연 수학 · 고1 방정식과 부등식

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✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 복잡한 덩어리엔 ‘잠옷(치환)’을 입혀요

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 무거운 공통 덩어리를 가벼운 T로 갈아입혀 단숨에 푸는 길을 보여줍니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.

✏️ 풀기 쉬운 예제

직관: 반복되는 덩어리를 T로 치환 → 이차방정식으로 → 다시 원래대로

예제 1) (x²−3x)² − 2(x²−3x) − 8 = 0의 모든 실근은?

풀이 보기

x²−3x를 T로 치환하면 T²−2T−8=0 → (T−4)(T+2)=0 → T=4 또는 T=−2.
T=4: x²−3x−4=0 → (x−4)(x+1)=0 → x=4, −1.
T=−2: x²−3x+2=0 → (x−1)(x−2)=0 → x=1, 2.
그러므로 x = −1, 1, 2, 4.
검산: x=4 → (16−12)²−2(16−12)−8 = 16−8−8 = 0 ✓ , x=1 → (1−3)²−2(1−3)−8 = 4+4−8 = 0 ✓

예제 2) (x²+x)² − 8(x²+x) + 12 = 0의 모든 실근은?

풀이 보기

x²+x를 T로 치환하면 T²−8T+12=0 → (T−2)(T−6)=0 → T=2 또는 T=6.
T=2: x²+x−2=0 → (x+2)(x−1)=0 → x=−2, 1.
T=6: x²+x−6=0 → (x+3)(x−2)=0 → x=−3, 2.
그러므로 x = −3, −2, 1, 2.
검산: x=1 → (1+1)²−8(1+1)+12 = 4−16+12 = 0 ✓ , x=2 → (4+2)²−8(4+2)+12 = 36−48+12 = 0 ✓

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 이차부등식은 ‘새와 물고기 서식지’예요

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 해수면 위(새)·아래(물고기)로 이차부등식의 해를 그림처럼 보여줍니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

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✏️ 풀기 쉬운 예제

직관: f(x)<0이면 두 근 사이(물고기), f(x)>0이면 두 근 바깥(새)

예제 1) x² − 5x + 6 < 0의 해는?

풀이 보기

인수분해: (x−2)(x−3)<0. 두 근은 2, 3.
부등호가 <0(수면 아래, 물고기)이므로 두 근 사이.
그러므로 2 < x < 3.
검산: 사이의 x=2.5 → 6.25−12.5+6 = −0.25 < 0 ✓

예제 2) x² − x − 12 > 0의 해는?

풀이 보기

인수분해: (x−4)(x+3)>0. 두 근은 −3, 4.
부등호가 >0(수면 위, 새)이므로 두 근 바깥.
그러므로 x < −3 또는 x > 4.
검산: 바깥의 x=5 → 25−5−12 = 8 > 0 ✓ , 사이의 x=0 → −12 < 0 (제외 맞음) ✓

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 던진 물체의 최고점은 ‘땅에 닿는 두 시각의 한가운데’

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 높이 h=−5t²+20t로 솟구친 물체가 땅에 닿는 두 시각(t=0, t=4)의 가운데인 t=2에서 최고 높이 20에 닿는 것을 보여줍니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.

✏️ 풀기 쉬운 예제

직관: 최고점 시각 = 땅에 닿는 두 시각의 한가운데 (평균)

예제 1) 높이 h = −5t² + 30t (m)로 던진 물체의 최고 높이는?

풀이 보기

땅(h=0): −5t²+30t=0 → −5t(t−6)=0 → t=0, 6.
최고점 시각 = 두 시각의 한가운데 = (0+6)/2 = 3초.
t=3 대입: h = −5(9)+30(3) = −45+90 = 45 m.
검산: 꼭짓점 t = −b/2a = −30/(2·(−5)) = 3 ✓

예제 2) 높이 h = −5t² + 40t (m)로 던진 물체의 최고 높이는?

풀이 보기

땅(h=0): −5t(t−8)=0 → t=0, 8.
최고점 시각 = (0+8)/2 = 4초.
t=4 대입: h = −5(16)+40(4) = −80+160 = 80 m.
검산: 꼭짓점 t = −40/(2·(−5)) = 4 ✓

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 제한 범위 최대·최소는 가위로 잘라 남은 봉우리와 골짜기

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, y=(x−1)²−1을 −1≤x≤3 범위로 잘라 남은 토막의 골짜기(최소)·봉우리(최대)를 찾는 법을 보여줍니다.

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✏️ 풀기 쉬운 예제

직관: 범위 밖을 잘라낸 토막에서, 꼭짓점(범위 안이면)·끝점 값만 비교

예제 1) y = (x−2)² − 3 의 −1 ≤ x ≤ 4 에서 최댓값·최솟값은?

풀이 보기

꼭짓점은 x=2, y=−3. 범위 −1≤x≤4 안에 있으므로 최솟값 = −3(x=2).
끝점: x=−1 → (−3)²−3 = 6, x=4 → (2)²−3 = 1.
더 높은 끝이 최댓값 → 최댓값 = 6(x=−1).
최댓값 6, 최솟값 −3
검산: x=2 → 0−3 = −3 ✓ , x=−1 → 9−3 = 6 ✓

예제 2) y = x² − 2x 의 −1 ≤ x ≤ 2 에서 최댓값·최솟값은?

풀이 보기

y = (x−1)²−1. 꼭짓점 x=1, y=−1. 범위 안 → 최솟값 = −1(x=1).
끝점: x=−1 → 1+2 = 3, x=2 → 4−4 = 0.
더 높은 끝이 최댓값 → 최댓값 = 3(x=−1).
최댓값 3, 최솟값 −1
검산: x=1 → 1−2 = −1 ✓ , x=−1 → 1+2 = 3 ✓

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 두 교점 사이 거리는 루트 D 나누기 |a|

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, y=x²−2x−3의 두 x절편 사이 거리를 교점을 구하지 않고 √D/|a|로 단숨에 구하는 법을 보여줍니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

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✏️ 풀기 쉬운 예제

직관: 두 x절편 사이 거리 = √D / |a| (교점을 직접 안 구해도 됨)

예제 1) y = x² − 6x + 5 의 두 x절편 사이 거리는?

풀이 보기

D = b²−4ac = (−6)²−4(1)(5) = 36−20 = 16. a=1.
거리 = √D / |a| = √16 / 1 = 4.
검산: (x−1)(x−5)=0 → 절편 1, 5 → 5−1 = 4 ✓

예제 2) y = 2x² − 4x − 6 의 두 x절편 사이 거리는?

풀이 보기

D = (−4)²−4(2)(−6) = 16+48 = 64. a=2.
거리 = √D / |a| = √64 / 2 = 8/2 = 4.
검산: 2x²−4x−6=0 → x²−2x−3=0 → (x−3)(x+1)=0 → 절편 −1, 3 → 3−(−1) = 4 ✓

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 둘레가 정해진 직사각형은 정사각형일 때 넓이가 최대

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 가로+세로=10인 직사각형의 넓이 x(10−x)가 위로 볼록한 포물선이 되어, 한 변이 5인 정사각형에서 최대 25가 됨을 보여줍니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.

✏️ 풀기 쉬운 예제

직관: 둘레 고정 직사각형은 정사각형(가로=세로)일 때 넓이가 최대

예제 1) 둘레가 16 m인 직사각형의 최대 넓이는?

풀이 보기

가로+세로 = 둘레/2 = 8. 가로 x, 세로 8−x → 넓이 S = x(8−x).
S는 위로 볼록, 꼭짓점 x = (0+8)/2 = 4. 가로=세로=4 (정사각형).
최대 넓이 = 4×4 = 16 m².
검산: x=3 → 3×5 = 15 < 16, x=5 → 5×3 = 15 < 16 → x=4가 최대 ✓

예제 2) 둘레가 24 m인 직사각형의 최대 넓이는?

풀이 보기

가로+세로 = 12. 넓이 S = x(12−x), 꼭짓점 x = (0+12)/2 = 6.
가로=세로=6 (정사각형) → 최대 넓이 = 6×6 = 36 m².
검산: x=5 → 5×7 = 35 < 36, x=7 → 7×5 = 35 < 36 → x=6이 최대 ✓

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — k가 변해도 모든 포물선이 지나는 고정점은 ‘k의 짝을 0으로 만드는 자리’

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, y=x²+k(x−2)에서 k가 어떤 값이든 모든 포물선이 한 점 (2, 4)를 통과하는 까닭을 보여줍니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

✏️ 풀기 쉬운 예제

직관: k가 변해도 지나는 고정점 = k가 붙은 괄호를 0으로 만드는 x

예제 1) y = x² + k(x−3) 가 k에 관계없이 항상 지나는 점은?

풀이 보기

k가 붙은 항 k(x−3)을 0으로: x−3=0 → x=3.
x=3 대입: y = 3² + k·0 = 9 (k와 무관).
그러므로 고정점은 (3, 9).
검산: k=1 → y=9+1·0=9 ✓ , k=−2 → y=9+(−2)·0=9 ✓ (둘 다 (3,9))

예제 2) y = 2x² + k(x+1) 가 k에 관계없이 항상 지나는 점은?

풀이 보기

k가 붙은 항 k(x+1)을 0으로: x+1=0 → x=−1.
x=−1 대입: y = 2(−1)² + k·0 = 2 (k와 무관).
그러므로 고정점은 (−1, 2).
검산: k=4 → y=2+4·0=2 ✓ , k=−3 → y=2+(−3)·0=2 ✓ (둘 다 (−1,2))

✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 두 범위의 곱은 네 모서리 값만 따져 최소·최대를 잡기

▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 두 범위로 직사각형을 그려 네 모서리의 곱만 비교해 xy의 범위를 보여줍니다.

▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.

✏️ 풀기 쉬운 예제

직관: 두 범위의 곱 xy는 네 모서리(끝값×끝값)만 따져 최소·최대를 잡는다

예제 1) 2 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 3 일 때 xy의 범위는?

풀이 보기

네 모서리 곱: 2·1=2, 2·3=6, 5·1=5, 5·3=15.
가장 작은 값 2, 가장 큰 값 15.
그러므로 2 ≤ xy ≤ 15.
검산: 최소는 둘 다 가장 작을 때 2×1=2 ✓ , 최대는 둘 다 가장 클 때 5×3=15 ✓

예제 2) −2 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4 일 때 xy의 범위는?

풀이 보기

네 모서리 곱: (−2)·1=−2, (−2)·4=−8, 3·1=3, 3·4=12.
가장 작은 값 −8, 가장 큰 값 12.
그러므로 −8 ≤ xy ≤ 12.
검산: 음수 x가 가장 작고 y가 가장 클 때 (−2)×4=−8(최소) ✓ , 양수 x가 가장 크고 y가 가장 클 때 3×4=12(최대) ✓

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