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"수학은 국어다" 7편
겉넓이 공식이 왜 이렇게 많을까?
외우지 마 — 껍질을 벗겨 펼쳐서 읽으면 돼.
외우지 마 — 껍질을 벗겨 펼쳐서 읽으면 돼.
🔑 핵심
겉넓이 = 밑넓이 + 옆넓이
입체를 가위로 오려 펼치면, 결국 평면 조각들의 넓이를 다 더한 것뿐이야.
🐣 먼저 쉽게 — 포장지
주사위를 펼치면 똑같은 정사각형 여섯 장.
겉넓이는 이 껍질을 다 더한 것 — 포장지 넓이랑 같아. 아직 공식도 π도 필요 없어.
겉넓이는 이 껍질을 다 더한 것 — 포장지 넓이랑 같아. 아직 공식도 π도 필요 없어.
기둥 — 옆면은 "긴 직사각형 하나"
옆면을 쭉 펼치면 긴 직사각형 하나.
가로는 밑면의 둘레, 세로는 높이. 그래서 옆넓이 = 둘레 × 높이.
가로는 밑면의 둘레, 세로는 높이. 그래서 옆넓이 = 둘레 × 높이.
예제 ① 원기둥 · r=4, h=10
밑넓이는 32π, 옆넓이는 둘레 8π 곱하기 10 = 80π.
합쳐서 112π.
합쳐서 112π.
놓치기 쉬운 곳 — 둘레
둘레 = 지름 × π
반지름 4면 지름은 8, 뒤에 π를 붙여 8π.
반지름을 두 배 하는 걸 빠뜨리면 다 틀려.
반지름을 두 배 하는 걸 빠뜨리면 다 틀려.
예제 ② 삼각기둥 · 옆면을 통째로
옆면 세 조각을 따로 세지 마. 한 직사각형 가로 = 둘레 30, ×높이 10 = 300.
밑넓이(직각삼각형 5·12) 30이 둘이면 60. 합쳐서 360.
밑넓이(직각삼각형 5·12) 30이 둘이면 60. 합쳐서 360.
원뿔 — 옆면은 부채꼴 · r=3, ℓ=9
원뿔 옆면을 펼치면 부채꼴. 옆넓이 = π × 반지름 × 모선.
반지름 3, 모선 9 → 27π, 밑넓이 9π, 합쳐서 36π.
반지름 3, 모선 9 → 27π, 밑넓이 9π, 합쳐서 36π.
예제 ③ 원뿔 · r=8, ℓ=20
숫자가 커도 방법은 똑같아. 반지름 8, 모선 20 →
옆넓이 160π, 밑넓이 64π, 합쳐서 224π.
옆넓이 160π, 밑넓이 64π, 합쳐서 224π.
반구 · r=5 — "잘린 원"을 빼먹지 마
둥근 곡면 50π에, 잘린 단면인 원 25π를 꼭 더해야 해.
그래서 반구 겉넓이는 75π. 이 원을 빼먹는 실수가 제일 많아.
그래서 반구 겉넓이는 75π. 이 원을 빼먹는 실수가 제일 많아.
🎓 한 걸음 더 — 원뿔대(잘린 원뿔)
큰 원뿔(반지름6·모선14, 84π)에서 작은 원뿔(반지름3·모선7, 21π)을 빼면
옆넓이 63π. 위·아래 원(9π+36π)을 더하면 겉넓이 108π. 원뿔도 결국 큰 것에서 작은 것을 빼는 것뿐이야.
옆넓이 63π. 위·아래 원(9π+36π)을 더하면 겉넓이 108π. 원뿔도 결국 큰 것에서 작은 것을 빼는 것뿐이야.
🎯
펼쳐서 · 밑넓이 + 옆넓이
공식을 외우는 게 아니라, 껍질을 펼쳐서 읽는 것.
둘레×높이, πrℓ, 3πr² — 전부 펼치면 보여.
둘레×높이, πrℓ, 3πr² — 전부 펼치면 보여.
📦✏️
"수학은 국어다"
입체도형 겉넓이
입체도형 겉넓이
펼쳐서 읽는 습관, 네 것으로 만들어봐.
— 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학 · 7편
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