경우의 수 완전정복
— 더하기·곱하기 두 법칙 연습 10제

풀이 — 겹치지 않으니 더한다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「또는」이라고 무조건 더하는 것이 아니다 더해도 되는 것은 두 사건이 절대 함께 일어날 수 없을 때뿐입니다. 주사위를 한 번 던져 3 이하이면서 동시에 6일 수는 없으니, 여기서는 그냥 더해도 됩니다. 겹치면 겹친 만큼 두 번 세어지므로 빼 주어야 합니다. 만약 「3 이하 또는 홀수」였다면 {1,2,3}과 {1,3,5}에서 1과 3이 겹치니 3 + 3 − 2 = 4가지입니다. 「또는」을 보면 더하기 전에 겹치는지부터 봅니다.
2. 3 이하 = {1, 2, 3} → 3가지.
3. 6 = {6} → 1가지.
4. 두 사건은 동시에 일어날 수 없다(겹치는 눈 없음) → 3 + 1 = 4.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 1부터 10까지의 짝수는 몇 개인가 10 ÷ 2 = 5개입니다. 홀수와 짝수가 번갈아 나오는데 끝이 짝수인 10에서 끊겼으니 정확히 절반입니다. 끝이 어디냐에 따라 갈립니다 — 1부터 9까지였다면 짝수는 {2,4,6,8}로 4개이지 4.5개가 아닙니다. 「몇 개인가」를 어림으로 넘기지 말고, 끝 하나를 직접 확인하십시오. 그리고 7은 홀수라 짝수와 겹치지 않으니 그대로 더하면 됩니다.
2. 짝수 = {2,4,6,8,10} → 5가지.
3. 7 = {7} → 1가지. 7은 홀수라 짝수와 겹치지 않는다.
4. 5 + 1 = 6.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 파란 구슬 3개는 답에 한 번도 안 들어간다 문제에 나온 수를 전부 써야 할 것 같은 마음이 이 문제의 함정입니다. 물음은 「빨강 또는 노랑」이므로 파랑 3개는 딸림 정보일 뿐입니다. 문제에 적힌 수를 다 쓰라는 법은 없습니다. 먼저 「무엇을 묻는가」를 한 번 소리 내어 읽고, 그 물음이 실제로 부르는 수만 골라 씁니다. (전체 10개를 물었다면 그때 비로소 3이 들어옵니다.)
2. 한 구슬은 한 가지 색만 가지므로 빨강·노랑은 절대 동시에 안 나온다.
3. 5 + 2 = 7.

풀이 — 밥을 고른 뒤 이어서 국을 고른다

풀이 — 동전 하나하나가 이어지는 단계

1. ⭐ 여기가 고비 — 「동시에」 던지는데 왜 곱의 법칙인가 곱의 법칙은 「연달아」일 때 쓴다고 배웠는데 문제는 동시에 던진다고 합니다. 그래도 곱합니다. 동전마다 앞·뒤가 따로 정해지기 때문에, 한 개씩 차례로 던진 것과 나오는 결과의 목록이 똑같습니다. 「동시에」는 시간의 문제일 뿐 셈의 문제가 아닙니다. 서로 영향을 주지 않는 일이 여러 개면 차례로 일어나든 한꺼번에 일어나든 곱합니다.
2. 동전 하나마다 앞·뒤 2가지.
3. 2 × 2 × 2 = 8.
4. 검산: 앞앞앞·앞앞뒤·앞뒤앞·앞뒤뒤·뒤앞앞·뒤앞뒤·뒤뒤앞·뒤뒤뒤 — 8가지 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 일의 자리가 3이 아니라 4인 까닭 「같은 숫자를 다시 써도 됨」이라는 한 마디 때문입니다. 십의 자리에서 쓴 숫자가 주머니로 되돌아오므로 일의 자리도 여전히 4가지입니다. 문제 8과 정확히 반대입니다. 거기서는 「서로 다른」이라 5×4×3으로 하나씩 줄었습니다. 공식을 고르기 전에 문제 글에서 「다시 써도 된다」인지 「서로 다른」인지 그 한 마디를 먼저 찾으십시오. 그 한 마디가 답을 바꿉니다.
2. 십의 자리 = 4가지(1,2,3,4 아무거나).
3. 일의 자리도 다시 써도 되니까 4가지.
4. 4 × 4 = 16.

풀이 — 버스를 탄 뒤 이어서 기차를 탄다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「반드시 B를 거친다」가 곱하게 만든다 A에서 C로 가려면 버스를 타고 B까지 간 뒤 이어서 기차를 타야 합니다. 두 단계가 이어져 있으니 곱합니다. 만약 A에서 C로 바로 가는 직행 버스가 2대 더 있었다면, 그것은 이어지는 단계가 아니라 갈라지는 길이라 3×2 + 2 = 8로 더해야 합니다. 지도를 그려 「이어지는가, 갈라지는가」를 보면 곱할지 더할지가 그대로 보입니다.
2. 3 × 2 = 6.

풀이 — 자리마다 쓸 수 있는 숫자가 줄어든다

1. ⭐ 여기가 고비 — 곱하는 수가 왜 5×4×3에서 멈추나 「서로 다른」이라 이미 쓴 숫자는 주머니에서 빠져 후보가 하나씩 줄어듭니다. 그리고 자리가 세 개뿐이니 세 번 곱하고 멈춥니다. 곱하는 횟수를 정하는 것은 「자리의 개수」입니다. 5×4×3×2×1까지 가면 그것은 다섯 자리 수를 만드는 셈이 됩니다. 「몇 개를 뽑는가」와 「몇 개 중에서 뽑는가」를 갈라 놓고 세십시오.
2. 백의 자리: 5개 중 하나 → 5가지.
3. 십의 자리: 남은 4개 중 하나 → 4가지.
4. 일의 자리: 남은 3개 중 하나 → 3가지.
5. 5 × 4 × 3 = 60.

풀이 — 안쪽은 곱, 바깥은 합

1. ⭐ 여기가 고비 — 괄호 안은 곱, 괄호 밖은 합 문장을 그대로 읽으면 됩니다. 괄호 안의 「동전 앞면이고 주사위 짝수」는 두 일이 함께 일어나니 곱, 괄호와 괄호 사이의 「또는」은 갈라지는 길이라 합입니다. 두 법칙을 한 문제에서 쓰게 하는 것이 이 단원의 마지막 관문입니다. 「이고 · 그리고 · 둘 다」 → 곱, 「또는 · 이거나」 → 합. 그리고 더하기 전에 겹치는지를 봅니다 — 동전이 앞면이면서 뒷면일 수는 없으니 겹치지 않습니다.
2. 앞면이고 짝수: 앞면(1가지) × 짝수{2,4,6}(3가지) = 1×3=3가지.
3. 뒷면이고 3의 배수: 뒷면(1가지) × 3의배수{3,6}(2가지) = 1×2=2가지.
4. 동전이 앞면이면서 동시에 뒷면일 수 없으니 두 경우는 겹치지 않는다 → 더한다: 3+2=5.
5. 검산: (앞,2)·(앞,4)·(앞,6)·(뒤,3)·(뒤,6) — 5가지 ✓

풀이 — 전체에서 "5인 경우"만 뺀다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「아니다」는 뒤집어 세는 것이 훨씬 짧다 「합이 5가 아닌 경우」를 곧이곧대로 세려면 32가지를 하나씩 적어야 합니다. 반대인 「합이 5인 경우」는 단 4가지. 그러니 전체에서 빼는 편이 여덟 배 빠릅니다. 여기서 한 가지 더 조심할 것이 있습니다 — 주사위 두 개는 서로 구별됩니다. (1,4)와 (4,1)은 다른 경우라 둘 다 셉니다. 같은 것으로 보면 2가지가 되어 답이 34로 어긋납니다. 전체를 6×6으로 세었으면 반대쪽도 같은 잣대로 세야 합니다.
2. 전체 경우의 수: 6 × 6 = 36.
3. 합이 5인 경우: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) → 4가지.
4. "5가 아닌" = 전체 빼기 "5인 경우": 36 − 4 = 32.

풀이 — 나뭇가지로 그리면 바로 보인다

1. ⭐ 여기가 고비 — 나뭇가지 그림이 곧 곱셈이다 곱셈을 아직 몰라도 풀 수 있습니다. 상의 빨강 · 파랑 · 초록 세 갈래를 그리고, 그 하나하나마다 검정 · 회색 두 갈래를 더 그립니다. 가지 끝을 세면 6개. 여기서 「3묶음이 2개씩」이 곧 3 × 2라는 것이 보입니다. 곱셈이란 「같은 것이 몇 묶음인가」를 줄여 쓴 것이니, 경우의 수에서 곱하기가 나오면 늘 나뭇가지를 떠올리면 됩니다.
2. 상의를 고른 뒤 이어서 하의를 고르니 곱의 법칙: 3 × 2 = 6.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「자리가 서로 다르다」는 한 마디가 답을 두 배로 만든다 갑이 회장·을이 부회장인 것과, 을이 회장·갑이 부회장인 것은 서로 다른 결과입니다. 그래서 순서까지 세는 셈이 됩니다. 만약 물음이 「대표 2명을 뽑는다」였다면 두 사람 사이에 순서가 없어 20 ÷ 2 = 10가지로 답이 반이 됩니다. 「자리가 다른가, 그냥 뽑기만 하는가」 — 이 한 마디를 문제 글에서 먼저 찾으십시오.
2. 회장 자리: 5명 중 하나. 부회장 자리: 남은 4명 중 하나.
3. 5 × 4 = 20. 이걸 ₅P₂라고 써요.

풀이 — 순서 있게 센 뒤, 겹치는 순서 수로 나눈다

1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 하필 6으로 나누나 고른 세 개를 늘어놓는 방법이 3 × 2 × 1 = 6가지인데, 그 6가지가 전부 「같은 한 조합」을 가리킵니다. 곧 모든 조합이 6번씩 겹쳐 세어진 것입니다. 그래서 6으로 나눕니다. 나누는 수는 「뽑은 개수를 늘어놓는 방법의 수」입니다. 4개를 골랐다면 4! = 24로 나눕니다. 몇 개 중에서 뽑았는지(5)가 아니라, 몇 개를 뽑았는지(3)가 나누는 수를 정합니다.
2. 순서 있게 뽑으면(문제 8과 같은 방식): 5×4×3=60가지.
3. 그런데 예를 들어 (사과,배,포도)와 (배,포도,사과)는 같은 3개 조합인데 순서만 다르게 6번(3!)씩 겹쳐 세어졌다.
4. 겹친 만큼 나눈다: 60 ÷ 6 = 10.