연플래닝 아카데미 행복수학
장대경 선생님의 특강

x²+bx+c를 십자곱으로 단번에 인수분해하는 장대경 선생님의 대표 방법. 곱해서 상수·더해서 가운데 계수인 두 수만 찾으면 끝나요. 계수가 붙은 2x²+7x+3까지, 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

연습 10문제를 십자곱 도해와 상세 해설로 풀어내는 문서예요. 문서만 봐도 깔끔하게 이해돼요.

y절편·기울기 공식 외우지 말고 — 점 두 개 찍고, 평행이동하고, 기울기 부호는 팔 방향으로. 직각삼각형 가로·세로 칸으로 기울기 크기까지 한눈에. 중2 1학기 일차함수를 직관으로 그려냅니다.

△ABC≡△DEF를 쓴 순서 그대로 색깔 맞춰 짝짓고, SSS·SAS·ASA 중 무엇인지 각의 위치로 판별. 그리고 SSA·AAA·AAS 함정 3형제를 정면으로 걸러내는 장대경 선생님의 방법을, 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 ‘포개기’ 직관으로, 중1은 세 조건으로, 고등은 좌표·RHS·닮음으로 이어집니다.

대진표는 관문 개수만큼 곱, 주머니는 고를 확률 먼저 곱하고 더해, 비복원은 순서가 대칭이라 하나만 구해 곱. 헷갈리던 확률을 세 무기로 정복하는 장대경 선생님의 방법을 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

입체를 전개도로 펼치면 겉넓이 = 밑넓이 + 옆넓이. 기둥 옆면은 펼치면 긴 직사각형 하나라 옆넓이 = 둘레 × 높이, 원뿔은 부채꼴이라 πrℓ, 반구는 잘린 원까지 더해 3πr². 원기둥·삼각기둥·원뿔·반구를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 ‘포장지 펼치기’ 직관으로, 중1은 밑+옆으로, 고등은 회전체·표면적 적분으로 이어집니다.

연습 10문제를 입체·전개도 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 포장지 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 부피·회전체·표면적 적분·최적화까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

구조 먼저(짝은 통째로) · 뽑고 세우기(이웃 금지=상대 먼저) · 격자 2방향(선 2줄씩) · ÷대칭 ×배분(중복 나누고 자리에 곱). 부부·댄서·평행사변형·조 분배를 정확한 예제로 풀고, 함정(중복·배분)까지 짚습니다. 🎚️ 무기 넷이 모든 학년과 연결 — 초등 세어보기, 중3 곱셈공식·같은것 순열, 중1·중2 좌표·경우의 수, 고2 이항정리까지.

연습 8문제를 그림·상세 해설로 풀어내고, 저학년 세어보기부터 맨 아래엔 이 무기를 식의 구조·경우의 수·좌표·같은것 순열·이항정리까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

지불방법≠지불금액(환전으로 겹침 제거) · 이웃 조건(한 덩어리로 묶기) · 안이웃(빈의자 모형). 동전 지불·6명 이웃조건·7의자 배치를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 제8강 조합의 완벽한 짝 — 순열↔조합 변환, 확률·이항정리로 이어집니다.

연습 10문제를 그림·상세 해설로 풀어내고, 저학년 줄서기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 조합·확률·이항정리·알고리즘까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

기둥은 밑넓이 × 높이, 뿔은 그 ⅓, 구는 원기둥의 ⅔ — 그래서 원기둥 : 구 : 원뿔 = 3 : 2 : 1(아르키메데스). 원기둥·원뿔·구·결합도형·구멍 뚫린 관을 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 ‘쌓기나무’ 직관으로, 중1은 밑넓이×높이로, 고등은 적분·카발리에리로 이어집니다.

연습 10문제를 입체 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 쌓기나무 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 회전체·적분·카발리에리·닮음비까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

직사각형(대각선 길이 같음) · 마름모(대각선 수직이등분) · 정사각형(둘 다) · 등변사다리꼴(보조선 기법). 대각선 방정식·정사각형+정삼각형 결합·등변사다리꼴 보조선 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 변·각 구분으로, 중2는 합동 증명으로, 고등은 좌표·벡터로 이어집니다.

연습 10문제를 도형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 변·각 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 좌표기하·벡터·최적화까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

등차수열 합의 최댓값(부호 전환점) · 시그마 k제곱 공식과 이차식 전개 · 등비중항(가운데 제곱=양끝 곱). 전환점 찾기·시그마 전개·등비중항 문제를 원문 전사에서 직접 확인한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

연습 10문제를 소거 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 소거 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 무한급수·구분구적법·금융수학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

포함관계(P⊂Q이면 p→q 참) · 여집합 변환(드모르간) · 원소 순환추적(최솟값) · 부분집합 원소합(대칭성). 명제 증명·순환 원소·집합의 경계값 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 동그라미 그림으로, 고1은 포함관계 증명으로, 고등은 확률·귀류법으로 이어집니다.

연습 10문제를 벤다이어그램과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 동그라미 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 확률·함수·귀류법까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

함수의 개수 세기(전체·일대일·상수·치역=공역) · 일대일대응 조건(기울기 부호+경계 연속) · 함수방정식 성질(소인수분해) · 역함수 그래프 넓이(y=x 대칭 2배). 함수 개수·일대일대응·역함수 넓이 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 선물 짝짓기 그림으로, 고1은 함수 개수·일대일대응으로, 고2~고3은 역함수 미분·코시 함수방정식으로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 짝짓기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 순열·미분·암호학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

정의역·치역 판별(근호 안 부호+이동값) · 평행이동과 사분면(시작점+방향) · 무리방정식 검산 필수(무연근 제거) · 제한구간 최대·최소(단조성). 정의역·사분면·무리방정식·최대최소 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 넓이는 음수가 될 수 없다는 그림으로, 고1은 정의역·치역·검산으로, 고2~고3은 극한·역함수로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 넓이 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 부등식·극한·공학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

점근선 구하기(분자÷분모 표준형) · 정의역·치역(분모≠0) · 유리식 통분(공통분모) · 제한구간 최대·최소(단조성). 점근선·정의역·통분·최대최소 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 나눌 수 없는 딱 하나 그림으로, 고1은 점근선·통분으로, 고2~고3은 극한·급수·공학으로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 나눗셈 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 극한·부등식·공학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

0/0 꼴 인수분해(공통인수 약분) · ∞−∞ 꼴 유리화(켤레식) · 연속의 조건(좌극한=우극한=함숫값) · 미정계수 역산(분자도 0). 극한값·연속·미정계수 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 딱 한 곳만 파인 길 그림으로, 고2는 인수분해·유리화·연속으로, 고3은 미분계수·중간값 정리로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 이어진 길 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 미분계수·중간값정리·물리까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

정비례 판별(y=ax 꼴, 분모·상수항 있으면 탈락) · 비례상수 구하기(점 대입) · 그래프에서 a 구하기(3강 오른팔·왼팔+칸세기) · 도형과 결합한 응용. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 사탕 개수·가격 그림으로, 중1은 판별·비례상수로, 고등은 일차함수·유리함수로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 같이늘기·나눠갖기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 일차함수·유리함수·물리법칙까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

교점·교선(입체도형) · 직선·반직선(세 점) · 중점(비율) · 평각·직각 방정식 · 맞꼭지각(방정식+몇 쌍인지 세기) · 점과 직선 사이의 거리(수선의 발). 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 뿔 모형 손으로 짚어 세기로, 중1은 교점·교선·맞꼭지각으로, 고등은 오일러 공식·순열로 이어집니다.

연습 10문제를 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 뿔 모형 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 경우의 수·오일러 공식까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

고차방정식(조립제법·치환) · 연립이차방정식(인수분해되는 식부터) · 판별식 조건(한 쌍의 해=D 0) · 부정방정식(강제 인수분해). 고차방정식·연립방정식·부정방정식 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 반복되는 덩어리를 상자로 묶는 그림으로, 고1은 조립제법·치환·판별식·강제인수분해로, 고2~고3은 삼차함수·기하·정수론으로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 상자 치환 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 삼차함수·기하·정수론까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

극값 판정(f'(x)=0에서 부호변화) · 접선의 방정식(기울기=f'(a)) · 증가·감소(f'(x) 부호) · 닫힌구간 최대·최소(극값+양끝값 비교). 극값·접선·증가감소·최대최소 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 산꼭대기가 평평해지는 그림으로, 고2는 극값·접선·최대최소로, 고3~공학은 변곡점·최적화·경사하강법으로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 산꼭대기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 물리·경제·AI까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

이차함수 판별(x²항 확인) · 표준형(완전제곱식→꼭짓점) · 접선 조건(판별식 D=0) · 최댓값·최솟값(꼭짓점 y좌표). 판별·표준형·접선·최대최소 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 정사각형 넓이 그림으로, 중3~고1은 표준형·판별식으로, 고2~물리는 극값·포물선운동으로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 넓이 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 부등식·미분·물리까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

등비수열 판별(공비 일정) · 일반항(aₙ=a·rⁿ⁻¹) · 등비수열의 합(Sₙ 공식) · S₂ₙ/Sₙ 비율 활용(공비 역산). 판별·일반항·합공식·비율활용 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 세균 2배씩 늘어나는 그림으로, 고2는 일반항·합공식으로, 고3~공학은 무한급수·복리·반감기로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 세균 증식 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 무한급수·복리·생물학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

연립일차부등식(각각 풀어 공통범위) · 절댓값부등식(안·바깥 두 갈래) · 이차부등식(근을 기준으로 부호 구간) · 항상 성립 조건(판별식 D<0). 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 "5보다 크고 10보다 작은 수" 겹치는 범위 그림으로, 고1은 연립·절댓값·이차부등식으로, 심화는 판별식 조건까지 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 겹치는 범위 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 연립부등식 영역·최적화 문제까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

제곱근의 성질·부호판별(√(A²)=|A|) · 자연수가 되는 조건(소인수분해) · 제곱근 부등식(범위 좁히기) · 정수부분·소수부분+유리화. 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 정사각형 넓이로 제곱근을 직관으로, 중3은 부호판별·자연수조건·부등식으로, 고1은 실수의 대소관계·무리함수 정의역·판별식으로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 넓이 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 실수의 대소관계·무리함수·판별식까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

수의 성질(연속하는 자연수) · 도형(넓이 조건) · 발사체 운동(h=−5t²+v₀t) · 분배 문제. 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 "공은 같은 높이를 두 번 지난다"는 직관으로, 중3은 수·도형·발사체·분배로, 공통수학1은 이차함수와의 관계·최적화로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 발사체 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 이차함수 최적화·물리학·경제학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

y축 방향 이동(y=ax²+q) · x축 방향 이동(y=a(x−p)²) · 동시 이동(y=a(x−p)²+q) · 지나는 점으로 미지수 구하기. 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 도장 밀어 찍기 직관으로, 중3은 y축·x축·동시이동으로, 공통수학은 최댓값·최솟값·도형의 평행이동으로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 도장찍기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 최댓값·최솟값·도형이동까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

합의 법칙(배타적 사건은 더하기) · 곱의 법칙(연속 사건은 곱하기) 두 무기로 순열·조합·확률의 뿌리를 잡습니다. 나뭇가지 그림부터 여러 단계 응용, 순서까지 정하는 경우까지 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 나뭇가지 그림 직관으로, 중2는 합·곱 두 법칙으로, 고1은 순열·조합 기호로 이어집니다.

연습 10문제를 나뭇가지 그림·단계도와 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 순열·조합까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

순서쌍(가로·세로) · 사분면 부호표 · 대칭점(x축·y축·원점) · 그래프 해석(기울어질수록 빠르다) 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 보물지도 격자 직관으로, 중1은 사분면·대칭으로, 중2는 정비례·기울기로 이어집니다.

연습 10문제를 좌표평면 도식과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 정비례·기울기까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

연습 10문제를 수형도·대진표·표 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 여사건·조건부·독립시행까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

연습 10문제를 대응 도형·합동 표시 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 이등변·평행사변형·직각삼각형(RHS)·닮음·좌표기하까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 함정 판별까지 한 문서로.

연습 10문제를 정확한 그래프·직각삼각형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 삼각비·이차함수·미분·물리까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 문서만 봐도 깔끔하게 이해돼요.

직각삼각형에서 각 θ 기준으로 빗변·밑변·높이 이름을 붙이고, sin=높이/빗변, cos=밑변/빗변, tan=높이/밑변을 하나의 그림으로 정리합니다. 30°·45°·60° 특수각과 나무·사다리·드론 등 실생활 예제로 완전정복. 🎚️ 초등 비례식 직관부터 고등 사인법칙까지 — 학년을 관통하는 하나의 원리로 이어집니다.

연습 10문제를 정확한 직각삼각형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 초등·중2·고1·고등까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

사인법칙 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R과 코사인법칙 c²=a²+b²−2ab·cosC을 각각 낀각 120°인 둔각삼각형 예제(a=6,b=10 → c=14)로 완전정복. 예각이든 둔각이든 다 통한다는 걸 확인합니다. 🎚️ 중2 피타고라스 정리부터 고등 삼각함수까지 — 각C=90°일 때 코사인법칙이 그대로 피타고라스 정리가 됩니다.

연습 10문제를 정확한 삼각형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3·고1·고등까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

대입해서 0/0이 나오면 분자·분모에 숨은 공통인수를 인수분해로, 근호가 있으면 유리화로 지웁니다. 마지막엔 선생님표 지름길 — 분자·분모를 각각 미분해서 대입하는 방법까지 같은 문제로 교차검증. 🎚️ 이 지름길의 진짜 원리는 다음 학기 미분계수와 도함수 단원에서 — 여기서 씨앗을 심고 갑니다.

연습 10문제(인수분해·유리화·미분 지름길 교차검증)를 정확한 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2·고1·고3까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 삼각형을 그리는 작도. 대변·대각의 뜻부터 삼각형의 성립 조건(가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합), 삼각형을 하나로 정하는 SSS·SAS·ASA 세 조건, 컴퍼스로 정삼각형을 그리는 법까지 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

연습 10문제(성립조건·대변대각·SSS/SAS/ASA 판별·작도 순서)를 정확한 삼각형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2·고1·고2까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

비율이 똑같다는 뜻의 정비례. 표에서 "얼마씩 커지나"로 y = ax를 세우는 법, 반드시 원점을 지나는 직선이라는 성질, 오른팔(a>0)·왼팔(a<0)로 방향과 사분면을 읽는 법, 직각삼각형을 그려 몇 칸 갔나로 기울기를 찾는 법, 그리고 물통·기온·휘발유 활용까지 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

연습 10문제(표에서 식 세우기·정비례 판별·점 대입·기울기 읽기·역수 곱하기·물통/기온 활용)를 정확한 좌표평면 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2 일차함수·고1 직선의 방정식·과학의 후크의 법칙까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

반비례를 알아보는 눈 두 개(곡선이다 · x가 분모에 있다)에서 시작해, 점 하나만 곱하면 나오는 a, 부호로 사분면을 정하는 오른팔·왼팔, 표를 만들어 그리는 곡선, 그리고 속력·주스·타일·기체의 압력까지 실생활 반비례를 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 마지막엔 "둘레가 일정한 직사각형은 반비례가 아니다"라는 함정과 그래프의 성질 세 가지까지 짚습니다.

연습 10문제(반비례 판별·점 대입으로 a 구하기·그래프 성질·|a| 비교·넓이 응용)를 정확한 그래프 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2 톱니바퀴·고1 유리함수 점근선·산술기하평균·경시 정수해까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

외심을 외접원의 중심으로 잡는 데서 시작해, OA=OB=OC 하나로 이등변삼각형 세 개를 만들고 거기서 세 각을 하나씩 더하면 90°라는 첫 번째 무기를 뽑아냅니다. 이어서 중심각은 원주각의 두 배, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점까지 세 무기를 갖추고, 수직이등분선으로 둘레 구하기·중심각의 비· 내심과 외심을 한 문제에서 다루는 실전까지 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냅니다. 마지막엔 고등학교 사인법칙 a ÷ sin A = 2R이 오늘 배운 성질에서 나온다는 것까지 짚습니다.

연습 10문제(90° 법칙·중심각 2배·직각삼각형의 빗변 중점·수직이등분선으로 둘레· 중심각의 비·내심과 외심 결합)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3 원주각, 고1 좌표평면 외심·사인법칙, 고2 코사인법칙, 경시 오일러 선까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

피타고라스 정리를 식이 아니라 넓이로 먼저 보여 주는 데서 시작합니다. 정사각형 넓이 81과 25, 144와 225에서 나머지 변을 찾아내고, 짧은 두 변의 제곱합을 가장 긴 변의 제곱과 비교해 예각·직각·둔각을 판정합니다. 외워 둘 네 쌍(3:4:5 · 5:12:13 · 8:15:17 · 7:24:25), "8, 15, a"처럼 답이 두 개 나오는 함정, 격자에서 √20과 넓이 10 구하기, 마주 보는 짝으로 묶는 AP²+CP²=BP²+DP²까지 이어집니다. 마지막엔 세 변 위 반원의 S₁+S₂=S₃와 히포크라테스의 초승달(색칠한 넓이 = 삼각형의 넓이)로 마무리합니다.

연습 10문제(답이 두 개인 함정·넓이로 보기·예각/직각/둔각 판정·격자에서 직각 판별· 마주 보는 짝 공식·세 변 위 반원·히포크라테스의 초승달·이등변삼각형의 높이·직육면체의 대각선·사다리 문제)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3 정삼각형의 높이·원의 현, 고1 두 점 사이 거리·원과 점의 최단거리, 고2 공간의 거리, 경시 피타고라스 세 쌍 만드는 공식까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

각마다 화살표를 그려서 동위각과 엇각을 단번에 가려내는 장대경 선생님의 방법에서 시작해, 평행하면 둘 다 같다는 성질을 100°·65°·55°·81°·115° 예제로 익힙니다. 이어서 각을 한 직선에 모아 방정식을 세우고(3x+90°=180°), 꺾인 각이 나오면 보조선을 긋는 비법(30°+35°=65°, 70°−30°=40°, 5x=80°, 보조선 둘로 x=120°)까지. 마지막엔 종이접기와 이등변삼각형, 그리고 거꾸로 "이 두 직선 평행할까?" 판정법을 짚습니다.

연습 10문제(동위각·엇각 찾기·직선 180°·맞꼭지각·동위각 방정식· 보조선으로 더하기와 빼기·보조선 방정식·종이접기 이등변삼각형·평행 판정)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2 삼각형 내각의 합·외각·평행선과 닮음비, 고1 평행 ⇔ 기울기가 같다· 평행한 두 직선 사이의 거리, 고2 벡터의 평행, 경시 보조선 문자식까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

내심을 내접원의 중심으로 잡는 데서 시작해, ID=IE=IF 하나로 직각삼각형 두 개를 RHS 합동으로 묶어 세 내각의 이등분선이 한 점에서 만난다는 것을 보입니다. 거기서 반쪽 각 셋을 더하면 90°, ∠BIC = 90° + ½∠A, 넓이 = ½r(a+b+c), 접선의 길이는 같다는 네 무기를 차례로 뽑아내고, 내심을 지나 BC와 평행하게 그으면 △APQ의 둘레 = AB + AC가 되는 것까지 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냅니다. 마지막엔 IA=IB=IC는 내심이 아니라 외심의 성질이라는, 시험에 가장 많이 나오는 함정을 짚습니다. 제39강 삼각형의 외심과 짝이 되는 강의예요.

연습 10문제(반쪽 각 90° 법칙·∠BIC=90°+½∠A와 그 역·직각삼각형의 내접원 반지름· 넓이 ½r(a+b+c)·접선의 길이로 AD와 BD 구하기·이등변삼각형·내심을 지나는 평행선)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3 접선의 길이와 r = (a+b−c)÷2, 고1 헤론의 공식과 S = rs·좌표평면에서 내심 구하기, 고2 내접원과 외접원을 잇는 S = abc÷4R, 경시 각의 이등분선 정리와 방접원까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

정적분을 F(b) − F(a)로 잡는 데서 시작해, 위끝과 아래끝이 같으면 0, 자리를 바꾸면 부호가 바뀐다, 같은 함수면 구간을 붙이고 뗀다는 세 성질을 먼저 세웁니다. 이어서 절댓값은 부호가 바뀌는 곳에서 끊는다(∫₀²|x²−1|dx = 2, ∫₀²|x²+x−2|dx = 3), 대칭 구간에서는 홀수 차수를 지우고 짝수는 두 배, 숫자 구간의 정적분은 그냥 상수라 k로 놓는다, 위끝에 x가 있으면 대입하거나 미분한다는 무기를 예제와 함께 차례로 뽑아냅니다. 마지막엔 정적분 꼴 극한이 사실은 미분계수의 정의였다는 것까지, 단계별 그래프와 음성 해설로 풀어냅니다. 제17강 함수의 극한과 연속, 제21강 도함수의 활용과 이어지는 강의예요.

연습 10문제(기본 계산·값이 음수인 까닭·자리 바꾸기·인수분해로 약분·대칭 구간· 절댓값이 붙은 일차식과 이차식·구간 이어붙이기·정적분을 상수 k로 놓기·위끝에 x가 있는 꼴)를 그래프와 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 절댓값과 인수분해, 전개 뒤 대칭성, 두 번 미분, k가 음수로 나오는 경우, 극한을 미분계수로 읽기, 거꾸로 위끝을 구하기까지 규칙을 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 두 곡선 사이의 넓이, 속도를 적분한 위치와 거리, 구분구적법, 회전체의 부피로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 sympy와 손계산으로 검산했습니다.

이름을 읽는 데서 시작해 두 밑각은 같다(SAS 합동)와 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다를 뽑아냅니다. 이어서 밑각 54°·꼭지각 40° 같은 기본 계산을 "빼고, 반으로 나눈다" 두 걸음으로 정리하고, 외각 = 이웃하지 않은 두 내각의 합을 무기로 챙겨 꼭지각 76°·각의 이등분선 문제를 풀어냅니다. 뒤이어 거꾸로 두 각이 같으면 두 변도 같다(ASA 합동)를 세우고, 꼭지각 36°에서 AD = BD = BC를 찾아내는 숨은 이등변삼각형, 종이띠 접기, "길이를 물으면 넓이를 쓴다"는 PD + PE 문제까지 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냅니다. 마지막엔 30°인 직각삼각형에서 빗변이 짧은 변의 두 배임을 보조선 하나로 짚습니다.

연습 10문제(두 밑각·꼭지각의 이등분선과 수직이등분·외각과 각의 이등분선· 거꾸로 성질로 길이 구하기·숨은 이등변삼각형 찾기·넓이로 PD+PE 구하기·종이띠 접기·30° 직각삼각형)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2 피타고라스로 높이·넓이, 중3 원의 반지름과 삼각비, 고1 좌표평면의 수직이등분선, 경시 황금비 (√5−1)÷2까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

모르는 것을 x로 두고 읽는 순서대로 그대로 옮기는 첫 걸음에서 시작합니다. 이어 합이 정해지면 나머지는 (전체 − x)라는 개수·금액 문제의 뼈대를 세우고, 이 강의의 가장 큰 무기인 "~보다 얼마 크다·작다"는 작은 쪽에 그만큼 더한다를 저울 그림으로 몸에 익힙니다. 여기에 나누는 수 × 몫 + 나머지, 연속하는 수는 가운데를 x로(짝수·홀수 둘 다 ±2), 두 자리 수는 10a + b까지 무기 여섯 가지를 차례로 챙깁니다. 선생님이 강의 중에 직접 두 번 "여기서 잘못했다"며 고치신 자리(귤의 개수를 20 → 20 − x로, 홀수를 ±1 → ±2로)와, 부호를 반대로 넣어 답이 틀리자 되짚으신 장면까지 그대로 살려 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냈습니다.

연습 10문제(순서대로 옮기기·합이 정해진 개수·직사각형 둘레·분수가 있는 저울· 차가 정해진 두 수·나머지가 있는 나눗셈·잘못 계산한 수·연속하는 세 자연수·두 자리 수 자리값)를 정확한 도해와 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중1 일차부등식, 중2 연립방정식과 일차함수, 중3 이차방정식의 활용, 고1 절댓값 방정식의 경우 나누기까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

낱말 두 개를 갈라 놓는 데서 시작합니다. 앞뒤를 바꾼 것이 역, 둘 다 부정한 것이 이, 바꾸고 부정까지 한 것이 대우. 그리고 이 강의의 심장인 "원명제와 대우는 언제나 한 몸, 역은 아니다"를 못 박습니다. 이어서 a ≥ 1 ⇒ a² ≥ 1의 역이 왜 거짓인지(음수를 잊지 마라), a² + b² = 0에서 대우를 만들 때 "그리고"가 "또는"으로 바뀌는 함정, 4의 약수와 8의 약수로 대우는 따져 볼 것도 없다는 요령을 차례로 익힙니다. 삼단논법은 기온·A제품·B제품 이야기로 각각의 대우를 다 찾아 사슬을 잇는 법까지 보여 주고, 마지막에 쏙 들어가면 충분 · 안 들어가면 필요 · 똑같으면 필요충분 세 줄로 정리합니다. x = 4를 대입해 k = −5를 얻는 대우 활용, 두 부등식을 더해 k의 최댓값 −2를 찾는 문제, 그리고 벤 다이어그램 영역마다 번호를 매기는 비법까지 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냈습니다.

연습 10문제(역·대우 쓰기·이(裏)의 참거짓·드모르간 부정·대우로 판정· 필요·충분 판별·삼단논법 사슬·대우로 미지수·범위의 포함관계·집합식 ↔ 조건)를 수직선·벤 다이어그램과 반례까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3 대우로 증명하기, 고1 필요충분조건 계수 결정, 이차부등식과 포함관계, 경시 논리 사슬까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

정적분의 계산을 다룬 제43강의 짝 강의로, 이번엔 활용입니다. x축 위는 +, 아래는 −라서 부호가 바뀌는 자리에서 끊어 더한다는 데서 시작해 (y = x² − 6x 와 x = −1, 1 사이의 넓이 6), 두 그래프 사이는 「위 − 아래」이고 그 전에 교점부터 찾는다는 원칙을 세웁니다. 이어서 S = |a|/6 (β − α)³ 공식을 뽑아내 포물선과 직선(32/3, 4/3), 포물선 두 개(9)를 적분 없이 한 줄로 풀고, 삼차가 되면 공식을 못 쓰고 구간을 나눈다(131/4)는 경계를 그어 줍니다. 접선이 만드는 넓이(1/3), "두 넓이가 같다"는 곧 정적분이 0(a = 1/4), 그리고 속도를 적분하면 위치, 절댓값을 씌우면 움직인 거리(원점 복귀 8/3)까지 단계별 그래프와 음성 해설로 풀어냅니다. 제17강 함수의 극한과 연속, 제21강 도함수의 활용, 제43강 정적분과 이어지는 강의예요.

연습 10문제(x축과의 넓이·부호가 바뀌면 끊기·포물선과 직선·공식 연습· 포물선 두 개·삼차함수·접선과 y축·넓이가 같을 조건·속도와 움직인 거리·직선이면 삼각형 넓이로)를 정확한 그래프와 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 근이 무리수인 경우, 삼차 × 직선, 넓이가 주어졌을 때 거꾸로 기울기 구하기, 위끝을 구하기, 속도의 부호가 두 번 갈리는 경우, 쏘아 올린 물체의 최고 높이까지 규칙을 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 회전체의 부피, 구분구적법, 가속도→속도→위치, 넓이의 최댓값·최솟값으로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 전수 재검산했습니다.

선생님이 이 시간에 가장 여러 번 하신 말씀 "지그재그로 하면 된다"에서 출발합니다. 먼저 항등식의 계수비교(미정계수법) — ax − 2a + bx + 2b 를 x가 있는 자리와 없는 자리로 갈라 묶어 a = −1, b = 1 을 찾고, 이어서 번분수는 맨 아래층부터 통분하고 뒤집어 올라오면 (3x + 2)/(2x + 1) 이 나온다는 것을 층별로 보여 줍니다. 대칭식은 합과 곱만 알면 되므로 a/b + b/a = 5 에서 세제곱의 합 110이 한 줄에 나오고, 조건은 전개해서 겹치는 것을 버리면 (a+b+c)² = a²+b²+c² 이 ab+bc+ca = 0 으로, 다시 세 수의 역수의 합 0 으로 바뀝니다. a + b + c = 0 이면 a³+b³+c³ = 3abc 라는 것까지 짚고, 마지막으로 분수 조건은 통분해서 분자만 보는 법으로 1/(x−1) + 1/(y−1) = −1 에서 xy = 1 을, 그것으로 1/(x+1) + 1/(y+1) = 1 을 끌어냅니다. 제16강 유리함수로 곧장 이어지는 강의예요.

연습 10문제(계수비교 두 문제·번분수 2층과 4층·대칭식 제곱과 세제곱· a+b+c=0·조건식 모양 바꾸기·통분해서 합과 곱 찾기·부분분수)를 도해와 검산까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 차가 주어진 대칭식, 덩어리로 다시 쓰는 항등식, 부분분수로 열 항의 합, 나머지정리, 조건식 통째로 바꿔치기, 비례식(가비의 리)까지 무기를 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 이 방법이 나머지정리·수열의 합·근과 계수의 관계·유리함수·복소수로 자라나는 길을 담았어요. 16문항 전부 손과 sympy로 전수 검산했습니다.

제17강·제35강이 0/0 꼴을 계산으로 뚫는 법이었다면, 이번 강의는 그 앞에 있는 읽는 법입니다. 극한값이 존재한다는 말은 오직 하나 — 좌극한과 우극한이 같다는 뜻이라는 데서 출발해, 좌·우가 갈리는 대표 선수인 절댓값을 부호로 갈라 두 줄로 쓰는 습관을 잡습니다 (|x − 2| ÷ (x − 2) 의 좌극한 −1, 우극한 1). 이어서 그래프 한 장에서 좌극한 · 우극한 · f(a) 셋을 따로 읽고 (뚫린 ○ 는 아니다, 꽉 찬 ● 가 f(a)), 불연속의 이유는 뛴다 · 뚫렸다 · 떠 있다 셋뿐이라는 것을 정리합니다. 같은 절댓값인데도 x³ ÷ |x| 는 연속이고 x ÷ |x| 는 불연속인 까닭을 나란히 보여 주고, 정의역의 끝처럼 한쪽 극한만 있는 자리와 정수마다 끊기는 가우스 함수까지 갑니다. 제17강 함수의 극한과 연속, 제35강 함수의 극한과 짝을 이루는 강의예요.

연습 10문제(절댓값을 부호로 가르기·분자가 인수분해되는 경우·구간별 함수의 연속· 그래프에서 셋 읽기·분모의 절댓값·가우스 함수·정의역의 끝·구멍과 무한의 차이·미지수 둘·불연속점 세기)를 정확한 그래프와 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 조건이 둘인 미정계수, 인수분해 × 절댓값, 소수 부분 함수, 각각은 극한이 없어도 곱하면 생기는 경우, 둘 다 ∞ 라도 수렴이 아닌 까닭, 사잇값 정리까지 규칙을 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 미분가능성(좌미분계수 = 우미분계수), 사잇값·최대최소 정리, 점근선, 엡실론-델타로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 전수 재검산했습니다.

삼각비의 뜻을 배운 제33강의 짝 강의로, 이번엔 그것으로 실제 길이를 계산합니다. 대변 = 빗변 × sin A, 인접변 = 빗변 × cos A, 대변 = 인접변 × tan A를 「양쪽에 곱한다」 한 동작으로 뽑아내고, 거꾸로 갈 땐 ÷ cos·÷ tan로 되돌립니다 (빗변 8·30° → 4와 4√3 / 55°·빗변 6 → 4.92와 3.42 / 50°·빗변 8 → 5.12와 6.16 / 밑변 2·tan63° → 3.92). 이어서 직각이 없으면 수선을 그어 만든다는 결정적 한 수로 일반 삼각형까지 넘어가고 (∠B=30°·AB=6·BC=4√3 → AC=2√3 / ∠B=60°·AB=2·BC=5 → AC=√19), 75° 같은 낯선 각은 60°+45° 특수각 둘로 가른다는 요령으로 4√6, 6√3을 한 줄에 구합니다. 마지막은 삼각형의 높이 — 밑각을 90°에서 뺀 위쪽 각으로 바꿔 h tan 두 조각을 더하거나 빼는 법(15−5√3, 2√3+2 그리고 넓이 4√3+4), 그리고 눈높이 1.6m를 더해야 진짜 나무 높이가 되는 실생활 문제(8.9m)까지 단계별 그림과 음성 해설로 풀어냅니다. 제33강 삼각비, 제34강 사인법칙과 코사인법칙과 이어지는 강의예요.

연습 10문제(빗변에서 두 변·삼각비의 표·인접변 × tan·÷cos로 되돌리기·÷tan로 되돌리기· 수선 긋기와 피타고라스·두 각을 알 때·높이 더하기형·높이 빼기형(둔각)·건물 높이와 눈높이)를 정확한 그림과 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 삼각비로 넓이 구하기, 두 각으로 변과 넓이 한꺼번에, 표를 거꾸로 읽기, 두 지점에서 관측하는 삼각측량, 평행사변형의 넓이, 그리고 삼각형의 높이 공식 h = a ÷ (tan(90°−B) + tan(90°−C))의 유도까지 이어집니다. 맨 아래엔 사인법칙·코사인법칙, 넓이 ½ab sin C, 삼각측량, 힘의 분해로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 전수 재검산했고, 삼각비의 표도 함께 실었습니다.

제13강 명제와 집합이 진리집합의 포함관계로 명제를 증명하는 강의였다면, 이 강의는 그 앞에 놓이는 집합 자체의 기초입니다. 짝수의 모임은 집합이지만 「키가 큰 축구선수」는 집합이 아니다 — 기준이 없기 때문이라는 한 줄에서 출발해, 원소(element)와 원소나열법·조건제시법, 유한집합·무한집합·공집합, 그리고 가장 많이 틀리는 ∈ 와 ⊂ 의 구분(∅ ⊂ A, A ⊂ A)까지 정리합니다. 「20 이하의 4의 배수」에서 20을 빠뜨리면 그 자리에서 틀린다는 것, x³−x²−2x=0 ⇒ {−1, 0, 2} 처럼 집합 문제의 속은 결국 인수분해라는 것도 함께 봅니다. 뒷부분은 통째로 부분집합의 개수 — 2ⁿ과 진부분집합 2ⁿ−1({1,3,9}은 7개, 12보다 작은 소수는 31개), 반드시 넣는 것·절대 안 넣는 것은 지수에서 뺀다(14의 약수에서 7개 / 2ⁿ⁻²=128이면 n=9), 그리고 「적어도 하나」는 전체에서 하나도 없는 것을 뺀다(소수 하나 이상 56개 · a 또는 c 48개)까지 단계별 벤 다이어그램과 음성 해설로 풀어냅니다. 마지막은 선생님이 가장 힘주어 말씀하신 자리 — 「모든 원소가」라고 물었으면 공집합을 뺀다(15개).

연습 10문제(집합의 판별·원소나열법 세 가지·방정식의 해집합·유한무한공집합· ∈와 ⊂ 기호 채우기·{1,3,5,7}의 부분집합 전수 세기·진부분집합·이차부등식과 부분집합· 1을 반드시 포함하는 부분집합·개수에서 원소 수 거꾸로 구하기)를 정확한 수직선·벤 다이어그램과 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 소수를 적어도 하나 갖는 부분집합(56), 「또는」 조건 세기(48), 「모든 원소가」라는 말 때문에 공집합을 빼는 국어 함정(15), 반드시와 절대가 함께 붙은 경우(4), 적어도 하나 + 진부분집합이 겹친 문제(27), 그리고 B ⊂ X ⊂ A 꼴로 사이에 낀 집합 세기(62)까지 이어집니다. 맨 아래엔 시험장에서 흔들릴 때 보는 여섯 줄 요약을 담았어요. 16문항 전부 전수 재검산했고, 작은 집합은 전부 나열해서 세어 공식과 맞춰 두었습니다.

제17강·제35강이 0/0 꼴을 계산으로 뚫는 법, 제49강이 좌·우극한을 읽는 법이었다면, 이번 강의는 시험에 가장 많이 나오는 실전 유형 — 연속이 되도록 미정계수를 정하는 계산입니다. 출발점은 한 줄이에요. 분모가 0 이 되는 자리에서는 분자도 반드시 0. 조건식은 전부 여기서 나옵니다. (x² + x + a) ÷ (x − 2) 에서 a = −6 을 뽑아 f(2) = 5 를 얻는 기본형에서 시작해, 분모가 0 이 되는 자리가 둘이면 조건식도 둘이라 연립으로 가는 꼴 ((x⁴ + ax³ + b) ÷ (x² − 1) ⇒ a = 0, b = −1), 미지수가 조건보다 많을 때 문제가 함숫값을 하나 더 주는 꼴 (f(3) = 4 ⇒ a = 1, b = −2, f(2) = 3)까지 세 단계로 올라갑니다. ⭐ 선생님이 강의 중 −4 ÷ (−2) 를 −2 라 쓰셨다가 그 자리에서 +2 로 바로잡으신 장면을 그대로 살려 부호 함정을 짚고, 끝으로 "모든 실수" 가 나오면 판별식 D < 0 (선생님 : "수능에도 두 문제는 반드시 출제한다")과 사잇값 정리로 a 의 범위를 잡는 데까지 갑니다. 제17강·제35강·제49강과 겹치지 않게 계산 도구는 되풀이하지 않고 조건식 세우기에만 집중했어요.

연습 10문제(상수항이 미지수·일차항이 미지수·원본 5-2번·유리화형 두 꼴· 함숫값을 하나 더 주는 꼴·분모가 0 이 되는 자리 둘·분모가 0 이 되느냐 판정·"모든 실수"와 판별식)를 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 삼차식 미정계수, ⭐선생님이 강의에서 스스로 바로잡으신 근호형(ab = −16), 더해서 푸는 연립, 근호 안에도 미지수가 있는 꼴, 사잇값 정리로 정수 a 의 합, 일차항 계수가 짝수인 판별식 심화까지 규칙을 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 인수정리, 미분계수의 정의식에 숨은 같은 구조, 이차식의 부호와 판별식, 사잇값 정리로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 인수분해와 미분 대입 두 갈래로 전수 재검산했습니다.

제14강 함수가 「역함수는 y = x 대칭」 한 갈래였다면, 이 강의는 그와 겹치지 않는 조건으로만 주어진 함수를 다룹니다. 먼저 함수방정식 — f(ab) = f(a) + f(b) 는 곱을 합으로 바꾸지만 아무렇게나 쪼개면 안 됩니다. 선생님이 짚으신 대로 1 × 300 으로 쪼개면 f(1) 이 나오는데 1은 소수가 아니라 값을 모릅니다. 소인수분해까지 가야 f(300) = 17 이 나옵니다. 이어서 개수 세기 — 함수의 개수는 공역 개수의 거듭제곱(3³ = 27), 일대일대응은 갈 곳이 하나씩 줄어드는 3! = 6, 둘을 더해 33. 선생님이 "시험에 나올 확률이 굉장히 높다"고 짚으신 네 갈래 한 판 (함수 9 · 일대일 6 · 상수 3 · 치역 = 공역 6 → 24)도 그대로 실었습니다. 여기에 조건이 붙습니다 — f(1) > f(3) 인 일대일대응 12가지(전체의 딱 절반), 합이 7이면서 값이 겹치면 안 되는 6가지(선생님이 "일곱 개" 하셨다가 조건을 다시 읽고 스스로 고치신 대목), 구간이 나뉜 함수가 일대일대응이려면 기울기 부호가 같아야 한다는 조건 ((a+3)(2−a) > 0 → 정수 4개), 그리고 합성은 돌고 돈다는 주기의 눈(122 ÷ 4의 나머지 2 → 3)까지 이어집니다. 제14강 함수, 제8·10강 조합·순열과 이어지는 강의예요.

연습 10문제(함수방정식으로 f(72) 구하기 · f(n) = 10 인 최소의 n 거꾸로 찾기 · 함수의 개수 · 일대일함수 · 상수함수와 일대일대응 · 치역 = 공역 · 크기 조건과 「반반」 대칭 · 합 조건에서 겹치는 묶음 버리기 · 구간이 나뉜 함수의 기울기 부호 · 합성의 주기와 나머지)를 단계별 해설과 검산까지 붙여 풀어내고, 도전 6문제에서는 f(1) = 0 을 스스로 끌어내기, 공역이 3개일 때의 포함배제(3⁴ − 3·2⁴ + 3 = 36), 크기 순서를 못 박으면 순열이 조합이 되는 자리, 합 조건을 여집합으로 뒤집기, 일대일대응에 「이어짐」까지 요구되는 경우, 그리고 fⁿ 이 항등함수가 되는 최소의 n 까지 이어집니다. 맨 아래엔 순열·조합, 역함수의 존재 조건, 주기수열과 귀납적 정의, 로그의 log(ab) = log a + log b 로 넓혀 쓰는 길을 담았어요. 16문항 전부 손과 전수 열거로 재검산했습니다.

제46강이 역·이·대우가 무엇인지를 갈라 놓았다면, 이 강의는 그 대우로 실제로 증명하는 법입니다. 첫 걸음은 부정입니다 — "적어도 하나는"의 부정은 "모두 …이 아니다", 또는 ↔ 그리고가 뒤바뀌고, a > 0의 부정은 a ≤ 0(등호를 빠뜨리면 부정이 아닙니다). 여기서 한 글자만 어긋나면 대우가 통째로 틀어집니다. 이어서 이 강의의 열쇠인 홀수는 2k − 1, 짝수는 2k로 놓는 법 — 「a + b 가 홀수이면 a, b 중 적어도 하나는 짝수」를 대우로 뒤집어 2(k + l − 1)까지 밀어 붙이고, m² + n²과 서로소 예제로 한 번 더 굳힙니다. 그 다음이 귀류법 — 아니라고 해 놓고 모순이 나오는 자리를 찾는 길이며, √2 는 무리수를 이 강의의 도구만으로 끝까지 풀어 보입니다. 마지막은 부등식의 증명 — 차를 본다 · 제곱은 0 이상 · 근호는 제곱해 없앤다, 그리고 근호 안에 음수는 못 들어간다는 조건까지 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냈습니다.

연습 10문제(부정 정확히 쓰기 · 대우로 증명 · 「적어도 하나」와 곱의 홀짝 · 세제곱의 홀짝 · 유리수+무리수 귀류법 · 「또는」 결론의 귀류법 · 부등식의 차 · 완전제곱과 등호 조건 · 근호는 제곱해 없애기 · 단서 조건의 함정)를 구체적인 수를 넣은 검산과 반례까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3 두 홀수의 제곱의 차는 8의 배수, 고1 a + b√2 = 0의 뿌리, 삼각부등식, 역수의 합, 홀수 계수 이차방정식에 유리수 근이 없음, 그리고 경시 — 전체를 두 번 세어 모순 찾기까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

제53강 함수 심화가 조건으로만 주어진 함수를 세는 강의였다면, 이 강의는 그 앞자리 — 함수의 맨 처음입니다. 선생님이 첫 문제에서 짚으신 한마디가 전부예요. 「이 이가 양쪽으로 가기 때문에 함수가 안 된다」 — 함수는 하나에 하나씩입니다. 갈라져도 안 되고, 「미팅을 안 해도」 안 되고, 값이 공역 밖으로 나가도 안 됩니다 (x = 2 를 넣었더니 4가 나오는데 오른쪽에 4가 없는 자리). 이어서 이름을 붙입니다 — 왼쪽 전체가 정의역, 오른쪽 전체가 공역, 그중 실제로 짝을 만난 것만이 치역. 그래서 치역은 언제나 공역 안에 있습니다. 치역은 그래프를 그려서 읽습니다 — x² + 6x 를 완전제곱해 (x + 3)² − 9 로 만들면 가장 낮은 값 −9 가 보이고, 분모에 x 가 있는 그래프는 붙지 않는 선이 곧 빠지는 값입니다. 그리고 학생들이 가장 많이 헷갈리는 이름 네 갈래 — 일대일대응(딱 맞아떨어짐) · 일대일함수(남아도 됨) · 상수함수(오로지 한 곳) · 항등함수(자기 자신)를 선생님 특유의 한 줄 「여자는 미팅을 안 해도 되지만, 남자는 무조건 해야 된다」 로 정리합니다. 마지막은 실전 — 일대일대응이면 끝이 끝으로(a = −2, b = 1), 이차함수는 꼭짓점을 정의역 밖으로(k = 8) 또는 꼭짓점에서 자르기(k ≥ 3), 그리고 서로 같은 함수가 되는 정의역을 세면 부분집합 8가지에서 공집합을 빼 7가지가 됩니다. 제14강 함수, 제53강 함수 심화와 이어지는 강의예요.

연습 10문제(대응 넷 가운데 함수인 것 고르기 · 공역을 거꾸로 정해 n 의 최솟값 구하기 · 완전제곱으로 치역 읽기 · 정의역이 잘린 이차함수의 치역(꼭짓점이 안에 있을 때) · 붙지 않는 두 선으로 정의역과 치역 · 일대일대응 · 상수함수 · 항등함수를 화살표로 가르기 · 끝이 끝으로 가는 일차함수 · 꼭짓점에서 자르는 일대일 조건 · 서로 같은 함수와 치역 · 겹치는 값을 한 번만 세는 치역)를 단계별 해설과 검산까지 붙여 풀어내고, 도전 6문제에서는 원이 함수가 될 수 없는 까닭(세로줄), 꼭짓점을 정의역 밖으로 밀어 일대일대응 만들기, x³ = 4x 로 서로 같은 함수의 정의역 7가지 세기, 내려가는 직선에서 끝을 엇갈려 짝짓기, 유리함수가 일대일대응임을 되돌아가는 x 로 보이기, 그리고 치역이 딱 맞도록 정의역의 왼쪽 끝 범위를 구하기까지 이어집니다. 맨 아래엔 역함수, 합성함수, 유리·무리함수, 함수의 개수 세기로 넓혀 쓰는 길을 담았어요. 16문항 전부 손과 파이썬 전수 검산으로 재확인했습니다.

제21강이 도함수로 그래프의 개형을 읽는 법이었다면, 이번 강의는 시험에 가장 많이 나오는 접선의 방정식 네 유형을 한 줄로 뚫습니다. 출발점은 한 줄이에요. 직선을 정하는 건 기울기와 점, 딱 둘이고 그 기울기는 언제나 미분입니다. 곡선 위의 점이면 바로 f′(a) (y = x³ + ax² + b 위의 (2, 6)에서 기울기 8 ⇒ a = −1, b = 2), 그 접선이 곡선과 다시 만나는 점은 반드시 중근으로 찾고 (y = x³ − 4x² + 5 ⇒ y = −5x + 7, 다시 만나는 점 (2, −3)), 평행·수직처럼 기울기를 먼저 주면 순서가 거꾸로 돼 접점부터 찾습니다 (y = −x + 3 과 평행 ⇒ y = −x + 1/4). ⭐ 제일 중요한 건 곡선 밖의 점 — 접점을 모르니 t 로 놓고 "그 점을 지난다"로 t 를 구합니다 (점 (0, 1) ⇒ y = 2x + 1). 끝으로 y = x⁴ 위의 접선과 반지름 ⊥ 접선 조건으로 원의 넓이 17π/16을 구하는데, ⭐ 선생님이 중심을 (0, 1) 로 두셨다가 "샘이 실수했다" 하시고 되돌아가 수직 조건으로 다시 잡으신 장면을 그대로 살려 그림만 보고 중심을 찍으면 안 된다는 것을 짚습니다.

연습 10문제(곡선 위의 점 두 꼴·미정계수·다시 만나는 점· 평행인 접선 둘·수직인 접선·곡선 밖의 점 두 꼴·접할 조건·원점에서의 접선)를 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 두 곳에서 동시에 접하는 이중접선, 두 곡선이 접할 조건, 곡선 위의 점인데도 접선이 둘인 꼴, 수직인 두 접선의 교점이 항상 y = −1/4 인 것, 다시 만나는 점을 x = −2t 로 일반화하기, 미끄러진 자동차가 접선 방향으로 나가는 실생활 문제까지 규칙을 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 법선, 뉴턴의 방법, 접선의 개수와 실근의 개수, 접선으로 근삿값 구하기로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 sympy 로 전수 재검산했습니다.

선생님의 첫마디 "루트가 뭔데"에서 출발합니다. 먼저 분모의 유리화 — 분모에 뿌리가 둘이면 가운데 부호만 바꾼 짝을 위아래에 똑같이 곱해 A² − B² 로 뿌리를 없애고, (√(2x+1) − √(2x−1)) / (√(2x+1) + √(2x−1)) 에서 √2 − 1 을 끌어냅니다. 이어서 선생님의 "소나기 대가리 꼬랑지" — 유리화해 놓고 죽 더하면 가운데가 지워지고 머리와 꼬리만 남는다는 것을 세 항으로 보여 주고, 뿌리의 차·합은 제곱을 만들어 합과 곱으로 구합니다. 후반부는 그래프예요. 유리함수는 오른팔 왼팔, 무리함수는 요래 요래 — 근호 앞 부호가 위·아래를, 근호 안 x의 계수가 오른쪽·왼쪽을 정해 그림은 네 모양뿐입니다. 모양을 정한 뒤에는 출발점 하나만 쫓으면 평행이동도 대칭이동도 끝나고, 마지막으로 직선과의 교점을 제곱 → 판별식 → 되넣어 검산으로 가르며 무연근을 버리는 법까지 짚습니다. 제15강 무리함수와 나란히 보면 좋은 강의예요.

연습 10문제(유리화 기본과 문자식·텔레스코핑·제곱 만들기와 대소 확인· 유리화한 뒤의 대칭식·네 모양과 정의역치역·평행이동의 괄호·제한구간 최대최소· 그래프에서 식 찾기·무리방정식의 무연근)를 도해와 검산까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 두 분수의 합, 켤레로 만드는 세제곱, 항수를 모르는 텔레스코핑, 판별식과 끝점으로 가르는 교점 개수, 평행이동과 대칭이동의 겹치기, 무연근 걸러내기까지 무기를 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 이 방법이 수열의 합·극한 계산·접선·역함수로 자라나는 길을 담았어요. 16문항 전부 손과 mpmath(40자리)·sympy로 전수 검산했습니다.

선생님이 강의 한가운데서 "여기서 아주 중요한 게 있어" 하고 못박으신 네 걸음이 이 강의의 뼈대예요. ① 묶어라 ② 줄 세워라 ③ 자리 이동 ④ 선택 — "이 순서 바뀌지 말고 순서대로 해야 헷갈리지 않을 거다". 먼저 nPr 이 n 에서 한 개씩 내려가며 r 개를 곱하는 것임을 잡고, nP2 = 90 · 6Pr = 120 · (n+2)P4 = 56·nP2 세 방정식을 양쪽을 펼쳐 같은 덩어리를 지우는 손놀림으로 풉니다. 이어서 여자 다섯이 이웃하는 자리에서 네 걸음을 처음 밟고, BISANG 여섯 글자의 자리 제한에서 네 걸음을 한꺼번에 씁니다. 뒤집으면 "이웃하지 않게" — 이때는 묶어서 빼는 것이 아니라 빈자리를 만들어 꽂고, "교대로"는 적은 쪽을 먼저 세웁니다. 마지막은 "적어도"는 여사건(HOLIDAY), 0 은 맨 앞에 못 온다(끝자리부터 나누기), 사전식은 앞자리를 한 칸씩 좁혀 가기까지. 제10강 순열 실전 — 고르고 줄세우기와 나란히 보면 좋은 강의예요.

연습 10문제(nPr 계산과 세 가지 방정식·부모끼리 이웃·남학생끼리 안이웃·수가 같을 때의 교대· 적어도 한쪽 끝에 모음·0 이 낀 세 자리 홀수·다섯 자리 수의 45번째)를 도해와 검산까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 해가 둘인 nPr 방정식, 뽑아서 세우기, 3400보다 큰 네 자리 수, 묶음의 자리까지 제한된 배열, 사전식을 거꾸로 묻기, 여섯 자리 수의 400번째까지 무기를 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 이 방법이 조합·같은 것이 있는 순열·여사건의 확률·이항정리로 자라나는 길을 담았어요. 16문항 전부 손과 전수 열거로 검산했습니다.

선생님의 첫마디 "일반항을 찾아라 이 뜻이란 얘기야"에서 출발합니다. 시그마는 세 칸을 채우는 것 — 아래끝은 어디부터, 위끝은 어디까지, 오른쪽은 일반항. 그리고 (위끝 − 아래끝 + 1) = 항의 개수를 먼저 세는 습관부터 잡습니다. 1 + 3 + 5 + ⋯ + 29 는 공차가 2라 일반항이 2k − 1, 끝항 29로 항이 15개임을 찾아 그대로 옮겨 적고, 거꾸로 합의 꼴로 풀어 쓰는 연습도 함께 합니다 — "제일 마지막에 있는 게 곧 일반항이다." 이어서 시그마의 성질. 쪼개지고 상수배는 밖으로 나오지만 k가 없는 그냥 숫자는 못 나옵니다 — 선생님 말씀대로 "숫자는 반드시 항의 개수하고 곱해야" 하지요. 외울 공식은 딱 셋이고 세제곱은 Σk 를 통째로 제곱한 것뿐입니다. 중반부는 계산의 손놀림 — 시그마 안을 먼저 정리하면 제곱이 통째로 사라지기도 하고, 분모를 같게 만들고 공통인수를 먼저 꺼내야 답이 인수분해된 꼴로 떨어집니다 ("전개부터 이렇게 하지 말고 공통인수를 먼저 꺼내"). 마지막은 부분분수. 분모가 곱이면 쪼개어 가운데를 지우고, 선생님의 "앞에 대가리가 나오면 뒤에 꼬랑지가 남아야 된다" 그대로 앞에서 남은 개수만큼 뒤에서도 남는지를 세어 확인합니다. 제12강 수열의 합과 나란히 보면 좋은 강의예요.

연습 10문제(시그마로 옮겨 적기와 항의 개수·합의 꼴로 풀어 쓰기· 상수를 개수와 곱하기·Σk²와 Σk³ 대입· 분모를 맞추고 공통인수 꺼내기 셋·부분분수의 대가리와 꼬랑지·홀수의 제곱의 합)를 검산까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 분모의 차가 3인 부분분수, 1에서 시작하지 않는 구간, 일반항을 스스로 세우기, 위끝이 2n인 합, 분모를 먼저 한 덩이로 만들어야 하는 꼴, 분모가 세 개의 곱인 부분분수까지 무기를 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 이 방법이 급수·귀납적 정의·정적분으로 자라나는 길을 담았어요. 16문항 전부 손으로 풀고 다시 기호계산으로 전수 대조했습니다.

선생님의 첫마디 "어디에 있니"에서 출발합니다. 점은 선·면 안에 박혀 있으면 「위에 있다」 — "직선 위에서는 선생님이 위에 있는 거잖아요, 이게 아니다" 하시며 뜻부터 바로잡습니다. 평행사변형과 직육면체·삼각뿔에서 변·면 위의 꼭짓점을 세고, 한 평면 위의 두 직선은 만남·일치·평행 셋뿐임을 확인한 뒤, 공간으로 나오며 오늘의 열쇠 꼬인 위치가 붙습니다 — "만나지도 않아야 되고 평행하지도 않아야 돼." 이어서 선생님이 두 번이나 되풀이하신 "일단 만나는 것부터 찾아보자" 를 세는 차례로 굳혀, 삼각기둥에서 4 + 1 + 3 = 8, 직육면체 면 기준으로 4 + 4 + 4 = 12 처럼 합으로 검산하는 습관까지 잡습니다. 두 평면(교선·평행·수직)과 전개도를 접어 주사위로 보기로 마무리하고, 마지막에 "만나지 않으면 무조건 평행" 과 "마주 보는 면의 모서리만 세기" 두 함정을 짚습니다. 16장면 · 예제의 개수를 전부 도형 위에서 다시 세어 검산했습니다.

연습 10문제(평면과 직선이 만나는 점·오각형의 변 위 꼭짓점·한 평면 위 두 직선으로 가능한 관계· 직육면체 AB 기준 꼬인 모서리·삼각기둥 CF 기준 셋으로 갈라 세기·면 BFGC 기준 포함·수직·평행· 면 ABFE 의 교선·사각뿔 AB 기준·전개도를 접어 마주 보는 면 찾기·점과 면 사이의 거리)를 도해와 합 검산까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 대각선 AG 와 꼬인 모서리, 정오각기둥에서 평행이 하나뿐인 까닭, 면 기준으로 세기, 꼬인 짝의 개수 24가지(두 가지 방법으로 검산), 참·거짓 다섯과 반례 찾기, 대각선끼리의 네 가지 위치 관계까지 무기를 겹쳐 씁니다. 16문항 전부 도형 위에서 손으로 전수 검산했습니다.

선생님의 첫마디 "순서를 생각하지 않고" 에서 출발합니다. 순열은 뽑아서 줄까지 세웠지만 조합은 뽑기만 합니다 — 다른 건 그 하나뿐인데 그 하나가 모든 걸 바꾸지요. 그래서 nCr = nPr ÷ r!, 줄 세운 만큼 통째로 나눕니다. 선생님의 "편지가 움직이나, 우체통이 움직이나" 비유가 바로 그 자리예요. 이어서 nCr = nC(n−r) — "될 수 있으면 이쪽 숫자를 작게 만들어라" 로 12C9 를 12C3 으로 바꿔 세 번만 곱하는 손놀림을 잡고, nCr 이 든 방정식 다섯을 같은 차례로 풉니다. 중반부는 뽑기의 결. 함께 뽑으면 곱하고 이쪽이거나 저쪽이면 더한다 — 「성별이 모두 같은 네 명」에서 선생님이 목소리를 높이신 "곱하는 게 아니고 더한다" 가 여기입니다. 「반드시 포함」은 집에 보내고(전체도 −k, 뽑을 개수도 −k), 「적어도」는 전체에서 안 되는 것을 뺍니다("못 생긴 사람만 집에 보내면 미스코리아만 남는다"). 후반부는 뽑고 나서 세우기(이웃하면 묶고 묶음 안에서도 세기)와 도형 — 점을 몇 개 고르나. 한 직선 위의 점을 뺄 때 직선만 +1 을 하고 삼각형은 하지 않는 그 한 곳을 마지막에 짚습니다. 격자에서는 두 방향에서 두 줄씩 골라 평행사변형을 세고, 직사각형에서 정사각형을 빼는 데까지 갑니다. 16장면 · 실린 모든 값을 손과 전수 열거로 검산했습니다. 제8강 조합 실전(무기는 넷), 제58강 순열 nPr 과 나란히 보면 좋은 강의예요.

연습 10문제(nCr 을 nPr ÷ r! 로 계산하기·아래 숫자를 작게 바꾸기· nC3 = nC7 과 nC2 = 36 두 방정식·함께 뽑으면 곱·갈래가 둘이면 합· 반드시 포함·제외·적어도(여사건)·원 위의 점으로 만드는 삼각형)를 검산까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 아래가 n 인 방정식, n 을 찾고 다시 계산하기, 뽑고 나서 세우기, 뽑고·묶고·세우고·자리 바꾸기 네 걸음, 격자에서 평행사변형 세기, 한 직선 위의 점을 뺄 때 직선만 +1 을 하는 까닭까지 무기를 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 이 방법이 같은 것이 있는 순열·이항정리·확률·중복조합으로 자라나는 길을 담았어요. 16문항 전부 손으로 풀고 다시 전수 열거로 대조했습니다.

선생님의 첫마디 "합성 말 그대로 합한다는 것이다" 에서 출발합니다. 두 함수를 이어 붙여 하나로 만드는 일인데, 이 단원에서 선생님이 가장 많이 되풀이하신 말씀은 딱 한 마디 — "안쪽에 넣어라." (g ∘ f)(x) = g(f(x)) 이니 쓸 때는 g 가 앞이지만 갈 때는 f 가 먼저고, 여기서 절반이 넘어집니다. 이어서 성질 세 가지를 한 판에 놓습니다 — ① 자리는 못 바꾼다(f ∘ g ≠ g ∘ f), ② 괄호는 아무 데나("요렇게 하든지 요렇게 하든지 아무 관계가 없다"), ③ 항등함수와 만나면 그대로("자기 자신이야"). 중반부는 여러 번 합성. "한 번·두 번·세 번 해 보고 규칙을 n 으로 적는다" 로 더하기 꼴은 쌓이고(x − 2 의 되풀이 → x − 2n), 곱하기 꼴은 거듭제곱으로 쌓이며(2x 의 일곱 번 → 2⁷x), 두 번 만에 제자리로 오는 함수(1 − x)는 짝·홀만 보면 천 번이든 한 줄임을 보입니다. 후반부는 선생님의 시원한 한마디 "h 를 모르면 만들어 버려" — 모르는 함수를 ax + b 로 놓고 계수를 견주는 손놀림으로 f ∘ h = g 와 h ∘ f = g 를 나란히 풀어 순서만 바꿨는데 h 가 달라지는 것을 눈으로 보여 주고, 괄호 안이 덩어리면 t 로 놓는 치환, 그리고 마지막으로 몇 번이나 되풀이하신 "가장 중요한 게 범위까지 같이 넘어가야 된다는 사실" — 구간이 나뉜 함수의 합성으로 마무리합니다. 원본 전사 1512세그먼트를 처음부터 끝까지 전수 대조했고, 실린 모든 값을 기호계산과 전수 대입으로 다시 세운 뒤에만 실었습니다.

연습 10문제(안쪽부터 값 구하기 · 괄호째 넣기 · 두 합성의 차와 값이 같아지는 한 점 · f ∘ g = g ∘ f 가 되는 상수 · 결합법칙과 세 함수의 합성 · g ∘ f = I 로 표를 거꾸로 읽기 · f³ 의 규칙 찾기 · 바퀴가 둘인 주기와 최소공배수 · 합성함수의 역함숫값 · 치환으로 모르는 함수 찾기)를 되짚어 넣는 검산까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 f ∘ f = I 인 함수(자기 자신이 역함수), 번분수 함수의 주기 2와 f²⁰²⁶ + f²⁰²⁷, (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹ 로 순서가 뒤집히는 까닭, 가장 안쪽 함수를 덩어리째 벗기기, f³ = I 가 바퀴의 길이를 정해 주는 자리, 두 일차함수가 자리를 바꿔도 되는 조건 d(a−1) = b(c−1) 까지 무기를 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 역함수와 대칭 · 지수와 로그 · 주기수열 · 연쇄법칙(합성함수의 미분) 으로 넓혀 쓰는 길을 담았어요. 16문항 전부 sympy 기호계산과 전수 열거로 검산했고(49가지 검사 · 어긋난 곳 0), 강의의 예제 아홉 가지는 한 문항도 다시 쓰지 않았습니다.

이 특강은 낱말 다섯으로 문을 엽니다 — 호(원 위의 굽은 부분) · 현(두 점을 곶게 이은 선분) · 활꼴("활 모양으로 생겼다") · 부채꼴("모양을 보니까 부채 모양으로 되어 있다") · 중심각("부채꼴의 아래에 있는 각"). 그 다음 기호 읽기로 넘어가 호 AB · 현 CD · ∠AOB 를 갈라 쓴 뒤, 이 단원의 심장인 정비례로 들어갑니다. 중심각이 몇 배가 되면 호도 그대로 몇 배가 되고 부채꼴의 넓이도 그대로 몇 배가 되지만, 현은 따라오지 않는다는 것을 거듭 되풀이하십니다 — "호를 두 개로 늘여도 현은 두 배가 되지 않는다." 다만 「같다」는 살아 있어, 크기가 같은 중심각에 대한 현이 서로 같은 까닭을 반지름 네 개가 같으니 SAS 합동으로 깔끔하게 보입니다. 뒤부분은 실전 — 호의 비를 중심각의 비로 갈아 끼우기, 반지름과 현이 같으면 정삼각형(중심각 60°), 평행선의 엇각과 이등변삼각형을 엮어 각을 찾는 자리까지 달려갑니다. 원본 전사 969세그먼트를 처음부터 끝까지 전수 대조했고, 실린 모든 값을 다시 계산해 맞춰 본 뒤에만 실었습니다.

연습 10문제(원의 각 부분 이름 맞추기 · 기호 읽기와 참·거짓 · 현 하나가 만드는 호 둘·활꼴 둘 · 중심각과 호의 정비례 · 호의 비로 중심각 찾기와 지름 판정 · 부채꼴 넓이의 정비례(2:3:4) · 같은 현 ⇒ 같은 중심각(SSS 합동) · 중심각 60°와 180°로 「현은 정비례가 아니다」 반례 만들기 · 삼각부등식으로 현의 범위 잡기 · 원 위 다섯 점으로 현·호·활꼴 개수 세기)를 문항마다 「여기가 고비」 한 곳을 크게 풀어 쓴 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 호의 비 1:1:2 로 지름 찾기, 반원은 360°가 아니라 180°를 나누는 자리, 평행선의 엇각 + 이등변삼각형으로 각 찾기, 삼각부등식을 두 번 썼 세 현의 대소와 c < 3a 로 정비례를 넘어뜨리기, 여섯 등분점이 만드는 현 15개의 길이가 세 가지뿐인 까닭, 그리고 참·거짓 여섯으로 끝내는 총정리까지 무기를 겹쳐 씁니다. 16문항 전부 손으로 전수 검산했고(중심각의 합 360°·반원 180°로 매 문항 되맞춤), 원·부채꼴 그림은 중심각을 각도기로 재어도 맞도록 좌표를 계산해 그렸습니다. 강의의 예제는 한 문항도 다시 쓰지 않았고, 짝 소단원 「부채꼴의 호의 길이와 넓이」와 걹치지 않도록 공식(2πr · πr²)을 한 번도 쓰지 않았습니다.

원주율 π 하나만 들고 시작합니다. 먼저 원의 둘레 2πr 과 넓이 πr² 를 갈라 놓고 — "둘레는 한 번 곱하고, 넓이는 두 번 곱한다" 는 그 차이를 못 박습니다. 반원의 둘레에서 지름을 반드시 더해야 하는 까닭, 색칠한 부분에서 넓이는 뺄셈이지만 둘레는 덧셈이라는 것도 여기서 갈립니다. 핵심은 그 다음입니다 — 부채꼴은 새 공식이 아니다. 원 전체를 먼저 구해 놓고 「중심각 ÷ 360」을 곱하면 끝이라 호 = 2πr × x/360, 넓이 = πr² × x/360 두 줄이 전부입니다. 45° 는 8분의 1, 150° 는 12분의 5 — 약분이 막히면 나누는 수를 바꿔 보는 선생님의 손놀림을 그 자리에서 그대로 봅니다. 후반부는 S = ½ r l. 삼각형의 넓이와 똑같은 모양이라 중심각을 몰라도 넓이가 나오고, 거꾸로 넓이에서 호나 반지름을 꺼내는 데도 씁니다. 마지막에 넓이는 반지름을 「제곱」한다는 자주 틀리는 자리와, 활 모양은 부채꼴에서 삼각형을 빼고 자리를 옮기면 아는 도형이 된다는 색칠 문제의 두 수를 짚습니다. 18장면 · 실린 모든 값을 π 기호 그대로 손으로 검산했습니다.

연습 10문제(반지름과 지름 가려내기·72° 와 200° 의 약분· S = ½ r l 로 호 거꾸로 구하기·호에서 반지름 찾기· 부채꼴의 「둘레」에 붙는 곧은 변 두 개·부채꼴 고리의 넓이와 둘레· 네 꼭짓점의 사분원·넓이가 같은 두 부채꼴·부채꼴 화단)을 문항마다 S = ½ r l 로 되짚는 검산까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 둘레와 넓이를 함께 준 답이 둘인 문제, 마주 보는 두 사분원이 겹친 잎사귀, 중심각의 비 1 : 2 : 3, 정삼각형 바깥을 굴러가는 원의 중심이 지나간 길(외각의 합이 360°), 고리에서 중심각 거꾸로 찾기, 둘레가 정해졌을 때 넓이가 최대가 되는 자리까지 무기를 겹쳐 씁니다. 해설은 문항마다 「여기가 고비」 한 곳만 크게 풀어 쓰고 나머지 단계는 한 줄로 흘려, 어디에서 갈리는지가 눈에 바로 들어옵니다. 16문항 전부 π 를 기호로 둔 채 손으로 전수 검산했고, 부채꼴 그림의 중심각은 좌표를 계산해 그려 각도기로 재어도 맞습니다.

선생님의 첫마디 "넓이를 구할 때 적분을 이용한다" 로 문을 열고, 곧바로 부정적분에서 새로 생기는 것은 적분상수 C 하나뿐이라고 못을 박습니다. 손놀림은 "요 숫자보다 하나 큰 것을 분모에다가 붙여 주면 된다" — 상수에는 그냥 x 를 붙이고, 끝나면 반드시 + C. 이 강의의 심장은 순서가 바뀌면 C 가 갈린다는 한 줄입니다. 적분을 하고 미분하면 자기 자신 그대로지만, 미분을 하고 적분하면 자기 자신에 C 가 붙습니다 — 시험에 해마다 나오는 그 자리예요. 중반부는 식을 다항식으로 만들어 놓고 시작하는 손질입니다. "분모가 똑같으면 하나로 만들어 버리면 된다" 로 분수를 약분해 없애고, 괄호는 먼저 전개해 서로 지워지는 항을 눈으로 봅니다. 후반부는 C 를 무엇으로 잡느냐. f(0) 이면 x 에 0 을 넣고, 「접선의 기울기」 라는 말이 나오면 그것이 곧 f′(x) 이니 적분한 뒤 지나는 점을 넣고, 극값이 주어지면 f′(x)=0 인 자리를 갈라 그 값으로 잡습니다. 마지막은 함수방정식과 미분계수의 정의로 f′(x) 를 만들어 내는 한 문항까지 갑니다. 16장면 · 실린 모든 적분값과 함숫값을 손과 기호계산으로 전수 검산했습니다. 제43강 정적분 을 보기 전에 이 강의를 먼저 보면 좋아요.

연습 10문제(기본 손놀림과 + C·f(0) 으로 C 잡기· 적분→미분과 미분→적분의 차이·분모가 같으면 합치기·괄호 전개· 접선의 기울기·미지수 둘에 조건 둘·극댓값으로 C 를 잡아 극솟값 구하기)를 고비 한 곳을 크게 짚는 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 세제곱 전개, F(x) 는 f(x) 가 아니라 f(x)+C, 덩어리째 미분된 것은 덩어리째 적분한다, 함수방정식과 미분계수의 정의, 극솟값과 극댓값이 서로 다른 근에 있는 경우, 적분 전에 쓸 조건과 적분 후에 쓸 조건 가르기까지 규칙을 겹쳐 씁니다. 손으로 풀기(DrawBoard)와 인쇄 2모드가 들어 있어 화면에서 바로 풀거나 종이로 뽑아 쓸 수 있어요. 16문항 전부 손으로 풀고 기호계산으로 다시 대조했습니다.

선생님은 이 단원을 사슬 하나로 여십니다 — 부피를 미분하면 넓이, 넓이를 미분하면 길이, 길이를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도. 그리고 딱 한 마디를 보태시지요. "길이가 바로 위치다." 이 한 줄에서 오늘의 모든 문제가 나옵니다. 그래서 "속도를 구하시오" 하면 손이 먼저 찾는 것은 위치입니다. 이어서 말과 식을 갈라 두는 연습을 합니다 — "멈춘다 · 꼭대기 · 방향을 바꾼다" 는 전부 속도가 0, "원점을 지난다 · 땅에 떨어진다" 는 위치가 0. 같은 0이라도 0이 되는 대상이 다르다는 것이 이 단원의 첫 고비입니다. 여기에 선생님이 늘 못 박으시는 한 줄, "시간은 마이너스가 없다" 가 붙습니다. 예제는 마지막으로 원점을 통과할 때의 속도, 속도가 0일 때의 가속도, 운동 방향을 두 번째로 바꿀 때의 가속도, 브레이크를 밟고 멈출 때까지 달린 거리, 40 m 높이에서 쏘아 올린 물체의 최고 높이로 이어지고, 후반부는 변화율 = 미분 — 풍선(구)과 원뿔에서 "문자가 둘이면 닮음으로 하나로 줄인다" 는 손놀림을 잡습니다. 마지막은 그래프입니다. 속도 그래프의 기울기가 가속도, 위치 그래프의 기울기가 속도 — "가속도가 뭔데? 기울기다." 15장면 · 실린 모든 값을 전수 재검산했습니다. 제21강 도함수의 활용, 제47강 정적분의 활용(거꾸로 올라가기)과 나란히 보면 좋은 강의예요.

연습 10문제(속도·가속도 구하기·운동 방향이 바뀌는 시각· 마지막으로 원점을 지날 때의 속도·브레이크와 정지 거리·쏘아 올린 물체의 최고 높이· 풍선과 정육면체의 변화율·가속도가 0인 순간·두 점의 속도가 같아지는 때·원점에서 가장 멀리)를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 미정계수 두 조건 가르기, 속도가 최소 = 가속도가 0, 원기둥의 변화율, 속도 그래프 읽기, 위치 그래프와 절댓값, 옥상에서 쏘아 올린 물체의 최고 높이·낙하 시각·낙하 속도까지 무기를 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 이 방법이 적분·등가속도 공식·평면 운동·관련 변화율로 자라나는 길을 담았어요. 16문항 전부 손으로 풀고 다시 전수 재검산했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

교과서는 공식을 셋만 실어 줍니다 — Σk, Σk², Σk³. 선생님은 여기에 네 번째 하나를 더 여십니다 — Σ(k²+k) = n(n+1)(n+2)/3. "우리가 또 많이 나오는 게 있어"라면서요. 이 한 줄이 이번 강의 진짜 무기입니다. 그리고 이중 시그마에서는 딱 한 마디를 못 박으시지요 — "요거를 먼저 계산해야 돼". 안쪽 합부터 접고, 그 답을 밖으로 내보냅니다. 예제는 Σ(k³−3k²)로 시작해 분모가 있는 시그마, 계차수열 꼴, 홀수의 제곱합, 1·3+2·4+…+12·14를 거쳐 마지막엔 이중 시그마 셋으로 올라갑니다. 18장면 · 실린 모든 값을 전수 재검산했습니다. 제12강 수열의 합, 제59강 시그마로 나타내기와 나란히 보면 좋습니다.

연습 10문제와 도전 6문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — Σk·Σk²·Σk³ 쓸기, Σ(k²+k) 네 번째 공식, 분모가 있는 시그마, 계차수열 꼴, 이중 시그마까지. 16문항 전부 손으로 풀고 다시 전수 재검산했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

이 단원은 「몇 개냐」가 전부입니다. 그래서 숫자 하나만 어긋나도 통째로 틀립니다. 선생님은 먼저 이름 셋을 못 박으시지요 — 꼭짓점 · 모서리 · 면. 그리고 다면체가 아닌 것을 먼저 걸러 냅니다 — "원과 구가 있으면 안 된다". 원기둥·원뿔·구는 여기서 빠집니다. 갈래는 셋뿐입니다 — 각기둥 · 각뿔 · 각뿔대. 가르는 자는 옆면의 모양이에요 — 직사각형 · 삼각형 · 사다리꼴. 여기까지 오면 세는 일은 표 하나로 끝납니다 — 면은 기둥과 뿔대가 +2, 각뿔만 +1. 이 +1과 +2의 차이가 이 단원의 첫 고비이고, 조건에서 이름을 되찾을 때는 같은 수를 거꾸로 빼야 한다는 것이 두 번째 고비입니다. 13장면 · 실린 모든 개수를 꼭짓점·모서리·면을 좌표로 만들어 하나하나 다시 세어 맞췄습니다 (n = 3~12 전 구간 대조).

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 칠각기둥·팔각뿔 세기, 면의 개수로 이름 되찾기(십면체 뿔대 → 팔각뿔대), 답이 여럿인 문제(모서리 21 — 각기둥·각뿔대는 되고 각뿔은 「없다」), 조건에서 n 되찾기, 「6만큼 많다」를 식 한 줄로, 정다면체 다섯, 오일러 공식 v − e + f = 2로 정십이면체 찾기, 같은 「십이면체」인데 각뿔만 n이 다른 함정까지. 10문항 전부 세 갈래 표(n = 3~12)와 대조하고 오일러로 다시 검산했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

원 문제가 아무리 길어도 묻는 것은 딱 둘입니다 — 중심이 어디고, 반지름이 얼마냐. 그래서 선생님은 무슨 식을 보든 먼저 표준형 한 덩어리로 만들어 놓고 시작하십니다. 세 점을 지나는 원에서는 중심을 P(a, b)로 놓고 "전부 다 반지름이 같아야 된다"는 한 줄만 두 번 씁니다 — 제곱항이 양쪽에서 통째로 지워지고 일차식 둘만 남지요. x축에 접하는 원에서는 "반지름이 바로 y값이다" 한 마디로 모르는 것이 셋에서 둘로 줄고, 두 원의 교점을 지나는 원은 (원1) + k(원2) = 0 한 줄로 끝납니다. 이어서 접선의 두 얼굴, 넓이를 이등분하는 직선(“반드시 중심을 지나가야 된다”), 자취까지 갑니다. 그리고 이 단원의 첫 번째 함정 — 표준형 오른쪽의 수는 반지름이 아니라 반지름의 제곱입니다. 선생님도 강의 중에 “반지름이 5”라고 하셨다가 그 자리에서 “요게 r제곱이니까” 하고 스스로 바로잡으시지요 — 그 바로잡는 과정을 그대로 살렸습니다. 14장면 · 실린 모든 좌표·계수·반지름·넓이를 전수 재검산했습니다.

연습 10문제(중심·반지름 읽기·일반형 → 표준형· 원이 될 조건과 미정계수·세 점을 지나는 원·x축에 접하는 두 원· 원과 직선의 위치관계·현의 길이·두 원의 공통현· 접선의 두 얼굴·넓이 이등분과 최대·최소)를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어내고, 도전 4문제에서는 아폴로니오스의 원, 두 원의 위치관계, 원 위에서 x + y 의 최대·최소, 원 위의 격자점까지 무기를 겹쳐 씁니다. 14문항 전부 두 길로 교차검산했습니다 (거리 ↔ 판별식, 중심 연립 ↔ 일반형 대입, 공식 ↔ 매개변수). ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

선생님은 직선 문제를 만나면 식보다 그림을 먼저 그리십니다. 절편 두 개만 찍어도 두 좌표축과 이루는 삼각형이 눈에 들어오니까요. 그다음은 말을 식으로 옮기는 번역입니다 — "삼각형을 이루지 않는다 = 세 점이 한 직선 위에 있다 = 기울기가 같다". "모든 k의 합"을 물으면 근을 구하지 말라는 신호이니 근과 계수의 관계로 한 줄에 끝냅니다. 넓이를 이등분하라면 "중점을 지나가야 된다", 두 직선이 수직이면 "기울기끼리 곱하면 −1이 나와야 된다", 그리고 이 강의의 가장 큰 한 마디 — "k값의 관계 없이는 모든 식을 k로 묶어라." 정점을 찾는 일이 사실은 두 직선의 교점 찾기였다는 것이 여기서 드러납니다. 마지막은 점과 직선 사이의 거리인데, 선생님은 여기서도 한 마디 보태시지요 — "자꾸 유리화한다고 숫자를 키우면 계산이 더 힘들어진다." 13장면 · 실린 모든 좌표·기울기·절편·넓이·거리를 전수 재검산했고, 좌표그림 다섯 장도 함수식에서 좌표를 직접 계산해 모눈 위에 앉혔습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 절편과 두 축이 이루는 삼각형, 넓이에서 거꾸로 k 찾기(음수 절편의 절댓값 함정), 평행·수직(계수 베끼고 상수만 새로), 세 점이 한 직선 위 + 근과 계수의 관계(근이 무리수라도 합은 한 줄), 두 직선의 교점을 지나는 직선(직선계 L₁ + kL₂ = 0과 그것이 못 잡는 직선 하나), 점과 직선 사이의 거리로 삼각형 넓이, 넓이 이등분과 중점, 정점 — k로 묶어라, 그리고 정점에 못 박힌 직선이 선분과 만날 m의 범위까지. 10문항 전부 두세 길로 교차검산했습니다 (밑변×높이 ↔ 신발끈, 기울기식 ↔ 근과 계수 ↔ 넓이 0, 매개변수 단조성 확인). 좌표그림 4장은 모눈을 각 그림의 원점·한 칸에 맞춰 정렬했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

허수단위 i 에서 알아야 할 것은 딱 한 줄입니다 — i² = −1. 여기서 i 를 하나씩 곱해 나가면 i · −1 · −i · 1 네 칸을 지나 제자리로 돌아옵니다. 돌아오는 까닭은 i⁴ = 1 이기 때문이고, 그래서 지수가 아무리 커도 4로 나눈 나머지 하나면 끝납니다. 선생님은 여기서 한 걸음 더 나가십니다 — 네 개를 각각 제곱해 보면 나오는 값이 −1 과 1 딱 두 가지뿐이고, 거꾸로도 읽을 줄 알아야 한다고요 — −1 = i², −i = i³. 그러면 (i³)² = i⁶ 이고 6을 4로 나눈 나머지가 2 이니 i⁶ = i² — 지수끼리 먼저 모으고, 그다음 4로 나눈 나머지만 남긴다는 두 걸음이 완성됩니다. 9장면 · 실린 모든 값을 sympy 와 파이썬 복소수 두 길로 따로 계산해 맞췄고, 나머지 규칙은 n = 0~200 전 구간 대조로 어긋남이 없음을 확인했습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 네 칸 읽기(「나머지 0」을 1로 읽는 자리), (1+i)² = 2i · (1−i)² = −2i 외워 둘 두 줄, 네 개씩 묶어 지우기와 남는 항 세기, 연속한 세 항(넷째를 빌려 부호 뒤집기), (1+i)¹⁰ 을 제곱으로 쪼개기, 분모의 i 몰아내기(1/i = −i), 분수를 먼저 한 글자로 줄이고 지수 다루기, 역수 관계인 두 분수의 합, 거꾸로 묻기 — iⁿ = −i 인 n 세기(100 ÷ 4 를 그대로 쓰면 위험한 까닭), 그리고 계수가 붙어 0이 되지 않는 긴 합까지. 10문항 전부 파이썬 복소수로 직접 계산해 대조했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

이 단원은 「어느 짝이냐」가 전부입니다. 짝을 한 번만 잘못 지으면 통째로 틀립니다. 선생님은 정의 한 줄에서 출발하시지요 — "AD와 BC가 서로 평행하고, AB와 CD도 평행해야만 평행사변형이라고 한다." 여기서 성질 셋이 줄줄이 따라 나옵니다 — 대변의 길이가 같다(엇각으로 ASA 합동을 만들어 증명), 대각의 크기가 같다, 대각선이 서로를 이등분한다. 그리고 시험에서 가장 많이 쓰는 한 줄 — 이웃한 두 각을 더하면 180°. 각의 비가 주어졌다는 것 자체가 「이웃한 두 각」이라는 신호인 까닭이 여기 있습니다. 후반부는 「평행사변형이 되는 조건」 다섯인데, 평행하다고 말한 쌍과 길이가 같다고 말한 쌍이 같은 쌍인가 — 이 하나가 이 단원 최고의 함정입니다. 다르면 등변사다리꼴이 되어 버리니까요. 19장면 · 실린 모든 각·길이·넓이를 손으로 다시 풀어 맞췄고, 도형 그림 11컷은 좌표를 계산해 그려 두 쌍의 대변이 실제로 평행하고 두 대각선의 중점이 좌표로도 정확히 한 점에서 만납니다(각도기로 재도 맞습니다).

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 각의 비와 이웃각 180°, 대각선의 반쪽을 짝별로 가르기(둘 다 같은 대각선으로 잡는 실수), 되는 조건을 식으로 옮겨 x·y 찾기, 각의 이등분선 + 엇각 = 이등변삼각형, 최고의 함정 — 평행한 쌍과 길이가 같은 쌍이 다르면 등변사다리꼴(좌표 반례로 확인), 넓이 4등분과 중점, 내부의 한 점 — 마주 보는 둘씩 묶으면 각각 절반, 두 각의 이등분선이 이루는 각은 언제나 90°, 대각선 위의 두 점으로 새 평행사변형 만들기, 그리고 좌표에서 네 번째 꼭짓점 찾기(이름 부르는 차례가 대각선을 정한다)까지. 문항과 강의 예제를 합쳐 33건 전수 재계산했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

닮음 문제는 사슬 하나입니다 — 길이 k → 넓이 k² → 부피 k³. 그래서 어느 칸에서 주고 어느 칸을 묻는지만 가리면 계산은 한 줄이에요. 선생님이 가장 공들이시는 자리는 거꾸로 내려오는 길입니다 — 겉넓이를 주었으면 근호를 씌워 길이로 내려온 뒤 세제곱해서 부피로 올라갑니다. 대표 예제가 그것이지요 — 겉넓이 144 : 256 에서 길이 3 : 4 를 뽑아 부피 108 → 256 을 찾습니다. 그리고 겹쳐 그려진 도형에서는 늘 한 마디 — "떼어서 똑같이 그려라." 닮음 조건에서는 각의 「비」가 같다고 닮은 것이 아니라는 함정을 직접 가 봅니다 (30°·60° 와 20°·40° 는 둘 다 1 : 2 지만 나머지 각이 90° 와 120° 로 갈립니다). 마지막은 직각삼각형의 네 공식 — 수선의 발 하나로 세 개의 닮은 삼각형이 한꺼번에 생깁니다. 12장면 · 실린 모든 비·길이·넓이·부피를 두 길로 교차검산했습니다 (비를 만드는 길 / 몇 배를 곱했나 되찾는 길).

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 닮음비 잡기, 넓이는 제곱, 겉넓이 → 길이 → 부피(49:121 에서 7:11 을 뽑아 686 → 2662), 부피 → 길이 → 겉넓이(27:125 에서 3:5 를 뽑아 18 → 50), 원뿔을 반으로 잘랐을 때 작은 원뿔 : 원뿔대 = 1 : 7, 직각삼각형의 네 공식(수선의 발 하나로 생기는 세 닮은 삼각형), 두 조각에서 거꾸로 되찾기(BH=4·CH=9 → AH=6·AB=2√13·AC=3√13), 닮음 조건의 함정 — 각의 「비」가 같다고 닮은 것이 아니다, 축척 1 : 25000 에서 실제 넓이 되찾기, 그리고 그릇에 물 붓기(깊이가 2/3 이면 부피는 8/27 — 더 부어야 할 양은 76π)까지. 10문항 전부 두 길로 교차검산했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

선생님이 강의 첫머리에 "어마어마하게 중요하다"를 두 번 못 박으시는 단원입니다. 무기는 사실상 한 줄이에요 — a + b ≥ 2√(ab) (산술평균 ≥ 기하평균). 여기서 방향이 갈립니다 — 곱이 정해져 있으면 합의 최솟값, 합이 정해져 있으면 곱의 최댓값. 어느 쪽이 고정인지만 가리면 문제의 절반이 끝납니다. 그리고 이 단원의 심장 — 등호가 언제 서는가. 등호를 못 쓰면 그것은 최솟값이라고 말할 수 없습니다. 괄호가 있으면 펼쳐서 서로 역수인 짝을 찾고, 짝이 안 보이면 쪼갰다 되돌려 만들어 줍니다 — x + 4/(x−1) = (x−1) + 4/(x−1) + 1 처럼요. 마지막은 코시-슈바르츠입니다. 14장면 · 실린 모든 예제를 답과 등호 성립 조건까지 두 길로 대조했습니다 (미분으로 얻은 임계점 ↔ 산술·기하평균·코시로 얻은 값). 제9강 명제의 증명이 부등식을 「증명하는 법」이라면, 이 강의는 그것을 「도구로 써서 최대·최소를 구하는 법」입니다 — 나란히 보시면 좋습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 곱 고정에서 합의 최솟값, 역수 짝(x + 9/x ≥ 6), 합 고정에서 곱의 최댓값, 짝 만들기 — 쪼갰다 되돌리기(x + 4/(x−2)), 괄호를 펼쳐 역수 짝 찾기, 조건식을 통째로 곱하기(1/x + 4/y = 1 → x + y ≥ 9), 코시-슈바르츠(x² + y² = 25 에서 3x + 4y 의 최댓값 25), 최댓값과 최솟값을 함께, 등호 조건을 거꾸로 써서 ab 구하기, 그리고 합과 곱을 한꺼번에(x² + y² = 18 에서 x + y + xy 의 최댓값 15)까지. 10문항 전부 답과 등호 성립 조건까지 sympy 로 재검산했습니다 (미분으로 얻은 임계점과 부등식으로 얻은 값을 따로 맞춰 봤습니다). ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

일반 삼각형은 세 가지가 맞아야 합동인데, 직각삼각형은 둘이면 됩니다. 직각 하나를 이미 먹고 들어가기 때문이지요. 그래서 이름도 R(right angle)로 시작합니다 — RHA(빗변 + 한 예각), RHS(빗변 + 빗변이 아닌 한 변). 여기서 놓치기 쉬운 것 하나 — 두 예각이 같은 것만으로는 합동이 아닙니다(닮음일 뿐). 반드시 「빗변」이 한 짝 들어가야 합니다. 후반부는 각의 이등분선인데, 선생님은 여기에 그림 하나를 얹으십니다 — "이등분선 안에는 원이 들어앉아 있다." 이등분선 위의 점에서 두 변에 내린 수선의 길이가 같다는 것이, 그 점을 중심으로 하는 원이 두 변에 동시에 닿는다는 말과 같으니까요. 증명은 두 방향 모두 갑니다 — RHA 로 PQ = PR, 거꾸로 RHS 로 ∡QOP = ∡ROP. 12장면 · 실린 모든 각과 길이를 두 길로 재검산했고, 도형은 좌표를 계산해 그려 실측 각이 42.0000°·24.0000°·52.0000°·64.0000°·26.0000° 로 맞습니다 (각 표시는 호 없이 숫자만, 직각은 직각 기호로만). 제33강 삼각형의 합동과 나란히 보면 좋습니다 — 이 강의는 직각삼각형 전용 조건만 다룹니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 조건 고르기(이미 주어진 직각을 조건으로 또 세는 함정), 이등분선 위의 점과 등거리, 이등분선 + 각 추적, 이등분선의 역 — RHS 로 되짚기, 이등변삼각형에 두 수선을 내려 RHA 만들기, 이등분선을 넓이에 쓰기(5·12·13 에서 △ABD = 15.6), 직각을 옮겨 만드는 RHA(BD + CE = DE), 세 변에서 거리가 같은 점 = 내접원의 중심(13·14·15 에서 넓이 84), 되는 것과 안 되는 것을 가르는 함정(두 예각만 같으면 닮음일 뿐), 그리고 도전 — ∡AOB = 60° 에서 사각형 OQPR = 36√3, QR = 6√3. 10문항 전부 두 길로 검산했습니다 (넓이는 밑변×높이 ↔ 헤론·내접원, 길이는 정삼각형 ↔ 30·60·90). ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

수열을 주는 방법은 둘입니다. 하나는 일반항을 통째로 주는 것, 다른 하나가 이 단원 — 첫 항 a₁ 과 다음으로 가는 법 aₙ₊₁ 두 줄만 주는 것입니다. 두 줄만 있으면 a₁ → a₂ → a₃ … 가 도미노처럼 저절로 정해집니다. 먼저 꼴을 보고 갈래를 가릅니다 — +d 면 등차, ×r 면 등비. 이것만 알아채면 일반항이 그 자리에서 나옵니다. 더하는 수가 n에 따라 바뀌면 갈래가 아니라 쌓아 가는 문제가 되고, 분수꼴이나 1/(1−aₙ) 같은 꼴은 몇 개만 직접 써 보면 되풀이(주기)가 눈에 들어옵니다. 그리고 이 단원의 진짜 무기 — 가운데 항을 반으로 쪼개기. 2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂ 를 보면 등차, aₙ₊₁² = aₙ·aₙ₊₂ 를 보면 등비입니다 — 중항의 정의가 그대로 식으로 적힌 것이니까요. 마지막은 말을 식으로 옮기는 활용입니다. 11장면 · 실린 모든 값을 파이썬으로 n을 직접 돌려 항을 만들어 맞췄습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 더하기 꼴·곱하기 꼴에서 일반항 뽑기, 더하는 수가 n에 따라 바뀔 때(+2n → a₆ = 31), 분수꼴은 뒤집어 본다(aₙ = 1/n), 주기수열(1/(1−aₙ) 은 세 칸마다 제자리 → a₁₀₀ = 4), ★ 반으로 쪼개기(2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂ 는 등차라는 뜻), 제곱꼴은 등비, 홀수를 더해 나가면 제곱수(aₙ = n²), 말을 식으로 옮기는 활용(절반 쓰고 4L 채우기), 그리고 도전 — aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 에서 aₙ = 2ⁿ − 1 과 aₙ > 1000 인 최소의 n. 10문항 전부 파이썬으로 항을 직접 만들어 대조했고, 일반항을 구한 문항은 귀납식으로 되돌려 다시 확인했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

등차수열의 일반항에서 출발해 수열 총정리로 넘어가는 강의입니다. 먼저 무기를 세워 둡니다 — 일반항 aₙ = a₁ + (n−1)d, 등차중항 2b = a + c, 부분합 Sₙ. 그다음 식의 꼴로 갈래를 가르는 법이 나옵니다 — +d 면 등차, ×r 면 등비. 규칙이 겉으로 안 보여도 점화식 안에 숨어 있으니까요. 여기서 강의의 몸통이 시작됩니다. 곱셈꼴 점화식(a₁ = √3, aₙ₊₁ = aₙ·(√3)ⁿ)은 지수를 죽 이어 붙여 더하는 것이 전부이고, 그다음이 이 단원 최고의 무기 — aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁. Sₙ 만 주어져도 항을 캐낼 수 있습니다. 다만 이 식은 n ≥ 2 에서만 쓸 수 있어서 n = 1 은 따로 확인해야 하는데, 그 한 줄을 빠뜨리는 것이 이 단원에서 가장 자주 감점되는 자리입니다. 마지막은 Sₙ 이 aₙ 로 적혀 있을 때 — 한 줄 더 만들어 빼면 공비가 그대로 보입니다. 14장면 · 실린 모든 값을 파이썬으로 항을 실제 만들어 맞췄습니다 (a₁₀ = 3²³ 은 항 24개를 직접 곱해, Sₙ 문항은 항을 하나씩 더해 두 길로).

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 일반항 세우기, 등차중항, 두 항으로 일반항 찾기(번호의 차가 곧 더한 횟수), 공차가 음수인 부분합, 거꾸로 — 합에서 n 찾기(Sₙ 은 상수항 없는 이차식), 세 수를 a−d, a, a+d 로 잡기(합에서 d가 지워진다), Sₙ 이 주어질 때 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁(n = 1 확인을 빠뜨리면 답이 반쪽), 번호의 합만 보는 짝짓기(a₄ + a₉ = 30 → S₁₂ = 180), 사이에 수를 넣기, 그리고 도전 — Sₙ · S₂ₙ−Sₙ · S₃ₙ−S₂ₙ 도 등차수열(S₃₀ = 780). 10문항 전부 항을 실제로 만들어 대조했고, Sₙ 문항은 예외 없이 항을 하나씩 더해 다시 확인했습니다 (도전 문항은 덩이 등차와 정공법 두 길이 모두 780). ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

미분이 어디서 오는지를 딱 한 장면으로 보여 주는 단원입니다. 평균변화율은 어려운 말이 아니라 두 점을 이은 직선(할선)의 기울기일 뿐이에요 — y의 증가량 ÷ x의 증가량. 그런데 뒤쪽 점 B를 앞쪽 점 A로 자꾸 붙여 가면 할선이 점점 눕다가 마침내 A에서의 접선이 됩니다. 그 마지막 기울기가 순간변화율 = 미분계수예요. 정의식이 왜 하필 그 꼴인지도 여기서 풀립니다 — 분자는 y의 증가량, 분모는 x의 증가량, 그리고 h → 0 이 「붙여 간다」는 뜻이니까요. 그래서 미분은 새로 배우는 것이 아니라 기울기를 끝까지 밀어 본 것입니다. 마지막으로 미분이 안 되는 경우도 짚습니다 — 끊어져 있거나 뾰족하면 접선을 하나로 정할 수 없지요. 12장면 · 실린 모든 값을 sympy 로 재검산했고, 그래프는 f(x) = x²−x 를 0.05 간격으로 계산해 찍고 가로·세로 한 칸을 똑같이 두어 자로 재도 기울기가 맞습니다 (할선 y = 3x−3, 접선 y = 3x−4 — 빼면 (x−2)² 중근).

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 정의 그대로 구하기, 나누는 것을 잊지 않기(y의 증가량만 쓰고 끝내는 실수), 평균변화율 = 순간변화율이 되는 c 찾기, 삼차식의 약분, 거꾸로 구간 찾기, h 로 나타내고 h → 0 보내기(정의식이 왜 그 꼴인지가 여기서 보인다), 정의식으로 미분계수 구하기, 답이 정수가 아닐 때(x = √3), 할선과 접선의 방정식을 함께, 그리고 도전 — 이차함수에서는 언제나 m = (p+q)/2 이지만 삼차함수에서는 깨진다(9 ≠ 6.75)는 반례까지. 10문항 전부 정의식과 인수분해 두 길로 검산했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

학생들이 가장 많이 뒤섞는 자리입니다 — 연속과 미분가능은 같은 말이 아닙니다. 미분가능하면 반드시 연속이지만, 거꾸로는 성립하지 않습니다. 그래서 문제가 “조사하시오” 라고 하면 조사할 것이 둘이라는 뜻이에요. 연속은 좌극한 = 우극한 = 함숫값 — 끊어지지 않았는가. 미분가능은 좌미분계수 = 우미분계수 — 뾰족하지 않은가. 대표 예제가 이 차이를 그대로 보여 줍니다 — f(x) = x² − 3|x| + 2 는 양쪽 극한이 모두 2 라 이어져는 있지만, 원점에서 왼쪽 기울기는 3, 오른쪽 기울기는 −3 이라 접선을 하나로 정할 수 없습니다. 절댓값이 보이면 먼저 갈라서 두 조각으로 적고, 이은 자리에서 양쪽을 따로 재는 것 — 이 손놀림 하나가 이 단원의 전부입니다. 14장면 · 실린 모든 값을 조각식 미분과 정의식 극한(h → 0±) 두 갈래로 따로 계산해 맞췄습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — |x−2| 는 왜 미분이 안 되나(좌 −1 · 우 1), x|x| 는 뾰족해 보여도 미분이 된다(f′(0) = 0), 미정계수 — 연속 조건과 미분 조건을 둘 다 세운다(둘 중 하나만 쓰면 답이 반쪽), |x²−4| 의 꺾인 점 두 곳, x|x−2| 의 좌우 미분계수, 미분가능한 사례로 대조, |x−1|+|x−3| 의 꺾인 점 개수와 가운데 구간의 기울기 0, 참·거짓 가리기(미분가능 ⇒ 연속은 참, 거꾸로는 거짓), 그리고 도전 — |x² − 2ax + a + 6| 이 모든 점에서 미분가능할 정수 a 는 여섯 개 (판별식 ≤ 0 → −2 ≤ a ≤ 3). 10문항 전부 좌우 극한과 좌우 미분계수를 따로 계산해 검산했고, 미정계수 문항은 구한 값을 되넣어 다시 확인했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

곱셈공식은 펼치는 쪽이고 인수분해는 묶는 쪽입니다 — 같은 식을 양쪽에서 본 것이지요. 그런데 시험에 나오는 얼굴은 셋째입니다 — 변형. a² + b² = (a+b)² − 2ab 처럼 가운데 항만 떼었다 붙였다 하는 것인데, 합과 곱만 주고 제곱의 합을 묻는 문제가 전부 여기서 나옵니다. 강의는 부호와 계수를 놓치지 않는 손놀림부터 잡습니다 — (5x − 2y)² 처럼 계수가 붙으면 가운데 항이 2×(앞)×(뒤) 라는 것, (x + 1/3)² 처럼 분수가 끼어도 규칙은 같다는 것. 이어서 미정계수((ax + 3b)² 의 x 계수가 16 이 되게), 합차공식을 잇달아 쓰기 ((1−a)(1+a)(1+a²)(1+a⁴) = 1 − a⁸ — 앞에서부터 차례로 지워집니다), 그리고 여러 곱을 펼쳐 정리하기로 이어집니다. 11장면 · 실린 모든 식을 sympy 로 좌변 − 우변 = 0 을 확인해 항등임을 못 박았습니다. 제1강 십자곱(묶는 쪽)·항등식 편(변형을 조건식에 써먹는 자리)과 나란히 보면 좋습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 계수가 붙은 완전제곱(가운데 항은 2×앞×뒤), 분수가 끼어도 같은 규칙, 미정계수 — x 계수를 맞추기, 합차공식을 잇달아 써서 한 줄에 지우기(1 − a⁸), 여러 곱을 펼쳐 정리하기, 그리고 이 단원의 진짜 얼굴 — 변형 공식(a²+b² = (a+b)² − 2ab · a³+b³ 를 합과 곱으로). 10문항 전부 sympy 로 좌변 − 우변 = 0 을 확인했고, 변형 공식은 실제 수를 대입해 한 번 더 맞췄습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

기본편(제76강)이 귀납식을 읽는 법이었다면, 이 편은 실전에서 손이 하는 일입니다. 그리고 그 일은 딱 둘이에요 — a₁ 을 주면 앞으로 굴려 aₙ 을 찾고, aₙ 을 주면 거꾸로 캐 a₁ 을 찾는다. 첫 문항은 분수배 귀납식입니다 — aₙ₊₁ = ((2n+1)/(2n−1)) aₙ 처럼 무섭게 생겼지만, 한 항씩 굴려 보면 약분이 줄줄이 일어나 2 · 6 · 10 · 14 … 로 공차 4 인 등차수열이 나옵니다. 겁먹지 말고 몇 개만 써 보라는 것이 이 문항의 전부예요. 둘째 문항은 거꾸로 캐기입니다 — aₙ₊₁ = aₙ + 2ⁿ 이고 a₇ = 130 일 때 첫째항을 묻습니다. 한 항마다 2ⁿ 이 쌓이니 지수가 어디까지 갔는지 세는 것이 고비이고 (a₇ 이면 2⁶ 까지), 등비수열의 합으로 접으면 2⁷ − 2 = 126, 그래서 a₁ = 130 − 126 = 4 입니다. 10장면 · 실린 모든 값을 파이썬으로 항을 실제 만들어 맞췄고, 일반항은 귀납식에 되돌려 넣어 다시 확인했습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 곱하고 빼는 꼴, 더하는 수가 n 에 따라 바뀔 때, 분수배는 약분하면 보인다(aₙ = 3n(n+1)/2 · aₙ = 3n), 한 항마다 3ⁿ 이 쌓이는 꼴, 첫째항을 거꾸로 찾기, 더하기가 아니라 곱하기로 쌓일 때(aₙ = 2^{n(n−1)/2}), 분수가 분수를 낳는 꼴(aₙ = 1/n), 한 걸음 옮기면 등비가 보인다(aₙ₊₁ = 3aₙ − 2 → aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 1), 그리고 도전 — 첫째항과 일반항을 한꺼번에(a₁₀ = 100 에서 a₁ = 19 · aₙ = (n−1)² + 19). 10문항 전부 파이썬으로 항을 실제 만들어 대조했고, 일반항은 귀납식에 되돌려 넣어 다시 확인했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

기본편(제78강)이 할선이 접선이 되는 까닭이었다면, 이 편은 그 「미분계수 = 기울기」 한 줄을 실전 문항에 그대로 써먹는 자리입니다. 첫 문항이 이 강의의 얼굴이에요 — 기울기가 가장 작은 접선을 구하라. 기울기는 f′(x) 이고, 그것이 이차식이니 완전제곱으로 접으면 최솟값이 그 자리에서 보입니다 — f′(x) = 3(x+2)² − 2 라 x = −2 에서 기울기 −2, 접점 (−2, −8), 접선 y = −2x − 12. 「최소」라는 말을 보면 미분이 아니라 완전제곱을 떠올린다 — 이것이 손버릇입니다. 이어서 접선의 y절편을 t 의 식으로 나타내기, 수직 조건으로 미정계수 찾기, 그리고 접할 조건 — 모든 k 의 곱으로 이어집니다. 12장면 · 실린 모든 값을 두 길로 재검산했습니다 (도함수 대입 ↔ 정의식 극한, 접선식 ↔ 빼서 인수분해한 중근). 그래프 셋은 가로 한 칸과 세로 한 칸을 똑같이 두어 자로 재도 기울기가 맞습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 「기울기가 최소」는 완전제곱으로, 접선의 방정식 세우기, 접점을 t 로 두고 y절편을 t 의 식으로, 수직 조건에서 미정계수 찾기, 접할 조건 — 판별식과 중근, 그리고 정의식을 도구로 쓰는 문항들까지. 10문항 전부 두 길로 검산했습니다 (도함수 대입 ↔ 정의식 극한, 접선식 ↔ 빼서 인수분해한 중근). ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

기본편(제74강)이 무기를 쥐는 법이었다면, 이 편은 실전에서 미끄러지는 자리입니다. 그리고 이 강의에는 다른 편에 없는 값진 대목이 하나 있습니다 — 선생님이 풀다가 “우와 이게 좀 이상하네, 어디서 잘못됐을까” 하고 되돌아가시는 장면입니다. 무엇이 잘못이었나 — 부등식을 두 번 따로 썼기 때문입니다. 각각의 최솟값을 따로 구해 더하면 답이 나올 것 같지만, 두 등호가 같은 자리에서 서지 않으면 그 값에는 도달할 수 없습니다. 부등식은 한 번만 — 이것이 이 편의 첫 함정이고, 연습 도전 문항이 바로 이것을 정면으로 묻습니다(따로 쓰면 8, 제대로 쓰면 9). 둘째 함정은 선생님이 196을 13²이라 하셨다가 스스로 14²로 고치시는 자리입니다 — 바로잡는 과정을 그대로 살렸습니다. 예제는 a + b = 2 에서 1/a + 1/b 의 최솟값, 쪼갰다 되돌리기((x+3) + 4/(x+3) − 12), 코시-슈바르츠(a²+b² = 28, x²+y² = 7 에서 ax + by 의 최솟값 −14) 셋입니다. 10장면 · 실린 모든 값을 답과 등호 조건까지 두 길로 맞췄습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 합이 정해질 때 역수의 합, 쪼갰다 되돌리기, 조건식을 통째로 곱하기, 코시-슈바르츠로 최댓값과 최솟값을 함께, 등호 조건을 거꾸로 써서 값 구하기, 그리고 도전 — 부등식을 두 번 따로 쓰면 왜 틀리는가 (따로 쓰면 8 이 나오지만 등호가 같은 자리에서 서지 않아 참값은 9). 10문항 전부 답과 등호 성립 조건까지 두 길로 검산했습니다 (부등식으로 얻은 값 ↔ 미분으로 얻은 임계점). ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

제78강이 정의식이 어디서 왔는가, 제79강이 미분이 되는가 안 되는가였다면, 이 편은 정의식을 도구로 써서 답을 내는 법입니다. 시험에서 정의식은 고운 꼴로 나오지 않습니다 — 계수가 붙거나, 분모가 2h 이거나, 두 항으로 갈라져 있거나, h → 0 이 아니라 x → 2 로 위장해 있지요. 하는 일은 언제나 하나 — 「분자의 두 값의 차이」와 「분모」를 짝지어 정의식 꼴로 맞추는 것. 계수가 붙었으면 그만큼 곱해 주고, 분모가 2h 면 반으로 나누고, 두 항이면 가운데 항을 넣었다 빼서 두 덩이로 가릅니다 — 선생님 말씀대로 “각각 나눠 놓으란 얘기야”. 실린 예제 둘은 lim f(x)/x = 3 에서 이차식을 되찾아 f(2) = 10, 그리고 f(2) = 3, f′(2) = 5 에서 2f(2)f′(2) = 30 입니다. 12장면 · 실린 모든 극한을 두 길로 검산했고 (정의식으로 맞춰 넣은 값 ↔ 극한을 직접 계산한 값), 조건을 만족하는 서로 다른 함수 셋(일차·이차·오차)에 각각 넣어 셋 다 같은 값이 나오는 것까지 확인했습니다 — 답이 함수 선택과 무관해야 문제가 제대로 섭니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 계수가 붙은 h, 분모가 2h, 두 항으로 갈라진 꼴(가운데를 넣었다 뺀다), h → 0 이 아니라 x → a 로 위장한 꼴, 조건에서 함수를 되찾아 값 구하기, 곱의 꼴에서 2f(a)f′(a) 뽑아내기까지. 10문항 전부 두 길로 검산했고 (정의식으로 맞춰 넣은 값 ↔ 극한 직접 계산), 조건을 만족하는 서로 다른 함수 셋에 각각 넣어 답이 함수와 무관함을 확인했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

세 수가 차례로 등차수열을 이룬다는 말은 그림으로 보면 아주 단순합니다 — 가운데가 양옆의 한가운데에 있다는 뜻이지요. 그래서 2b = a + c. 등비는 짝을 이룹니다 — b² = ac. 더해서 반이냐, 곱해서 제곱이냐 — 이 한 줄이면 둘을 다시는 안 헷갈립니다. 이 편은 제77강이 채우지 못한 자리를 메웁니다 — 그 편은 원본이 점화식 강의여서 등차중항과 일반항의 구체적인 예제가 없었습니다. 여기서 등차 일반항 3n − 1, 등차중항으로 세운 aₙ = 4n − 3 → a₁₅ = 57, 등비중항 −2·(−3)ⁿ⁻¹ 을 실제로 굴려 봅니다. 뒤로 가면 곱셈꼴 약분 사슬(aₙ = 2/n → a₂₀ = 1/10), 주기수열(aₙaₙ₊₁ = 5 — 두 칸마다 제자리라 열 항의 합이 30), Sₙ 이 aₙ 로 적혀 있을 때(Sₙ = 3aₙ − 2 → aₙ = (3/2)ⁿ⁻¹), 그리고 물통 활용으로 이어집니다. 14장면 · 실린 모든 값을 파이썬으로 항을 실제 만들어 맞췄습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 2b = a + c 로 가운데를 세우기, 등비중항 b² = ac, 두 항으로 일반항 찾기, 곱셈꼴 약분 사슬, 주기수열 — 몇 칸마다 제자리인지 먼저 센다, Sₙ 이 aₙ 로 적혀 있을 때 한 줄 더 만들어 빼기, 그리고 말을 식으로 옮기는 활용까지. 10문항 전부 파이썬으로 항을 실제 만들어 대조했고, Sₙ 문항은 항을 하나씩 더해 다시 확인했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

이 단원은 손이 하는 일이 딱 하나입니다 — f 와 f′ 두 그래프를 나란히 그리는 것. f′ 이 x축을 뚫는 자리가 극값이고, 뚫지 않고 닿기만 하면(중근) 극값이 아닙니다. 선생님은 이 대목에서 보기를 읽으시다 그 자리에서 되잡으십니다 — "말도 안 되는 소리 하지 마라. 극대 아니다, 극소다." 증가·감소 구간은 f′ ≥ 0 한 줄로 바뀌고, 「극값을 갖지 않는다」는 판별식 ≤ 0 으로 바뀝니다 — 말을 식으로 옮기는 자리가 이 단원의 전부예요. 그리고 오늘의 산봉우리가 있습니다 — 극대와 극소를 모두 −1과 1 사이에서 갖게 하라. 조건이 넷이나 붙지요 — 두 근이 다르고(D > 0), 양 끝 밖이 모두 양수(f′(−1) > 0, f′(1) > 0), 축이 구간 안에. 그런데 첫째는 저절로 풀립니다 — "이게 완전제곱이 되기 때문에 무조건 0보다 크단 말이야." 18장면 · 실린 열 문항을 전부 sympy 로 재검산했습니다. 제21강 도함수의 활용(자체 녹화 2분)과 나란히 보시면 좋습니다 — 예제가 한 제도 겹치지 않습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 증가·감소 구간 찾기, 「극값을 갖지 않는다」 → 판별식 ≤ 0, 극댓값·극솟값에서 미정계수 되찾기, 중근이면 극값이 아니다, 닫힌구간의 최대·최소, 축과 양 끝을 함께 보는 네 조건, 그리고 넓이가 최대인 자리(32√3 / 9)까지. 10문항 전부 sympy 로 검산했고, 극값은 증감표로, 접선은 빼서 중근으로 두 길을 맞췄습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

이 단원에서 손이 하는 일은 각에 이름을 붙이는 것 하나입니다. 먼저 읽는 법부터 — ∡BAC 에서 가운데 글자가 꼭짓점입니다. 그래서 같은 각인데 이름이 여럿일 수 있지요(∡BAC = ∡DAC). 다음은 네 종류 — 예각 · 직각 · 둔각 · 평각. 둔각은 90°보다 크고 180°보다 작은 것이라, 90°도 180°도 둔각이 아닙니다. 그리고 이 편의 알맹이 — 맞꼭지각. 두 직선이 만나면 마주 보는 각이 두 쌍 생기고 각 쌍은 서로 같습니다. 짝을 찾는 요령이 선생님 말씀 한 줄에 들어 있습니다 — "가는 순서가 똑같이 가야 된다." ∡AOB 의 짝은 ∡DOE — 이름을 읽는 차례가 같은 쪽을 찾으면 됩니다. 마지막은 직교(⊥) · 수직이등분선 · 수선의 발이고, 점과 직선 사이의 거리는 수선의 발까지의 길이라는 한 줄로 닫힙니다. 15장면 · 실린 모든 각을 직접 더해 맞췄고, 도형 25장은 좌표를 계산해 그려 각도기로 재어도 0.03° 안으로 맞습니다 (각 표시에 호를 그리지 않고 숫자만, 직각은 직각 기호로만).

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 각의 네 종류(90°도 180°도 둔각이 아니다), 평각으로 x 찾기, 맞꼭지각의 짝을 이름으로 찾기, 맞꼭지각 방정식, 직각이 섞인 평각, 각의 비로 나누기(4:5:6 · 2:3), 합만 주어졌을 때는 「둘이 같다」를 먼저 찾는다(∡A + ∡C = 260° → ∡B = 50°), 점과 직선 사이의 거리(3·4·5 삼각형에서 2.4cm), 그리고 도전 — 직각 두 개가 겹쳐 있을 때. 10문항 전부 각을 직접 더해 검산했습니다 (한 점 둘레 360° · 평각 180° 로 두 번씩 맞췄습니다). ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

합집합 · 교집합 · 차집합 · 여집합 — 이름은 넷이지만 하는 일은 벤 다이어그램의 칸을 고르는 것 하나입니다. 그래서 선생님은 칸부터 나눠 놓고 시작하시지요 — 두 집합이면 네 칸, 세 집합이면 일곱 칸. 드모르간도 그림으로 보면 외울 것이 없습니다 — (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ 는 “둘 다 밖”, (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ 는 “하나라도 밖”. 개수로 넘어가면 이 단원의 얼굴이 나옵니다 — n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B). 겹친 칸을 두 번 셌으니 한 번 빼 준다, 그것뿐이에요. 세 집합이면 빼고 더하기를 한 번 더 하고, 「밖」이 주어지면 전체에서 걷어내 먼저 안으로 들어갑니다. 그리고 교집합의 최대와 최소는 칸이 음수가 될 수 없다는 한 줄로 갈립니다. 15장면 · 원소를 나열하는 값은 파이썬으로 실제 집합을 만들어 다시 세고, 구한 답을 원래 조건에 도로 넣어 칸이 맞물리는지까지 되짚었습니다. 드모르간·대칭차·개수 공식은 원소 네 개 전체집합의 부분집합 쌍 256가지 전수로 확인했습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 밖을 먼저 걷어내고 안으로(여집합이 주어졌을 때), 드모르간을 그림으로, 그림에서 집합을 거꾸로 읽기, 차집합 항등식과 대칭차집합, 배수의 집합 Aₙ(최소공배수와 최대공약수로), 세 집합의 개수 공식, 교집합의 최대와 최소(칸이 음수가 될 수 없다), 그리고 말로 된 문항까지. 10문항 전부 실제 집합을 만들어 세고, 답을 조건에 도로 넣어 되짚었습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

등비수열이 실제로 쓰이는 가장 큰 자리가 여기입니다. 선생님도 "시험에 꼭 나온다"고 못 박으시지요. 시작은 복리의 뜻 하나 — 이자에도 이자가 붙는다. 그다음이 이 단원의 갈림길입니다 — 해마다 초에 넣느냐(기수불), 말에 넣느냐(기말불). 말에 넣으면 마지막 돈은 이자를 한 번도 못 받고, 초에 넣으면 모두가 한 번씩 더 받습니다. 그래서 기수불 = 기말불 × (1 + r) — 둘의 차이가 정확히 「모아 둔 돈 전체의 한 해분 이자」입니다. 헷갈리면 첫 항과 끝 항을 적고 항이 몇 개인지 세는 것이 가장 확실합니다. 기간이 반년이면 이율과 햇수를 함께 바꾸는 함정도 있고, 분모의 소수는 위아래에 같은 수를 곱해 없애는 요령으로 넘습니다. 14장면 · 돈 계산이라 공식을 믿지 않고 파이썬으로 해마다 실제로 이자를 붙여 더해 공식값과 맞췄습니다(오차 1e−20 미만까지 일치). 어림값을 쓴 답은 반올림 자리를 문항마다 못 박았고, 어림값을 두 번 이어 곱하면 오차가 겹친다는 것은 도전 문항에서 정면으로 다룹니다.

연습 10문제와 도전 3문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 복리의 뜻, 기말불·기수불 기본, 차이가 곧 한 해분 이자인 까닭, 소수점 없애기, 거꾸로 — 목표액에서 매년 넣을 돈 찾기, 기간 환산 함정(반년이면 이율과 횟수를 함께 바꾼다), 항이 몇 개인지 세기, 적립 뒤 거치, 그리고 최상위 — 중도 인출. 도전에서는 어림값을 제곱하면 오차도 커진다, 로그로 「몇 년이면 두 배」, 무한등비급수로 영구 연금의 현재가치까지 갑니다. 13문항 전부 Decimal 로 해마다 실제 이자를 붙여 더해 검산했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

이 단원에서 학생이 틀리는 까닭은 셈이 아니라 문제를 잘못 읽어서입니다. 선생님이 그것을 수업 중에 몸소 보여 주십니다 — 같은 문항을 2⁶⁻³ = 8 로 푸시다가 되돌아가 "쌤이 문제를 정확하게 읽어 보지를 못해서 착각을 했어요" 하시고, "「요 중에서」라는 말이 있기 때문에 전체에서 아닌 걸 빼내야 된다" 며 2⁶ − 2³ = 56 으로 고치시지요. 낱말 하나가 답을 8에서 56으로 바꿉니다. 무기는 둘입니다. 원소 순환추적 — 조건을 되풀이 넣어 보면 5 → −¼ → ⅞ → 5 로 세 번마다 제자리로 돌아옵니다. 부분집합 원소합 — 원소 넷이면 각 원소가 2³ = 8번씩 들어가니 모든 부분집합의 원소를 다 더한 값은 8 × (원소의 합). 하나씩 세지 않고 「몇 번 나오는가」로 한 번에 셉니다. 15장면 · 개수는 파이썬으로 부분집합을 실제로 다 만들어 세어 맞췄습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 「요 중에서」가 붙으면 전체에서 빼낸다, 반드시 넣어야 할 원소·넣으면 안 되는 원소가 있을 때, 원소 순환추적(몇 번마다 제자리인지 먼저 센다), 부분집합 원소합(각 원소가 몇 번 나오는가로 한 번에), 조건을 만족하는 집합의 개수, 그리고 최상위까지. 10문항 전부 파이썬으로 부분집합을 다 만들어 세어 검산했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

그림 하나로 끝나는 정리입니다. 양 끝의 높이가 같은 매끄러운 곡선을 그려 보면, 올라갔다 내려오든 내려갔다 올라가든 그 사이 어딘가는 반드시 평평합니다 — 그것이 롤의 정리, f′(c) = 0 인 c 가 있다. 평균값 정리는 그 그림을 기울여 놓은 것일 뿐이에요. 두 끝을 이은 할선의 기울기와 똑같은 기울기의 접선이 사이 어딘가에 반드시 있습니다. 그래서 롤은 평균값의 특별한 경우(할선이 수평인 경우)입니다. 선생님은 여기서 손버릇 하나를 쥐어 주십니다 — "롤의 정리를 공식화 시켜 버려라." f(x) = (x − a)(x − b) 꼴이면 c 는 언제나 두 끝의 한가운데 (a + b)/2 라는 것. 시험에서는 이 한 줄로 계산이 통째로 사라집니다. 마지막은 c 를 고르는 법 — 방정식을 풀어 근이 둘 나오면 열린구간 안에 있는 것만 답입니다. 10장면 · 실린 값을 전부 sympy 로 재검산했고, c 가 진짜 열린구간 안인지까지 확인했습니다. 그래프는 함수식에서 좌표를 직접 계산해 그려 할선과 접선의 화면 기울기가 소수 다섯째 자리까지 같습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 롤의 정리로 c 찾기, (x − a)(x − b) 는 c = (a + b)/2, 평균값 정리로 c 찾기, 근이 둘 나오면 열린구간 안의 것만, 조건에서 함수를 되찾기, 롤이 안 되는 경우(끊겼거나 뾰족하거나 높이가 다르거나), 그리고 할선과 접선이 나란한 자리를 그림에서 읽기까지. 10문항 전부 sympy 로 검산했고, 구한 c 가 진짜 열린구간 안인지 예외 없이 확인했습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.

선생님이 이 시간 내내 되풀이하신 말씀은 한 줄이었습니다 — "적분에서는 뭐냐 범위만 알고 있으면 되니까." 식은 대개 문제에 적혀 있고, 어디부터 어디까지인지를 만드는 것이 우리 몫이라는 뜻이에요. 뼈대는 6분의 공식입니다 — S = |a|/6 × (β − α)³. 그런데 이 편이 가르치는 것은 그 공식을 거꾸로 쓰는 법입니다. 넓이를 주고 계수를 물으면 같은 공식을 방정식으로 놓습니다. 그래프를 옮긴 뒤 재는 문제는 옮긴 식부터 세우고, 넓이를 이등분하라면 전체를 구해 반으로 나눈 뒤 한쪽만 계산합니다. 속도 문항에서는 "제로가 나와요 — 요기가 바로 방향이 바뀌는 거야" — 멈춤·방향 전환·최고점이 전부 v(t) = 0 한 줄로 풀립니다. 그리고 이 편의 알맹이, 선생님이 통째로 세워 주신 정리 — "최솟값이 나오면 네 가지"(완전제곱 · 산술평균과 기하평균 · 미분 · 점과 직선 사이 거리). 마지막은 역함수의 넓이인데, 역함수를 구하지 않고 직사각형에서 빼서 끝냅니다. 12장면 · 실린 값을 전부 sympy 로 재검산했고, 넓이는 적분과 6분의 공식 두 갈래로 각각 풀어 같은 값이 나오는 것까지 확인했습니다. 그래프는 함수식에서 좌표를 직접 계산해 그렸습니다.

선생님이 오늘 칠판에서 낱말 하나에 파란 동그라미를 치셨습니다 — "의하여". "의하여라는 나오면은 반대로 가라, 이 뜻이라는 뜻이다." 「어떤 평행이동에 의하여 ○○로 옮겨진다」에서 ○○ 는 이미 옮겨진 뒤의 결과라, 원래 자리를 찾으려면 옮김량을 더하지 말고 빼야 합니다. 여기서 거의 다 틀립니다. 뼈대는 두 줄입니다 — 점은 더하고, 식은 뺀다. 점은 (x+p, y+q) 로 더하지만, 식은 x → x−p, y → y−q 로 뺍니다. 부호가 서로 반대예요. 대칭이동은 부호 장사입니다 — x축이면 y 가, y축이면 x 가, 원점이면 둘 다, y=x 면 자리를 바꿉니다. 그리고 대칭시킨 식은 바로 예쁘게 — (−y+2)² 는 (y−2)² 로 고쳐 놓아야 중심을 안 틀립니다. 원이 나오면 대입할 생각부터 하지 말고 중심을 먼저 뽑습니다 — "이렇게 하면 더 힘들어. 힘드니까… 중심을 찾아내 버려." 그러면 낱말 셋이 그대로 식이 됩니다 — 겹친다는 반지름이 같다, 넓이를 이등분은 중심을 지난다, 접한다는 중심까지 거리가 반지름. 마지막은 직선에 대한 대칭입니다. 쓸 것이 딱 둘 — 중점이 그 직선 위에 있고, 기울기끼리 곱하면 −1. 그리고 최솟값이 나오면 "아무 점 하나를 이동을 시켜 버려" — 대칭시켜 곧게 이으면 그 길이가 답입니다.

선생님이 이 시간에 가장 힘주어 하신 말씀은 이것입니다 — "P가 뭔지를 모르겠다 그랬어… 뭔지를 모르기 때문에 요거를 x y로 하면 된단 말이야." 좌표를 안 알려 주면 이름부터 붙입니다. 그러면 조건이 식이 되고, 식이 답을 데려옵니다. 뼈대는 셋입니다 — 거리 · 나누는 점 · 무게중심. 거리는 새 공식이 아니라 피타고라스를 좌표로 옮겨 적은 것이고, 최솟값이 나오면 "제일 짧다는 얘기는 이 직선이란 뜻이라" — P 를 찾으려 애쓰지 말고 그냥 AB 를 재면 됩니다. 내분점은 크로스로 곱해 더하고, 외분점은 새로 외울 것이 하나도 없습니다 — 내분 공식의 n 자리에 −n 을 넣은 것뿐이에요. 중점도 따로 외울 게 아니라 1 : 1 내분입니다. 평행사변형이 나오면 변의 길이로 식을 세우지 말고 "대각선의 중점이 똑같다" 한 줄로 끝내고, 무게중심은 셋을 더해 3 으로 나눕니다. 마지막은 자취입니다 — 모르는 점에 이름을 붙이고 제곱끼리 빼면 x² 과 y² 이 통째로 사라져 직선이 남습니다.

연습 10문제를 「어디가 고비인지」를 표시한 상세 해설로 풀어냅니다 — 6분의 공식과 그것을 거꾸로 써서 계수 찾기, 두 곡선 사이의 넓이, 그래프를 옮긴 뒤 재기(대칭 한 번 · 평행이동 두 번), 넓이 이등분(전체 → 절반 → 한쪽), 쏘아 올린 물체와 제동 거리(v(t) = 0 이 구간을 만든다), 최솟값이 나오면 네 가지, 역함수의 넓이(직사각형에서 빼기), 그리고 도전 — 위치의 변화량과 움직인 거리는 다르다. 10문항 전부 sympy 로 검산했고, 넓이는 적분과 공식 두 갈래로 각각 풀어 맞췄습니다. ✏️ 손으로 풀기와 인쇄 2모드(원본·절약)를 갖췄습니다.