연 수학 · 중3 — 원의 성질

왜 원의 성질을 배울까?

바퀴·시계·렌즈·다리의 아치… 원은 가장 완벽한 도형이에요. 원주각·현·접선의 성질을 알면 원이 들어간 문제를 우아하게 풀 수 있고, ‘반원에 대한 원주각은 직각’ 같은 아름다운 사실을 만나요.

원의 성질 — 왜 배울까 장면 — 그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.

이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 원주각 = 중심각의 절반을 안다. ② 반원의 원주각이 90°임을 안다. ③ 현·접선의 성질을 쓴다. ④ 내접사각형의 각을 구한다.

읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지를 떠올려 봐요.

① 반원(지름)에 대한 중심각은 몇 도일까요?

② 80°의 절반은?

① 180° · ② 40°. 원주각이 중심각의 절반이라, 반원의 원주각은 90°예요.

원주각과 중심각 — 절반의 약속

원 위 두 점 A, B가 만드는 같은 호에 대해, 중심 O에서 본 각이 중심각, 원 위의 다른 점 P에서 본 각이 원주각이에요. 신기하게도 원주각은 중심각의 정확히 절반이에요. 그래서 같은 호 위의 원주각은 어디서 봐도 모두 같아요. 반원(지름)에 대한 원주각은 90°예요. 기억해요 — 원주각 = 중심각 ÷ 2. 같은 호의 원주각은 모두 같다

📺📺 영상으로 보기원주각은 중심각의 절반▶

✨ "왜 3바퀴가 돌았지?" — 동전 회전의 마술 같은 기하학 역설!

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현·접선과 내접사각형

중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분해요. 원 밖 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같고, 접선은 접점에서 반지름과 수직이에요. 원에 내접하는 사각형은 마주보는 두 각의 합이 180°예요. 기억해요 — 중심→현의 수선은 이등분, 접선⊥반지름, 내접사각형 마주보는 각 합 180°

①원주각=½중심각

같은 호 → 원주각은 중심각의 절반.

②반원의 원주각

지름에 대한 원주각은 90°.

③현의 수선

중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분.

④내접사각형

마주보는 두 각의 합 = 180°.

왜 반원의 원주각이 90°일까

지름에 대한 중심각은 180°(일직선)예요. 원주각은 그 절반이니 90°! 그래서 지름을 한 변으로 하는 삼각형은 항상 직각삼각형이 돼요. 피타고라스와도 이어지는 멋진 사실이에요.

중심각과 원주각을 바꿔 쓰기

원주각 = 중심각의 절반이지, 그 반대가 아니에요. 중심각을 물으면 원주각의 2배, 원주각을 물으면 중심각의 절반 — 어느 쪽을 구하는지 먼저 확인해요.

스스로 풀어요 (3단계)

원주각·중심각의 절반 관계부터.

비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 원 문제의 절반을 ‘원주각 = 중심각 ÷ 2’ 한 줄로 풀게 했어요. ‘더 간결하게’: 현·접선은 ‘수선은 이등분, 접선은 수직’ 두 문장으로 정리했습니다.

🌟 나도 영재 도전 — 원에 갇힌 삼각형의 비밀 네팔 수학 올림피아드 기출문제와 10개의 원주각/닮음 도전 문제 · 게임 모드 탑재 도전하기 → 🌟 또 다른 영재 도전 — 내접사각형 대각선의 비밀 닮음 두 개를 곱하면 나오는 ‘이웃변의 곱’ 공식 + 방멱·톨레미 10문제 · 코드 애니 영상 강의 도전하기 →

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 원주각의 성질과 원과 비례 관계까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1내접사각형 각합

원에 내접하는 사각형의 네 각의 크기의 합은?

2원주각·중심각

한 호에 대한 원주각이 35°일 때, 그 호에 대한 중심각은?

3같은 호

원 안에서 두 현 AB, CD가 점 P에서 만나고 PA=2, PB=6, PC=3일 때 PD는?

4방멱(두 현)

점 P에서 그은 접선 PT=6, 할선이 원과 만나는 가까운 점까지 PA=4일 때, 먼 점까지 PB는?

5접선과 할선

반지름 5인 원에서 길이가 8인 현과 중심 사이의 거리는?

6탈레스

원에 내접하는 정육각형의 한 변에 대한 중심각은?

7현과 거리

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각이 50°일 때, 두 접점과 중심이 이루는 각(중심각)은?

8정다각형 중심각

원 위의 세 점 A, B, C에서 ∠BAC = 40°(원주각)일 때, 호 BC에 대한 중심각은?

9두 접선 각

반지름 7인 원에 내접하는 정사각형의 대각선의 길이는?

10원주각 중심각

반지름 10인 원에서 중심으로부터 거리가 6인 현의 길이는?

11내접 정사각형

반원에서 지름의 양 끝과 원 위의 한 점이 이루는 각(원주각)은?

객관식 진단 퀴즈 — 원의성질

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 원주각은 중심각의 절반

중심각 80 °

틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

한 장 핵심

1같은 호에서 원주각 = 중심각 ÷ 2. 같은 호의 원주각은 모두 같다.
2반원(지름)에 대한 원주각 = 90°.
3중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분.
4내접사각형: 마주 보는 두 각의 합 = 180°.

이 단원의 말·기호

중심각: 원의 중심에서 호를 본 각.
원주각: 원 위의 점에서 호를 본 각.
현: 원 위 두 점을 잇는 선분.
접선: 원과 한 점에서 만나는 직선.

내 말로 설명하기

반원의 원주각이 왜 90°인지 한 줄로?

예시 — “지름에 대한 중심각은 180°. 원주각은 중심각의 절반이니 90°. 그래서 지름을 한 변으로 하는 삼각형은 항상 직각삼각형.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?

2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)

3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직

복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5

1번째 복습 2번째 3번째 4번째

어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.

원의 성질

왜 원의 성질을 배울까?

출발 점검 — 준비됐나요?

원주각과 중심각 — 절반의 약속

📺 움직이는 개념 — 원주각은 중심각의 절반

✨ "왜 3바퀴가 돌았지?" — 동전 회전의 마술 같은 기하학 역설!

현·접선과 내접사각형

①원주각=½중심각

②반원의 원주각

③현의 수선

④내접사각형

왜 반원의 원주각이 90°일까

중심각과 원주각을 바꿔 쓰기

스스로 풀어요 (3단계)

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

객관식 진단 퀴즈 — 원의성질

직접 해보기 — 원주각은 중심각의 절반

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

내 말로 설명하기

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

눈을 감아요

왜 원의 성질을 배울까?

출발 점검 — 준비됐나요?

원주각과 중심각 — 절반의 약속

✨ "왜 3바퀴가 돌았지?" — 동전 회전의 마술 같은 기하학 역설!

현·접선과 내접사각형

①원주각=½중심각

②반원의 원주각

③현의 수선

④내접사각형

왜 반원의 원주각이 90°일까

중심각과 원주각을 바꿔 쓰기

스스로 풀어요 (3단계)

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

객관식 진단 퀴즈 — 원의성질

직접 해보기 — 원주각은 중심각의 절반

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

내 말로 설명하기

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

눈을 감아요

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