나도 영재 도전 · 닮은 식의 비밀 — 연 수학 고1 방정식과 부등식

‘올림피아드’라고 겁먹지 말기 — 무기는 교과서 안에 있어요

방정식과 부등식 단원에서 배운 합차공식·완전제곱식·연립방정식만으로, 독일 수학 올림피아드 문제까지 풀어버릴 수 있어요. 비밀은 딱 세 가지 태도예요.

① 닮은 식은 더하거나 빼라 — 모양이 쌍둥이면 합과 차에서 힌트가 쏟아져요.

② 합차공식으로 묶어라 — a²−b²=(a−b)(a+b), 공통인수를 꺼내요.

③ 조건을 결정적 순간에 째려봐라 — “a≠b” 같은 한 줄이 답을 절반으로 갈라요.

▶ 이 도전의 뿌리 — 원리 영상

전 세계 수학 유튜브에서 화제가 된 독일 수학 올림피아드 문제예요. “학생 99%가 틀린다”는 무시무시한 제목이 붙었지만, 막상 풀이를 보면 우리가 단원에서 배운 합차공식·완전제곱식·근과 계수의 관계만으로 아주 우아하게 끝나요. 아래 ▶를 누르면 코드 애니메이션과 선생님 목소리로 한 단계씩 풀이를 보여줘요(원본 유튜브 링크도 함께).

▶ 가운데 버튼을 누르면 코드 애니메이션과 선생님 목소리로 시작해요.

▶ The German Math Olympiad Problem That 99% of Students Get Wrong! Math Booth 채널 · 약 31만 조회 · 유튜브에서 열기 영상 보기 →

원문제 & 4단계 원풀이 — 영상 속 풀이 따라가기

원문제. a² − b = 133 b² − a = 133 (단, a ≠ b) 일 때 (a, b)는?

① 두 식을 빼기 → 133이 사라지고 (a²−b²)+(a−b)=0 → 합차공식으로 (a−b)(a+b+1)=0. a≠b 조건 덕에 a+b=−1.

② 두 식을 더하기 → (a²+b²)−(a+b)=266 → a+b=−1 대입 → a²+b²=265.

③ 곱셈공식 → (a+b)²=a²+b²+2ab → ab=−132. 또 (a−b)²=265−2(−132)=529=23² → a−b=±23.

④ 연립 → a+b=−1, a−b=±23 을 풀면 끝.

✅ 검산: a=11, b=−12 → 11²−(−12)=133, (−12)²−11=133. 좌·우변 모두 133!

정답 (a, b) = (11, −12) 또는 (−12, 11)

심화 — 만약 ‘a ≠ b’ 조건이 없었다면? (해가 4개로!)

①단계에서 우리가 a≠b 때문에 버렸던 갈림길 (a−b)=0, 즉 a=b 의 세계가 열려요.

a=b 대입 → a²−a=133 → a²−a−133=0. 정수로 안 쪼개지니 근의 공식!

근의 공식 → a = (1 ± √(1+532))/2 = (1 ± √533)/2 (≈ 12.04 또는 −11.04). 무리수 해예요.

기하 의미 → 두 식은 각각 포물선이라, 두 포물선의 교점은 최대 4개. 조건을 빼면 그 4개를 모두 찾는 셈이에요.

✅ 정리: 정수 해 2개(a≠b) + 무리수 해 2개(a=b) = 총 4개. 조건 한 줄이 답의 절반을 가렸던 거예요!

출처 & 뒷이야기 (독일 올림피아드와 호주 직사각형 논란)

① 독일 수학 올림피아드 기출

이 영상의 원문제는 독일 수학 올림피아드에 출제되었으며, 유명 수학 유튜브 채널인 MindYourDecisions(Presh Talwalkar)에서 「The German Math Olympiad Problem That 99% of Students Get Wrong!」이라는 제목으로 소개해 큰 화제를 모았습니다. 일반적인 연립방정식처럼 무작정 대입하려고 하면 4차 방정식의 늪에 빠져버리지만, 대칭성을 관찰해 ‘두 식을 빼고, 더하는’ 통찰 한 번이면 중2 수준의 합차공식과 이차방정식으로 허무할 만큼 쉽게 풀려 전 세계 수학팬들을 매료시켰습니다.

② 호주 직사각형 문제와 '닮음' 논란

유사한 대칭성을 지닌 유명 기하 문제로 호주 수학 경시대회(AMC)의 호주 직사각형 난제가 있습니다. 대각선 방향으로 배치된 넓이 3, 4, 5인 세 직사각형이 큰 직사각형에 내접할 때 전체 넓이를 구하는 문제입니다. 이 문제는 ‘세 직사각형이 서로 닮음이다’라는 조건이 없으면 답이 하나로 결정되지 않는데, 많은 풀이에서 이를 누락하여 논란이 되었습니다. 닮음 조건 하에서의 유일한 넓이는 \(\mathbf{(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^2 \approx 35.62}\)이며, 닮음 조건이 없을 때는 이 값이 전체 넓이가 가질 수 있는 수학적 최솟값(코시-슈바르츠 부등식의 등호 성립 조건)이 됩니다.

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먼저 스스로 풀어 본 뒤, 💡 힌트 → 정답·풀이 순서로 펼쳐 보세요. 답 칸에 값을 적고 확인을 누르면 채점돼요.

입문 중2~중3

곱셈공식을 거꾸로 — 합과 곱만 알면 두 수가 보여요.

문제 1. 곱셈공식 거꾸로

합이 −1, 곱이 −132인 두 정수를 구하세요.

💡 힌트

두 수를 a, b라 하면 a+b=−1, ab=−132. 합과 곱을 아는 두 수는 t² − (합)t + (곱) = 0의 두 근이에요.

정답 · 풀이 보기

식 세우기 → t²+t−132=0.

인수분해 → (t−11)(t+12)=0 → t=11 또는 t=−12.

✅ 검산: 11+(−12)=−1, 11×(−12)=−132. 딱 맞아요!

정답: 11과 −12

문제 2. 역수의 재미

a + b = 5 이고 1/a + 1/b = 5/6 일 때, 두 수 a, b를 구하세요.

💡 힌트

1/a + 1/b 를 통분하면 (a+b)/ab 예요. a+b를 이미 알고 있으니 ab가 바로 나와요.

정답 · 풀이 보기

통분 → 1/a+1/b=(a+b)/ab=5/ab=5/6 → ab=6.

합·곱 → a+b=5, ab=6 → t²−5t+6=0 → (t−2)(t−3)=0.

✅ 검산: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. 맞아요!

정답: 2와 3

기본 영상과 같은 길

더하고 빼서 합차공식 — 숫자만 바뀌어도 함정이 숨어 있어요.

문제 3. 기본형

a² − b = 43 b² − a = 43 (a ≠ b)

💡 힌트

두 식을 빼면 133이 사라지고, 합차공식으로 (a−b)로 묶여요. a≠b니까 남는 건 a+b의 값!

정답 · 풀이 보기

빼기 → (a²−b²)+(a−b)=0 → (a−b)(a+b+1)=0 → a≠b → a+b=−1.

더하기 → a²+b²−(a+b)=86 → a²+b²=85.

차 구하기 → (a−b)²=85−2ab, ab=(1−85)/2=−42 → (a−b)²=169 → a−b=±13.

✅ 검산: a=6, b=−7 → 6²−(−7)=43, (−7)²−6=43. 맞아요!

정답: (6, −7) 또는 (−7, 6)

문제 4. 네팔 올림피아드 기출 (Nepal 73)

x² − y = 73 y² − x = 73 (x ≠ y) 인 두 정수 x, y를 구하세요.

💡 힌트

두 식을 빼면 (x−y)(x+y+1)=0 이 됩니다. x≠y 조건이 있으므로 x+y=−1 임을 알 수 있습니다. 그 후 두 식을 더해 보세요.

정답 · 풀이 보기

빼기 → (x²−y²)+(x−y)=0 → (x−y)(x+y+1)=0. x≠y 이므로 x+y=−1.

더하기 → (x²+y²)−(x+y)=146 → x+y=−1 대입 → x²+y²=145.

곱셈공식 → (x+y)²=x²+y²+2xy → 1=145+2xy → xy=−72.

이차방정식 → t²+t−72=0 → (t+9)(t−8)=0 → t=8 또는 t=−9.

✅ 검산: x=8, y=−9 → 8²−(−9)=64+9=73, (−9)²−8=81-8=73. 맞아요!

정답: (8, −9) 또는 (−9, 8)

문제 5. 부호 함정! (＋로 바뀜)

a² + b = 31 b² + a = 31 (a ≠ b)

💡 힌트

빼면 (a−b)(a+b)−(a−b)=0 이 돼요. 부호가 하나 달라서 a+b의 값이 +1로 바뀌어요. 함정 조심!

정답 · 풀이 보기

빼기 → (a−b)(a+b)−(a−b)=0 → (a−b)(a+b−1)=0 → a+b=1.

더하기 → a²+b²+(a+b)=62 → a²+b²=61. ab=(1−61)/2=−30.

차 → (a−b)²=61−2(−30)=121 → a−b=±11.

✅ 검산: a=6, b=−5 → 6²+(−5)=31, (−5)²+6=31. 맞아요!

정답: (6, −5) 또는 (−5, 6)

문제 6. 계수 함정! (2가 따라옴)

a² − 2b = 19 b² − 2a = 19 (a ≠ b)

💡 힌트

빼면 (a−b)(a+b)+2(a−b)=0. 계수 2가 그대로 따라와서 a+b=−2가 돼요.

정답 · 풀이 보기

빼기 → (a−b)(a+b)+2(a−b)=0 → (a−b)(a+b+2)=0 → a+b=−2.

더하기 → a²+b²−2(a+b)=38 → a²+b²=34. ab=((a+b)²−(a²+b²))/2=(4−34)/2=−15.

차 → (a−b)²=34−2(−15)=64 → a−b=±8.

✅ 검산: a=3, b=−5 → 3²−2(−5)=19, (−5)²−2(3)=19. 맞아요!

정답: (3, −5) 또는 (−5, 3)

응용 합·차의 제곱

합의 제곱과 차의 제곱, 두 개를 동시에 굴려요.

문제 7. 네팔 올림피아드 변형 (x²−3y=37)

x² − 3y = 37 y² − 3x = 37 (x ≠ y) 인 두 정수 x, y를 구하세요.

💡 힌트

두 식을 빼서 인수분해하면 x+y=−3 임을 알 수 있습니다. 그 후 두 식을 더해 보세요.

정답 · 풀이 보기

빼기 → (x²−y²)+3(x−y)=0 → (x−y)(x+y+3)=0. x≠y 이므로 x+y=−3.

더하기 → (x²+y²)−3(x+y)=74 → x+y=−3 대입 → x²+y²=65.

곱셈공식 → (x+y)²=x²+y²+2xy → 9=65+2xy → xy=−28.

이차방정식 → t²+3t−28=0 → (t+7)(t−4)=0 → t=4 또는 t=−7.

✅ 검산: x=4, y=−7 → 4²−3(−7)=16+21=37, (−7)²−3(4)=49-12=37. 맞아요!

정답: (4, −7) 또는 (−7, 4)

문제 8. 해가 네 개! 빠뜨리지 마세요

x² + y² = 58 xy = 21 인 모든 실수쌍 (x, y)를 구하세요.

💡 힌트

(x+y)²=x²+y²+2xy, (x−y)²=x²+y²−2xy. 둘 다 제곱이라 ± 부호로 갈라져요 → 해가 여러 개!

정답 · 풀이 보기

합의 제곱 → (x+y)²=58+42=100 → x+y=±10.

차의 제곱 → (x−y)²=58−42=16 → x−y=±4.

연립 → 네 조합에서 (7,3),(3,7),(−7,−3),(−3,−7).

✅ 검산: 7²+3²=58, 7×3=21. 음수쌍도 제곱·곱이 같아 성립해요!

정답: (7,3), (3,7), (−7,−3), (−3,−7) — 네 쌍

문제 9. 큰 수 도전 — 같은 길, 더 멀리

a² − b = 601 b² − a = 601 (a ≠ b)

💡 힌트

문제 3과 완전히 같은 길이에요. a+b=−1, 그리고 (a−b)²=4×601−3 을 계산해 보세요. 어떤 수의 제곱일까요?

정답 · 풀이 보기

빼기 → a+b=−1.

더하기 → a²+b²=2×601−1=1201, ab=1−601=−600.

차 → (a−b)²=1201−2(−600)=2401=49² → a−b=±49.

✅ 검산: a=24, b=−25 → 24²−(−25)=576+25=601. 맞아요!

정답: (24, −25) 또는 (−25, 24)

💡 비밀: 이 유형은 답이 항상 이웃한 정수 m과 −(m+1) 꼴이에요. (133 → 11·−12, 601 → 24·−25)

별 ★ 올림피아드 한 방의 통찰

공식이 아니라 ‘한 줄의 깨달음’으로 끝내는 문제들.

문제 10. 세 식을 한꺼번에 더하면…

실수 a, b, c가 a² = 2b − 1 b² = 2c − 1 c² = 2a − 1 을 만족할 때, a, b, c를 구하세요.

💡 힌트

세 식을 모두 더한 뒤 한 변으로 모아 보세요. (어떤 것)²의 합 = 0 꼴이 나오면, 제곱의 합이 0이라는 건 각각이 0이라는 뜻이에요.

정답 · 풀이 보기

모두 더하기 → a²+b²+c²=2(a+b+c)−3.

완전제곱 → (a²−2a+1)+(b²−2b+1)+(c²−2c+1)=0 → (a−1)²+(b−1)²+(c−1)²=0.

통찰 → 실수의 제곱은 0 이상. 셋의 합이 0이려면 각각 0 → a=b=c=1.

✅ 검산: 1²=2×1−1=1. 세 식 모두 성립, 해는 단 하나!

정답: a = b = c = 1

문제 11. 근과 계수의 관계 거꾸로

세 수의 합이 6, 둘씩 곱한 것의 합이 11, 세 수의 곱이 6일 때, 세 수를 구하세요.

💡 힌트

세 수를 근으로 갖는 삼차방정식은 t³ − (합)t² + (둘씩곱의 합)t − (셋의 곱) = 0 이에요.

정답 · 풀이 보기

방정식 세우기 → t³−6t²+11t−6=0.

인수분해 → (t−1)(t−2)(t−3)=0 → t=1, 2, 3.

✅ 검산: 1+2+3=6, 1·2+2·3+3·1=11, 1·2·3=6. 모두 맞아요!

정답: 1, 2, 3

문제 12. ‘나머지 인수는 0이 될 수 없다’

실수 x, y가 x³ = y 이고 y³ = x 일 때, 모든 (x, y)를 구하세요.

💡 힌트

두 식을 빼면 x³−y³=y−x. 좌변을 인수분해해서 (x−y)로 묶어 보세요. 남는 인수 x²+xy+y²+1은 항상 양수예요(왜일까요?).

정답 · 풀이 보기

빼기 → x³−y³+x−y=0 → (x−y)(x²+xy+y²)+(x−y)=0 → (x−y)(x²+xy+y²+1)=0.

통찰 → x²+xy+y²+1 = (x+y/2)² + (3/4)y² + 1 ＞ 0. 절대 0이 안 돼요 → x=y.

대입 → x³=x → x(x²−1)=0 → x=0, 1, −1.

✅ 검산: (0,0),(1,1),(−1,−1) 모두 x³=y, y³=x 성립!

정답: (0,0), (1,1), (−1,−1)

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