YEON MATH · 행복수학

항등식과 유리식 실전 완전정복
— 지그재그로 하면 된다 · 연습 10제

계수비교(미정계수법) · 번분수 · 대칭식 · 조건식 변형 · 부분분수 · 장대경 선생님의 특강

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먼저 · 항등식과 유리식을 푸는 무기 여섯 가지

1
항등식은 같은 자리끼리 계수를 견준다 — 등식이 모든 x에 대해 성립하면 같은 차수의 계수가 서로 같다. 먼저 x가 있는 자리와 없는 자리로 갈라 묶는다.
2
번분수는 맨 아래층부터 — ① 아래 한 층을 통분해 분수 하나로 ② 그 분수를 뒤집어 위층으로. 이 둘을 꼭대기까지 되풀이한다. 위에서부터 손대면 안 풀린다.
3
대칭식은 합과 곱만 — A² + B² = (A+B)² − 2AB, A³ + B³ = (A+B)³ − 3AB(A+B). a/b 같은 덩어리도 한 글자로 이름 붙여 버린다.
4
조건은 전개해서 겹치는 것을 버린다 — 조건식을 그 모양 그대로 쓰지 말고, 양쪽을 전개해 양쪽에 똑같이 있는 것을 지운다. 남는 짧은 한 줄이 진짜 쓸 조건이다.
5
a + b + c = 0 이면 a³ + b³ + c³ = 3abc — 뿌리는 인수분해 a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca). 앞 괄호가 0이면 전체가 0이다.
6
분수 조건은 통분해서 분자만 — 통분하면 분자와 분모가 생긴다. 분모는 0이 될 수 없으니 볼 것은 분자뿐. 여기서 지그재그(대각선으로 곱해 넘기기)를 쓴다.
(a + b) x2(b − a)x 가 있는 자리x 가 없는 자리두 자리를 따로따로 견준다— 이것이 미정계수법 3층2층1층 — 여기부터

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"어떤 수를 넣어도 늘 같은 식"이 항등식. □ + 3 = 3 + □는 무엇을 넣어도 참이지만 □ + 3 = 7은 4일 때만 참이다.
📐 중2~중3 (준비)
곱셈공식과 인수분해, 유리식의 통분·약분. x + 1/x 꼴의 대칭식과 a³+b³ 공식이 여기서 나온다.
🎓 고1~고2 (확장)
미정계수법 → 나머지정리·부분분수분해, 부분분수 → 수열의 합, 조건식 변형 → 대칭식·복소수·삼각함수 문제로 이어진다.

🐣 저학년 직관 — "언제나 참"과 "어떤 때만 참"

칠판에 두 식이 있어요. ㉠ □ + □ = 2 × □ 그리고 ㉡ □ + 3 = 7.

㉠은 □에 1을 넣어도, 5를 넣어도, 100을 넣어도 언제나 맞아요. 이런 식을 항등식이라고 해요.
㉡은 □가 4일 때만 맞아요. 이런 식을 방정식이라고 해요.

항등식은 "어떤 수를 넣어도 맞다"는 뜻이니까, 같은 자리에 있는 숫자끼리 서로 같아야 해요. 이게 고등학교에서 배우는 계수비교의 전부예요.

㉠ 항등식(언제나 참)  ·  ㉡ 방정식(□ = 4일 때만 참)

⚠️ 여기서 학생들이 가장 많이 넘어집니다

① 번분수를 위에서부터 손대는 것 — 3층부터 통분하려 들면 식이 점점 커져서 손을 못 씁니다. 반드시 맨 아래층부터 한 층씩 올라오세요.

② 조건식을 그대로 들고 다니는 것 — (a+b+c)² = a²+b²+c²를 그대로 쓰려 하면 아무것도 안 됩니다. 전개해서 겹치는 것을 버리면 ab+bc+ca = 0이라는 쓸 수 있는 한 줄이 나옵니다.

③ 분모가 0이 될 수 있는지 확인하지 않는 것 — 유리식에서는 x ≠ 1, abc ≠ 0 같은 조건이 문제 안에 숨어 있습니다. 답을 구한 뒤 그 조건에 걸리는지 반드시 되돌려 보세요.

연습 10제 · 상세 해설

연습 1항등식 · 계수비교
등식 ax + b(x − 3) = 5x + 6 이 x에 대한 항등식일 때, 상수 a, b의 값을 구하라.

풀이 — x가 있는 자리와 없는 자리로 갈라 묶는다

  1. 왼쪽을 정리: ax + bx − 3b = (a + b)x − 3b.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「항등식」이라는 말이 등식 하나를 등식 둘로 쪼갠다 미지수가 a, b 둘인데 식은 하나뿐이라 「풀 수 없는 것 아닌가」 싶습니다. 「항등식」이라는 말이 식을 하나 더 만들어 줍니다. 항등식은 어떤 x를 넣어도 참이라는 뜻입니다. 그러려면 x가 붙은 부분끼리, 붙지 않은 부분끼리 각각 똑같아야 합니다 — 한쪽만 달라도 어떤 x에서는 어긋나기 때문입니다. 그래서 (a + b)x − 3b = 5x + 6 하나가 a + b = 5와 −3b = 6 둘로 쪼개집니다. 미지수 둘에 식 둘 — 이제 풀립니다. (⛔ 「등식」이라고만 했다면 특정한 x에서만 참이면 되니 이렇게 쪼갤 수 없습니다. 「항등식」·「모든 실수 x에 대하여」라는 말을 반드시 확인하십시오.)
  3. x의 계수끼리 a + b = 5, 상수항끼리 −3b = 6 → b = −2.
  4. 따라서 a = 5 − (−2) = 7.
  5. 검산 — 7x − 2(x − 3) = 7x − 2x + 6 = 5x + 6 ✓
"지그재그로 하면 된다 — 분수는 대각선으로 곱하고, 항등식은 같은 자리끼리 견준다."— 장대경 선생님 제48강 「유리식과 항등식」
a = 7, b = −2
연습 2항등식 · 연립으로 잇기
모든 실수 x에 대하여 a(x + 1) + b(x − 2) = 4x − 5 가 성립할 때, a, b를 구하라.

풀이 — 두 식을 세워 연립으로

  1. 왼쪽 정리: (a + b)x + (a − 2b) → 계수 비교로 a + b = 4, a − 2b = −5.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 전개하지 않고 「괄호를 0으로 만드는 수」를 넣는 길 계수를 비교해 연립으로 푸는 것이 정석입니다. 그런데 항등식이라는 조건에는 훨씬 빠른 길이 숨어 있습니다. 어떤 x를 넣어도 참이니, 내가 좋은 수를 골라 넣어도 된다는 것입니다. 고를 수는 「괄호 하나를 0으로 만드는 수」입니다 — x = 2를 넣으면 (x − 2)가 0이 되어 b가 통째로 사라지고 3a = 3에서 a = 1이 곧바로 나옵니다. x = −1을 넣으면 이번엔 a가 사라져 −3b = −9, b = 3. 연립을 풀 것도 없이 한 번에 하나씩 잡히는 것입니다. 이 손놀림이 뒤의 나머지정리 문제에서 그대로 다시 쓰입니다 — 괄호가 보이면 0으로 만들 수를 먼저 찾으십시오.
  3. 연립으로 풀면 3b = 9 → b = 3, 그러면 a = 1.
  4. 검산 — (x + 1) + 3(x − 2) = x + 1 + 3x − 6 = 4x − 5 ✓
a = 1, b = 3
※ 다른 길 — 항등식이니까 편한 수를 대입해도 된다. x = 2를 넣으면 3a = 3에서 a = 1, x = −1을 넣으면 −3b = −9에서 b = 3. 괄호를 0으로 만드는 수를 고르는 것이 요령이다.
연습 3번분수 · 2층
1 + 11 + 1x 을 간단히 하라. (단 x ≠ 0, x ≠ −1)

풀이 — 맨 아래층부터

  1. ⭐ 여기가 고비 — 위에서 손대면 절대 안 풀린다 맨 위의 1 +부터 손대고 싶어집니다. 그러면 아래가 아직 분수인 채라 통분할 수가 없습니다. 번분수는 언제나 맨 아래층부터입니다. 한 층에서 하는 일은 늘 두 걸음뿐입니다 — ① 그 층을 통분해 「분수 하나」로 만든다 ② 뒤집어 위층으로 올린다. 해 보십시오 : 맨 아래층 1 + 1/x를 통분하면 (x+1)/x, 이것이 분모에 있으므로 뒤집혀 x/(x+1)이 되어 위층으로 올라갑니다. 이제 위층은 1 + x/(x+1)이라는 보통 분수 덧셈이 되어 끝납니다. 층이 아무리 많아도 이 두 걸음을 되풀이할 뿐입니다.
  2. 1층: 1 + 1x = x + 1x → 뒤집으면 xx + 1.
  3. 2층: 1 + xx + 1 = (x + 1) + xx + 1 = 2x + 1x + 1.
  4. 검산 — x = 1이면 원래 식은 1 + 1/2 = 3/2, 답 식도 3/2 ✓
"번분수는 맨 아래층부터 — 아래 한 층을 통분해 하나로 만들고 뒤집어 올린다. 위에서 보면 절대 안 풀린다."— 장대경 선생님 제48강 「유리식과 항등식」
2x + 1x + 1
연습 4번분수 · 4층
1 + 11 + 11 + 11 + 1x 을 간단히 하라.

풀이 — 층이 늘어나도 하는 일은 똑같다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 층이 넷이어도 새로 배울 것은 하나도 없다 층이 넷으로 늘면 전혀 다른 문제처럼 보여 겁이 납니다. 하는 일은 앞 문제와 한 자도 다르지 않습니다. 「통분해서 하나로 → 뒤집어 올린다」를 세 번 더 되풀이할 뿐입니다. 되풀이되는 자리에서 앞 문제의 답이 그대로 다시 나온다는 것을 눈여겨보십시오 — 첫 번째 되풀이 끝에 (2x+1)/(x+1), 곧 연습 3의 답이 나옵니다. 한 번 더 하면 (3x+2)/(2x+1), 또 한 번 더 하면 (5x+3)/(3x+2). 계수를 늘어놓으면 1, 1, 2, 3, 5, 8 — 앞의 두 수를 더한 피보나치 수입니다. 「뒤집어 더한다」가 바로 「앞의 둘을 더한다」이기 때문입니다. 중간에 헷갈리면 x = 1을 넣어 층마다 2, 3/2, 5/3, 8/5가 나오는지 확인하며 가십시오.
  2. 1층 x + 1x → 뒤집어 xx + 1, 더하면 2x + 1x + 1.
  3. 뒤집어 x + 12x + 1, 더하면 3x + 22x + 1.
  4. 뒤집어 2x + 13x + 2, 더하면 5x + 33x + 2.
  5. 검산 — x = 1이면 층마다 2, 3/2, 5/3, 8/5, 답 식도 8/5 ✓
5x + 33x + 2
※ 계수를 보면 1, 1, 2, 3, 5, 8 — 피보나치 수가 나온다. 층을 하나 올릴 때마다 앞의 두 수를 더하기 때문이다.
연습 5대칭식 · 제곱의 합
x + 1x = 3 일 때 x² + 1x² 의 값을 구하라.

풀이 — 합과 곱만 있으면 된다

  1. ⭐ 여기가 고비 — x를 구하려 들지 않는 것 x + 1/x = 3에서 x를 먼저 구하려 들면 x² − 3x + 1 = 0이 되어 x = (3 ± √5)/2라는 지저분한 무리수가 나오고, 그것을 제곱하다 반드시 틀립니다. x는 끝까지 구하지 않습니다. 묻는 x² + 1/x²은 두 수의 「합」과 「곱」만 알면 나오는 꼴이기 때문입니다 — A² + B² = (A + B)² − 2AB. 합은 문제가 3이라 주었고, 곱은 저절로 1입니다 (x와 1/x는 서로 뒤집은 수라 곱하면 반드시 1 — 이것이 이 유형의 숨은 조건입니다). 그러니 3² − 2 × 1 = 7. 「합과 곱만으로 답이 나오는가」를 먼저 물으면, 근을 구하는 헛수고를 피할 수 있습니다.
  2. x와 1/x는 곱이 1. A² + B² = (A + B)² − 2AB = 3² − 2 × 1 = 9 − 2.
  3. 검산 — 양변을 그냥 제곱해도 된다. (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² = 9 → x² + 1/x² = 7 ✓
7
연습 6대칭식 · 세제곱의 합
x + 1x = 4 일 때 x³ + 1x³ 의 값을 구하라.

풀이 — 세제곱 공식에 그대로

  1. 합은 4, 곱은 1.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 제곱은 「2를 빼고」, 세제곱은 「3AB(A+B)를 뺀다」 앞 문제에서 −2AB를 썼으니 여기서도 4³ − 2나 4³ − 3처럼 숫자만 바꿔 쓰기 쉽습니다. 빼는 것의 모양 자체가 다릅니다. 전개해 보면 왜 그런지 바로 보입니다 — (A + B)³ = A³ + B³ + 3AB(A + B)이므로 군더더기로 붙은 3AB(A + B)를 통째로 덜어 내야 합니다. AB만 있는 것이 아니라 (A + B)가 한 번 더 곱해져 있다는 것이 핵심입니다. 그래서 4³ − 3 × 1 × 4 = 64 − 12 = 52. 제곱은 −2AB, 세제곱은 −3AB(A+B) — 외우기보다 「전개했을 때 군더더기로 남는 것을 뺀다」로 기억하면 헷갈리지 않습니다.
  3. A³ + B³ = (A + B)³ − 3AB(A + B) = 4³ − 3 × 1 × 4 = 64 − 12.
  4. 검산 — x + 1/x = 4를 만족하는 실제 수 x = 2 + √3을 넣어도 x³ + 1/x³ = 52 ✓
52
※ 2 빼기냐 3 곱하기냐를 헷갈리지 말자. 제곱은 −2AB, 세제곱은 −3AB(A+B)다.
연습 7조건식 · a+b+c=0
a + b + c = 0 이고 abc ≠ 0 일 때 a³ + b³ + c³abc 의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해 한 줄이면 끝난다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 조건 a + b + c = 0이 「괄호 하나」로 들어갈 자리를 찾는 일 a³ + b³ + c³을 직접 다루려 하면 손댈 곳이 없습니다. 그런데 이 꼴에는 유명한 인수분해가 하나 있고, 그 결과에 (a + b + c)가 통째로 들어 있습니다 — a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca). 조건이 그 괄호를 0으로 만들어 버립니다. 그러면 오른쪽 뒤 괄호가 무엇이든 곱은 0이니 왼쪽도 0, 곧 a³ + b³ + c³ = 3abc. 뒤 괄호는 계산할 필요조차 없습니다 — 이것이 이 문제의 통쾌한 자리입니다. 그래서 물음의 값은 3abc ÷ abc = 3이고, abc ≠ 0이라는 단서가 이 나눗셈을 허락해 주는 것입니다. 「합이 0」이라는 조건을 보면 이 인수분해를 먼저 떠올리십시오.
  2. 앞 괄호가 0이므로 좌변 전체가 0 → a³ + b³ + c³ = 3abc.
  3. 따라서 (a³+b³+c³) ÷ abc = 3abc ÷ abc = 3.
  4. 검산 — a = 1, b = 2, c = −3 이면 1 + 8 − 27 = −18, abc = −6, −18 ÷ (−6) = 3 ✓
"a+b+c = 0이면 세제곱의 합은 3abc — 합이 0이라는 조건 하나가 답을 통째로 정해 버린다."— 장대경 선생님 제48강 「유리식과 항등식」
3
연습 8조건식 · 모양 바꾸기
(a + b + c)² = a² + b² + c² 이고 abc ≠ 0 일 때, 1a + 1b + 1c 의 값을 구하라.

풀이 — 전개해서 겹치는 것을 버린다

  1. 왼쪽 전개: a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca). 오른쪽과 견주어 제곱들을 지우면 ab + bc + ca = 0.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 조건이 낳은 ab + bc + ca가 물음 속에 숨어 있다 조건에서 ab + bc + ca = 0까지는 나왔는데, 묻는 것은 1/a + 1/b + 1/c라 도무지 이어지지 않아 보입니다. 이을 방법은 하나 — 물음을 통분해 한 덩이로 만드는 것입니다. 통분하면 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ca + ab)/(abc). 분자가 바로 조건이 준 그 덩어리입니다 — 0이지요. 분모 abc는 단서가 0이 아니라고 보장해 주었으니, 값은 그대로 0입니다. 「조건에서 나온 덩어리」와 「물음을 정리한 덩어리」가 만나는 자리를 찾는 것 — 조건식 문제의 길은 언제나 이것입니다. 물음이 분수 여럿이면 일단 통분해 보십시오 — 통분한 분자에 조건이 들어 있는 일이 아주 많습니다.
  3. 1/a + 1/b + 1/c를 통분하면 bc + ca + ababc 이고, 분자가 0이다.
  4. 검산 — a = 1, b = 1, c = −1/2 이면 ab+bc+ca = 1 − 1/2 − 1/2 = 0 ✓, 1 + 1 − 2 = 0 ✓
0
※ abc ≠ 0 이라는 단서가 있어야 분모가 0이 아님이 보장된다. 유리식 문제에서 이 단서는 장식이 아니다.
연습 9분수 조건 · 통분해서 분자만
두 실수 x, y에 대하여 x + y = 7 이고 1x + 1y = 710 일 때, xy 와 x² + y² 을 구하라.

풀이 — 통분하면 조건이 그대로 합과 곱이 된다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 통분한 분자에 이미 아는 값 7이 들어 있다 1/x + 1/y = 7/10이라는 조건을 보고 x와 y를 각각 구하려 들면 이차방정식으로 돌아가야 합니다. 그럴 것 없습니다. 먼저 통분하십시오 — 1/x + 1/y = (x + y)/(xy). 분자가 x + y인데, 그것이 바로 첫 조건이 준 7입니다. 그러니 7/(xy) = 7/10이 되어 xy = 10이 한 줄에 나옵니다. 여기까지 오면 합 7과 곱 10을 손에 쥔 셈이고, 연습 5에서 쓴 (x + y)² − 2xy로 x² + y² = 49 − 20 = 29. x와 y가 각각 무엇인지는 끝내 몰라도 됩니다 (알고 싶다면 2와 5입니다). 분수 조건은 언제나 먼저 통분 — 그 분자가 대개 이미 아는 값입니다.
  2. 1/x + 1/y = x + yxy = 7xy 이고 이것이 7/10 이므로 xy = 10.
  3. x² + y² = (x + y)² − 2xy = 49 − 20 = 29.
  4. 검산 — 합 7, 곱 10인 두 수는 2와 5. 1/2 + 1/5 = 7/10 ✓, 4 + 25 = 29 ✓
xy = 10,  x² + y² = 29
※ 통분한 분자가 곧 합이라는 것이 이 문제의 전부다. 분수 조건은 언제나 먼저 통분한다.
연습 10부분분수 · 가운데가 지워진다
1x(x+1) + 1(x+1)(x+2) + 1(x+2)(x+3) 을 간단히 하라.

풀이 — 한 덩이를 두 조각으로 쪼개면 가운데가 지워진다

  1. 부분분수 공식: 1A·B = 1B − A(1A − 1B). 여기서는 B − A = 1 이라 그냥 1/A − 1/B.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 통분하지 말고 오히려 「더 잘게 쪼갠다」 분수 셋을 더하라니 세 분모를 통분하려 손이 갑니다. 그러면 분모가 x(x+1)(x+2)(x+3)까지 부풀어 감당이 안 됩니다. 거꾸로 가야 합니다 — 한 덩이를 두 조각으로 더 쪼개는 것. 쪼개면 이웃한 항끼리 부호가 반대인 같은 조각이 생겨 서로 지워집니다 : (1/x − 1/(x+1)) + (1/(x+1) − 1/(x+2)) + (1/(x+2) − 1/(x+3))에서 1/(x+1)과 1/(x+2)가 각각 짝을 만나 사라지고 맨 앞과 맨 뒤만 남습니다 — 1/x − 1/(x+3). 이제야 통분하면 3/(x(x+3)). 항이 100개여도 남는 것은 여전히 둘이라, 이 방법이 고2 「수열의 합」에서 그대로 다시 쓰입니다. (공식의 1/(B − A)를 잊지 마십시오 — 여기서는 차가 1이라 안 보일 뿐입니다.)
  3. 쪼개면 가운데 1/(x+1), 1/(x+2) 가 서로 지워지고 1/x − 1/(x+3) 만 남는다.
  4. 통분하면 (x+3) − xx(x+3) = 3x(x+3).
  5. 검산 — x = 1 이면 원래 식은 1/2 + 1/6 + 1/12 = 3/4, 답 식도 3/4 ✓
3x(x + 3)
※ 이 방법이 고2 수열의 합에서 그대로 쓰인다. 항이 100개여도 맨 앞과 맨 뒤만 남는다.

이 무기, 위 학년에서는 이렇게 자란다

지그재그 하나가 고2까지 간다

오늘 배운 여섯 무기가 어느 단원에서 다시 나타나는지 미리 보자.

① 미정계수법 → 나머지정리
고1 · 다항식
다항식을 나눈 나머지를 미지수로 두고 항등식을 세우는 것이 나머지정리 문제의 표준 풀이입니다. 오늘의 계수비교와 편한 수 대입이 그대로 쓰여요.
② 부분분수 → 수열의 합
고2 · 수열
항이 100개, 1000개가 되어도 쪼개면 가운데가 전부 지워지고 맨 앞과 맨 뒤만 남습니다. 연습 10번이 그 축소판이에요.
③ 대칭식 → 이차방정식의 근과 계수의 관계
고1 · 방정식
두 근의 합과 곱만 알면 α² + β², α³ + β³, 1/α + 1/β가 전부 나옵니다. 오늘 x + 1/x로 한 일과 똑같습니다.
④ 번분수 → 유리함수와 연분수
고1 · 유리함수 / 심화
번분수를 정리하면 (ax+b)/(cx+d) 꼴이 되고, 이것이 유리함수 그래프의 표준형으로 이어집니다. 층을 무한히 쌓으면 황금비가 나오기도 해요.
⑤ 조건식 변형 → 복소수·삼각함수
고1~고2
ω² + ω + 1 = 0(1의 세제곱근), sin²θ + cos²θ = 1 — 전부 조건식을 쓰기 좋은 모양으로 바꾸는 같은 손놀림입니다.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"계수를 견주고, 조건을 바꿔 쓴다" 하나로 나머지정리·부분분수·수열·비례식까지. 학년별 문제!

도전 · 중3~고1차가 주어진 대칭식
x − 1x = 3 일 때 x² + 1x² 와 x³ − 1x³ 를 구하라.

풀이 — 부호가 하나 바뀌면 공식도 하나 바뀐다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 차인데도 답은 x² + 1/x²로 「더하기」다 x − 1/x를 제곱했으니 결과도 빼기일 것 같아 x² − 1/x²를 떠올리기 쉽습니다. 전개해 보면 그렇지 않습니다 — (x − 1/x)² = x² − 2·x·(1/x) + (1/x)² = x² − 2 + 1/x². 제곱하면 양 끝은 언제나 더해지고, 부호는 가운데 항에만 남습니다. 그러니 합일 때는 가운데가 +2라 빼 주고, 차일 때는 −2라 더해 줍니다 — 9 = x² + 1/x² − 2에서 x² + 1/x² = 11. (합이 3이었던 연습 5에서는 7이었지요 — 같은 3인데 합이냐 차냐에 따라 7과 11로 갈립니다.) 세제곱도 마찬가지로 부호만 뒤집힙니다 — A³ − B³ = (A − B)³ + 3AB(A − B) = 27 + 9 = 36. 공식을 새로 외우지 말고, 전개했을 때 어느 항에 부호가 남는지를 보십시오.
  2. 양변을 제곱: (x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x² = 9 → x² + 1/x² = 11.
  3. 세제곱: A³ − B³ = (A − B)³ + 3AB(A − B), 여기서 AB = 1.
  4. 3³ + 3 × 1 × 3 = 27 + 9 = 36.
  5. 검산 — x − 1/x = 3의 실제 근 x = (3 + √13)/2을 넣어도 11과 36 ✓
x² + 1/x² = 11,   x³ − 1/x³ = 36
※ 합·차의 제곱은 서로 4AB만큼 차이가 난다. (x + 1/x)² = 9 + 4 = 13이므로 x + 1/x = ±√13이다.
도전 · 고1항등식 · 덩어리로 다시 쓰기
모든 실수 x에 대하여 2x² + 3x − 5 = a(x − 1)² + b(x − 1) + c 가 성립할 때 a + b + c 의 값을 구하라.

풀이 — 치환해서 전개하는 길, 그리고 대입 한 방

  1. [길 1 · 치환] t = x − 1 이라 하면 x = t + 1.
    2(t+1)² + 3(t+1) − 5 = 2t² + 4t + 2 + 3t + 3 − 5 = 2t² + 7t + 0.
    계수를 견주면 a = 2, b = 7, c = 0 → 합은 9.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 묻는 것이 a + b + c이지 a, b, c가 아니다 치환해 전개하면 a = 2, b = 7, c = 0이 다 나오지만, 손이 많이 갑니다. 물음을 다시 보십시오 — 구하라는 것은 셋의 합뿐입니다. 그러면 a, b, c를 하나도 몰라도 답을 낼 수 있습니다. 오른쪽 a(x−1)² + b(x−1) + c가 통째로 a + b + c가 되게 하려면 (x − 1)이 1이 되면 됩니다 — 곧 x = 2. 항등식이니 x = 2를 넣어도 참이고, 왼쪽에도 똑같이 넣으면 2×4 + 6 − 5 = 9. 그것이 곧 답입니다. 「계수의 합을 물으면 문자에 1을 대입한다」는 요령이 여기서 나옵니다 — 이 문제는 (x−1) 꼴이라 그 자리가 x = 2일 뿐입니다. 구하라는 것이 「낱개」인지 「덩어리」인지를 먼저 보십시오.
  3. [길 2 · 대입 한 방] x = 2를 넣으면 (x−1) = 1 이라 오른쪽이 그대로 a + b + c. 왼쪽은 2×4 + 6 − 5 = 9.
  4. 검산 — 2(x−1)² + 7(x−1) = 2x² − 4x + 2 + 7x − 7 = 2x² + 3x − 5 ✓
9
※ 묻는 것이 계수의 합이면 x = 1을 넣어라는 요령이 여기서 나온다. 이 문제는 (x−1) 꼴이라 x = 2가 그 자리다.
도전 · 고1~고2부분분수 · 수의 합
11×3 + 13×5 + 15×7 + ⋯ + 119×21 의 값을 구하라.

풀이 — 차가 2이므로 ½을 앞에 꺼내 놓는다

  1. 1A·B = 1B − A(1A − 1B). 여기서는 B − A = 2 이므로 ½(1/A − 1/B).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 차가 2이니 ½을 앞에 꺼내 놓아야 한다 앞 문제(연습 10)에서는 분모의 두 수의 차가 1이라 1/A − 1/B로 그냥 쪼갤 수 있었습니다. 여기서는 1×3, 3×5처럼 차가 2라, 그대로 쪼개면 답이 두 배로 부풀어 오릅니다. 직접 확인해 보십시오 — 1/1 − 1/3 = 2/3인데 실제 1/(1×3)은 1/3으로 딱 2배 차이입니다. 그래서 공식에 1/(B − A), 곧 ½이 앞에 붙습니다 — 1/(A·B) = ½(1/A − 1/B). ½을 맨 앞에 한 번만 꺼내 놓고 안쪽을 지워 나가면 ½(1 − 1/21) = ½ × 20/21 = 10/21. 쪼갠 뒤에는 반드시 항 하나를 직접 계산해 맞춰 보십시오 — 1/(B−A)를 빠뜨렸는지 그 자리에서 잡힙니다.
  3. 전체 = ½{(1/1 − 1/3) + (1/3 − 1/5) + ⋯ + (1/19 − 1/21)} → 가운데가 모두 지워져 = ½(1 − 1/21) = 1021.
  4. 검산 — 항이 10개다. 앞 세 항만 직접 더해도 1/3 + 1/15 + 1/35 = 3/7, 공식 ½(1 − 1/7) = 3/7 ✓
1021
※ B − A가 1이 아니면 그 값으로 나눠 주는 것을 빠뜨리기 쉽다. 항 하나를 직접 계산해 맞춰 보는 습관을 들이자.
도전 · 고1나머지정리 · 미정계수법
다항식 P(x) 를 x − 1 로 나눈 나머지가 3, x + 2 로 나눈 나머지가 −3 이다. P(x) 를 (x − 1)(x + 2) 로 나눈 나머지를 구하라.

풀이 — 나머지를 미지수로 두는 것이 미정계수법이다

  1. ⭐ 여기가 고비 — P(x)가 무엇인지 모르는데 나머지를 구한다 P(x)의 식이 하나도 주어지지 않아 「무엇을 나누라는 것인가」 싶어 막힙니다. P(x)는 끝까지 몰라도 됩니다. 대신 모르는 나머지 자체를 문자로 놓습니다 — 이것이 미정계수법입니다. 먼저 나머지의 「크기」부터 정합니다 — 나누는 식이 이차이므로 나머지는 일차 이하, 그러니 ax + b로 둡니다. 그러면 P(x) = (x−1)(x+2)Q(x) + ax + b가 항등식이 되고, 연습 2의 손놀림이 그대로 나옵니다 — 괄호를 0으로 만드는 수를 넣는 것. x = 1에서 a + b = 3, x = −2에서 −2a + b = −3. 모르는 Q(x)를 지워 없애는 것이 이 대입의 참뜻입니다.
  2. 나누는 식이 이차이므로 나머지는 일차 이하 ax + b로 두면, P(x) = (x − 1)(x + 2)Q(x) + ax + b 는 항등식이다.
  3. x = 1 대입: 앞이 0이 되어 P(1) = a + b = 3.
  4. x = −2 대입: P(−2) = −2a + b = −3.
  5. 두 식을 빼면 3a = 6 → a = 2, b = 1.
  6. 검산 — 나머지 2x + 1 에 x = 1 넣으면 3 ✓, x = −2 넣으면 −3 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 나머지를 상수 하나로 두면 나머지를 그냥 상수 r 로 두어 봅시다. x = 1 에서 r = 3, x = −2 에서 r = −3 — 한 수가 3이면서 −3일 수는 없으니 길이 막힙니다. 나머지의 크기를 너무 작게 잡았기 때문입니다. → 「나머지는 나누는 식보다 차수가 낮다」에 맞춰 ax + b 로 두면 2x + 1.
2x + 1
※ 괄호를 0으로 만드는 수를 대입하는 것이 항등식의 가장 강한 무기다. 연습 2번의 「다른 길」과 완전히 같은 손놀림이다.
도전 · 고1조건식 · 통째로 바꿔치기
a + b + c = 0 이고 abc ≠ 0 일 때
a(1b + 1c) + b(1c + 1a) + c(1a + 1b) 의 값을 구하라.

풀이 — b + c 를 −a 로 바꿔치기하는 순간 끝난다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 조건을 b + c = −a 꼴로 「돌려 쓰는」 것 식이 길어 여섯 조각을 모두 통분하려 들면 금세 어지러워집니다. 조건 a + b + c = 0을 그대로 두지 말고 옮겨 적으십시오 — b + c = −a, c + a = −b, a + b = −c. 그러면 식 안에 그 꼴이 이미 들어 있다는 것이 보입니다. 첫 덩어리를 묶으면 a(1/b + 1/c) = a·(b + c)/(bc)인데, b + c 자리에 −a를 꽂으면 −a²/(bc). 나머지 둘도 똑같이 −b²/(ca), −c²/(ab)가 되어 세 항이 나란한 모양으로 정돈됩니다. 통분하면 −(a³ + b³ + c³)/(abc) — 연습 7에서 이미 3이라 구해 둔 그 값이라 답은 −3. 조건식은 「= 0」인 채로는 힘이 없고, 옮겨 적어 「바꿔치기할 꼴」로 만들었을 때 일을 합니다.
  2. 첫 덩어리를 묶으면 a(b + cbc). 조건에서 b + c = −a 이므로 = −a²bc.
  3. 나머지도 마찬가지로 −b²/(ca), −c²/(ab).
  4. 세 항을 통분하면 = −a³ + b³ + c³abc.
  5. 연습 7번에서 a³ + b³ + c³ = 3abc 였으므로 = −3.
  6. 검산 — a = 1, b = 2, c = −3: 1(1/2 − 1/3) + 2(−1/3 + 1) + (−3)(1 + 1/2) = 1/6 + 4/3 − 9/2 = −3 ✓
−3
※ 조건식은 「= 0」 꼴로 두 번 쓰인다 — 한 번은 b + c = −a 로 바꿔치기, 한 번은 세제곱 공식으로.
도전 · 고1비례식 · 가비의 리
0이 아닌 실수 x, y, z 에 대하여 xy + z = yz + x = zx + y = k 이다. x + y + z ≠ 0 일 때 k 의 값을 구하라. (x + y + z = 0 인 경우도 함께 생각해 보자.)

풀이 — 비가 모두 같으면 「분자끼리 더하고 분모끼리 더해도」 그 비다

  1. 세 비가 모두 k 이므로 x = k(y + z), y = k(z + x), z = k(x + y).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 나누기 전에 「0이 아닌가」를 묻는다 세 식을 더하면 x + y + z = 2k(x + y + z)가 되어 나누고 싶어집니다. 그 덩어리가 0이면 나눌 수 없으니 문제가 x + y + z ≠ 0 이라는 단서를 붙여 둔 것입니다 — 장식이 아닙니다. 단서가 있으니 나눌 수 있고 1 = 2k, 곧 k = ½. 확인 없이 나눴다면 0인 경우의 답을 잃습니다 — x + y + z = 0이면 k = −1로 답이 하나 더 있습니다.
  3. 세 식을 모두 더하면 x + y + z = k · 2(x + y + z). 단서에 의해 나눌 수 있으므로 1 = 2k → k = ½.
  4. 검산 — x = y = z = 1 이면 각 비가 1/2 ✓
  5. [다른 경우] x + y + z = 0 이면 y + z = −x 이므로 k = x/(−x) = −1.
    검산 — x = 1, y = 1, z = −2 이면 세 비가 모두 −1 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 확인 없이 (x + y + z) 로 나누면 곧바로 나눠 k = ½ 하나만 답이라 해 봅시다. x = 1, y = 1, z = −2 를 넣으면 세 비가 모두 −1 로 조건을 만족하는데 k = ½ 가 아닙니다. → 나누기 전에 「0일 수도 있는가」를 묻습니다 — 답이 둘입니다.
k = ½  (단, x + y + z = 0 이면 k = −1)
※ 「나눌 수 있는가」를 반드시 확인해야 하는 문제다. 조건 x + y + z ≠ 0 을 놓치면 답이 하나 사라진다 — 유리식의 분모 조건이 곧 답을 가른다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 손과 sympy로 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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