왜 이차함수를 배울까?
공을 던진 자취, 분수의 물줄기, 다리의 곡선은 모두 포물선이에요. 이차함수는 ‘언제 가장 높이(이익이 최대로) 오르나’ 같은 최댓값·최솟값 문제를 풀어 줘요. 자연과 경제를 설명하는 강력한 함수예요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 이차함수 y=ax²+bx+c를 안다. ② 포물선의 모양을 안다. ③ 꼭짓점과 축을 구한다. ④ 평행이동과 절편을 이해한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① 3² 과 (−3)² 은 각각 얼마일까요?
② y = x² 의 가장 낮은 점은?
① 9, 9 · ② 원점 (0,0). x²은 늘 0 이상이라 U자 모양이 돼요.
이차함수 y = ax² — 포물선이 태어나요
y = ax² + bx + c 꼴이 이차함수예요. 그래프는 직선이 아니라 포물선(U자 곡선)이에요. 공을 던졌을 때 그리는 자취, 분수의 물줄기가 바로 포물선이에요. a > 0이면 아래로 볼록(웃는 U), a < 0이면 위로 볼록이에요.
기억해요 — 이차함수의 그래프 = 포물선. a>0이면 U자(아래로 볼록)
움직이는 그림 — y = x² 포물선
점을 찍어 포물선을 그려요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
꼭짓점과 축 — 포물선의 중심
포물선은 좌우 대칭이에요. 대칭의 기준선이 축, 곡선이 꺾이는 점이 꼭짓점이에요. y = a(x − p)² + q 꼴이면 꼭짓점이 (p, q)로 한눈에 보여요. 파란 p가 꼭짓점 x좌표예요. y = x²를 좌우(p)·위아래(q)로 평행이동한 모습이지요.
기억해요 — y = a(x − p)² + q → 꼭짓점 (p, q), 축은 x = p.
비법 ✦ 괄호 속을 0으로 만드는 x값이 꼭짓점 x좌표예요.
비법 ✦ 괄호 속을 0으로 만드는 x값이 꼭짓점 x좌표예요.
⚠ 부호 반전 — 여기서 자주 틀려요!
(x − 3)²
→ (x−3)=0 → x = +3 → 꼭짓점 x좌표 +3
(x + 3)² → (x+3)=0 → x = −3 → 꼭짓점 x좌표 −3 ← 많이 틀려요!
(x+3)²은 (x−(−3))²이니까 p = −3이에요. +3이 아니에요.
(x + 3)² → (x+3)=0 → x = −3 → 꼭짓점 x좌표 −3 ← 많이 틀려요!
(x+3)²은 (x−(−3))²이니까 p = −3이에요. +3이 아니에요.
①y = ax²
꼭짓점 원점 (0,0). a가 클수록 좁은 U.
②꼭짓점꼴
y = a(x−p)²+q → 꼭짓점 (p, q).
(x+3)²이면 p = −3! (부호 반전)
③평행이동
p는 좌우(오른쪽 +), q는 위아래(위 +).
예: (x+3)²이면 p = −3 → 왼쪽!
④x절편
y=0인 곳 = 이차방정식의 해(두 점).
기억 그림 · y=ax²+q — 포물선, a의 부호가 방향 결정!
y=ax²에서 a>0이면 아래로 볼록한 U자 포물선, a<0이면 위로 볼록한 ∩자 포물선. a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아지고, 꼭짓점은 이차함수의 최솟값(a>0)·최댓값(a<0)!
왜 U자 모양일까
x가 양수든 음수든 x²은 항상 0 이상이라, 원점에서 가장 낮고 양옆으로 멀어질수록 빠르게 높아져요. 게다가 x와 −x의 y값이 같아 좌우 대칭인 U자가 됩니다.꼭짓점 좌표 부호 실수 — 확인해요
비법: 괄호 안을 0으로 만드는 x값이 꼭짓점 x좌표예요.· y = 2(x−3)²+1 → (x−3)=0 → x=3 → 꼭짓점 (3, 1)
· y = 2(x+3)²+1 → (x+3)=0 → x=−3 → 꼭짓점 (−3, 1) ← 여기서 많이 틀려요!
(x+3)²은 (x−(−3))²이니까 p = −3이에요. +3이 아니에요.
다음으로
꼭짓점은 최댓값·최솟값을 알려줘요(이익이 최대가 되는 가격, 가장 높이 나는 순간 등). 고등학교에서 이차함수의 최대·최소와 이차부등식으로 깊어집니다.
스스로 풀어요 (3단계)
함숫값, y=ax²의 꼭짓점·모양부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 포물선을 ‘꼭짓점 + 벌어짐(a)’ 두 가지로만 보게 했어요. ‘더 간결하게’: 꼭짓점꼴 y=a(x−p)²+q 에서 (p, q)를 즉시 읽게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 함숫값·꼭짓점·축 읽기가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. x절편 거리·최대최소·x절편으로 식 세우기·직선과 교점·꼭짓점 조건까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1x절편 거리
y = x² − 2x − 3 의 그래프에서 두 x절편 사이의 거리는?
답: 4
x절편 3, −1 → 거리 3−(−1) = 4
x절편 3, −1 → 거리 3−(−1) = 4
2계수 추론
이차함수 y = ax² 의 그래프가 점 (2, 12)를 지날 때 a는?
답: 3
12 = a×4 → a = 3
12 = a×4 → a = 3
3y절편
y = x² − 6x + 8 의 y절편은?
답: 8
x=0 대입 → y = 8
x=0 대입 → y = 8
4최솟값
y = (x − 3)² − 4 의 최솟값은?
답: −4
꼭짓점의 y좌표 = −4 (아래로 볼록의 최솟값)
꼭짓점의 y좌표 = −4 (아래로 볼록의 최솟값)
5최댓값
y = −(x + 1)² + 5 의 최댓값은?
답: 5
위로 볼록 → 꼭짓점의 y좌표 5가 최댓값
위로 볼록 → 꼭짓점의 y좌표 5가 최댓값
6x절편으로 식
두 점 (1, 0), (5, 0)을 x절편으로 갖고 x²의 계수가 1인 이차함수는?
답: y = x² − 6x + 5
y=(x−1)(x−5) = x²−6x+5
y=(x−1)(x−5) = x²−6x+5
7최솟값 조건
y = x² − 4x + k 의 최솟값이 −1일 때 k는?
답: 3
꼭짓점 (2, k−4) → k−4 = −1 → k = 3
꼭짓점 (2, k−4) → k−4 = −1 → k = 3
8볼록 방향
y = ax² + bx + c 의 그래프가 위로 볼록하려면 a의 부호는?
답: 음수
a < 0이면 위로 볼록
a < 0이면 위로 볼록
9x절편 거리
y = x² − 2x − 8 의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거리는?
답: 6
x절편 4, −2 → 거리 6
x절편 4, −2 → 거리 6
10직선과 교점
y = x² 의 그래프와 직선 y = x 가 만나는 점 중 원점이 아닌 점의 좌표는?
답: (1, 1)
x² = x → x²−x=0 → x=0 또는 1 → (1, 1)
x² = x → x²−x=0 → x=0 또는 1 → (1, 1)
11꼭짓점 조건
y = x² + ax + b 의 꼭짓점이 (2, −3)일 때 a + b 의 값은?
답: −3
축 x=−a/2=2 → a=−4. 꼭짓점 y = b − a²/4 = b − 4 = −3 → b = 1. a+b = −3
축 x=−a/2=2 → a=−4. 꼭짓점 y = b − a²/4 = b − 4 = −3 → b = 1. a+b = −3
객관식 진단 퀴즈 — 이차함수와그래프
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — y = x²
x 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1y = ax²+bx+c: 그래프는 포물선(U자).
- 2a>0 아래로 볼록, a<0 위로 볼록.
- 3y = a(x−p)²+q → 꼭짓점 (p, q), 축 x=p. 단, (x+3)²이면 p=−3!
- 4x절편 = 이차방정식의 해(두 점).
이 단원의 말·기호
- 이차함수
- y=ax²+bx+c (a≠0).
- 포물선
- 이차함수의 그래프(U자 곡선).
- 꼭짓점
- 포물선이 꺾이는 점(최저·최고).
- 축
- 포물선을 좌우로 나누는 대칭선.
내 말로 설명하기
포물선이 왜 좌우 대칭 U자인지 한 줄로?
예시 — “y=x²은 x가 +든 −든 제곱하면 0 이상이라 원점에서 가장 낮아. x와 −x의 y가 같아서 좌우 대칭 U자가 돼.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.