왜 일차함수를 배울까?
요금제·속력·온도 변화처럼 일정한 비율로 변하는 관계는 모두 일차함수예요. 기울기는 ‘변화의 빠르기’, y절편은 ‘출발값’. 그래프 한 장으로 미래를 예측하는 힘을 길러요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 일차함수 y=ax+b를 이해한다. ② 기울기와 y절편을 안다. ③ 그래프를 그리고 x절편·y절편을 구한다. ④ 조건으로 일차함수의 식을 세운다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 정비례 y = 2x 는 어떤 점을 지나나요?
② 점 (0, 3)은 x축·y축 중 어디 위에 있나요?
① 원점 (0,0) · ② y축. 정비례에 ‘출발 높이(b)’를 더한 게 일차함수예요.
일차함수 y = ax + b — 정비례에 한 칸 보태기
x가 변하면 y가 정해지는 관계가 함수예요. 그중 y = ax + b 꼴이 일차함수. b = 0이면 정비례(원점 지남)였죠. b가 있으면 그 직선을 위로 b만큼 평행이동한 거예요. a는 기울기(가파른 정도), b는 y절편(y축과 만나는 높이)이에요.
기억해요 — a = 기울기(오른쪽 1칸에 위로 a), b = y절편(출발 높이)
기억 그림 · 기울기 = 계단의 경사
오른쪽으로 1칸 갈 때 위로 몇 칸 오르나 — 그게 기울기 a. 계단이 가파를수록 a가 커요.
📺📺 영상으로 보기y = 2x + 1 그리기▶
📺 움직이는 개념 — y = 2x + 1 그리기
y절편에서 출발해 기울기로 한 점을 찍어요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 기울기는 ‘절편 직각삼각형’의 세로÷가로예요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 두 절편으로 직각삼각형을 그려 기울기를 ‘세로 나누기 가로’ 비율로 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 평행이동은 그래프가 엘리베이터를 타는 것
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 기준선 y=2x가 위로 +3·아래로 −3 평행이동하는 걸 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 평행은 기울기가 같은 두 철길
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, y=2x+1 과 y=2x−2 가 왜 영원히 안 만나는지 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
그래프 그리기 — 두 점이면 충분
직선은 두 점만 있으면 그릴 수 있어요. 가장 쉬운 두 점은 y절편(0, b)과 x절편(y=0일 때)이에요. 또는 y절편을 찍고 기울기만큼 한 점 더 찍어 이어도 돼요.
기억해요 — 두 점이면 직선 하나. y절편 + (x절편 또는 기울기)
왜 b가 평행이동일까
같은 x에서 y = ax 보다 y = ax + b 는 항상 b만큼 더 높아요. 모든 점이 똑같이 b만큼 위로 올라가니 그래프 전체가 위로 b 평행이동한 모습이 돼요. 기울기 a는 그대로라 기울기가 같은 직선은 서로 평행이에요.다음으로
기울기는 ‘변화의 빠르기’예요 — 속력·요금처럼 “1 늘 때 얼마 변하나”를 나타내요. 다음 단원에서 일차함수 = 일차방정식의 그래프임을, 3학년에선 이차함수를 배워요.스스로 풀어요 (3단계)
함숫값 구하기, 기울기·y절편 읽기부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 일차함수를 ‘기울기 a · y절편 b’ 두 수로만 보게 했어요. ‘더 간결하게’: 그래프는 ‘두 점 찍어 잇기’ 하나로 통일했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 함숫값·기울기·절편·식 세우기가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 사분면·삼각형 넓이·교점·평행과 일치·절댓값 그래프·정수해까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1사분면
일차함수 y = 2x − 4 의 그래프가 지나지 않는 사분면은?
답: 제2사분면
기울기 +, y절편 −. x절편 2. x<0이면 y<−4<0 → 제2사분면(x<0, y>0)은 지나지 않음
기울기 +, y절편 −. x절편 2. x<0이면 y<−4<0 → 제2사분면(x<0, y>0)은 지나지 않음
2삼각형 넓이
일차함수 y = ax + 6 (a>0)의 그래프가 x축, y축과 만들어지는 삼각형의 넓이가 9입니다. a는?
답: 2
x절편 −6/a, y절편 6. 넓이 = ½×(6/a)×6 = 18/a = 9 → a = 2
x절편 −6/a, y절편 6. 넓이 = ½×(6/a)×6 = 18/a = 9 → a = 2
3교점 활용
두 직선 y = 2x − 1 과 y = −x + 5 의 교점을 지나고 기울기가 1인 직선의 y절편은?
답: 1
교점: 2x−1=−x+5 → x=2, y=3. (2,3) 지나고 기울기1: 3=2+b → b=1
교점: 2x−1=−x+5 → x=2, y=3. (2,3) 지나고 기울기1: 3=2+b → b=1
4실생활 변화율
양초에 불을 붙이면 길이가 1분에 0.5cm씩 줄어듭니다. 처음 길이 20cm일 때, x분 후 길이 y의 관계식은?
답: y = −0.5x + 20
1분에 0.5cm 줄어듦 → 기울기 −0.5, 처음 길이 20 → y = −0.5x + 20
1분에 0.5cm 줄어듦 → 기울기 −0.5, 처음 길이 20 → y = −0.5x + 20
5절댓값 그래프
y = |x| − 2 의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표는?
답: +2 와 −2
|x|−2=0 → |x|=2 → x = +2 또는 −2
|x|−2=0 → |x|=2 → x = +2 또는 −2
6정수해
일차함수 y = −2x + 7 의 그래프 위의 점 중, x좌표와 y좌표가 모두 자연수인 점은 몇 개인가요?
답: 3개
x=1→y=5, x=2→y=3, x=3→y=1 (x=4면 y=−1로 자연수 아님) → 3개
x=1→y=5, x=2→y=3, x=3→y=1 (x=4면 y=−1로 자연수 아님) → 3개
7평행 조건
두 직선 y = (a−1)x + 3 과 y = 2x − 5 가 평행할 때 a는?
답: 3
평행 → 기울기 같음: a−1 = 2 → a = 3
평행 → 기울기 같음: a−1 = 2 → a = 3
8일치 조건
두 직선 y = 3x + b 와 y = ax − 2 가 완전히 겹칠(일치) 때, a + b 의 값은?
답: 1
일치 → 기울기·절편 모두 같음: a=3, b=−2 → a+b=1
일치 → 기울기·절편 모두 같음: a=3, b=−2 → a+b=1
9삼각형 넓이
일차함수 y = ½x + 2 의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
답: 4
x절편: 0=½x+2 → x=−4, y절편 2. 넓이 = ½×4×2 = 4
x절편: 0=½x+2 → x=−4, y절편 2. 넓이 = ½×4×2 = 4
10두 직선+넓이
두 직선 y = x, y = −x + 4, 그리고 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
답: 4
교점 (2,2). 두 직선의 x절편 (0,0)과 (4,0). 밑변 4, 높이 2 → 넓이 = ½×4×2 = 4
교점 (2,2). 두 직선의 x절편 (0,0)과 (4,0). 밑변 4, 높이 2 → 넓이 = ½×4×2 = 4
11부호 추론
일차함수 y = ax + b 의 그래프가 제1, 2, 4사분면을 지납니다. a, b의 부호는?
답: a < 0, b > 0
제3사분면을 지나지 않으려면 감소(a<0)하고 y절편이 양수(b>0)여야 해요
제3사분면을 지나지 않으려면 감소(a<0)하고 y절편이 양수(b>0)여야 해요
객관식 진단 퀴즈 — 일차함수와그래프
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — y = 2x + 1
x 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1y = ax + b: a=기울기, b=y절편.
- 2기울기 = 오른쪽 1칸에 위로 a칸(경사).
- 3b는 정비례 그래프를 위로 b만큼 평행이동.
- 4직선은 두 점(y절편·x절편)이면 그릴 수 있다.
이 단원의 말·기호
- 일차함수
- y=ax+b (a≠0) 꼴의 함수.
- 기울기
- x가 1 늘 때 y의 증가량 a.
- y절편
- 그래프가 y축과 만나는 값 b.
- x절편
- 그래프가 x축과 만나는 x값.
내 말로 설명하기
기울기가 무엇인지 한 줄로 설명해 봐요.
예시 — “기울기는 계단의 경사야. y=2x+1은 오른쪽 1칸 갈 때 위로 2칸 올라가고, 출발 높이(y절편)는 1.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.