왜 다항식을 배울까?
운동 공식, 경제 비용 함수, 공학 설계 — 대부분의 관계식이 다항식으로 표현돼요. 다항식을 자유자재로 다루면 방정식·함수·미적분의 문이 자연스럽게 열려요. 곱셈공식은 외우는 게 아니라 면적 증명 하나로 평생 기억할 수 있어요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 다항식의 덧셈·뺄셈·곱셈을 수행한다. ② 합차·완전제곱·세제곱 곱셈공식을 적용하고 전개한다. ③ 나머지정리·인수정리를 이용해 고차식을 나누고 인수분해한다. ④ 다양한 인수분해 공식으로 다항식을 인수의 곱으로 나타낸다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 준비 완료예요.
① 2x + 3x를 동류항 정리하면?
② (x+2)(x+3)을 전개해봐요.
① 5x · ② x²+5x+6. 분배법칙이 다항식 곱셈의 전부예요.
다항식의 연산 — 동류항과 분배법칙
다항식에서 차수가 같고 문자도 같은 항을 동류항이라 하고, 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있어요. 곱셈은 분배법칙을 반복해요. (3x² − 2x + 1) + (x² + 4x − 3) = 4x² + 2x − 2 — x²끼리·x끼리·상수끼리 묶는 거예요.
기억해요 — 다항식 덧셈·뺄셈 = 동류항끼리 모으기 / 곱셈 = 분배법칙 반복
왜 다항식을 배울까
물리의 운동 공식, 경제의 비용 함수, 공학 설계 — 대부분의 관계식이 다항식으로 표현돼요. 다항식을 자유자재로 다루면 방정식·함수·미적분의 문이 자연스럽게 열려요.계수가 0이 되는 항 놓치기
(3x) + (−3x) = 0이 되면 x항 자체가 사라져요. 동류항을 모을 때 계수가 0이 된 항을 적지 않는 것이 올바른 표현이에요.곱셈공식 — 자주 쓰는 다섯 가지 패턴
합차공식 (a+b)(a−b)=a²−b², 완전제곱 (a±b)²=a²±2ab+b², 세제곱 (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³. 이 공식들은 외우는 게 아니라 원리를 이해하면 자동으로 나와요. 특히 (a+b)²의 넓이 증명을 한 번만 손으로 그려 보면 평생 기억돼요.
기억해요 — 합차공식 → 중간 항 소멸 / 완전제곱 → 면적 증명으로 기억
기억 그림 · 완전제곱 면적 증명
a²조각 + ab조각 + ab조각 + b²조각 — 넓이로 증명! (a+b)² = a² + 2ab + b²
움직이는 그림 — (a+b)² 면적 분할
(a+b)² 정사각형이 4조각으로 나뉘며 공식이 눈앞에 펼쳐져요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
나머지정리와 인수분해 — 고차식 쪼개기
나머지정리: f(x)를 (x−a)로 나눈 나머지 = f(a). 인수정리: f(a)=0이면 (x−a)는 f(x)의 인수예요. 인수분해는 곱셈공식의 역방향. 공통인수 먼저 → 합차·완전제곱·세제곱 순서로 확인해요. 한 근 a를 찾으면 조립제법으로 (x−a)를 빼내 차수를 줄일 수 있어요.
기억해요 — 나머지정리: a를 대입한 값이 나머지 / 인수분해: 공통인수 먼저
①공통인수
모든 항에 공통인 인수를 먼저 묶어요. 2x² + 4x = 2x(x + 2).
②합차
a² − b² = (a+b)(a−b). 제곱 차이가 보이면 즉시 적용.
③완전제곱
x² ± 2ax + a² = (x ± a)². 상수항이 (계수/2)²인지 확인.
④나머지정리 활용
f(a)=0인 a를 찾으면 → (x−a)가 인수 → 조립제법으로 차수를 내려요.
이차식 ac법
ax²+bx+c에서 곱이 ac, 합이 b인 두 수를 찾아 묶어요. 2x²+5x+3이면 ac=6, 합=5인 두 수 → 2, 3. 2x²+2x+3x+3 = 2x(x+1)+3(x+1) = (2x+3)(x+1).조립제법
f(a)=0인 a를 하나 찾았다면, 나머지를 체계적으로 줄이는 방법이 조립제법이에요. 계수를 한 줄에 나열하고 a를 곱해 내려가면 몫의 계수가 자동으로 나와요. 고차방정식은 반드시 이 방법을 숙달해야 해요.스스로 풀어요 (3단계)
동류항 정리·전개·기본 인수분해부터. 공식을 찬찬히 적용해 보세요.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 인수분해는 공통인수 먼저로 시작하면 실수가 줄어요. ‘더 간결하게’: 나머지정리로 한 근 찾기 → 차수 줄이기 → 반복, 이 패턴으로 통일해요.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 다항식이 나와요. 전개·인수분해·나머지정리가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요. 다양한 유형은 위의 ‘문제 은행 45’와 ‘특목’에서 만나요.
1번째 문제 · 기본
스스로 풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인해요.
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 전개·인수분해·나머지정리를 여러 각도로 — 한 유형에 갇히지 않는 다양한 문제예요.까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1미정계수
x² + ax + b = (x + 2)(x + 5)일 때 a + b의 값은?
답: 17
전개하면 x²+7x+10 → a=7, b=10 → a+b=17
전개하면 x²+7x+10 → a=7, b=10 → a+b=17
2삼차 인수분해
다항식 f(x) = 2x³ − 3x² + ax − 1을 (x − 1)로 나눈 나머지가 0일 때 a는?
답: 2
f(1)=2−3+a−1=0 → a=2
f(1)=2−3+a−1=0 → a=2
3곱셈공식 변형
(1 + x + x² + ⋯ + x⁹)(x − 1)을 간단히 하면?
답: x¹⁰ − 1
등비급수 항등식: (xⁿ−1)=(x−1)(1+x+⋯+xⁿ⁻¹)
등비급수 항등식: (xⁿ−1)=(x−1)(1+x+⋯+xⁿ⁻¹)
4삼차 인수분해
(x² + x + 1)(x² − x + 1)을 전개하면?
답: x⁴ + x² + 1
(x²+1)²−x²=x⁴+2x²+1−x²=x⁴+x²+1
(x²+1)²−x²=x⁴+2x²+1−x²=x⁴+x²+1
5나머지정리
a² + b² + c² = ab + bc + ca일 때 a, b, c 사이의 관계는?
답: a = b = c
양변 2배 후 (a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0 → 모두 0
양변 2배 후 (a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0 → 모두 0
6세제곱 합
x³ + 1 = (x + 1)(x² + px + q)일 때 p + q는?
답: 0
x³+1=(x+1)(x²−x+1) → p=−1, q=1 → p+q=0
x³+1=(x+1)(x²−x+1) → p=−1, q=1 → p+q=0
7근과 계수
f(x) = x⁴ − 1을 x − 1로 나눈 몫은?
답: x³ + x² + x + 1
x⁴−1=(x−1)(x³+x²+x+1)
x⁴−1=(x−1)(x³+x²+x+1)
8전개 상수항
a − b = 3, ab = 4일 때 a² + b²의 값은?
답: 17
(a−b)²+2ab=9+8=17
(a−b)²+2ab=9+8=17
9중근 조건
다항식 x³ − 6x² + 11x − 6의 세 근의 합은?
답: 6
근과 계수: 합=−(−6)/1=6 (실제로 1,2,3)
근과 계수: 합=−(−6)/1=6 (실제로 1,2,3)
10인수정리
(x + 1)(x + 2)(x + 3)을 전개했을 때 x의 계수는?
답: 11
x계수=1·2+2·3+3·1=2+6+3=11
x계수=1·2+2·3+3·1=2+6+3=11
11무리수 근
x + 1/x = 3일 때 x² + 1/x²의 값은?
답: 7
(x+1/x)²−2=9−2=7
(x+1/x)²−2=9−2=7
객관식 진단 퀴즈 — 다항식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — (a+b)² 완전제곱 값
a 값 3
b 값 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1다항식 덧셈·뺄셈 = 동류항끼리(차수·문자 같은 항) 모으기.
- 2합차공식 (a+b)(a−b)=a²−b² · 완전제곱 (a±b)²=a²±2ab+b².
- 3나머지정리 : f(x)÷(x−a)의 나머지 = f(a). f(a)=0이면 (x−a)가 인수.
- 4인수분해 = 공통인수 먼저 → 합차·완전제곱·세제곱 역방향 적용.
이 단원의 말·기호
- 동류항
- 차수와 문자가 같은 항. 계수만 달라요.
- 곱셈공식
- 전개 결과를 미리 공식화한 것. 면적으로 증명 가능.
- 나머지정리
- f(x)÷(x−a)의 나머지 = f(a).
- 인수분해
- 다항식을 인수의 곱으로 나타내기.
내 말로 설명하기
나머지정리를 한 줄로 설명해 봐요.
예시 — “f(x)를 (x−a)로 나눌 때, 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(x−a)Q(x)+r. x=a 대입하면 f(a)=r. 그래서 나머지는 f(a)야.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.