나도 영재 도전 · 원에 갇힌 삼각형의 비밀

‘올림피아드’라고 겁먹지 말기 — 무기는 교과서 안에 있어요

원의 성질 단원에서 배운 원주각의 성질과 2학년 때 배운 삼각형의 닮음만으로, 올림피아드 기하 문제까지 해결할 수 있어요. 비밀은 딱 세 가지 태도예요.

① 원주각은 어디서나 같다 — 같은 호를 바라보는 원주각의 크기는 원 위 어디서나 동일해요.

② 숨겨진 닮음(쌍둥이)을 찾아라 — 두 각의 크기가 같은 두 삼각형(AA 닮음)은 모양이 완전히 똑같아요.

③ 보조선 한 줄의 마법 — 보조선 한 줄을 그음으로써 숨겨져 있던 원주각과 닮음비가 쏟아져 나와요.

▶ 이 도전의 뿌리 — 원리 영상

유튜브 수학 채널 MindYourDecisions에서 고등학생 대상 난제로 소개한 네팔 올림피아드 기출문제예요. 복잡한 삼각비나 피타고라스 정리 대신, 보조선 한 줄과 원주각의 닮음비만으로 10초 만에 끝나는 우아한 풀이를 만나보세요. 아래 ▶를 누르면 코드 애니메이션과 설명이 시작됩니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 코드 애니메이션과 선생님 목소리로 시작해요.

▶ Solving An Insanely Hard Problem For High School Students MindYourDecisions 채널 · 유튜브에서 열기 영상 보기 →

원문제 & 4단계 원풀이 — 영상 속 풀이 따라가기

원문제. 원에 내접하는 삼각형 \(ABC\)에서 \(AB=6, AC=8\)이고, \(\angle A\)의 이등분선이 \(BC\)와 만나는 점을 \(D\), 원과 만나는 점을 \(E\)라 하자. \(AD=4\)일 때, \(DE\)의 길이는?

① 보조선 그리기 → 점 \(B\)와 점 \(E\)를 잇는 선분 \(BE\)를 긋습니다.

② 원주각의 성질 찾기 → 호 \(AB\)에 대한 두 원주각 \(\angle AEB\)와 \(\angle ACB\)는 크기가 같습니다: \(\angle AEB = \angle ACB\).

③ 공통 각 찾기 → \(AE\)가 \(\angle A\)의 이등분선이므로 \(\angle BAE = \angle CAE\) (즉 \(\angle BAE = \angle DAC\))입니다.

④ 닮음과 비례식 → 두 각이 같으므로 \(\triangle ABE \sim \triangle ADC\) (AA 닮음). 따라서 \(AB : AD = AE : AC\). 대입하면 \(6 : 4 = AE : 8 \implies AE = 12\). 고로 \(DE = AE - AD = 12 - 4 = 8\).

✅ 검산: \(6 \times 8 = 4 \times 12 = 48\). 비례식 및 곱이 완벽하게 일치합니다!

정답 DE = 8

심화 — 닮음 비례식의 공식화 (접선과 할선의 뿌리)

이 닮음에서 유도된 비례식 \(AB : AD = AE : AC\)는 양변의 곱으로 정리하면 다음과 같은 아름다운 공식을 만듭니다:

\(AB \times AC = AD \times AE\)

즉, ‘양 옆 변의 곱 = 각의 이등분선 선분들의 곱’이라는 강력한 정리입니다. 이는 나중에 고등학교 기하 및 방멱의 정리(접선과 할선의 성질)를 이해하는 소중한 기초가 됩니다.

출처 & 뒷이야기 (네팔 올림피아드와 10초 암산의 마법)

① 네팔 수학 올림피아드 기출

이 영상의 원문제는 네팔 수학 올림피아드에 출제되었으며, 수학 유튜브 채널 MindYourDecisions(Presh Talwalkar)에서 「Solving An Insanely Hard Problem For High School Students」로 소개해 세계적인 주목을 받았습니다.

② 보조선 한 줄의 카타르시스

얼핏 보면 각 변의 길이를 피타고라스 정리나 복잡한 삼각비(코사인 법칙)를 동원해 구해야 할 것처럼 보여 고등학생들도 포기하기 쉬운 난제입니다. 하지만 점 \(B\)와 \(E\)를 잇는 ‘보조선 단 한 줄’을 긋는 순간, 원주각의 성질을 통해 두 닮은 삼각형 \(\triangle ABE \sim \triangle ADC\)가 눈앞에 펼쳐집니다. 이 쌍둥이를 발견하는 순간 비례식 한 줄(\(6 : 4 = AE : 8 \implies AE = 12\))로 해결되어, 굳이 계산기를 대지 않고도 단 10초 만에 암산으로 정답 \(DE = 8\)을 찾아내는 지적 쾌감을 선사합니다.

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먼저 스스로 풀어 본 뒤, 💡 힌트 → 정답·풀이 순서로 펼쳐 보세요. 답 칸에 값을 적고 확인을 누르면 채점돼요.

입문 중3 필수

원주각과 중심각, 지름의 성질을 직관적으로 확인해요.

문제 1. 원주각과 중심각

호 \(AB\)에 대한 중심각의 크기가 100°일 때, 호 \(AB\)에 대한 원주각의 크기는 몇 도인가요?

💡 힌트

같은 호에 대한 원주각의 크기는 중심각 크기의 정확히 절반(½)입니다.

정답 · 풀이 보기

식 세우기 → 원주각 = 중심각 ÷ 2.

계산 → 100 ÷ 2 = 50.

✅ 검산: 50 × 2 = 100. 중심각 100°가 맞습니다!

정답: 50

문제 2. 지름이 만드는 직각

선분 \(AB\)가 원의 지름이고, 원 위의 한 점 \(C\)에 대해 \(\angle ABC = 35°\)일 때, \(\angle CAB\)의 크기는 몇 도인가요?

💡 힌트

원의 지름(반원)에 대한 원주각인 \(\angle ACB\)는 항상 90°(직각)입니다. 직각삼각형의 내각의 합은 180°입니다.

정답 · 풀이 보기

지름 성질 → 지름에 대한 원주각 \(\angle ACB = 90°\).

삼각형의 내각 합 → \(\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180° \implies \angle CAB + 35° + 90° = 180°\).

계산 → \(\angle CAB = 180° - 125° = 55°\).

✅ 검산: 35 + 90 + 55 = 180. 내각의 합이 완벽히 일치합니다!

정답: 55

기본 영상 속 핵심 정리

올림피아드 대표 문제와 원의 기초적인 길이/각도 계산들입니다.

문제 3. 네팔 올림피아드 기출

원 내부의 삼각형 \(ABC\)에서 \(AB=6, AC=8\), \(\angle A\)의 이등분선 \(AE\)에 대해 \(AD=4\)일 때, \(DE\)의 길이는?

💡 힌트

보조선 \(BE\)를 그으면 \(\triangle ABE \sim \triangle ADC\) (AA 닮음)가 됩니다. 비례식 \(AB : AD = AE : AC\)를 이용하세요.

정답 · 풀이 보기

닮음 유도 → \(\triangle ABE \sim \triangle ADC\).

비례식 세우기 → \(6 : 4 = AE : 8 \implies 4 \times AE = 48 \implies AE = 12\).

선분 계산 → \(DE = AE - AD = 12 - 4 = 8\).

✅ 검산: \(AB \times AC = 6 \times 8 = 48\), \(AD \times AE = 4 \times 12 = 48\). 일치합니다!

정답: 8

문제 4. 접선과 할선의 비례

원 밖의 점 \(P\)에서 원에 그은 접선의 길이 \(PT = 6\)이고, 할선 \(PAB\)가 원과 만나는 가까운 점 \(A\)까지의 길이 \(PA = 4\)일 때, 현 \(AB\)의 길이는?

💡 힌트

접선과 할선의 성질에 의해 **\(PT^2 = PA \times PB\)** 가 성립합니다. 전체 선분 \(PB\)는 \(PA + AB\)입니다.

정답 · 풀이 보기

성질 적용 → \(PT^2 = PA \times PB \implies 6^2 = 4 \times PB \implies 36 = 4 \times PB\).

PB 계산 → \(PB = 9\).

현 AB 계산 → \(PB = PA + AB \implies 9 = 4 + AB \implies AB = 5\).

✅ 검산: \(4 \times (4+5) = 4 \times 9 = 36 = 6^2\). 부합합니다!

정답: 5

문제 5. 내접사각형의 마주보는 각

원에 내접하는 사각형 \(ABCD\)에서 \(\angle A = 75°\), \(\angle B = 110°\)일 때, \(\angle C\)와 \(\angle D\)의 크기의 차(큰 각에서 작은 각을 뺀 값)는 몇 도인가요?

💡 힌트

원에 내접하는 사각형은 마주보는 두 각의 합이 항상 180°입니다. \(\angle A + \angle C = 180°\), \(\angle B + \angle D = 180°\)를 활용하세요.

정답 · 풀이 보기

마주보는 각 계산 → \(\angle C = 180° - 75° = 105°\), \(\angle D = 180° - 110° = 70°\).

각의 차 계산 → \(\angle C - \angle D = 105° - 70° = 35°\).

✅ 검산: \(105 + 75 = 180\), \(70 + 110 = 180\). 마주보는 두 각의 합이 모두 180°입니다.

정답: 35

응용 기하적 피타고라스 결합

현의 수직이등분선과 피타고라스, 두 현의 비례 관계의 심화입니다.

문제 6. 반지름과 현의 거리

반지름의 길이가 13인 원에서 어떤 현 \(AB\)와 원의 중심 사이의 거리가 5일 때, 현 \(AB\)의 길이를 구하세요.

💡 힌트

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분합니다. 직각삼각형에서 반지름(13)이 빗변, 중심거리(5)가 높이이므로, 밑변인 현의 절반 길이는 피타고라스 정리로 구할 수 있습니다.

정답 · 풀이 보기

피타고라스 적용 → 현의 절반 길이를 \(x\)라 하면, \(x^2 + 5^2 = 13^2 \implies x^2 + 25 = 169\).

절반 계산 → \(x^2 = 144 \implies x = 12\).

전체 현 길이 → \(AB = 2x = 24\).

✅ 검산: \(12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2\). 맞습니다.

정답: 24

문제 7. 두 현의 교차비

원 내부의 한 점 \(P\)에서 교차하는 두 현 \(AB, CD\)가 있습니다. \(PA = 3, PB = 8, PC = 4\)일 때, 현 \(CD\)의 전체 길이는?

💡 힌트

원 내부의 한 점에서 만나는 두 현에 대해 **\(PA \times PB = PC \times PD\)** 가 성립합니다. 전체 현 \(CD\)의 길이는 \(PC + PD\)입니다.

정답 · 풀이 보기

현의 성질 적용 → \(PA \times PB = PC \times PD \implies 3 \times 8 = 4 \times PD \implies 24 = 4 \times PD\).

PD 계산 → \(PD = 6\).

CD 전체 길이 → \(CD = PC + PD = 4 + 6 = 10\).

✅ 검산: \(3 \times 8 = 24\), \(4 \times 6 = 24\). 곱이 같습니다!

정답: 10

문제 8. 호의 비와 내각

원 위의 세 점 \(A, B, C\)에 대해 세 호 \(AB, BC, CA\)의 길이의 비가 3 : 4 : 5일 때, 삼각형 \(ABC\)의 세 내각 중 가장 작은 각의 크기는 몇 도인가요?

💡 힌트

호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 비례합니다. 즉, 각 내각의 크기는 마주보는 호의 길이에 비례합니다. \(\angle C : \angle A : \angle B = 3 : 4 : 5\)입니다.

정답 · 풀이 보기

비례 관계 → 호 \(AB\)(원주각 \(\angle C\)), 호 \(BC\)(원주각 \(\angle A\)), 호 \(CA\)(원주각 \(\angle B\))이므로 \(\angle C : \angle A : \angle B = 3 : 4 : 5\).

내각 총합 분배 → 가장 작은 각은 비가 3인 \(\angle C\)입니다. \(\angle C = 180° \times \frac{3}{3+4+5} = 180° \times \frac{3}{12}\).

계산 → \(\angle C = 180° \times \frac{1}{4} = 45°\).

✅ 검산: 각 내각은 60°, 75°, 45°이고, 합은 180°입니다. 가장 작은 각은 45°가 맞습니다.

정답: 45

별 ★ 올림피아드 한 방의 통찰

각의 응용 및 공통외접선의 고난도 문제입니다.

문제 9. 접선과 현이 이루는 각

원 위의 한 점 \(A\)를 지나는 접선과 원의 현 \(AB\)가 이루는 각의 크기가 65°일 때, 현 \(AB\)에 대한 원주각 \(\angle ACB\)의 크기는 몇 도인가요?

💡 힌트

접선과 현이 이루는 각의 성질(접현각)에 의해, 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부가 포함하는 호에 대한 원주각의 크기와 같습니다.

정답 · 풀이 보기

정리 적용 → 접현각 = 원주각.

결론 → 주어진 각이 65°이므로, 구하고자 하는 원주각 \(\angle ACB\) 역시 65°가 됩니다.

✅ 검산: 접현각 정리 증명에 의해 두 각의 크기는 수학적으로 항상 동일합니다.

정답: 65

문제 10. 두 원의 공통외접선

반지름의 길이가 각각 5와 2이고 중심 거리가 5인 외접하는 두 원의 공통외접선의 길이는 얼마인가요?

💡 힌트

공통외접선의 길이 \(L\)은 **\(L = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}\)** 입니다. 중심 거리 \(d = 5\), 반지름 차 \(R - r = 5 - 2 = 3\)을 대입하세요.

정답 · 풀이 보기

공식 대입 → \(L = \sqrt{5^2 - (5 - 2)^2} = \sqrt{25 - 3^2}\).

계산 → \(L = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\).

✅ 검산: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\). 피타고라스 정리와 완벽히 맞아떨어집니다!

정답: 4

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