실수는 제곱하면 항상 0 이상이에요. 제곱해서 음수가 되는 수는 실수에 없습니다. 그래서 제곱하여 −1이 되는 허수단위 i(i² = −1)를 만들었어요.
실수 a, b로 만든 a + bi 꼴의 수를 복소수라 불러요. a는 실수부분, b는 허수부분입니다. b≠0이면 허수이고, a=0이면서 b≠0이면 순허수라 해요.
더하고 뺄 때는 같은 종류끼리 모읍니다. 곱할 때는 분배법칙 후 i² = −1로 바꿉니다.
기억해요 — i² = −1 하나만 알면 복소수 계산이 다 풀린다 (순허수는 a=0이고 b≠0!)
왜 방정식·부등식을 배울까?
제곱해서 음수가 되는 수는 실수에 없어요. 그래서 복소수(a+bi)가 탄생했습니다. 이제 모든 이차방정식이 근을 갖게 돼요.
판별식은 식을 풀기 전에 근의 모양을 미리 알려줘요. 전기와 신호처리 기술도 복소수에서 시작합니다.
🔎 복소수는 가짜 수인데 왜 배워야 하나요?
허수라는 이름 때문에 '가짜 수'처럼 느껴질 수 있어요. 하지만 복소수는 1차원 수직선을 2차원 평면으로 넓혀 주는 강력한 수학 도구예요.
교류 전기 회로, 스마트폰 전파 신호, 양자역학 파동 계산까지 모두 복소수 평면 회전을 이용해 계산합니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 허수단위 i를 이해하고 복소수를 계산한다. ② 이차방정식의 판별식 D로 근의 개수를 판단한다. ③ 근과 계수의 관계로 두 근의 합·곱을 구한다. ④ 이차부등식을 포물선 그림으로 해의 범위를 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 제곱하여 9가 되는 실수는? 또 제곱하여 음수(−1)가 되는 실수가 있을까요?
② x² − 5x + 6 = 0의 두 근은?
① ±3, 실수는 제곱하면 항상 0 이상이므로 제곱해 음수가 되는 실수는 없어요 · ② x=2, x=3 (인수분해: (x−2)(x−3)=0). 이 두 가지가 이 단원의 출발점이에요.
복소수 — 수의 세계를 넓혀요
왜 복소수가 필요할까 · i의 네 박자 주기
판별식 D<0인 이차방정식(예: x²+1=0)을 ‘해 없음’으로 끝내지 않고 복소수 안에서 두 근(±i)을 모두 찾을 수 있어요. 또한 i를 거듭 곱하면 i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1이 네 개씩 되풀이되므로, 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 아무리 큰 거듭제곱도 단숨에 구할 수 있어요(예: i¹⁰⁰=(i⁴)²⁵=1, i+i²+i³+i⁴=0).켤레복소수와 분모의 실수화 · 부호 함정
복소수 a+bi의 허수부분 부호만 바꾼 a−bi를 켤레복소수(a+bi의 바 = a−bi)라 해요. 합차공식으로 곱하면 (a+bi)(a−bi)=a²−(bi)²=a²+b²이 되어 항상 실수가 돼요(i²=−1이므로 a²−b²이 아니라 a²+b²임에 주의!). 분수 꼴 복소수는 분모·분자에 분모의 켤레복소수를 곱해 분모를 실수로 만들어요: 1/(1+i) = (1−i)/((1+i)(1−i)) = (1−i)/2 = ½ − ½i.🔎 허수단위 i는 왜 i² = −1 로 정했나요?
방정식 x² = −1을 풀기 위해 수학자들이 정의한 새로운 수 단위예요.
어떤 실수도 제곱해서 음수가 될 수 없으므로, 제곱해서 −1이 되는 단위 수를 i라 정하고 수의 체계를 평면으로 넓혔습니다.
🔎 실수부분과 허수부분은 왜 따로따로 계산하나요?
실수와 허수는 성질이 달라 서로 섞이지 않는 다른 차원의 수예요.
마치 다항식에서 동류항인 상수항과 문자 x항을 따로 모으듯, 복소수도 실수부분끼리, i가 붙은 허수부분끼리 따로 묶어 셈합니다.
🔎 순허수는 무엇이고, 왜 제곱하면 음수가 되나요?
실수부분이 0이고 허수부분만 남은 bi (b ≠ 0) 꼴의 수를 순허수라 해요.
순허수를 제곱하면 (bi)² = b² · i² = −b²이 돼요. 실수의 제곱 b²은 항상 양수이므로 그 앞에 마이너스가 붙어 항상 음의 실수가 됩니다.
🔎 분모의 실수화는 왜 켤레복소수를 곱하나요?
분모에 있는 허수 i를 없애 실수로 바꾸기 위해서예요.
합차공식을 쓰면 (a + bi)(a − bi) = a² − (bi)² = a² + b²이 되어 허수단위 i가 완전히 사라지고 실수가 됩니다.
🔎 i의 거듭제곱은 왜 4번마다 제자리로 돌아오나요?
i를 곱할 때마다 복소평면에서 90°씩 회전하기 때문이에요.
i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1로 4번 회전하면 한 바퀴를 돌아 제자리인 1이 돼요. 그래서 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 쉽게 계산할 수 있습니다.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 허수 i는 ‘90도 회전’이에요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 실수축에서 90도씩 돌아가며 i가 왜 ‘회전’인지 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 허수의 존재성과 대수학 기본정리 (회전과 근)
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 복소평면에서의 90도 회전을 통한 허수의 존재성과 4차 방정식의 4대칭 실재 해 구조를 시각적으로 배웁니다. (출처: 깨봉수학 「허수가 눈에 보인다고? 복소평면에서 찾는 허수의 존재성」)
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 회전하는 해의 시각화가 시작됩니다!
이차방정식 — 판별식이 열쇠
이차방정식의 근은 근의 공식으로 구해요. 근호 안의 식 판별식 D = b² − 4ac로 근을 판단합니다.
D > 0이면 서로 다른 두 실근이에요. D = 0이면 중근, D < 0이면 서로 다른 두 허근을 갖습니다. 실근 조건은 D ≥ 0입니다.
두 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a예요. 계수만 보고도 두 근의 합과 곱을 바로 알 수 있습니다. 기억해요 — D=b²−4ac: 양수→서로 다른 두 실근, 0→중근, 음수→서로 다른 두 허근 (실근 조건은 D≥0!)
D > 0이면 서로 다른 두 실근이에요. D = 0이면 중근, D < 0이면 서로 다른 두 허근을 갖습니다. 실근 조건은 D ≥ 0입니다.
두 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a예요. 계수만 보고도 두 근의 합과 곱을 바로 알 수 있습니다. 기억해요 — D=b²−4ac: 양수→서로 다른 두 실근, 0→중근, 음수→서로 다른 두 허근 (실근 조건은 D≥0!)
왜 두 근의 합에는 마이너스(−)가 붙을까? (근과 계수의 관계 원리)
두 근이 α, β이고 최고차항 계수가 a인 이차방정식은 a(x−α)(x−β)=0으로 인수분해돼요. 이 식을 전개하면 ax²−a(α+β)x+aαβ=0이 되고, 원래 식 ax²+bx+c=0과 계수를 비교하면 −a(α+β)=b, aαβ=c예요. 양변을 a로 나누면 α+β=−b/a, αβ=c/a가 나와요! 반대로 두 수의 합이 s, 곱이 p이면 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 x²−(합)x+(곱)=0으로 세울 수 있어요.일차항 계수가 짝수(b = 2b′)일 때 — 짝수 판별식 D/4
일차항의 계수 b가 짝수(b = 2b′, 즉 b′ = b/2)일 때는 D=(2b′)²−4ac=4(b′²−ac)이므로, 4로 나눈 짝수 판별식 D/4 = b′² − ac를 쓰면 숫자가 커지지 않아 훨씬 빠르고 정확해요! 예: x²−4x+k=0에서 b′=−2이므로 D/4=(−2)²−k=4−k예요.대칭식 변형과 실계수 방정식의 켤레근
· 곱셈공식 변형: 두 근을 따로 구하지 않아도 합(α+β)과 곱(αβ)만으로 α²+β²=(α+β)²−2αβ, α³+β³=(α+β)³−3αβ(α+β)를 쉽게 구해요.· 켤레근 성질: 계수가 모두 실수인 이차방정식의 한 근이 p+qi이면, 근의 공식의 ±√D 때문에 다른 한 근은 반드시 켤레복소수인 p−qi예요.
🔎 근의 공식은 완전제곱식으로 어떻게 유도하나요?
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 양변을 a로 나누고 상수항을 이항하면 x² + (b/a)x = −c/a가 돼요.
좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 양변에 \left(b/(2a)\right)²을 더하면 \left(x + b/(2a)\right)² = (b² − 4ac)/(4a²)이 됩니다. 양변에 제곱근을 씌워 정리하면 유명한 근의 공식 x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a)가 완성돼요.
🔎 판별식 D는 왜 근호 안의 식 b² − 4ac 인가요?
근의 공식에서 근의 개수와 종류를 좌우하는 핵심이 바로 제곱근 속 √(b² − 4ac) 부분이기 때문이에요.
근호 안의 값이 양수이면 ± 부호로 두 실근이 나뉘고, 0이면 ± 0이 되어 근이 하나(중근)로 합쳐지며, 음수이면 허수단위 i가 나와 두 허근이 됩니다. 그래서 근의 형태를 판별(Discriminant)한다고 하여 D = b² − 4ac라 불러요.
🔎 중근은 왜 '서로 같은 두 실근'이라고 부르나요?
이차방정식은 복소수 범위에서 언제나 차수만큼의 근, 즉 2개의 근을 갖는다는 '대수학의 기본정리' 때문이에요.
예를 들어 (x − 3)² = 0은 (x − 3)(x − 3) = 0이므로 근 3이 두 번 겹쳐 나온 것이에요. 그래서 개수로는 1개처럼 보이지만, 수학적으로는 '서로 같은 두 실근'으로 셉니다.
🔎 짝수 판별식 D/4는 왜 쓰는 건가요?
x의 일차항 계수가 짝수 2b'일 때, 계산을 4배 가볍고 빠르게 줄여주기 때문이에요.
D = (2b')² − 4ac = 4(b'² − ac)이므로, 양변을 4로 나눈 D/4 = b'² − ac를 쓰면 큰 수의 제곱 계산이나 약분 실수를 방지할 수 있습니다.
🔎 계수가 실수일 때 한 허근이 나오면 왜 켤레복소수도 근인가요?
근의 공식에서 허수가 발생하는 유일한 통로가 바로 ±√D 앞의 부호이기 때문이에요.
계수 a, b, c가 모두 실수라면 근호 밖의 −b와 분모 2a는 실수이고, 허수는 오직 ±√(음수) = ±qi에서만 생겨나요. 따라서 한 근이 p + qi이면 다른 한 근은 반드시 부호가 반대인 켤레복소수 p − qi가 됩니다.
기억 그림 · 판별식과 포물선
포물선이 x축을 두 곳에서 뚫으면 D>0, 한 점에서 접하면 D=0, 안 만나고 떠 있으면 D<0.
📺📺 영상으로 보기판별식 D와 포물선▶
📺 움직이는 개념 — 판별식 D와 포물선
D값에 따라 포물선과 x축의 관계가 어떻게 달라지는지 봐요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 판별식 D는 ‘포물선의 높낮이’예요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 포물선을 해수면(x축) 위아래로 올렸다 내리며 D의 뜻을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
이차부등식 — 포물선 위아래로 보기
이차부등식은 포물선 그림으로 풀어요. 우변을 0으로 만든 뒤 x축과의 높낮이를 봅니다. x축 아래인지 위인지 확인하면 끝납니다.
· 아래로 볼록(a > 0)이고 두 근 α < β 일 때: 0보다 작으면 x축 아래 구간이므로 두 근 사이(\alpha < x < β)예요. 0보다 크면 x축 위 구간이므로 두 근 바깥(x < \alpha 또는 x > \beta)입니다.
· 위로 볼록(a < 0)일 때: 양변에 −1을 곱해 최고차항을 양수로 바꿔요. 이때 부등호 방향이 반대로 바뀝니다.
· 모든 실수 x에서 항상 성립할 조건: 항상 0보다 크려면 포물선이 공중에 떠야 해요. 따라서 a > 0 이고 D < 0이어야 합니다. 기억해요 — a>0으로 맞춘 뒤: 0보다 작으면 ‘두 근 사이’, 0보다 크면 ‘두 근 바깥’ · 항상 >0이면 a>0, D<0!
· 아래로 볼록(a > 0)이고 두 근 α < β 일 때: 0보다 작으면 x축 아래 구간이므로 두 근 사이(\alpha < x < β)예요. 0보다 크면 x축 위 구간이므로 두 근 바깥(x < \alpha 또는 x > \beta)입니다.
· 위로 볼록(a < 0)일 때: 양변에 −1을 곱해 최고차항을 양수로 바꿔요. 이때 부등호 방향이 반대로 바뀝니다.
· 모든 실수 x에서 항상 성립할 조건: 항상 0보다 크려면 포물선이 공중에 떠야 해요. 따라서 a > 0 이고 D < 0이어야 합니다. 기억해요 — a>0으로 맞춘 뒤: 0보다 작으면 ‘두 근 사이’, 0보다 크면 ‘두 근 바깥’ · 항상 >0이면 a>0, D<0!
삼차·사차방정식(고차방정식)과 연립방정식 — 이차식으로 차수 낮추기
삼차·사차방정식도 결국 인수분해해 이차 이하의 식으로 만들어 풀어요. 공식이 바로 안 보이면 인수정리(대입해서 0이 되는 수 α 찾기)와 조립제법으로 (x−α)를 묶어내요. 예를 들어 x³−7x−6=0에서 x=3을 대입하면 f(3)=27−21−6=0이므로 조립제법으로 나누면 (x−3)(x²+3x+2)=0이 되고, 이차식을 한 번 더 인수분해하면 (x−3)(x+1)(x+2)=0 → x = 3 또는 x = −1 또는 x = −2예요. 또한 x⁴−5x²+4=0처럼 짝수 차수만 있는 사차방정식은 x²=t로 치환해 (x²−1)(x²−4)=0 → x=±1, ±2로 풀고, 연립방정식 x+y=5, xy=6은 두 수를 근으로 하는 이차방정식 t²−5t+6=0을 풀어 해 (2, 3) 또는 (3, 2)를 구해요.연립부등식과 절댓값 기호를 포함한 방정식·부등식
· 연립부등식: 각 부등식을 따로 푼 뒤 수직선 위에 함께 나타내어 동시에 만족하는 공통부분(교집합)을 구해요.· 절댓값 부등식: 절댓값 |x|는 수직선에서 원점으로부터의 거리예요. 양수 a에 대하여 |x| < a는 원점과의 거리가 a보다 가까우므로 −a < x < a (사이), |x| > a는 거리가 a보다 멀므로 x < −a 또는 x > a (바깥)예요.
🔎 이차부등식 풀 때 왜 최고차항 계수 a를 양수로 맞추나요?
포물선 모양을 '아래로 볼록'으로 고정해 두면 부등호의 규칙을 단순하게 통일할 수 있기 때문이에요.
a > 0으로 맞추면 식 전체가 0보다 작을 때는 무조건 두 근 사이, 0보다 클 때는 무조건 두 근 바깥이라는 한 가지 규칙만 외우면 실수를 줄일 수 있습니다.
🔎 아래로 볼록일 때 왜 0보다 작으면 두 근 사이인가요?
부등식 y < 0은 포물선 그래프가 가로축인 x축보다 아래로 가라앉은 구간을 뜻해요.
아래로 볼록한 포물선은 두 교점 α와 \beta의 안쪽(사이)에서만 x축 아래로 잠수하므로, 해의 범위가 \alpha < x < \beta가 됩니다.
🔎 모든 실수 x에 대해 항상 성립할 때 왜 D < 0 인가요?
이차부등식 ax² + bx + c > 0이 모든 실수에서 성립한다는 것은, 포물선 전체가 x축 위에 완전히 둥둥 떠 있어야 한다는 뜻이에요.
그래프가 x축과 단 한 점에서도 만나지 않아야 하므로, 방정식의 실근이 없어야 합니다. 따라서 판별식이 D < 0이어야 합니다. (≥ 0인 경우에는 접해도 되므로 D ≤ 0입니다.)
🔎 중근(D = 0)일 때 이차부등식의 해는 왜 특이한가요?
완전제곱식 (x − α)²은 실수의 제곱이므로 x = α일 때만 0이고 나머지는 항상 양수이기 때문이에요.
따라서 (x − 3)² > 0의 해는 3을 뺀 x ≠ 3인 모든 실수가 되고, (x − 3)² ≤ 0의 해는 딱 한 점 x = 3뿐입니다.
🔎 절댓값 부등식 |x| < a는 왜 −a < x < a 로 풀리나요?
절댓값 |x|의 기하학적 뜻은 수직선에서 원점(0)과의 거리이기 때문이에요.
양수 a에 대하여 |x| < a는 원점과의 거리가 a보다 가까운 구간이므로 −a < x < a가 되고, |x| > a는 거리가 a보다 먼 바깥쪽이므로 x < −a 또는 x > a가 됩니다.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 방정식의 해는 두 그래프의 ‘교점’이에요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 포물선과 직선이 만나는 교점을 x축으로 떨어뜨려 해를 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
스스로 풀어요 (3단계)
복소수 계산·판별식·기본 이차방정식부터. i²=−1을 항상 적용해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 이차부등식은 반드시 포물선 그림을 먼저 그리고 범위를 정해요. ‘더 간결하게’: 근과 계수 관계(합·곱)를 쓰면 개별 근을 구하지 않아도 돼요.
🌟
나도 영재 도전 — 닮은 식의 비밀
방정식·부등식에서 배운 합차공식·완전제곱식만으로 푸는 올림피아드급 확장 문제 10 · 힌트·정답·검산 포함
도전하기 →
객관식 진단 퀴즈 — 방정식과부등식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 이차방정식이 나와요. 인수분해 풀이·근의 공식이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 방정식과 부등식까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1근의 비
x² − 4x + k = 0의 두 근의 비가 1 : 3일 때 k는?
답: 3
근 m, 3m: 합 4m=4→m=1, 곱 3m²=3=k
근 m, 3m: 합 4m=4→m=1, 곱 3m²=3=k
2중근 활용
x² − 6x + k = 0의 한 근이 다른 근의 2배일 때 k는?
답: 8
근 m, 2m: 합 3m=6→m=2, 곱 2m²=8=k
근 m, 2m: 합 3m=6→m=2, 곱 2m²=8=k
3켤레복소수 합
(1 + i)/(1 − i) + (1 − i)/(1 + i)의 값은?
답: 0
i + (−i)=0
i + (−i)=0
4항상 성립
모든 실수 x에서 x² − 2ax + a + 2 ≥ 0이 성립할 a의 범위는?
답: −1 ≤ a ≤ 2
D/4=a²−(a+2)≤0 → (a−2)(a+1)≤0
D/4=a²−(a+2)≤0 → (a−2)(a+1)≤0
5공통근
x² − 5x + 6 = 0과 x² − x − 6 = 0의 공통근은?
답: 3
앞 2,3 / 뒤 3,−2 → 공통근 3
앞 2,3 / 뒤 3,−2 → 공통근 3
6삼차 단위근
α가 x² + x + 1 = 0의 한 근일 때 α² + α의 값은?
답: −1
α²+α+1=0 → α²+α=−1
α²+α+1=0 → α²+α=−1
7정수 개수
x² − ax + 4 ≥ 0이 모든 실수 x에서 성립할 정수 a의 개수는?
답: 9
D=a²−16≤0 → −4≤a≤4 → 정수 9개
D=a²−16≤0 → −4≤a≤4 → 정수 9개
8켤레근
실수 계수 x² + px + q = 0의 한 근이 1 + 2i일 때 q는?
답: 5
다른 근 1−2i, 곱=(1+2i)(1−2i)=1+4=5=q
다른 근 1−2i, 곱=(1+2i)(1−2i)=1+4=5=q
9사차 근의 합
x⁴ − 1 = 0의 모든 근의 합은?
답: 0
근 1, −1, i, −i → 합 0
근 1, −1, i, −i → 합 0
10대칭식
a + b = 4, ab = 3일 때 a² + b² − ab의 값은?
답: 7
(a+b)²−3ab=16−9=7
(a+b)²−3ab=16−9=7
11두 음근 조건
x² + 2x + a = 0의 두 근이 모두 음수일 a의 범위는?
답: 0 < a ≤ 1
곱 a>0, 합 −2<0(자동), D=4−4a≥0 → a≤1
곱 a>0, 합 −2<0(자동), D=4−4a≥0 → a≤1
직접 해보기 — 판별식 D
계수 b 4
계수 c 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1i² = −1. 복소수 a+bi (a, b는 실수 · a=0, b≠0이면 순허수) · 켤레복소수 = a−bi.
- 2판별식 D = b²−4ac (짝수 D/4 = b′²−ac): D>0 서로 다른 두 실근 · D=0 중근 · D<0 서로 다른 두 허근.
- 3근과 계수의 관계: 두 근 α, β → 합 α+β=−b/a, 곱 αβ=c/a.
- 4이차부등식(a>0 기준): 인수분해 → 포물선 그림 → <0은 두 근 사이, >0은 두 근 바깥 (항상 >0 조건: a>0, D<0).
이 단원의 말·기호
- 허수단위
- 제곱하여 −1이 되는 수 i (i²=−1). 네제곱마다 i, −1, −i, 1이 반복됨.
- 복소수
- 두 실수 a, b에 대하여 a+bi 꼴의 수(a=실수부분, b=허수부분). a=0이고 b≠0이면 순허수.
- 판별식
- D=b²−4ac (b=2b′일 때 D/4=b′²−ac). 근호 안의 부호로 근의 종류를 판별.
- 근과 계수
- ax²+bx+c=0의 두 근 α, β에 대하여 합 α+β=−b/a, 곱 αβ=c/a.
내 말로 설명하기
판별식으로 근의 개수를 어떻게 알 수 있는지 설명해 봐요.
예시 — “근의 공식 x=(−b±√D)/2a에서 √D가 핵심. D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0이면 하나의 실근(중근), D<0이면 √(음수)라 허수근이 나와.”
재미있는 수학 이야기 영상
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.