‘올림피아드’라고 겁먹지 말기 — 무기는 교과서 안에 있어요
원의 성질 단원에서 배운 원주각·삼각형의 닮음·방멱의 정리만으로, KMO·영재성검사 단골 문제까지 풀어버릴 수 있어요. 비밀은 딱 세 가지 태도예요.
▶ 이 도전의 뿌리 — 원리 영상
원에 내접한 사각형의 두 대각선이 만드는 비를 묻는 올림피아드 단골 문제예요. “구구단과 닮음만 알면 될 것 같은데 왜 손이 안 나갈까?” 싶지만, 우리가 배운 원주각·닮음만으로 보조선 하나 없이 우아하게 끝나요. 아래 ▶를 누르면 코드 애니메이션과 선생님 목소리로 한 단계씩 풀이를 보여줘요.
원문제 & 4단계 원풀이 — 영상 속 풀이 따라가기
원문제. 원에 내접하는 사각형 ABCD에서 두 대각선 AC, BD의 교점을 E라 하자. AB=6 BC=4 CD=5 DA=3 일 때 AE : CE 는?
① 호 BC 원주각 → ∠BAC=∠BDC, 맞꼭지각 ∠AEB=∠DEC → △ABE ∼ △DCE → AE/DE = AB/DC = 6/5.
② 호 AB 원주각 → ∠ADB=∠ACB, 맞꼭지각 → △ADE ∼ △BCE → DE/CE = DA/CB = 3/4.
③ 곱하기 → AE/CE = (AE/DE)·(DE/CE) = (6/5)·(3/4) = 18/20. 즉 AE/CE = (AB·AD)/(CB·CD).
④ 약분 → 18/20 = 9/10.
심화 — 톨레미의 정리: 두 대각선의 ‘곱’은 깔끔할까?
대각선 길이 AC, BD는 각각 무리수예요. 그런데 곱 AC·BD는 놀랍도록 깔끔해요.
톨레미 정리 → 원에 내접하는 사각형에서 AC·BD = AB·CD + BC·DA.
대입 → AC·BD = 6·5 + 4·3 = 30 + 12 = 42.
💡 ‘대각선의 비’는 닮음(이웃변의 곱), ‘대각선의 곱’은 톨레미(마주변의 곱의 합) — 원이 주는 두 보석이에요.
먼저 스스로 풀어 본 뒤, 💡 힌트 → 정답·풀이 순서로 펼쳐 보세요. 답 칸에 값을 적고 확인을 누르면 채점돼요.
원주각과 방멱의 정리 — 원의 두 가지 기본 무기를 점검해요.
문제 1. 원주각 = 중심각의 절반
한 원에서 호 AB에 대한 원주각이 35°일 때, 같은 호에 대한 중심각의 크기를 구하세요. (단위 없이 숫자만)
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
성질 → 중심각 = 2 × 원주각 = 2 × 35°.
문제 2. 두 현의 방멱 (곱이 같다)
원의 두 현 AB와 CD가 원 안의 점 P에서 만나요. PA=4 PB=6 PC=3 일 때 PD를 구하세요.
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
방멱 → PA·PB = PC·PD → 4×6 = 3×PD → 24 = 3·PD.
원주각 닮음을 곱해서 ‘대각선의 비’ — 숫자만 바뀌어도 같은 길이에요.
문제 3. 대각선의 비 공식
원에 내접하는 사각형 ABCD, 대각선 교점 E. AB=8 BC=5 CD=4 DA=6 일 때 AE : CE를 구하세요.
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
공식 → AE/CE = (AB·AD)/(CB·CD) = (8·6)/(5·4) = 48/20.
약분 → 48/20 = 12/5.
문제 4. 반대쪽 대각선도 똑같이
영상과 같은 사각형 AB=6 BC=4 CD=5 DA=3 에서, 이번엔 다른 대각선의 비 BE : DE를 구하세요.
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
공식 → BE/DE = (BA·BC)/(DA·DC) = (6·4)/(3·5) = 24/15.
약분 → 24/15 = 8/5.
현·할선·접선 — 한 점에서 그은 두 직선의 ‘곱이 같다’를 굴려요.
문제 5. 접선과 할선
원 밖의 점 P에서 접선 PT와 할선을 그어요. 할선은 원과 A, B에서 만나요(P―A―B 순서). PT=6 PA=4 일 때 PB를 구하세요.
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
방멱 → PT2 = PA·PB → 62 = 4·PB → 36 = 4·PB.
문제 6. 대각선 교점의 방멱
원에 내접하는 사각형의 두 대각선이 점 E에서 만나요. EA=3 EC=8 EB=4 일 때 ED를 구하세요.
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
방멱 → EA·EC = EB·ED → 3·8 = 4·ED → 24 = 4·ED.
문제 7. 두 할선
원 밖의 점 P에서 두 할선을 그어요. 한 할선은 A, B에서(PA=3, PB=8), 다른 할선은 C, D에서 만나요. PC=4 일 때 PD를 구하세요.
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
방멱 → PA·PB = PC·PD → 3·8 = 4·PD → 24 = 4·PD.
공식이 아니라 ‘한 줄의 깨달음’으로 끝내는 문제들.
문제 8. 톨레미 — 마주 변의 곱의 합
원에 내접하는 사각형 ABCD에서 AB=6 BC=4 CD=5 DA=3 일 때, 두 대각선의 곱 AC·BD를 구하세요.
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
톨레미 → AC·BD = AB·CD + BC·DA = 6·5 + 4·3 = 30 + 12.
문제 9. 정삼각형 외접원의 마법
정삼각형 ABC의 외접원에서, 호 BC(꼭짓점 A의 반대쪽) 위의 한 점을 P라 해요. PB=5 PC=3 일 때 PA를 구하세요.
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
톨레미(ABPC) → PA·BC = PB·AC + PC·AB. 정삼각형이라 AB=BC=CA=s.
약분 → PA·s = PB·s + PC·s → PA = PB + PC = 5 + 3.
문제 10. 방멱 × 근과 계수의 관계
원 밖의 점 P에서 그은 접선의 길이가 √21 이에요. 같은 점에서 그은 할선이 원과 A, B에서 만나고(P―A―B), PA + PB = 10 일 때, PA와 PB를 구하세요.
💡 힌트
정답 · 풀이 보기
방멱 → PA·PB = 접선2 = 21. 그리고 PA+PB=10.
합·곱 → t2−10t+21=0 → (t−3)(t−7)=0 → t=3 또는 7. (P―A―B라 PA