✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 무게중심은 세 꼭짓점이 매달린 시소의 균형점
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 세 꼭짓점에 추를 매달아 균형 잡히는 한 점이 곧 좌표의 평균임을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 무게중심 G = 세 꼭짓점 좌표의 평균
예제 1) 세 점 A(0,0), B(6,0), C(3,6)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심은?
풀이 보기
x = (0+6+3)/3 = 9/3 = 3, y = (0+0+6)/3 = 6/3 = 2.
무게중심 G(3, 2).
검산: (0+6+3)/3=3 ✓ , (0+0+6)/3=2 ✓
예제 2) 세 점 A(1,2), B(4,3), C(7,4)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심은?
풀이 보기
x = (1+4+7)/3 = 12/3 = 4, y = (2+3+4)/3 = 9/3 = 3.
무게중심 G(4, 3).
검산: 1+4+7=12, 12/3=4 ✓ / 2+3+4=9, 9/3=3 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 최단 경로는 거울에 점을 비춰 일직선으로 잇기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 도착점을 x축에 대칭시켜 꺾인 길을 곧은 직선으로 펴는 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 도착점을 x축에 대칭(y부호 반전)시켜 출발점과 곧은 직선으로 잇기 → 최단 = AB′
예제 1) A(1,2)에서 출발해 x축 위 한 점을 들른 뒤 B(4,3)으로 가는 최단 거리는?
풀이 보기
B를 x축에 대칭 → B′(4, −2).
최단 = AB′ = √((4−1)² + (−2−2)²) = √(9+16) = √25 = 5.
검산: 3²+4²=9+16=25, √25=5 ✓
예제 2) A(2,1)에서 출발해 x축 위 한 점을 들른 뒤 B(6,3)으로 가는 최단 거리는?
풀이 보기
B를 x축에 대칭 → B′(6, −3).
최단 = AB′ = √((6−2)² + (−3−1)²) = √(16+16) = √32 = 4√2.
검산: 4²+4²=16+16=32, √32=4√2 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 원 위의 점 접선은 제곱을 쪼개 점만 대입
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, x²·y²를 두 문자로 쪼개 한쪽에 접점을 대입하면 접선이 한 줄로 나오는 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 원 x²+y²=r² 위의 점 (x₁,y₁)에서 접선은 x₁x + y₁y = r² (제곱을 쪼개 점만 대입)
예제 1) 원 x²+y²=10 위의 점 (1,3)에서의 접선의 방정식은?
풀이 보기
점이 원 위인지 확인: 1²+3² = 1+9 = 10 ✓.
제곱을 쪼개 점 대입 → 1·x + 3·y = 10.
접선 x + 3y = 10.
검산: 점 (1,3) 대입 1+9=10 ✓
예제 2) 원 x²+y²=25 위의 점 (4,3)에서의 접선의 방정식은?
풀이 보기
점이 원 위인지 확인: 4²+3² = 16+9 = 25 ✓.
점 대입 → 4·x + 3·y = 25.
접선 4x + 3y = 25.
검산: 점 (4,3) 대입 16+9=25 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 현의 길이는 반지름·중심거리로 만든 직각삼각형
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 교점을 구하지 않고 반지름·중심거리·현의 절반으로 직각삼각형을 세워 현을 구합니다.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 현의 길이 = 2√(r²−d²) (r=반지름, d=중심에서 현까지 거리)
예제 1) 반지름 r=5인 원의 중심에서 거리 d=4인 직선이 만드는 현의 길이는?
풀이 보기
현 = 2√(r²−d²) = 2√(5²−4²) = 2√(25−16) = 2√9 = 2×3 = 6.
검산: 5²−4²=9, √9=3, 2×3=6 ✓
예제 2) 반지름 r=13인 원의 중심에서 거리 d=5인 직선이 만드는 현의 길이는?
풀이 보기
현 = 2√(13²−5²) = 2√(169−25) = 2√144 = 2×12 = 24.
검산: 169−25=144, √144=12, 2×12=24 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 삼각형 넓이는 한 꼭짓점을 원점으로 옮겨 ad 빼기 bc
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 한 꼭짓점을 원점으로 옮겨 가위표 곱으로 넓이를 구하는 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 한 꼭짓점을 원점으로 옮긴 뒤 남은 두 점 (a,b),(c,d)로 넓이 = ½|ad − bc|
예제 1) 세 점 A(0,0), B(4,0), C(0,3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는?
풀이 보기
A가 이미 원점. B=(4,0), C=(0,3) → 넓이 = ½|4·3 − 0·0| = ½·12 = 6.
검산: 밑변 4 × 높이 3 ÷ 2 = 6 ✓
예제 2) 세 점 A(1,1), B(5,2), C(3,6)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는?
풀이 보기
A를 원점으로 옮김: B−A=(4,1), C−A=(2,5).
넓이 = ½|4·5 − 1·2| = ½|20−2| = ½·18 = 9.
검산: 4·5=20, 1·2=2, 20−2=18, 18/2=9 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 평행사변형 네 번째 꼭짓점은 마주 보는 두 좌표합이 같다
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 마주 보는 좌표합이 같다는 성질로 네 번째 꼭짓점을 단숨에 찾습니다.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 평행사변형 ABCD에서 마주 보는 좌표합이 같다 → D = A + C − B
예제 1) 평행사변형 ABCD에서 A(0,0), B(4,0), C(6,3)일 때 네 번째 꼭짓점 D는?
풀이 보기
D = A + C − B = (0+6−4, 0+3−0) = (2, 3).
검산: A+C=(6,3), B+D=(4,0)+(2,3)=(6,3) — 마주 보는 좌표합이 같다 ✓
예제 2) 평행사변형 ABCD에서 A(1,1), B(5,2), C(6,5)일 때 네 번째 꼭짓점 D는?
풀이 보기
D = A + C − B = (1+6−5, 1+5−2) = (2, 4).
검산: A+C=(7,6), B+D=(5,2)+(2,4)=(7,6) ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 원 밖 점에서 원까지 거리는 중심거리에 반지름을 더하고 빼기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 중심거리에 반지름을 더하면 최대·빼면 최소가 되는 걸 보여줍니다.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 원 밖 점에서 원까지 거리: 중심거리 ± r (더하면 최대, 빼면 최소)
예제 1) 중심 (0,0), 반지름 2인 원과 점 (5,0) 사이 거리의 최댓값과 최솟값은?
풀이 보기
중심거리 = √(5²+0²) = 5.
최대 = 5+2 = 7, 최소 = 5−2 = 3.
검산: 중심거리 5, r=2 → 5±2 = 7, 3 ✓
예제 2) 중심 (1,2), 반지름 3인 원과 점 (5,5) 사이 거리의 최댓값과 최솟값은?
풀이 보기
중심거리 = √((5−1)²+(5−2)²) = √(16+9) = √25 = 5.
최대 = 5+3 = 8, 최소 = 5−3 = 2.
검산: 4²+3²=25, √25=5, 5±3 = 8, 2 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 두 원의 공통현은 두 원의 방정식을 그냥 빼면 나온다
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 두 원의 방정식을 빼 이차항을 없애 공통현을 얻는 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 두 원의 공통현은 두 원의 방정식을 그냥 빼면 (이차항이 지워져) 한 줄로 나온다
예제 1) 두 원 x²+y²=4 와 x²+y²−4x=0 의 공통현의 방정식은?
풀이 보기
두 식을 뺀다: (x²+y²−4) − (x²+y²−4x) = 0 → −4 + 4x = 0 → x = 1.
검산: x=1 대입 — 원1: 1+y²=4→y²=3 / 원2: 1+y²−4=0→y²=3, 같은 교점 ✓
예제 2) 두 원 x²+y²=9 와 x²+y²−4x−2y+1=0 의 공통현의 방정식은?
풀이 보기
두 식을 뺀다: (x²+y²−9) − (x²+y²−4x−2y+1) = 0 → −9 +4x+2y−1 = 0 → 4x+2y−10=0 → 2x + y − 5 = 0.
검산: 4x+2y−10=0 양변 ÷2 = 2x+y−5=0 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 두 원의 위치 관계는 중심거리와 반지름 합과 차의 키 재기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 중심거리를 두 반지름의 합·차와 키 재기 해 위치 관계를 정하는 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 두 원의 위치 관계: 중심거리 d를 |r₁−r₂| 와 r₁+r₂ 사이 어디인지 키 재기
예제 1) 중심 (0,0)·반지름 2인 원과 중심 (5,0)·반지름 1인 원의 위치 관계는?
풀이 보기
중심거리 d = 5. r₁+r₂ = 2+1 = 3.
d(5) > r₁+r₂(3) → 두 원은 서로 밖에 있어 만나지 않는다.
검산: 5 > 3 이므로 외부, 교점 0개 ✓
예제 2) 중심 (0,0)·반지름 2인 원과 중심 (3,4)·반지름 3인 원의 위치 관계는?
풀이 보기
중심거리 d = √(3²+4²) = √25 = 5. r₁+r₂ = 2+3 = 5.
d(5) = r₁+r₂(5) → 두 원은 외접(한 점에서 만남).
검산: d=5 = r₁+r₂=5 이므로 외접 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 수직이등분선은 중점을 지나고 기울기는 역수에 부호 반전
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 중점을 지나고 기울기는 역수에 부호 반전으로 수직이등분선을 단숨에 세웁니다.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 수직이등분선: 두 점의 중점을 지나고, 기울기는 음의 역수(−1/기울기)
예제 1) 두 점 A(0,0), B(4,2)의 수직이등분선의 방정식은?
풀이 보기
중점 = ((0+4)/2, (0+2)/2) = (2,1). AB의 기울기 = 2/4 = ½ → 수직 기울기 = −2.
y−1 = −2(x−2) → y = −2x + 5.
검산: 중점 (2,1) 대입 −2·2+5 = 1 ✓ , 기울기 곱 ½·(−2)=−1 ✓
예제 2) 두 점 A(1,2), B(5,4)의 수직이등분선의 방정식은?
풀이 보기
중점 = ((1+5)/2, (2+4)/2) = (3,3). 기울기 = (4−2)/(5−1) = 2/4 = ½ → 수직 기울기 = −2.
y−3 = −2(x−3) → y = −2x + 9.
검산: 중점 (3,3) 대입 −2·3+9 = 3 ✓ , ½·(−2)=−1 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 원 밖 점의 접선 개수는 중심거리 d와 반지름 r 키 재기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 중심거리 d와 반지름 r만 비교해 접선 개수를 3초에 판별하는 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 원 밖 점에서 그은 접선 개수: 중심거리 d 와 반지름 r 키 재기 (d>r→2개, d=r→1개, d<r→0개)
예제 1) 중심 (0,0), 반지름 3인 원에 대해 점 (5,0)에서 그을 수 있는 접선은 몇 개?
풀이 보기
중심거리 d = √(5²+0²) = 5. 반지름 r = 3.
d(5) > r(3) → 점이 원 밖 → 접선 2개.
검산: 5 > 3 이므로 원 외부, 접선 2개 ✓
예제 2) 중심 (0,0), 반지름 5인 원에 대해 점 (3,4)에서 그을 수 있는 접선은 몇 개?
풀이 보기
중심거리 d = √(3²+4²) = √25 = 5. 반지름 r = 5.
d(5) = r(5) → 점이 원 위 → 접선 1개.
검산: 3²+4²=25, √25=5=r 이므로 원 위, 접선 1개 ✓
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 수직은 기울기 곱이 −1인 거울 회전
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, y=2x 와 y=−½x 가 직각으로 만나는 까닭(기울기 곱 −1)을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
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✏️ 풀기 쉬운 예제
직관: 두 직선이 수직 ⟺ 기울기 곱 = −1 (수직 기울기 = 역수에 부호 반전)
예제 1) 직선 y = 2x + 1 과 수직이고 점 (0,3)을 지나는 직선의 방정식은?
풀이 보기
주어진 기울기 2 → 수직 기울기 = −1/2.
점 (0,3) 지남 → y = −½x + 3.
검산: 기울기 곱 2·(−½) = −1 ✓ , x=0 일 때 y=3 ✓
예제 2) 직선 y = −3x + 2 와 수직이고 점 (0,1)을 지나는 직선의 방정식은?
풀이 보기
주어진 기울기 −3 → 수직 기울기 = 1/3.
점 (0,1) 지남 → y = ⅓x + 1.
검산: 기울기 곱 (−3)·(⅓) = −1 ✓ , x=0 일 때 y=1 ✓