왜 방정식·부등식을 배울까?
제곱해서 음수가 되는 수를 실수로는 설명할 수 없어요. 그래서 복소수(a+bi)가 탄생했고, 이로써 모든 이차방정식이 두 근을 갖게 됐어요. 판별식은 방정식 풀기 전에 근의 개수를 미리 알게 해주는 도구예요. 전기공학·진동 분석·AI 신호처리까지 복소수 없이는 불가능해요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 허수단위 i를 이해하고 복소수를 계산한다. ② 이차방정식의 판별식 D로 근의 개수를 판단한다. ③ 근과 계수의 관계로 두 근의 합·곱을 구한다. ④ 이차부등식을 포물선 그림으로 해의 범위를 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① i² = ?
② x² − 5x + 6 = 0의 두 근은?
① −1 · ② x=2, x=3 (인수분해: (x−2)(x−3)=0). 이 두 가지가 이 단원의 출발점이에요.
복소수 — 수의 세계를 넓혀요
제곱해서 음수가 되는 수는 실수에는 없어요. 그래서 수학자들이 허수단위 i를 만들었어요. i² = −1. 실수 a와 허수 bi를 합한 a + bi를 복소수라고 해요. a=0이면 순허수, b=0이면 실수예요. 덧셈·뺄셈은 실수·허수를 분리해 계산하고, 곱셈은 분배법칙 후 i²=−1로 바꿔요.
기억해요 — i² = −1 하나만 알면 복소수 계산이 다 풀린다
왜 복소수가 필요할까
D<0인 이차방정식을 ‘해 없음’으로 끝내지 않고 복소수 안에서 두 근을 찾을 수 있어요. 전기공학의 교류 회로, 진동 분석, 양자역학까지 복소수 없이는 설명이 안 되는 분야가 가득해요.켤레 복소수와 실수로 만들기
a+bi와 a−bi는 켤레 복소수예요. (a+bi)(a−bi) = a²+b² — 항상 실수! 분수 꼴 복소수는 분모의 켤레를 곱해 실수화해요. 1/(1+i) = (1−i)/((1+i)(1−i)) = (1−i)/2 = ½ − ½i.✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 허수 i는 ‘90도 회전’이에요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 실수축에서 90도씩 돌아가며 i가 왜 ‘회전’인지 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 허수의 존재성과 대수학 기본정리 (회전과 근)
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 복소평면에서의 90도 회전을 통한 허수의 존재성과 4차 방정식의 4대칭 실재 해 구조를 시각적으로 배웁니다. (출처: 깨봉수학 「허수가 눈에 보인다고? 복소평면에서 찾는 허수의 존재성」)
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 회전하는 해의 시각화가 시작됩니다!
이차방정식 — 판별식이 열쇠
이차방정식 ax²+bx+c=0의 근은 근의 공식 x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). 판별식 D=b²−4ac로 근의 개수가 한눈에 보여요: D>0→두 실근, D=0→중근, D<0→두 허근. 근과 계수의 관계: 두 근 α, β에 대해 α+β=−b/a, αβ=c/a.
기억해요 — D=b²−4ac: 양수→2실근, 0→중근, 음수→허근
기억 그림 · 판별식과 포물선
포물선이 x축을 두 곳에서 뚫으면 D>0, 접하면 D=0, 안 만나면 D<0.
📺📺 영상으로 보기판별식 D와 포물선▶
📺 움직이는 개념 — 판별식 D와 포물선
D값에 따라 포물선과 x축의 관계가 어떻게 달라지는지 봐요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 판별식 D는 ‘포물선의 높낮이’예요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 포물선을 해수면(x축) 위아래로 올렸다 내리며 D의 뜻을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
이차부등식 — 포물선 위아래로 보기
이차부등식을 풀 때는 이차식을 0으로 이항해 인수분해한 뒤, 포물선이 x축 아래인 구간(f(x)<0)과 위인 구간(f(x)>0)으로 나눠요. ax²+bx+c의 두 근이 α<β이면 — (x−α)(x−β)<0 → α0 → x<α 또는 x>β.
기억해요 — 부호가 뒤집히는 위치는 항상 근! 근의 사이/바깥을 그림으로 확인해요
삼차·사차방정식
인수분해되면 각 인수=0으로 근 찾기. 안 되면 나머지정리로 한 근을 찾아 차수를 줄여요. x³−7x−6=0에서 f(3)=27−21−6=0이므로 (x−3)을 조립제법으로 빼면 (x−3)(x²+3x+2)=0.연립이차부등식
연립부등식은 각각 풀어서 교집합(AND) 또는 합집합(OR)을 구해요. 그래프 위에 두 범위를 동시에 표시하면 겹치는 부분을 한눈에 볼 수 있어요.✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 방정식의 해는 두 그래프의 ‘교점’이에요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 포물선과 직선이 만나는 교점을 x축으로 떨어뜨려 해를 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
스스로 풀어요 (3단계)
복소수 계산·판별식·기본 이차방정식부터. i²=−1을 항상 적용해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 이차부등식은 반드시 포물선 그림을 먼저 그리고 범위를 정해요. ‘더 간결하게’: 근과 계수 관계(합·곱)를 쓰면 개별 근을 구하지 않아도 돼요.
🌟
나도 영재 도전 — 닮은 식의 비밀
방정식·부등식에서 배운 합차공식·완전제곱식만으로 푸는 올림피아드급 확장 문제 10 · 힌트·정답·검산 포함
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객관식 진단 퀴즈 — 방정식과부등식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 이차방정식이 나와요. 인수분해 풀이·근의 공식이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 방정식과 부등식까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1근의 비
x² − 4x + k = 0의 두 근의 비가 1 : 3일 때 k는?
답: 3
근 m, 3m: 합 4m=4→m=1, 곱 3m²=3=k
근 m, 3m: 합 4m=4→m=1, 곱 3m²=3=k
2중근 활용
x² − 6x + k = 0의 한 근이 다른 근의 2배일 때 k는?
답: 8
근 m, 2m: 합 3m=6→m=2, 곱 2m²=8=k
근 m, 2m: 합 3m=6→m=2, 곱 2m²=8=k
3켤레복소수 합
(1 + i)/(1 − i) + (1 − i)/(1 + i)의 값은?
답: 0
i + (−i)=0
i + (−i)=0
4항상 성립
모든 실수 x에서 x² − 2ax + a + 2 ≥ 0이 성립할 a의 범위는?
답: −1 ≤ a ≤ 2
D/4=a²−(a+2)≤0 → (a−2)(a+1)≤0
D/4=a²−(a+2)≤0 → (a−2)(a+1)≤0
5공통근
x² − 5x + 6 = 0과 x² − x − 6 = 0의 공통근은?
답: 3
앞 2,3 / 뒤 3,−2 → 공통근 3
앞 2,3 / 뒤 3,−2 → 공통근 3
6삼차 단위근
α가 x² + x + 1 = 0의 한 근일 때 α² + α의 값은?
답: −1
α²+α+1=0 → α²+α=−1
α²+α+1=0 → α²+α=−1
7정수 개수
x² − ax + 4 ≥ 0이 모든 실수 x에서 성립할 정수 a의 개수는?
답: 9
D=a²−16≤0 → −4≤a≤4 → 정수 9개
D=a²−16≤0 → −4≤a≤4 → 정수 9개
8켤레근
실수 계수 x² + px + q = 0의 한 근이 1 + 2i일 때 q는?
답: 5
다른 근 1−2i, 곱=(1+2i)(1−2i)=1+4=5=q
다른 근 1−2i, 곱=(1+2i)(1−2i)=1+4=5=q
9사차 근의 합
x⁴ − 1 = 0의 모든 근의 합은?
답: 0
근 1, −1, i, −i → 합 0
근 1, −1, i, −i → 합 0
10대칭식
a + b = 4, ab = 3일 때 a² + b² − ab의 값은?
답: 7
(a+b)²−3ab=16−9=7
(a+b)²−3ab=16−9=7
11두 음근 조건
x² + 2x + a = 0의 두 근이 모두 음수일 a의 범위는?
답: 0 < a ≤ 1
곱 a>0, 합 −2<0(자동), D=4−4a≥0 → a≤1
곱 a>0, 합 −2<0(자동), D=4−4a≥0 → a≤1
직접 해보기 — 판별식 D
계수 b 4
계수 c 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1i² = −1. 복소수 a+bi. 켤레 복소수 = a−bi.
- 2판별식 D = b²−4ac: D>0 두 실근 · D=0 중근 · D<0 두 허근.
- 3근과 계수의 관계: 두 근 α, β → α+β=−b/a, αβ=c/a.
- 4이차부등식 풀기: 인수분해 → 포물선 그림 → 근의 사이/바깥.
이 단원의 말·기호
- 허수단위
- i. i²=−1. 실수에서 존재하지 않는 수.
- 복소수
- a+bi 꼴. a=실수부, b=허수부.
- 판별식
- D=b²−4ac. 근의 개수를 미리 파악.
- 근과 계수
- 두 근의 합=−b/a, 곱=c/a.
내 말로 설명하기
판별식으로 근의 개수를 어떻게 알 수 있는지 설명해 봐요.
예시 — “근의 공식 x=(−b±√D)/2a에서 √D가 핵심. D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0이면 하나의 실근(중근), D<0이면 √(음수)라 허수근이 나와.”
재미있는 수학 이야기 영상
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.