왜 이차방정식을 배울까?
넓이·포물선 운동·최댓값 문제처럼 x²이 등장하는 상황은 아주 많아요. 이차방정식은 그런 문제의 답을 찾는 도구이고, 인수분해·완전제곱·근의 공식 세 가지 길을 익히며 ‘정상은 하나, 길은 여럿’을 경험해요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 이차방정식의 뜻을 안다. ② 인수분해로 푼다. ③ 완전제곱·근의 공식으로 푼다. ④ 이차방정식으로 문제를 해결한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① x² + 5x + 6 을 인수분해하면?
② (x−2)(x+3) = 0 이면 x는?
① (x+2)(x+3) · ② x=2 또는 −3. ‘곱이 0이면 둘 중 하나가 0’이 열쇠예요.
이차방정식 — 곱이 0이면 둘 중 하나가 0
x²이 들어간 방정식이 이차방정식이에요(ax²+bx+c=0). 핵심 열쇠는 AB=0이면 A=0 또는 B=0. 그래서 좌변을 인수분해해 ( )( )=0 꼴로 만들면, 각 괄호를 0으로 놓아 답을 얻어요. 이차방정식은 보통 해가 둘이에요.
기억해요 — (A)(B) = 0 → A = 0 또는 B = 0. 인수분해로 두 해를 찾는다
움직이는 그림 — 인수분해로 풀기
이차방정식을 인수분해해 풀어요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
정상으로 가는 세 갈래 길
이차방정식을 푸는 길은 하나가 아니에요. 인수분해가 깔끔하면 가장 빠르고, 잘 안 되면 완전제곱(제곱완성)으로 (x−p)²=q 꼴을 만들거나, 언제나 통하는 근의 공식을 써요. 셋 다 같은 답에서 만나요 — 문제에 맞는 길을 골라요.
기억해요 — 인수분해(빠름) · 완전제곱(원리) · 근의 공식(만능), 세 길이 한 정상
①인수분해
(x+2)(x+3)=0 → x=−2, −3. 깔끔할 때 최고.
②완전제곱
x²−4x+1=0 → (x−2)²=3 → x=2±√3.
③근의 공식
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. 언제나 통함.
④검산
구한 해를 식에 다시 넣어 0이 되는지 확인.
기억 그림 · ax²+bx+c=0 풀기 — 인수분해 또는 근의 공식
이차방정식은 인수분해로 먼저 시도하고, 안 되면 근의 공식을 쓰세요. x=-b±√(b²-4ac)/2a — 판별식 b²-4ac가 0이상이면 실수 해가 있어요!
왜 근의 공식이 작동할까
ax²+bx+c=0을 완전제곱으로 변형하면 (x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a². 양변에 제곱근을 씌우면 x+b/2a=±√(b²-4ac)/2a → x=(-b±√(b²-4ac))/2a. 판별식 D=b²-4ac: D>0이면 해 2개, D=0이면 중근 1개, D<0이면 실수 해 없음.같은 문제, 세 가지 길 (x²+3x+2=0)
인수분해: (x+1)(x+2)=0 → x=−1, −2. 완전제곱: (x+1.5)² = 0.25 → x=−1.5±0.5 → −1, −2. 근의 공식: x = (−3±√(9−8))/2 = (−3±1)/2 → −1, −2. 어느 길로 가도 −1과 −2에서 만나요.자주 틀리는 곳
한 해만 쓰고 끝내기 — 이차방정식은 보통 해가 둘이에요(중근일 땐 하나). 또 (x−2)²=3 에서 x−2=±√3 처럼 ±를 빠뜨리지 마세요.다음으로
이차방정식의 두 근을 α, β라 하면 근과 계수의 관계: α+β=−b/a, αβ=c/a. 이차방정식의 해(x절편)는 이차함수 그래프와 x축의 만나는 점이에요. 고등학교에서 판별식·이차부등식·연립이차방정식으로 이어집니다.
스스로 풀어요 (3단계)
제곱근·인수분해로 풀리는 기본부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 풀이의 출발을 ‘곱이 0’ 한 원리로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 세 가지 길을 나란히 보여 학생이 가장 빠른 길을 고르게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 이차방정식이 나와요. 인수분해 풀이·근의 공식이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 두 근의 역수합·근과 계수의 관계·판별식·연속수 활용·x+1/x까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1두 근의 역수합
x² − 6x + 8 = 0 의 두 근을 α, β라 할 때, 1/α + 1/β 의 값은?
답: 3/4
1/α+1/β = (α+β)/(αβ) = 6/8 = 3/4
1/α+1/β = (α+β)/(αβ) = 6/8 = 3/4
2계수 추론
이차방정식 x² + px + q = 0 의 두 근이 2와 3일 때, p + q 의 값은?
답: 1
p=−(2+3)=−5, q=2×3=6 → p+q=1
p=−(2+3)=−5, q=2×3=6 → p+q=1
3두 근의 곱
x² − 4x + 2 = 0 의 두 근의 곱은?
답: 2
두 근의 곱 = 상수항 ÷ x²의 계수 = 2
두 근의 곱 = 상수항 ÷ x²의 계수 = 2
4한 근 대입
한 근이 3인 이차방정식 x² − 5x + k = 0 에서 k는?
답: 6
9 − 15 + k = 0 → k = 6
9 − 15 + k = 0 → k = 6
5연속 짝수
연속한 두 짝수의 곱이 48입니다. 작은 짝수는?
답: 6
x(x+2)=48 → x²+2x−48=0 → (x−6)(x+8)=0 → x=6
x(x+2)=48 → x²+2x−48=0 → (x−6)(x+8)=0 → x=6
6근의 공식
x² − 2x − 4 = 0 을 근의 공식으로 풀면?
답: x = 1 ± √5
x = (2±√(4+16))/2 = (2±2√5)/2 = 1±√5
x = (2±√(4+16))/2 = (2±2√5)/2 = 1±√5
7합과 차
두 근의 합이 8이고 차가 2인 두 근은?
답: 5와 3
큰 근 + 작은 근 = 8, 차 = 2 → 5, 3
큰 근 + 작은 근 = 8, 차 = 2 → 5, 3
8판별식
이차방정식이 중근을 가지려면 판별식 b² − 4ac 의 값은?
답: 0
중근 조건: 판별식 = 0
중근 조건: 판별식 = 0
9계수 추론
x² + ax + b = 0 의 두 근이 −2와 5일 때, a − b 의 값은?
답: 7
a=−(−2+5)=−3, b=(−2)(5)=−10 → a−b = −3−(−10) = 7
a=−(−2+5)=−3, b=(−2)(5)=−10 → a−b = −3−(−10) = 7
10넓이 활용
넓이가 60인 직사각형의 가로가 세로보다 4 깁니다. 세로의 길이는?
답: 6
x(x+4)=60 → x²+4x−60=0 → (x−6)(x+10)=0 → x=6
x(x+4)=60 → x²+4x−60=0 → (x−6)(x+10)=0 → x=6
11x+1/x
x² − 3x + 1 = 0 일 때, x + 1/x 의 값은?
답: 3
x≠0이므로 양변을 x로 나누면 x − 3 + 1/x = 0 → x + 1/x = 3
x≠0이므로 양변을 x로 나누면 x − 3 + 1/x = 0 → x + 1/x = 3
객관식 진단 퀴즈 — 이차방정식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — (x+a)(x+b)=0 의 상수항
a 2
b 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1핵심: (A)(B)=0 → A=0 또는 B=0.
- 2세 가지 길 — 인수분해 / 완전제곱 / 근의 공식.
- 3보통 해가 둘(중근이면 하나).
- 4마지막엔 해를 다시 넣어 검산.
이 단원의 말·기호
- 이차방정식
- ax²+bx+c=0 (a≠0) 꼴.
- 근(해)
- 방정식을 참으로 만드는 x.
- 중근
- 겹쳐서 하나가 된 해.
- 근의 공식
- x=(−b±√(b²−4ac))/2a.
내 말로 설명하기
이차방정식을 푸는 핵심 아이디어를 한 줄로?
예시 — “(x+2)(x+3)=0처럼 곱이 0이 되려면 둘 중 하나가 0이어야 해. 그래서 x=−2 또는 x=−3.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.