위아래 자리 — 이 둘은 서로 간섭하지 않습니다.
뒤의 +2 → 그래프를 통째로 위로 2칸. 기울기(모양)는 그대로 3.
점: x=0 → y=2 이니 (0,2), x=1 → y=5 이니 (1,5).
검산: 문제 1의 (0,0),(1,3)이 각각 2칸씩 올라 (0,2),(1,5) ✓
위로 2칸 이동 · (0,2), (1,5) · 여전히 오른팔
문제 3그리기
y = −x 의 그래프를 그리고 팔 방향을 답하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — 안 보이는 1이 숨어 있다y = −x에는 x 앞에 숫자가 없어 보이지만,
사실은 y = (−1)·x입니다. 그러니 기울기는 −1.
숫자가 안 보인다고 기울기를 0으로 쓰면 그래프가 가로선이 되어 버립니다.1은 언제나 생략됩니다 — x는 1·x,
−x는 −1·x.
기울기 −1은 「가로 1칸 갈 때 세로 1칸 내려간다」는 뜻이라 딱 45°로 기울어진 선입니다.
y=−x 는 기울기 −1. (0,0),(1,−1) 을 잇는다.
기울기가 음수 → 왼팔 · 우하향. x가 1 늘 때 y는 1 줄어든다.
왼팔 (우하향), 기울기 −1
문제 4부호 판별
아래 그래프의 기울기는 양수·음수 중 무엇인가? 팔로 답하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — 그래프는 반드시 「왼쪽에서 오른쪽으로」 읽는다
방향을 거꾸로 훑으면 부호가 통째로 뒤집힙니다.
이 그래프도 오른쪽에서 왼쪽으로 보면 「올라간다」고 잘못 읽게 됩니다.
언제나 왼쪽에서 시작해 오른쪽으로 손가락을 밀어 봅니다 — 내려가니 음수.
까닭은 기울기가 「x가 늘어날 때 y가 어떻게 되나」로 정의되었기 때문입니다.
x가 늘어나는 쪽이 곧 오른쪽이지요.
글을 왼쪽에서 오른쪽으로 읽듯 그래프도 그렇게 읽는다고 몸에 붙여 두십시오.
⭐ 여기가 고비 — 삼각형은 「크기」만 알려 주고 「부호」는 안 알려 준다
가로 2칸·세로 4칸이라는 것만으로는 +2인지 −2인지 정해지지 않습니다.
같은 삼각형이 올라가는 직선 밑에도, 내려가는 직선 위에도 똑같이 그려지기 때문입니다.
그래서 답이 「기울기 크기 = 2」입니다.
부호를 정하는 것은 삼각형이 아니라 직선이 어느 쪽으로 기울었나입니다 —
우상향이면 +, 우하향이면 −.크기는 삼각형에서, 부호는 팔에서 — 이 둘을 따로 구해 마지막에 합칩니다.
기울기 = 세로 ÷ 가로 = 4 ÷ 2
우상향이면 +2, 우하향이면 −2 (크기는 같고 부호만 방향 따라).
기울기 크기 = 2
"기울기 크기는 직각삼각형 — 그래프 아래 삼각형의 세로 ÷ 가로. 부호가 음수여도 크기는 그대로다."— 장대경 선생님 제3강 「기울기」
문제 6그리기 · x절편
y = −2x + 4 의 그래프를 그리고, x축과 만나는 점(x절편)을 구하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — 「x축과 만나는 점」을 「y=0」으로 바꿔 읽는다
x절편을 구하라는 말을 그대로 두면 무엇을 해야 할지 막막합니다.
x축 위의 점은 높이가 0이므로, 그 말은 곧 y = 0을 넣어라는 뜻입니다.
헷갈리는 자리가 바로 여기입니다 — x절편을 구하려고 x=0을 넣으면 y절편이 나옵니다.「x축과 만나면 y=0, y축과 만나면 x=0」 — 이름과 넣는 것이 서로 엇갈립니다.
한 번 소리 내어 「x축 위는 높이가 0」이라고 말해 보면 안 헷갈립니다.
x=0 → y=4 점 (0,4), 기울기 −2 → 왼팔, (1,2).
x절편은 y=0: 0 = −2x + 4 → 2x = 4 → x = 2.
검산: x=2를 넣으면 −4 + 4 = 0 ✓
x절편 = 2, 즉 점 (2, 0)
문제 7두 점 → 기울기
두 점 (1, 1) 과 (3, 5) 를 지나는 직선의 기울기는?
풀이 — 직각삼각형으로
⭐ 여기가 고비 — 격자를 세지 않고 뺄셈으로 바로 만든다
가로 칸은 x의 차 3−1=2, 세로 칸은 y의 차 5−1=4입니다.
그림이 없어도 두 점의 좌표만으로 직각삼각형이 만들어집니다.
주의할 것은 「빼는 순서를 위아래에서 똑같이 지키는 것」 하나뿐입니다.
(5−1)/(3−1) = 2도, 거꾸로 (1−5)/(1−3) = (−4)/(−2) = 2도 같은 값이 나옵니다.
순서를 섞어 쓰면 그때 부호가 뒤집힙니다.
x는 1→3 이니 가로 2칸 증가, y는 1→5 이니 세로 4칸 증가.
기울기 = (y증가) ÷ (x증가) = 4 ÷ 2 = 2. 둘 다 늘었으니 오른팔.
기울기 = 2
문제 8평행
y = 2x − 1 과 평행하면서 점 (0, 3) 을 지나는 직선의 식을 구하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — 직선 하나를 못 박으려면 두 가지가 필요하다
직선의 식 y = ax + b에는 정할 것이 a와 b 둘입니다.
「평행」이 a를 주고(기울기가 같으니 2),
「점 (0,3)을 지난다」가 b를 줍니다(x=0일 때 y=3이니 b=3).
조건 하나로는 직선이 하나로 정해지지 않습니다.
기울기가 2인 직선은 위아래로 무수히 많고, (0,3)을 지나는 직선도 방향이 무수히 많습니다.
둘이 만나야 딱 하나입니다 — 그래서 이런 문제는 늘 조건이 두 개로 주어집니다.
평행 = 기울기가 같다 → 기울기 2 (오른팔) 그대로.
(0,3) 을 지나니 y절편은 3 → y = 2x + 3.
y = 2x + 3
문제 9가파름 비교
y = 3x 와 y = ½x 중 어느 그래프가 더 가파른가?
풀이
⭐ 여기가 고비 — 가파름은 부호를 뗀 「크기」로 견준다
여기서는 둘 다 양수라 그냥 견주면 되지만, 부호가 섞이면 이야기가 달라집니다.y = −5x와 y = 3x를 견주면
−5가 3보다 작은 수이지만 더 가파른 것은 −5 쪽입니다.
가파름은 「얼마나 기울었나」이지 「어느 쪽으로 기울었나」가 아니기 때문입니다.
그래서 가파름을 견줄 때는 부호를 떼고(절댓값) 견줍니다.부호는 방향, 크기는 가파름 — 이 둘을 갈라 두면 실수가 없습니다.
둘 다 양수 → 오른팔(우상향). 방향은 같다.
가파름 = 기울기의 크기. 3 > ½ 이니 y=3x 가 더 가파르다(x 1칸에 y 3칸 vs 0.5칸).
y = 3x 가 더 가파르다
문제 10실생활 활용
빈 물통에 1분에 2L씩 물이 채워진다. 시간 x(분)에 대한 물의 양 y(L) 그래프의 기울기와 팔 방향은? 5분 뒤 물의 양은?
풀이 — 기울기 = 변화의 빠르기
⭐ 여기가 고비 — 「1분에 2L씩」이라는 말이 곧 기울기다
식을 세우기 전에 문제 글에서 기울기를 그대로 읽어 낼 수 있습니다.
기울기는 「가로 1칸 갈 때 세로 몇 칸」인데, 여기서 가로가 1분, 세로가 2L이니 기울기가 2입니다.
실생활 문제에서는 「~마다 ~씩」이라는 말이 나오면 그것이 기울기입니다 —
「한 개에 500원씩」, 「하루에 3쪽씩」, 「1km마다 1000원씩」 전부 그렇습니다.
그 말을 찾아 밑줄을 긋는 것이 실생활 일차함수의 첫걸음입니다.
1분에 2L → x가 1 늘 때 y가 2 늘어남 → 기울기 2, 늘어나니 오른팔.
식은 y = 2x. 5분 뒤 y = 2 × 5 = 10.
기울기 2 (오른팔) · 5분 뒤 10L
🔑 여기서 “기울기”는 물이 차는 빠르기예요. 기울기가 크면 빨리 찬다 — 이게 다음 학년의 ‘변화율’로 이어집니다.
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
“기울기 = 팔 방향 + 삼각형 비율” 하나로 위 학년까지
일차함수에서 익힌 이 눈이, 학년이 올라가면 이름만 바뀌어 그대로 쓰입니다. 핵심은 언제나 “x가 늘 때 y가 어떻게 변하나”.
① 중3 · 삼각비 — 기울기 = tan θ
중3 2학기 삼각비
직각삼각형에서 tan θ = (세로)/(가로). 그런데 기울기도 세로÷가로였죠? 그래서 직선의 기울기 = 그 직선이 x축과 이루는 각의 tan. 오른팔(급할수록) = 각이 크다 = tan이 크다. 기울기 문제를 각도로, 각도 문제를 기울기로 바꿔 풀 수 있어요.
② 중3 · 이차함수 — 평균변화율도 “두 점의 기울기”
중3~고1 이차함수
곡선이라도 두 점을 이으면 직선. 그 직선의 기울기가 (y증가)/(x증가) = 평균변화율. 문제 7과 똑같은 삼각형 계산이에요. 곡선이 올라가는 구간=오른팔, 내려가는 구간=왼팔로 증가·감소를 한눈에 판단합니다.
③ 고등 · 미분 — 접선의 기울기 = 순간의 팔 방향
고2~미적분
두 점을 아주 가깝게 붙이면 평균변화율 → 순간변화율(미분계수), 즉 그 점 접선의 기울기. f′(x)>0이면 오른팔(증가), f′(x)<0이면 왼팔(감소). 미분으로 그래프 개형을 그리는 게 결국 “구간마다 팔 방향 정하기”예요.
④ 과학(물리) — 그래프 기울기가 곧 “속도·가속도”
중등 과학 · 고등 물리
위치–시간 그래프의 기울기 = 속도, 속도–시간 그래프의 기울기 = 가속도. 문제 10의 “물 차는 빠르기”와 똑같은 원리. 가파르면 빠르고, 우하향(왼팔)이면 되돌아오거나 느려지는 것.
⑤ 고1 · 직선의 방정식 — 점 하나 + 기울기면 식이 나온다
고1 도형의 방정식
기울기 m 과 지나는 점 (x₁,y₁) 만 있으면 y − y₁ = m(x − x₁). 문제 8의 평행(기울기 같음)·수직(기울기 곱이 −1) 판단이 여기서 그대로 무기가 됩니다.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
“기울기 = 팔 방향 + 격자 칸 비율” 하나로, 아직 안 배운 학년 문제도 풀린다. 학년별 3문제씩 도전!
도전 · 중3삼각비
기울기가 1 인 직선이 x축과 이루는 예각의 크기는? (힌트: 기울기 = tan)
풀이
⭐ 여기가 고비 — 기울기와 각도는 다른 물건인데 tan이 이어 준다
기울기 1은 「가로 1칸 갈 때 세로 1칸」, 곧 정사각형의 대각선이라 45°입니다.
여기서 조심할 것 — 기울기가 2가 되어도 각이 90°가 되지는 않습니다.기울기를 아무리 키워도 각은 90°에 다가가기만 할 뿐 결코 넘지 못합니다.tan이 바로 그런 함수이기 때문입니다 —
기울기는 0에서 무한대까지 뻗지만, 각은 0°에서 90° 사이에 갇혀 있습니다.둘은 비례하지 않는다는 것을 여기서 못 박아 두십시오.
기울기 = 세로/가로 = tan θ. 기울기 1이면 가로 1칸 갈 때 세로도 1칸(정사각형 대각선).
tan θ = 1 → θ = 45°.
45°
도전 · 중3이차함수 평균변화율
y = x² 에서 x가 1에서 3까지 변할 때 평균변화율은? (곡선이지만 두 점을 이으면 직선!)
풀이 — 두 점의 기울기(문제 7과 똑같이)
⭐ 여기가 고비 — 곡선인데 왜 직선의 기울기로 푸나「평균」변화율이라는 말 때문입니다. 곡선을 따라간 실제 길이 아니라,
두 끝점을 곧게 이은 직선의 기울기를 묻는 것입니다.
그러니 (1, 1)과 (3, 9) 두 점만 있으면 되고, 문제 7과 셈이 완전히 같습니다.
뜻으로 읽으면 이렇습니다 — 「1에서 3까지 통틀어 보면 한 칸에 평균 몇 칸씩 올랐나」.
실제로는 1 근처에서는 완만하고 3 근처에서는 가파르지만, 그 들쭉날쭉을 평평하게 고른 값이 4입니다.
「그 순간의 기울기」를 묻는 것은 뒤에 나오는 미분입니다.
두 점: (1, 1) 과 (3, 9).
가로 2칸, 세로 8칸 → 평균변화율 = 8 ÷ 2 = 4. 올라가니 오른팔.
평균변화율 = 4
💡 격자 칸만 세면 곡선도 “두 점의 기울기”로 풀려요.
도전 · 중3두 직선의 위치
두 직선 y = 2x + 1 과 y = 2x − 3 의 위치 관계는?
풀이
⭐ 여기가 고비 — 절편도 한 번은 봐야 한다
평행인지 보려면 기울기가 같은지만 보면 됩니다 — 둘 다 2로 같습니다.
그런데 절편까지 같으면 평행이 아니라 「같은 직선」이 됩니다.
여기서는 1과 −3으로 다르니 겹치지 않고 나란히 가는 평행이 맞습니다.
한 줄로 정리하면 이렇습니다 — 기울기가 다르면 한 점에서 만나고,
기울기가 같고 절편이 다르면 평행, 기울기도 절편도 같으면 같은 직선.세 가지를 다 적어 놓고 고르면 「평행」과 「일치」를 섞지 않습니다.
기울기가 둘 다 2(같은 오른팔 각도) → 절대 안 만난다.
검산: 절편이 1과 −3으로 달라 겹치지 않는다 ✓
평행 (기울기가 같음)
도전 · 고1직선의 방정식
기울기가 3 이고 점 (2, 1) 을 지나는 직선의 식을 구하라.
풀이 — 점 하나 + 기울기
⭐ 여기가 고비 — 부호가 두 번 바뀌는 자리y − 1 = 3(x − 2)를 정리할 때 부호를 두 번 다룹니다 —
①괄호를 풀 때 3 × (−2) = −6,
②좌변의 −1을 오른쪽으로 넘길 때 +1.
그래서 −6 + 1 = −5.
여기서 −7이나 −3이 나왔다면 둘 중 한 곳에서 미끄러진 것입니다.
답을 쓴 뒤에는 반드시 주어진 점을 넣어 확인하십시오 —
x=2를 넣으면 6 − 5 = 1로 점 (2, 1)을 지납니다 ✓
y − y₁ = m(x − x₁) → y − 1 = 3(x − 2)
정리: y = 3x − 6 + 1 = 3x − 5
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 괄호를 대충 풀면y − 1 = 3(x − 2)에서 3을 앞에만 곱해
y = 3x − 2 + 1 = 3x − 1이라 써 보면?
지나야 할 점 (2, 1)을 넣어 봅니다 — 3·2 − 1 = 5인데 1이어야 합니다.지나야 할 점을 안 지나면 그 식은 틀린 것입니다.
→ 직선의 식을 구했으면 주어진 점을 넣어 보는 것으로 끝냅니다. 10초면 됩니다.
y = 3x − 5
도전 · 고1두 점 → 기울기
두 점 (−1, 2) 와 (2, −4) 를 지나는 직선의 기울기는?
풀이
⭐ 여기가 고비 — 음수가 섞이면 「빼는 순서」를 두 곳에서 똑같이
위(세로)를 −4 − 2 = −6으로 계산했다면,
아래(가로)도 같은 순서로2 − (−1) = 3이어야 합니다.
그래서 −6 ÷ 3 = −2.
거꾸로 써도 됩니다 — (2 − (−4)) / (−1 − 2) = 6 / (−3) = −2로 같은 값입니다.
어긋나는 것은 순서를 섞을 때입니다. (−4 − 2) / (−1 − 2) = −6/−3 = +2가 되어
부호가 통째로 뒤집힙니다.「어느 점을 앞에 쓸지 먼저 정하고, 위아래 모두 그 순서로」 — 이것 하나만 지키면 됩니다.
x는 −1→2 (가로 3 증가), y는 2→−4 (세로 6 감소).
기울기 = (−6) ÷ 3 = −2 → 내려가니 왼팔.
기울기 = −2
도전 · 고1수직
y = 2x 에 수직이고 원점을 지나는 직선의 기울기는?
풀이 — 수직이면 기울기 곱 = −1
⭐ 여기가 고비 — 왜 하필 곱해서 −1인가
직선을 90° 돌리면 가로와 세로가 자리를 바꾸고, 한쪽 부호가 뒤집힙니다.
기울기 2는 세로 2 / 가로 1이니, 돌리면 세로 −1 / 가로 2 = −½.
그래서 외울 것은 「뒤집고 부호 바꾸기」 한 마디면 됩니다 —
2 → −½, −⅓ → 3, ¾ → −4/3.
곱하면 언제나 −1이 되는 것은 그 결과일 뿐입니다.
검산: 2 × (−½) = −1 ✓
수직인 두 직선은 기울기 곱 = −1. 2 × m = −1
m = −½ → 완만한 왼팔. 식은 y = −½x.
기울기 = −½
도전 · 고등미분 — 접선의 기울기
f(x) = x² 위의 점 x = 3 에서 접선의 기울기는? 그 점에서 함수는 증가·감소 중 무엇인가?
풀이
⭐ 여기가 고비 — 점 하나뿐인데 기울기를 어떻게 재나
기울기는 늘 두 점이 있어야 잴 수 있었습니다. 그런데 곡선 위의 한 점 x=3에서 기울기를 물었습니다.
답은 두 점을 한없이 가까이 붙이는 것입니다. 그렇게 얻은 직선이 접선이고,
그 기울기를 내주는 도구가 미분입니다.
문제 11의 평균변화율은 「1에서 3까지 통틀어」였고,
여기는 「x=3 바로 그 순간」입니다.
검산해 보십시오 — x가 3에서 3.01로 갈 때 평균변화율은
(3.01² − 9)/0.01 = 6.01. 6에 바짝 붙습니다 ✓
f′(x) = 2x (미분). f′(3) = 2 × 3 = 6 = 접선의 기울기.
6 > 0 → 오른팔(증가). 순간의 팔 방향이 오른팔이니 그 점에서 그래프는 올라가는 중.
접선의 기울기 = 6 · 증가 중
도전 · 고등미분 — 증가·감소
f(x) = x² − 4x 는 x = 1 에서 증가 중인가, 감소 중인가?
풀이 — f′의 부호 = 팔 방향
⭐ 여기가 고비 — 함숫값이 아니라 도함수의 부호를 본다f(1) = 1 − 4 = −3입니다. 이 −3은 「지금 어디에 있나」(위치)이지
「올라가는 중인가 내려가는 중인가」(방향)가 아닙니다.
방향을 말해 주는 것은 f′(1) = −2입니다.
값이 음수인 것과 감소 중인 것은 아무 상관이 없습니다.
예컨대 x=3에서는 f(3) = −3으로 값은 여전히 음수이지만
f′(3) = 2라 올라가는 중입니다.
「높이」와 「기울기」는 따로 봅니다.
f′(x) = 2x − 4. f′(1) = 2 − 4 = −2.
−2 < 0 → 왼팔(감소). x=1에서는 내려가는 중.
감소 중 (f′(1) = −2 < 0)
도전 · 고등물리 — 위치·속도
원점에서 출발한 물체의 위치–시간 그래프가 직선이고, 5초에 20 m 지점이었다. 이 물체의 속도는? (위치–시간 그래프의 기울기 = 속도)
풀이 — 기울기가 곧 속도
⭐ 여기가 고비 — 단위를 붙여 보면 왜 속도인지가 보인다
기울기는 「세로 ÷ 가로」인데, 여기서는 세로가 미터(m), 가로가 초(s)입니다.
그러니 그 값의 단위가 저절로 m/s — 곧 속도가 됩니다.
이것이 그래프를 읽는 가장 든든한 방법입니다 —
축의 단위를 나눠 보면 기울기가 무엇을 뜻하는지 저절로 나옵니다.속도–시간 그래프라면 (m/s)/s = m/s²이라 기울기가 가속도가 되고,
물통 문제였다면 L/분이라 물이 차는 빠르기가 됩니다.
가로(시간) 5초 갈 때 세로(위치) 20 m → 기울기 = 20 ÷ 5 = 4.
올라가니 오른팔 = 앞으로 나아가는 중. 이게 속도 4 m/s.
속도 = 4 m/s
※ 이 자료의 예제·그래프는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 좌표·계산은 직접 검산했습니다.