왜 제곱근을 배울까?
넓이가 2인 정사각형의 한 변, 피타고라스로 구한 빗변처럼 제곱해서 그 수가 되는 수가 자주 필요해요. 제곱근을 알면 √2 같은 무리수의 세계가 열리고, 수직선이 빈틈없이 채워져요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 제곱근과 √의 뜻을 안다. ② 무리수·실수를 이해한다. ③ 제곱근을 곱·간단히·유리화한다. ④ 제곱근의 대소를 비교한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 4² 과 5² 은 각각 얼마일까요?
② 넓이가 9인 정사각형의 한 변은?
① 16, 25 · ② 3. 넓이의 한 변을 거꾸로 찾는 게 곧 제곱근이에요.
제곱근 — 제곱하면 그 수가 되는 수
제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라 해요. 9의 제곱근은 +3과 −3(둘!). 그중 양의 제곱근을 √ 기호로 √9 = 3 처럼 써요. √a 는 넓이가 a인 정사각형의 한 변이라고 생각하면 그림이 또렷해져요.
기억해요 — √a = 넓이 a인 정사각형의 한 변. 제곱근은 양·음 둘, √는 양의 쪽
움직이는 그림 — 넓이에서 한 변으로
정사각형의 넓이로 제곱근을 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
무리수와 실수 — 분수로 못 쓰는 수
√2 처럼 분수로 나타낼 수 없는(소수가 끝나지도 순환하지도 않는) 수를 무리수라 해요. 유리수와 무리수를 모두 합한 것이 실수예요 — 수직선을 빈틈없이 채워요. 제곱근끼리는 √a × √b = √(ab)로 곱하고, √12 = 2√3 처럼 밖으로 빼내 간단히 해요.
기억해요 — 무리수(√2·π…) + 유리수 = 실수. √ 안의 제곱인수는 밖으로 빼낸다
①제곱근 계산
√a × √b = √(ab), √a ÷ √b = √(a/b).
②간단히
√12 = √(4·3) = 2√3 (제곱인수 빼내기).
③분모의 유리화
3/√3 = 3√3/3 = √3 (분모를 정수로).
④대소 비교
√ 안의 수가 클수록 큰 수. 2 = √4 < √5.
기억 그림 · √9=3, √2≈1.414 — 제곱하면 그 수가 되는 값
√a는 제곱하면 a가 되는 수. √4=2처럼 딱 떨어지면 유리수, √2=1.414…처럼 무한소수면 무리수. 유리수+무리수를 합쳐 실수라고 해요!
왜 √2는 분수로 못 쓸까
√2 = p/q(기약분수)라 가정하면, 2q²=p² → p²이 짝수 → p가 짝수 → p=2k 대입 → q²도 짝수 → q도 짝수. 그런데 기약분수는 공약수가 1이어야 해서 모순! 이 귀류법 증명이 √2가 무리수임을 보여줘요.자주 틀리는 곳
√a + √b ≠ √(a+b) 예요! √4 + √9 = 2+3 = 5 이지만 √13 ≈ 3.6 으로 달라요. 더하기·빼기는 같은 √끼리만(동류항처럼) 묶어요: 2√3 + √3 = 3√3.다음으로
제곱근은 피타고라스(길이)·이차방정식(근의 공식)에서 곧바로 쓰여요. 고등학교에서는 무리수의 성질과 실수의 완비성으로 더 깊이 들어가요.
스스로 풀어요 (3단계)
완전제곱수의 제곱근, (√a)² 부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: √를 ‘넓이의 한 변’으로 그림화해 직관을 잡았어요. ‘더 간결하게’: 계산은 ‘제곱인수는 밖으로, 같은 √끼리만 더하기’로 통일했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 제곱근의 계산·간단히·유리화가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 소수 제곱근·자연수 만들기·곱셈공식·x+1/x·사이 자연수·정사각형 변까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1소수 제곱근
√0.04 의 값은?
답: 0.2
0.2² = 0.04 → √0.04 = 0.2
0.2² = 0.04 → √0.04 = 0.2
2자연수 만들기
n이 자연수일 때 √(12n)이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 n은?
답: 3
12 = 2²×3. 3이 부족하므로 n = 3 → √36 = 6
12 = 2²×3. 3이 부족하므로 n = 3 → √36 = 6
3정수 부분
√15는 자연수 a와 a+1 사이에 있습니다. a는?
답: 3
3² = 9 < 15 < 16 = 4² → 3 < √15 < 4 → a = 3
3² = 9 < 15 < 16 = 4² → 3 < √15 < 4 → a = 3
4곱셈 공식
(√5 + √3)(√5 − √3) 의 값은?
답: 2
(√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2
(√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2
5소수 부분
√2의 소수 부분을 구하면? (√2 ≈ 1.414)
답: √2 − 1
정수 부분이 1이므로 소수 부분 = √2 − 1
정수 부분이 1이므로 소수 부분 = √2 − 1
6사이 자연수
√8 과 √50 사이에 있는 자연수는 모두 몇 개인가요?
답: 5개
√8 ≈ 2.83, √50 ≈ 7.07 → 3, 4, 5, 6, 7 → 5개
√8 ≈ 2.83, √50 ≈ 7.07 → 3, 4, 5, 6, 7 → 5개
7x+1/x
x = 2 + √3 일 때, x + 1/x 의 값은?
답: 4
1/x = 2 − √3 → x + 1/x = (2+√3)+(2−√3) = 4
1/x = 2 − √3 → x + 1/x = (2+√3)+(2−√3) = 4
8절댓값
n = −5 일 때, √(n²) 의 값은?
답: 5
√(n²) = |n| = |−5| = 5
√(n²) = |n| = |−5| = 5
9정사각형 변
넓이가 50인 정사각형의 한 변의 길이는?
답: 5√2
한 변² = 50 → 한 변 = √50 = 5√2
한 변² = 50 → 한 변 = √50 = 5√2
10근사값
√2 ≈ 1.414 일 때, √8 의 값은 약 얼마인가요?
답: 약 2.828
√8 = 2√2 ≈ 2 × 1.414 = 2.828
√8 = 2√2 ≈ 2 × 1.414 = 2.828
11사이 정수
1과 √10 사이에 있는 정수는 모두 몇 개인가요?
답: 2개
√10 ≈ 3.16 → 2, 3 → 2개
√10 ≈ 3.16 → 2, 3 → 2개
객관식 진단 퀴즈 — 제곱근과실수
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — √a 의 값
안의 수 a 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1제곱근 = 제곱해서 a가 되는 수(±). √는 양의 쪽.
- 2√a = 넓이가 a인 정사각형의 한 변.
- 3√a×√b=√(ab), √12=2√3 (제곱인수 빼내기).
- 4무리수 + 유리수 = 실수(수직선을 채움).
이 단원의 말·기호
- 제곱근
- 제곱하면 a가 되는 수(9의 제곱근 ±3).
- 근호(√)
- 양의 제곱근을 나타내는 기호.
- 무리수
- 분수로 못 쓰는 수(√2, π).
- 유리화
- 분모의 근호를 없애 정수로 만들기.
내 말로 설명하기
√2가 왜 무리수인지(분수로 못 쓰는지) 느낌을 적어 봐요.
예시 — “√2는 1.41421356…으로 끝없이 가고 규칙도 없어서 어떤 분수로도 정확히 못 써. 그래서 무리수야.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.