연 수학 · 중3 — 원의 성질

왜 원의 성질을 배울까?

바퀴와 시계처럼 원은 우리 주변 어디에나 있어요. 원은 대칭이 가장 완벽한 아름다운 도형입니다. 원의 성질을 알면 도형 문제를 명쾌하게 풀 수 있어요.

🔎 「호」와 「현」이 무슨 말이죠?

원 둘레의 일부분인 둥근 곡선을 호라고 해요.

원 위의 두 점을 곧게 이은 선분을 현이라고 부릅니다.

활의 둥근 나무 부분이 호, 팽팽한 활줄이 현에 해당해요.

🔎 왜 반원의 원주각은 항상 직각인가요?

원의 지름을 현으로 삼으면 중심각은 평각인 180°가 돼요.

원주각은 중심각의 정확히 절반이므로 180° ÷ 2 = 90°가 됩니다.

이를 고대 그리스 수학자의 이름을 따서 탈레스 정리라고 불러요.

원의 성질 — 왜 배울까 장면 — 그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.

이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 원주각 = 중심각의 절반을 안다. ② 반원의 원주각이 90°임을 안다. ③ 현·접선의 성질을 쓴다. ④ 내접사각형의 각을 구한다.

읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지를 떠올려 봐요.

① 반원(지름)에 대한 중심각은 몇 도일까요?

② 80°의 절반은?

① 180° · ② 40°. 원주각이 중심각의 절반이라, 반원의 원주각은 90°예요.

원주각과 중심각 — 절반의 약속

원의 중심에서 호를 바라본 각을 중심각이라고 해요. 원 둘레 위의 점에서 호를 바라본 각은 원주각입니다. 이등변삼각형의 외각 성질로 원주각은 중심각의 절반이 돼요. 같은 호를 바라보는 원주각은 점의 위치가 바뀌어도 크기가 같습니다. 반원(지름)에 대한 원주각은 평각 180°의 절반인 90° 직각이 됩니다. 기억해요 — 원주각 = 중심각 ÷ 2. 같은 호의 원주각은 모두 같다

🔎 「중심각」과 「원주각」의 차이가 뭐죠?

각의 꼭짓점이 원의 중심에 있으면 중심각이에요.

각의 꼭짓점이 원 둘레(원주) 위에 있으면 원주각입니다.

같은 호를 밑바닥으로 공유할 때 원주각은 중심각의 절반이 돼요.

🔎 점 P가 움직여도 원주각이 왜 안 변하나요?

호 AB가 고정되어 있으면 중심각 ∠AOB는 단 하나로 고정돼요.

원주 위의 어느 점으로 가든 그 각은 항상 고정된 중심각의 절반이에요.

따라서 점 P를 원주 위에서 이리저리 옮겨도 원주각의 크기는 전혀 바뀌지 않아요.

🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 원주각이 절반인 증명 3단계

① 점 P와 원 중심 O를 잇는 지름을 그어 두 삼각형으로 나눠요.

② 반지름의 길이가 같으므로 두 삼각형은 모두 이등변삼각형이 됩니다.

③ 외각은 두 내각의 합과 같으므로 중심각은 원주각의 정확히 2배가 돼요.

📺📺 영상으로 보기원주각은 중심각의 절반▶

🔎 왜 그럴까 왜 원주각은 중심각의 정확히 절반일까? (이등변삼각형과 외각의 성질)

점 P에서 원의 중심 O를 지나는 지름 PQ를 보조선으로 그어 볼까요?
① 반지름의 길이는 모두 같으므로 OA = OP예요. 따라서 △OAP는 이등변삼각형이고, 두 밑각의 크기가 ∠OPA = ∠OAP = x로 같습니다.
② 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같으므로, △OAP의 외각인 ∠AOQ = x + x = 2x가 됩니다.
③ 오른쪽 △OBP도 OB = OP인 이등변삼각형이므로 두 밑각을 y라 하면 외각 ∠BOQ = y + y = 2y가 됩니다.
④ 두 각을 합치면 중심각 ∠AOB = 2x + 2y = 2(x + y)이고, 원주각 ∠APB = x + y이므로 ∠APB = ½∠AOB가 언제나 성립합니다!

✨ "왜 3바퀴가 돌았지?" — 동전 회전의 마술 같은 기하학 역설!

원의 둘레(호)를 따라 또 다른 원이 한 바퀴(360°) 굴러갈 때 중심각 회전이 어떻게 더해지는지 생각 힘을 길러 주는 쉬어가기 특집이에요. ▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 미국 SAT 수학 시험에도 출제되어 논란을 빚었던 유명한 '동전 회전의 역설'을 3초 직관으로 해결해 줍니다. (출처: 깨봉수학 「미국 SAT 수학 출제 오류 사건! 동전 회전의 역설」)

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현·접선과 내접사각형

원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 반으로 똑같이 나눠요. 직각삼각형의 합동 성질 덕분에 수직이등분선이 됩니다. 원과 스치듯 한 점에서 만나는 선을 접선이라고 해요. 접선은 접점을 지나는 반지름과 항상 수직(90°)으로 만납니다. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같아요. 원 안에 꼭 맞게 들어간 내접사각형은 마주 보는 두 각의 합이 항상 180° 예요. 한 외각의 크기는 마주 보는 내대각의 크기와 같습니다. 기억해요 — 중심→현의 수선은 이등분, 접선⊥반지름(PA=PB), 내접사각형 마주보는 각 합 180°(외각=내대각)

🔎 중심에서 현에 내린 수선은 왜 현을 이등분하나요?

원의 중심에서 현의 양 끝 점에 반지름을 그어 봐요.

빗변이 반지름 r로 같고 수선이 공통인 두 직각삼각형이 생겨요.

RHS 합동이 되므로 밑변의 길이가 서로 같아져 정확히 반으로 나뉩니다.

🔎 원 밖에서 그은 두 접선의 길이는 왜 같나요?

원 밖의 점과 두 접점, 원 중심을 이으면 직각삼각형 두 개가 나와요.

빗변이 공통이고 반지름의 길이가 같으므로 역시 RHS 합동이에요.

따라서 점 P에서 두 접점까지의 거리 PA와 PB는 항상 같습니다.

🔎 「내대각」이 무슨 뜻인가요?

안(內)에 있으면서 마주 대(對)하는 각이라는 뜻이에요.

사각형에서 어떤 꼭짓점의 외각 바로 안쪽에 있는 내각과 마주 보는 각을 말해요.

내접사각형에서는 마주 보는 각의 합이 180°이므로 외각과 내대각의 크기가 같아요.

🔎 내접사각형의 마주 보는 각의 합은 왜 180°인가요?

마주 보는 두 원주각이 바라보는 두 호를 합치면 원 둘레 전체가 돼요.

원 둘레 전체의 중심각은 한 바퀴인 360°입니다.

원주각은 중심각의 절반이므로 두 원주각의 합은 360° ÷ 2 = 180°가 됩니다.

①원주각=½중심각

같은 호 → 원주각은 중심각의 절반.

②반원의 원주각

지름에 대한 원주각은 90°.

③현의 수선

중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분.

④내접사각형

마주보는 두 각의 합 = 180°.

🔎 왜 그럴까 현의 수직이등분 · 접선의 길이 · 내접사각형 대각 합 180°는 왜 성립할까?

① 왜 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분할까? (직각삼각형 RHS 합동)
원의 중심 O에서 현 AB에 수선의 발 M을 내리면, 두 삼각형 △OAM과 △OBM에서 직각(∠OMA = ∠OMB = 90°)이 같고, 빗변이 원의 반지름(OA = OB = r)으로 같으며, 선분 OM이 공통이므로 RHS 합동입니다. 따라서 대응변인 AM = BM이 되어 현을 정확히 이등분합니다.

② 왜 원 밖 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같을까? (직각삼각형 RHS 합동)
원 밖의 점 P에서 두 접점 A, B에 그은 접선은 반지름과 수직이므로 ∠PAO = ∠PBO = 90°입니다. 두 직각삼각형 △PAO와 △PBO는 빗변 PO가 공통이고 반지름 OA = OB가 같으므로 RHS 합동입니다. 따라서 두 접선의 길이 PA = PB가 같습니다. 또한 사각형 PAOB의 네 내각의 합은 360°인데 두 직각(90° + 90° = 180°)을 빼면 ∠APB + ∠AOB = 180°가 됩니다.

③ 왜 내접사각형의 마주 보는 각의 합은 180°이고, 외각은 내대각과 같을까?
원에 내접하는 사각형 ABCD에서 마주 보는 두 원주각 ∠A와 ∠C가 바라보는 두 호를 합치면 원 전체 한 바퀴가 되어 중심각의 합이 360°입니다. 원주각은 중심각의 절반이므로 ∠A + ∠C = ½ × 360° = 180°가 됩니다! 이때 꼭짓점 C의 외각은 평각에서 ∠C를 뺀 180° − ∠C이고, ∠A도 180° − ∠C이므로 한 외각의 크기는 이웃한 내각과 마주 보는 각(내대각) ∠A와 항상 같습니다.

더 나아가기 왜 반원의 원주각이 90°일까 — 탈레스 정리와 피타고라스

지름 AB에 대한 중심각 ∠AOB는 일직선(평각)이므로 180°예요. 원주각은 중심각의 절반이므로 ∠ACB = 180° ÷ 2 = 90°가 됩니다(탈레스 정리)! 따라서 원의 지름을 한 변으로 하는 내접삼각형은 언제나 직각삼각형이 되고, 반대로 원주각이 90°이면 그 마주 보는 현이 곧 원의 지름(빗변)이 되어 피타고라스 정리(a² + b² = (2r)²)를 바로 적용할 수 있어요.

🔎 영재·특목 심화 할선과 원에서의 비례 관계 (방멱 정리 — 정규 교육과정 외 심화)

※ ‘원과 비례(방멱 정리)’는 2022 개정 중등 정규 시험 범위가 아니며, 영재고·특목고 및 올림피아드를 위한 심화 탐구 주제입니다.

원과 한 점에서 스치듯 만나는 직선이 접선이라면, 원을 두 점에서 가로질러 지나는 직선은 할선(割線, 원을 가르는 선)이라고 불러요. 원주각의 성질과 삼각형의 AA 닮음을 연결하면, 심화·특목 문제에서 자주 쓰이는 두 가지 비례 관계(방멱 정리)가 자연스럽게 유도됩니다.

① 두 현(또는 두 할선)이 점 P에서 만날 때: PA × PB = PC × PD
원 안에서 두 현 AB, CD가 점 P에서 만날 때, △PAC와 △PDB를 비교해 볼까요? 맞꼭지각 ∠APC = ∠DPB가 같고, 같은 호 BC에 대한 원주각이므로 ∠CAP = ∠BDP가 같습니다. 두 각이 같으므로 △PAC ∽ △PDB (AA 닮음)이고, 대응변의 비 PA : PD = PC : PB에서 외항과 내항을 곱하면 PA × PB = PC × PD가 성립합니다!

② 원 밖의 점 P에서 그은 접선 PT와 할선 PAB: PT² = PA × PB
원 밖의 점 P에서 그은 접선의 접점을 T, 원을 가로지르는 할선이 원과 만나는 가까운 점을 A, 먼 점을 B라 할 때, △PTA와 △PBT에서 ∠P는 공통이고 접선과 현이 이루는 각 ∠PTA는 호 TA에 대한 원주각 ∠PBT와 같습니다. 따라서 △PTA ∽ △PBT (AA 닮음)이므로 PT : PB = PA : PT, 즉 PT² = PA × PB가 성립합니다!

중심각과 원주각을 바꿔 쓰기

① 원주각 = 중심각의 절반이지, 그 반대가 아니에요. 중심각을 물으면 원주각의 2배, 원주각을 물으면 중심각의 절반인지 먼저 확인해요.
② 피타고라스 정리로 구한 √(r²−d²)은 현의 절반(AM) 길이예요. 현 전체의 길이를 구할 때는 꼭 2배(2√(r²−d²))를 해 주어야 합니다.
③ 모든 사각형의 네 내각의 합은 360°이지만, 마주 보는 두 각의 합이 180°인 것은 원에 내접하는 사각형일 때만 성립해요.

🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 현의 길이 구하는 피타고라스 3단계

① 원 중심에서 현에 수선을 내려 직각삼각형을 찾아요.

② 반지름 r과 중심 거리 d로 피타고라스 정리 √(r² − d²)을 써서 절반 길이를 구해요.

③ 구한 절반 길이에 반드시 2를 곱해 현 전체 길이를 완성해요.

스스로 풀어요 (3단계)

원주각·중심각의 절반 관계부터.

비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 원 문제의 절반을 ‘원주각 = 중심각 ÷ 2’ 한 줄로 풀게 했어요. ‘더 간결하게’: 현·접선은 ‘수선은 이등분, 접선은 수직’ 두 문장으로 정리했습니다.

🌟 나도 영재 도전 — 원에 갇힌 삼각형의 비밀 네팔 수학 올림피아드 기출문제와 10개의 원주각/닮음 도전 문제 · 게임 모드 탑재 도전하기 → 🌟 또 다른 영재 도전 — 내접사각형 대각선의 비밀 닮음 두 개를 곱하면 나오는 ‘이웃변의 곱’ 공식 + 방멱·톨레미 10문제 · 코드 애니 영상 강의 도전하기 →

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 원주각의 성질과 원과 비례 관계까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.

1내접사각형 각합

원에 내접하는 사각형의 네 각의 크기의 합은?

2원주각·중심각

한 호에 대한 원주각이 35°일 때, 그 호에 대한 중심각은?

3방멱(두 현)

원 안에서 두 현 AB, CD가 점 P에서 만나고 PA=2, PB=6, PC=3일 때 PD는?

4접선과 할선

점 P에서 그은 접선 PT=6, 할선이 원과 만나는 가까운 점까지 PA=4일 때, 먼 점까지 PB는?

5현과 중심 거리

반지름 5인 원에서 길이가 8인 현과 중심 사이의 거리는?

6정다각형 중심각

원에 내접하는 정육각형의 한 변에 대한 중심각은?

7두 접선과 각

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각이 50°일 때, 두 접점과 중심이 이루는 각(중심각)은?

8원주각과 중심각

원 위의 세 점 A, B, C에서 ∠BAC = 40°(원주각)일 때, 호 BC에 대한 중심각은?

9내접 정사각형

반지름 7인 원에 내접하는 정사각형의 대각선의 길이는?

10현의 길이

반지름 10인 원에서 중심으로부터 거리가 6인 현의 길이는?

11반원의 원주각(탈레스)

반원에서 지름의 양 끝과 원 위의 한 점이 이루는 각(원주각)은?

객관식 진단 퀴즈 — 원의성질

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 원주각은 중심각의 절반

중심각 80 °

틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

원의 성질에서 자주 틀리는 세 가지

시험에서 아쉽게 틀리는 세 가지 함정이에요. 이것만 조심하면 점수가 쑥 올라갑니다.

① 중심각과 원주각의 관계를 거꾸로 곱하는 실수 — 원주각은 중심각의 절반(÷2)이고, 중심각은 원주각의 2배예요. 문제를 읽을 때 어떤 각을 구하는지 먼저 꼭 확인하세요.

② 현의 길이를 구할 때 2배를 빼먹는 실수 — 피타고라스 정리로 구한 √(r²−d²)은 현의 절반 길이예요. 현 전체 길이를 물을 때는 반드시 2를 곱해야 정답이 됩니다.

③ 내접사각형이 아닌데 대각의 합을 180°로 착각하는 실수 — 마주 보는 두 각의 합이 180°인 것은 네 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있을 때만 성립해요. 일반 사각형에 함부로 쓰면 안 됩니다.

🔎 중심각과 원주각 헷갈리지 않는 비결

원의 중심은 원 둘레보다 안쪽에 있어서 각이 더 넓게 벌어져요.

원주 위의 점은 멀리 물러서서 바라보므로 각이 더 뾰족하고 좁아집니다.

그래서 중심각이 항상 더 크고, 원주각이 그 절반이라는 그림을 기억하세요.

🔎 접선과 현이 이루는 각(접현각)이란?

접선과 접점을 지나는 현이 이루는 각을 접현각이라고 해요.

이 각의 크기는 그 현에 대한 호의 원주각의 크기와 항상 같아요.

고난도 원 문제에서 삼각형의 각을 옮길 때 아주 강력한 열쇠가 됩니다.

한 장 핵심

1같은 호에서 원주각 = 중심각 ÷ 2. 같은 호의 원주각은 모두 같다.
2반원(지름)에 대한 원주각 = 90°.
3중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분.
4원 밖 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같고(접선 ⊥ 반지름), 내접사각형은 마주 보는 두 각의 합 = 180°(한 외각 = 내대각).

이 단원의 말·기호

중심각: 원의 중심에서 호를 본 각.
원주각: 원 위의 점에서 호를 본 각.
현: 원 위 두 점을 잇는 선분.
접선: 원과 한 점에서 만나는 직선(접점을 지나는 반지름과 수직).
내접사각형: 네 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있는 사각형(마주 보는 각의 합 180°).
할선: 원을 두 점에서 가로질러 지나는 직선(심화).

내 말로 설명하기

반원의 원주각이 왜 90°인지 한 줄로?

예시 — “지름에 대한 중심각은 180°. 원주각은 중심각의 절반이니 90°. 그래서 지름을 한 변으로 하는 삼각형은 항상 직각삼각형.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?

2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)

3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직

복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5

1번째 복습 2번째 3번째 4번째

어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.

🖐 만지는 수학

읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.

자리를 옮겨도 각은 그대로 — 원주각손으로 끌고 눌러서 알아내기

원의 성질

왜 원의 성질을 배울까?

출발 점검 — 준비됐나요?

원주각과 중심각 — 절반의 약속

📺 움직이는 개념 — 원주각은 중심각의 절반

🔎 왜 그럴까 왜 원주각은 중심각의 정확히 절반일까? (이등변삼각형과 외각의 성질)

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①원주각=½중심각

②반원의 원주각

③현의 수선

④내접사각형

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①원주각=½중심각

②반원의 원주각

③현의 수선

④내접사각형

🔎 왜 그럴까 현의 수직이등분 · 접선의 길이 · 내접사각형 대각 합 180°는 왜 성립할까?

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