왜 도형의 방정식을 배울까?
점·선·원을 좌표와 식으로 바꾸면 눈대중 대신 계산으로 정확히 다룰 수 있어요. GPS 위치 계산, 게임 충돌 판정, 로봇 경로 설계까지 모두 도형을 식으로 옮긴 해석기하의 힘이에요. 거리·내분점·직선·원이 그 출발점이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 두 점 사이의 거리와 선분의 내분점·중점을 구한다. ② 직선의 방정식을 세우고 평행·수직 조건을 활용한다. ③ 원의 방정식을 다루고 직선과 원의 위치 관계를 판단한다. ④ 평행이동·대칭이동으로 도형의 식을 변환한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 준비 완료예요.
① 직각삼각형에서 빗변 c는? (밑변 3, 높이 4)
② 두 수 2와 8의 평균은?
① c=√(3²+4²)=5 (피타고라스) · ② (2+8)/2=5. 거리 공식과 중점 공식이 바로 이 둘이에요.
두 점 사이의 거리 — 피타고라스의 부활
좌표평면 위 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리는 가로 차이와 세로 차이로 만든 직각삼각형의 빗변이에요. d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). 수직선 위 두 점 거리 |x₂−x₁|을 평면으로 확장한 것이고, 그 바탕은 피타고라스 정리 하나예요.
기억해요 — 두 점 거리 = √(x차이² + y차이²). 직각삼각형 빗변을 떠올려요
왜 도형을 식으로 바꿀까
점·선·원을 좌표와 식으로 바꾸면, 눈대중 대신 계산으로 정확히 다룰 수 있어요. GPS 위치 계산, 게임 충돌 판정, 로봇 경로 — 모두 도형을 식으로 옮긴 「해석기하」의 힘이에요.차이의 부호를 헷갈리기
x₂−x₁이 음수여도 제곱하면 양수라 거리는 항상 0 이상이에요. 순서를 바꿔 (x₁−x₂)로 빼도 제곱하면 같은 값. 부호 걱정 없이 제곱부터 해요.내분점·중점 — 선분을 나누는 좌표
선분 AB를 m:n으로 나누는 내분점의 좌표는 ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))이에요. 특히 중점은 1:1이므로 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) — 두 좌표의 평균이에요. 식이 헷갈리면 「먼 쪽 점에 가까운 쪽 비율을 곱한다」고 기억해요.
기억해요 — 내분점 = (m·먼점 + n·가까운점) ÷ (m+n) / 중점 = 평균
기억 그림 · 원의 방정식
중심 (a, b)에서 거리가 항상 r인 점들의 모임 = 원. (x−a)² + (y−b)² = r²
움직이는 그림 — 두 점 사이 거리
두 점이 직각삼각형을 만들고, 빗변이 곧 거리가 돼요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
직선과 원의 방정식 — 평면을 식으로
직선: 기울기 m과 한 점 (x₁, y₁)을 알면 y−y₁ = m(x−x₁). 두 직선이 평행하면 기울기가 같고(m₁=m₂), 수직이면 기울기 곱이 −1(m₁m₂=−1)이에요. 원: 중심 (a, b), 반지름 r이면 (x−a)²+(y−b)²=r². 전개한 일반형 x²+y²+Ax+By+C=0은 다시 완전제곱으로 묶어 중심·반지름을 찾아요.
기억해요 — 평행: 기울기 같음 / 수직: 기울기 곱 = −1 / 원: 중심·반지름이 핵심
①점과 직선 거리
점 (x₁,y₁)과 직선 ax+by+c=0 사이 거리 = |ax₁+by₁+c| / √(a²+b²).
②평행·수직
평행 → 기울기 같음. 수직 → 기울기 곱 −1. 좌표축에 평행한 직선은 예외로 따로 봐요.
③원과 직선
원의 중심에서 직선까지 거리 d와 반지름 r 비교: d
④평행이동
도형을 x축으로 p, y축으로 q 옮기면 x→x−p, y→y−q로 바꿔 대입해요.
대칭이동 정리
점 (x,y)를 x축 대칭 → (x,−y), y축 대칭 → (−x,y), 원점 대칭 → (−x,−y), 직선 y=x 대칭 → (y,x). 도형의 식에서는 해당 문자를 바꿔 대입하면 대칭이동한 도형의 식이 나와요.자취의 방정식
어떤 조건을 만족하는 점 P(x,y)가 그리는 도형을 자취라 해요. 조건을 x, y에 대한 식으로 옮기고 정리하면 자취의 방정식이 나와요. 두 점에서 같은 거리인 점의 자취는 수직이등분선이 되는 식이에요.스스로 풀어요 (3단계)
두 점 거리·중점·기본 직선식부터. 공식에 차근차근 대입해 봐요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 거리는 제곱부터 하면 부호 걱정이 사라져요. 「더 간결하게」: 원의 일반형은 항상 완전제곱으로 묶어 중심·반지름부터 찾는 습관을 들여요.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 새 좌표 문제가 나와요. 중점·거리·기울기가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요. 다양한 유형은 위의 ‘문제 은행 45’와 ‘특목’에서 만나요.
1번째 문제 · 기본 — 중점
스스로 풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인해요.
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 거리·기울기·원·자취를 여러 유형으로.까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1평행이동 거리
두 점 A(1, 0), B(0, 3)을 잇는 선분을 평행이동하여 A를 원점으로 옮겼을 때, 옮겨진 B의 좌표를 구하세요.
답: (−1, 3)
A→원점은 (−1,0)만큼 평행이동, B(0,3)도 (−1,3)으로 이동
A→원점은 (−1,0)만큼 평행이동, B(0,3)도 (−1,3)으로 이동
2원과 직선 판별
직선 y = 2x + k가 원 x² + y² = 5와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 k의 범위를 구하세요.
답: −5 < k < 5
거리 |k|/√5 < √5 → |k|<5
거리 |k|/√5 < √5 → |k|<5
3대칭점 좌표
점 (2, 3)을 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하세요.
답: (3, 2)
y=x 대칭은 x좌표와 y좌표를 교환 → (3, 2)
y=x 대칭은 x좌표와 y좌표를 교환 → (3, 2)
4수선의 발
점 (4, 0)에서 직선 y = x에 내린 수선의 발의 좌표를 구하세요.
답: (2, 2)
(t,t)와 (4,0)을 잇는 선이 y=x에 수직: 기울기 (t−0)/(t−4)=−1 → t=4−t → t=2 → (2,2)
(t,t)와 (4,0)을 잇는 선이 y=x에 수직: 기울기 (t−0)/(t−4)=−1 → t=4−t → t=2 → (2,2)
5자취 원
점 P가 점 A(0, 0)으로부터 거리가 점 B(3, 0)으로부터 거리의 2배일 때, 점 P의 자취의 방정식을 구하세요.
답: (x − 4)² + y² = 4
PA=2PB → x²+y²=4((x−3)²+y²) → 3x²+3y²−24x+36=0 → x²+y²−8x+12=0 → (x−4)²+y²=4
PA=2PB → x²+y²=4((x−3)²+y²) → 3x²+3y²−24x+36=0 → x²+y²−8x+12=0 → (x−4)²+y²=4
6접선 길이
점 (a, b)에서 원 x² + y² = 16에 그은 접선의 길이가 3일 때 a² + b²의 값을 구하세요.
답: 25
접선 길이²=(a²+b²)−16=9 → a²+b²=25
접선 길이²=(a²+b²)−16=9 → a²+b²=25
7외접원 방정식
세 점 (0, 0), (2, 0), (0, 2)를 모두 지나는 원의 반지름을 구하세요.
답: √2
원 x²+y²−2x−2y=0 → (x−1)²+(y−1)²=2 → r=√2
원 x²+y²−2x−2y=0 → (x−1)²+(y−1)²=2 → r=√2
8정점 통과
직선 a(x + y) + (x − y − 4) = 0이 a의 값에 관계없이 항상 지나는 점의 좌표를 구하세요.
답: (2, −2)
x+y=0, x−y−4=0 → x=2, y=−2
x+y=0, x−y−4=0 → x=2, y=−2
9최단거리
점 (0, 5)에서 원 x² + y² = 9 위의 점까지의 거리의 최솟값을 구하세요.
답: 2
중심(0,0)과 (0,5) 거리=5, 반지름 3 → 5−3=2
중심(0,0)과 (0,5) 거리=5, 반지름 3 → 5−3=2
10공통현
두 원 x² + y² = 4와 x² + y² − 2x − 3 = 0의 공통현의 방정식을 구하세요.
답: x = 1/2
두 식 빼기: (x²+y²−4)−(x²+y²−2x−3)=0 → 2x−1=0 → x=1/2
두 식 빼기: (x²+y²−4)−(x²+y²−2x−3)=0 → 2x−1=0 → x=1/2
11점대칭
점 (3, 1)을 원점에 대하여 대칭이동한 점과 원래 점 사이의 거리를 구하세요.
답: 2√10
대칭점 (−3,−1), 거리=√(6²+2²)=√40=2√10
대칭점 (−3,−1), 거리=√(6²+2²)=√40=2√10
객관식 진단 퀴즈 — 도형의방정식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 원점에서 (a,b)까지 거리
가로 a 3
세로 b 4
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1두 점 거리 = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²) — 직각삼각형 빗변(피타고라스).
- 2내분점 m:n = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)) · 중점 = 두 좌표 평균.
- 3직선: 평행 → 기울기 같음, 수직 → 기울기 곱 −1.
- 4원: (x−a)²+(y−b)²=r² (중심 (a,b), 반지름 r). 일반형은 완전제곱으로 묶기.
이 단원의 말·기호
- 두 점 거리
- √((x차)²+(y차)²). 좌표평면 위 두 점 사이 직선 길이.
- 내분점
- 선분을 m:n으로 안에서 나누는 점.
- 점과 직선 거리
- |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²).
- 원의 일반형
- x²+y²+Ax+By+C=0. 완전제곱으로 중심·반지름을 찾음.
내 말로 설명하기
두 점 사이 거리 공식이 왜 피타고라스에서 나오는지 설명해 봐요.
예시 — 두 점 사이를 잇는 선분을 빗변으로 하고, 가로 차이 |x₂−x₁|과 세로 차이 |y₂−y₁|을 두 변으로 하는 직각삼각형을 그리면, 피타고라스 정리로 빗변(거리) = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)가 나와요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.