입체도형 겉넓이 완전정복
— 펼쳐서 읽으면 공식이 필요 없다 · 연습 10제

풀이 — 밑넓이 2개 + 옆넓이

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 가로에 들어가는 것은 5가 아니라 10π 펼친 직사각형의 가로는 밑면을 한 바퀴 돈 길이, 곧 둘레 2π·5 = 10π입니다. 반지름 5를 그대로 곱하고 싶어지지만, 5는 중심에서 가장자리까지일 뿐입니다. 라벨을 떠올리면 확실합니다. 라벨의 가로는 통을 한 바퀴 감아야 하는 길이지 통의 굵기(반지름)가 아닙니다. 반지름을 곱하면 라벨이 통의 절반도 못 감습니다.
2. 옆면을 펼치면 직사각형: 가로 = 밑면 둘레 = 2π·5 = 10π, 세로 = 높이 = 7.
3. 옆넓이 = 10π × 7.

풀이 — 옆면 세 조각을 “한 직사각형”으로

풀이 — 둘레×높이 법으로도, 여섯 면으로도

1. ⭐ 여기가 고비 — 어느 면을 「밑면」으로 잡을까 직육면체는 어느 쪽으로 세워 놓든 직육면체라, 밑면을 고르는 자유가 있습니다. 여기서는 4×3을 밑면으로 잡아 높이를 5로 보았습니다. 어느 쪽으로 눕혀도 답은 같아야 합니다 — 껍질은 하나뿐이니까요. 4×5를 밑면으로 잡으면 밑넓이 2×20=40, 옆넓이 2(4+5)×3=54, 합해서 역시 94. 고르기 쉬운 면을 밑면으로 잡으면 됩니다.
2. 밑넓이 = 4 × 3 = 12, 2개 → 24.
3. 옆넓이 = (밑면 둘레)×높이 = 2(4+3) × 5 = 14 × 5 = 70.
4. 겉넓이 = 24 + 70. (확인: 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12+20+15) = 94 ✓)

풀이 — 옆면은 부채꼴, 넓이 = πrℓ

풀이 — 모선은 피타고라스로

1. ⭐ 여기가 고비 — 겉넓이에 필요한 것은 높이가 아니라 모선 문제는 높이 8을 주었는데, 옆넓이 πrℓ에 들어가야 하는 것은 모선 ℓ입니다. 그대로 8을 넣으면 다른 뿔의 넓이가 나옵니다. 다행히 반지름·높이·모선은 직각삼각형을 이루니 피타고라스로 만들어 씁니다. 가르는 기준은 이렇습니다 — 겉넓이는 껍질을 따라가니 비스듬한 길이(모선), 부피는 속을 채우니 곧추선 길이(높이). 뿔 문제에서 무엇을 쓸지 헷갈리면 이 한 줄로 갈라 놓으십시오.
2. 반지름·높이·모선은 직각삼각형: ℓ = √(r² + h²) = √(6² + 8²) = √100 = 10.
3. 옆넓이 = πrℓ = π·6·10 = 60π. 밑넓이 = π·6² = 36π.
4. 겉넓이 = 60π + 36π.
5. 검산: 6, 8, 10은 3:4:5의 2배 ✓

풀이 — 곡면 + “잘린 원”

풀이 — 구는 외운다: 4πr²

1. ⭐ 여기가 고비 — 구만은 펼칠 수가 없다 이 단원의 모든 공식은 「펼쳐서 읽기」로 만들었는데, 구는 아무리 잘라도 평면에 펴지지 않습니다. 그래서 이 단원에서 유일하게 외우는 공식이 4πr²입니다. 지구본을 종이에 완벽하게 펴 옮길 수 없는 것과 같은 까닭입니다. 대신 「반지름이 같은 원 4장」으로 기억하십시오. 그러면 앞 문제의 반구가 곡면 2장 + 단면 1장 = 3장이라는 것까지 한 줄로 이어집니다.
2. 구의 겉넓이 = 4πr² = 4π·4² = 4π·16.

풀이 — 밑넓이 1개 + 삼각형 4장

풀이 — 라벨 = 옆넓이

1. ⭐ 여기가 고비 — (1)과 (2)의 차이가 이 단원 전부다 같은 통인데 답이 둘로 갈립니다. 라벨은 옆면 한 장이고, 겉넓이는 뚜껑·바닥까지 포함한 껍질 전체입니다. 그 차이가 정확히 2πr² = 32π입니다. 문제 글이 「감싸는 종이」·「칠하는 면」·「두르는 띠」라고 하면 옆넓이, 「전부 칠한다」·「겉면 전체」라고 하면 겉넓이입니다. 공식을 고르기 전에 「어디까지가 껍질인가」를 문제 글에서 먼저 읽습니다.
2. 라벨은 옆면 하나 = (밑면 둘레)×높이 = 2π·4 × 10 = 8π × 10 = 80π.
3. 뚜껑·바닥 = 2 × π·4² = 2 × 16π = 32π. 전체 겉넓이 = 80π + 32π.

풀이 — 부피 = 밑넓이 × 높이

1. ⭐ 여기가 고비 — 끌고 올라가는 것이 「둘레」냐 「넓이」냐 문제 1과 똑같은 통인데 물음이 겉넓이에서 부피로 바뀌었습니다. 껍질은 테두리(둘레)를 끌고 올라간 것이라 2πr × h, 속은 밑면(넓이)을 그대로 끌고 올라간 것이라 πr² × h입니다. 그래서 겉넓이는 둘레 × 높이, 부피는 밑넓이 × 높이 — 곱하는 「높이」는 같고 잡는 것만 선이냐 면이냐로 갈립니다. 이 한 줄이면 기둥은 전부 정리됩니다.
2. 밑넓이 = πr² = 9π. 부피 = 9π × 8.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 밑면이 삼각형이어도 식은 그대로다 부피 공식에 밑면 모양은 들어가지 않습니다. 들어가는 것은 밑면의 넓이뿐입니다. 그러니 삼각형이든 원이든 오각형이든 밑넓이 × 높이 한 줄입니다. 까닭은 기둥이 「밑면을 그대로 위로 밀어 올린 것」이기 때문입니다. 얇은 밑면 종이를 h장 쌓았다고 보면 넓이 × 장수가 곧 부피입니다. 모양은 상관이 없습니다.
2. 밑넓이 = ½·3·4 = 6. 부피 = 6 × 10.

풀이 — 뿔은 기둥의 ⅓

1. ⭐ 여기가 고비 — 문제 6에서 구한 모선 10을 여기 끌어오면 안 된다 같은 뿔이라 반가운 마음에 모선 10을 그대로 쓰기 쉽습니다. 그러나 부피에는 곧추선 높이 8을 씁니다. 모선은 껍질을 따라 비스듬히 올라간 길이라 속을 채우는 셈과는 상관이 없습니다. 앞에서 갈라 둔 그 한 줄 그대로입니다 — 겉넓이는 모선, 부피는 높이. 한 문제 안에 8과 10이 함께 나오는 것은 일부러 고르게 하려는 것입니다.
2. 같은 밑면·높이 기둥 부피 = πr²h = π·36·8 = 288π.
3. 뿔은 그 ⅓ → 288π ÷ 3. (부피엔 높이 8을 쓰고, 모선은 안 씀)

풀이 — 직사각형 회전 = 원기둥

1. ⭐ 여기가 고비 — 축에 붙은 변이 높이, 떨어진 거리가 반지름 세로변을 축으로 했으니 세로 8은 제자리에서 돌기만 해 높이가 되고, 축에서 3만큼 떨어진 가로변이 원을 그리며 반지름 3을 만듭니다. 축을 바꿔 보면 확실합니다 — 가로변을 축으로 돌리면 반지름 8, 높이 3인 아주 다른 통이 됩니다 (겉넓이 128π + 48π = 176π). 「무엇을 축으로 했나」를 먼저 읽고 그림을 그립니다.
2. 축에서 가로 3만큼 떨어져 도니 반지름 3, 높이 8 원기둥.
3. 겉넓이 = 2·πr² + 2πr·h = 18π + 48π (문제 1과 동일).

풀이 — 직각삼각형 회전 = 원뿔

1. ⭐ 여기가 고비 — 모선은 이미 그림 안에 있다 문제 6에서는 모선을 피타고라스로 만들어 썼지만, 여기서는 그럴 필요가 없습니다. 돌린 직각삼각형의 빗변이 지나간 자리가 곧 원뿔의 옆면이므로, 빗변이 그대로 모선입니다. 회전체 문제의 요령은 하나입니다 — 돌리기 전 도형의 어느 선분이 어느 부품이 되는지 먼저 짝지어 놓는 것. 축에 붙은 변 → 높이, 축에서 떨어진 변 → 반지름, 비스듬한 변 → 모선. 그러고 나면 셈은 앞에서 다 해 본 것입니다.
2. 반지름 = 밑변 5, 높이 12 → 모선 = 빗변 = √(5²+12²) = 13.
3. 겉넓이 = πr² + πrℓ = 25π + 65π (문제 5와 동일).

풀이 — 반원 회전 = 구

1. ⭐ 여기가 고비 — 「한 바퀴」면 반구가 아니라 구다 반원을 돌리니 반구가 나올 것 같지만, 반원이 180°만 돌면 반구, 360°(한 바퀴) 돌면 구 전체입니다. 반원의 뒤쪽이 나머지 반쪽을 채워 주기 때문입니다. 그리고 구가 되었으니 문제 7처럼 잘린 단면 원 한 장을 더하지 않습니다 — 자른 자리가 없으니까요. 「몇 도 돌렸나」와 「잘린 면이 있나」, 이 둘만 확인하면 회전체 겉넓이는 끝납니다.
2. 반원을 지름 축으로 돌리면 반지름 4인 구.
3. 겉넓이 = 4πr² = 4π·16 (문제 8과 동일).

풀이 — “둘레 × 높이”의 적분판

1. ⭐ 여기가 고비 — 이 적분이 곧 「펼쳐서 읽기」다 옆면을 높이 방향으로 아주 얇게 썰면, 띠 하나는 둘레 2πr짜리 고리이고 두께가 ds입니다. 그 띠를 펴면 가로 2πr, 세로 ds인 종이 오라기. 그것을 0에서 8까지 모아 붙인 것이 옆면입니다. 원기둥은 r이 어디서나 3으로 같아서 2π·3이 적분 밖으로 빠져나오고, 결국 6π × 8이라는 곱셈 한 번으로 되돌아옵니다. r이 위로 갈수록 줄어드는 원뿔에서는 밖으로 빠지지 않아, 그때 비로소 진짜 적분이 필요합니다.
2. 옆면을 높이 방향으로 잘게 쪼갠 띠 하나 넓이 = 둘레 2πr × 두께 ds.
3. ∫₀⁸ 2π·3 ds = 6π × 8 = 48π.

풀이 — 같은 부피면 구가 껍질이 가장 작다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「모서리가 손해」라는 말을 수로 확인한다 말로만 하면 믿기 어려우니 부피를 1로 맞춰 재 봅니다. 정육면체는 한 변이 1이므로 겉넓이 6. 구는 4/3·πr³ = 1에서 r ≈ 0.620, 겉넓이 4πr² ≈ 4.84. 구 쪽이 약 19% 작습니다. 까닭은 모서리와 꼭짓점이 부피는 거의 안 담으면서 껍질만 늘리기 때문입니다. 그 튀어나온 자리를 모두 깎아 낸 끝이 구입니다. 비눗방울이 저절로 구가 되는 것도 표면을 최소로 줄이려는 힘 때문입니다.
2. 같은 부피를 담을 때 겉넓이는 구가 최소(등주부등식). 모서리가 없을수록 껍질이 준다.
3. 그래서 물방울·비눗방울은 구가 됩니다(표면적 최소로 에너지 절약).

풀이 — 넓이는 “길이의 제곱”으로 커진다

1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 2배가 아니라 4배인가 길이를 2배로 늘리면 가로도 2배, 세로도 2배가 됩니다. 넓이는 그 둘을 곱한 것이니 2 × 2 = 4배가 됩니다. 식으로도 4π(2r)² = 4·4πr²로 2가 제곱에 갇혀 4가 되어 나옵니다. 그래서 길이 : 넓이 : 부피 = k : k² : k³입니다. 반지름을 2배로 하면 겉넓이는 4배, 부피는 8배. 「몇 방향으로 늘어났나」를 세면 지수가 저절로 나옵니다 — 넓이는 두 방향, 부피는 세 방향.
2. 겉넓이 4πr² 에서 r → 2r 이면 4π(2r)² = 4π·4r².
3. 즉 2² = 4배. (길이 2배 → 넓이 4배, 부피는 8배)