YEON MATH · 행복수학

합성함수 실전 완전정복
— 안쪽에 넣어라 · 연습 10제

안쪽부터 간다 · 자리는 못 바꾼다 · 괄호는 아무 데나 · 항등함수 · 여러 번 합성과 주기 · 합성함수의 역함수

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 합성함수를 다루는 무기 여섯 가지

1
안쪽부터 간다 — (g ∘ f)(x) = g( f(x) ). 선생님 말씀 그대로 "f 를 g 속에 잡아 넣어라." 쓰는 차례(g 가 앞)와 가는 차례(f 가 먼저)는 서로 반대다. 여기서 절반이 넘어진다.
2
자리는 바꿀 수 없다 — f ∘ g ≠ g ∘ f. 이것이 이 단원 최대의 함정이다. 다만 「함수로서 다르다」는 말이지 어떤 한 점에서 값이 같아지는 일은 얼마든지 있다 — 둘을 섞지 마라.
3
괄호는 아무 데나 — 결합법칙은 성립한다 — (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h). 묶는 자리는 자유지만 늘어놓는 차례는 자유가 아니다. 자유로운 것과 아닌 것을 정확히 갈라야 한다.
4
항등함수와 만나면 그대로 — f ∘ I = I ∘ f = f. 그리고 g ∘ f = I 라는 말은 곧 g 가 f 의 역함수라는 말이다. 표를 거꾸로 읽으면 바로 나온다.
5
여러 번 합성은 세 번쯤 해 보고 규칙을 적는다 — f¹, f², f³ 을 손으로 해 보면 규칙이 드러난다. 되돌아오는 함수라면 한 바퀴가 몇 걸음인지(주기)를 찾고, 아무리 큰 횟수도 그 수로 나눈 나머지 하나로 끝낸다.
6
합성함수의 역함수는 차례가 거꾸로 — (g ∘ f)−1 = f−1 ∘ g−1. 나중에 씌운 것을 먼저 벗는다. 겉옷을 나중에 입었으니 벗을 때는 겉옷부터 — 이것만 새기면 순서를 절대 안 틀린다.
x ① f f f(x) ② g g g(f(x)) 쓰기는 g ∘ f · 가기는 f 부터 — 차례가 서로 반대 x f(x) g(f(x)) f g g⁻¹ 를 먼저 그다음 f⁻¹ (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹ — 벗는 차례는 거꾸로 한 바퀴 = m 걸음 바퀴가 둘이면 두 길이의 최소공배수

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"2배 하는 기계"와 "3 더하는 기계"를 줄줄이 이어 놓기. 어느 기계를 먼저 지나는지에 따라 나오는 수가 달라진다는 것을 손으로 겪습니다.
📐 중2~중3 (준비)
일차함수의 대입과 식 정리. y = 2x + 1 의 x 자리에 다른 식을 통째로 넣고 괄호를 푸는 손놀림이 그대로 합성이 됩니다.
🎓 고1~고2 (확장)
역함수 → 지수함수와 로그함수, 되풀이 합성 → 주기수열·귀납적 정의, 그리고 미적분의 연쇄법칙(합성함수의 미분)으로 이어집니다.

🐣 저학년 직관 — 기계 두 대를 어느 쪽부터 지나느냐

2배 기계(넣은 수를 2배로 만들어 내보냄)와 3 더하기 기계(넣은 수에 3을 더해 내보냄)가 있습니다. 수 5를 넣어 봅시다.

㉠ 2배 기계 → 3 더하기 기계 순서: 5 → 10 → 13.
㉡ 3 더하기 기계 → 2배 기계 순서: 5 → 8 → 16.

같은 두 기계인데 지나는 차례만 바꿨더니 13과 16으로 달라졌습니다. 이것이 바로 f ∘ g 와 g ∘ f 는 다르다는 말이에요. 옷을 입을 때 속옷 먼저인지 겉옷 먼저인지가 다른 것과 같습니다.

2배 먼저면 13  ·  더하기 먼저면 16

⚠️ 여기서 학생들이 가장 많이 넘어집니다

① 차례를 거꾸로 읽는 것 — (f ∘ g)(2) 를 보고 f(2)부터 구하는 실수가 가장 많습니다. 안쪽에 붙은 g 가 먼저입니다. f(g(2)) 로 괄호를 다시 써 놓고 시작하세요.

② 자리를 바꿔도 된다고 믿는 것 — f ∘ g = g ∘ f 는 특별한 경우에만 성립합니다. 「곱셈은 순서를 바꿔도 되니까 합성도 되겠지」가 이 단원 최대의 함정입니다. 바꿔도 되는 것은 괄호(결합법칙)뿐입니다.

③ 대입할 때 괄호를 빠뜨리는 것 — f(x) = 2x + 3 에 x − 4 를 넣을 때 2x − 4 + 3 이라 쓰면 틀립니다. 넣는 것은 언제나 덩어리 — 2(x − 4) + 3 으로 괄호를 먼저 치고 푸세요.

④ 역함수의 순서를 그대로 두는 것 — (g ∘ f)−1 을 g−1 ∘ f−1 이라 쓰면 다른 함수가 됩니다. 나중에 씌운 것을 먼저 벗는다 — f−1 ∘ g−1.

연습 10제 · 상세 해설

연습 1안쪽부터 · 값 구하기
두 함수 f(x) = 3x − 1, g(x) = x² + 2 에 대하여 (f ∘ g)(1) 과 (g ∘ f)(1) 의 값을 각각 구하라.

풀이 — 괄호를 다시 써 놓고 안쪽부터

  1. ⭐ 여기가 고비 — (f ∘ g)(1) 에서 먼저 쓰는 것은 f 가 아니라 g 다 f ∘ g 라고 f 가 왼쪽에 적혀 있으니 손이 저절로 f(1) = 2 부터 갑니다. 그것이 틀린 첫걸음입니다. 기호를 뜻으로 풀어 쓰면 헷갈릴 일이 없습니다 — (f ∘ g)(1) = f( g(1) ). 괄호가 안쪽에 있는 g 가 먼저이고, f 는 그 결과를 받는 바깥 기계입니다. 그러니 g(1) = 1² + 2 = 3 을 먼저 내고, 그 3 을 f 에 넣어 f(3) = 3·3 − 1 = 8. 「쓰는 차례와 가는 차례는 반대」 — 이 한 줄만 문제 옆에 적어 두고 시작하십시오. 반대쪽도 같은 손놀림입니다 : (g ∘ f)(1) = g( f(1) ) = g(2) = 2² + 2 = 6.
  2. 안쪽 먼저 : g(1) = 1 + 2 = 3 → 바깥으로 : f(3) = 9 − 1 = 8.
  3. 반대쪽 : f(1) = 3 − 1 = 2 → g(2) = 4 + 2 = 6.
  4. 두 값이 8과 6으로 다르다 — 이것이 f ∘ g ≠ g ∘ f 를 눈으로 본 것이다.
  5. 검산 — (f ∘ g)(x) = 3(x² + 2) − 1 = 3x² + 5 에 x = 1 을 넣으면 8 ✓, (g ∘ f)(x) = (3x − 1)² + 2 에 x = 1 을 넣으면 4 + 2 = 6 ✓
"f 를 g 속에 잡아 넣어라 — 안쪽에 넣어라."— 장대경 선생님 제62강 「합성함수 — 안쪽에 넣어라」
(f ∘ g)(1) = 8  ·  (g ∘ f)(1) = 6
※ 값 하나만 물으면 식을 만들 필요가 없다. 수 하나를 안쪽 기계에 넣고, 나온 수를 바깥 기계에 넣으면 끝이다.
연습 2식으로 합성 · 괄호
두 함수 f(x) = 2x + 3, g(x) = x − 4 에 대하여 (f ∘ g)(x) 와 (g ∘ f)(x) 를 각각 x 에 대한 식으로 나타내어라.

풀이 — 넣는 것은 언제나 덩어리, 괄호를 먼저 친다

  1. ⭐ 여기가 고비 — x 자리에 괄호째 넣는다 f(x) = 2x + 3 의 x 에 x − 4 를 넣으라 하면 2x − 4 + 3 이라 써 버리는 실수가 가장 흔합니다. 2x 는 「x 라는 덩어리에 2를 곱한 것」입니다. 그 덩어리가 통째로 x − 4 로 바뀌었으니 2가 곱해지는 대상도 통째여야 합니다 — 2(x − 4) + 3 = 2x − 8 + 3 = 2x − 5. 손으로 할 때는 먼저 f(□) = 2□ + 3 이라고 네모를 그려 놓고 네모 안에 x − 4 를 통째로 써 넣으십시오. 그러면 괄호를 빠뜨릴 수 없습니다. 반대쪽은 g(□) = □ − 4 이니 (2x + 3) − 4 = 2x − 1.
  2. (f ∘ g)(x) = f(x − 4) = 2(x − 4) + 3 = 2x − 5.
  3. (g ∘ f)(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) − 4 = 2x − 1.
  4. 기울기는 둘 다 2 로 같지만 상수항이 −5 와 −1 로 달라 두 함수는 다르다.
  5. 검산 — x = 0 을 넣어 보면 f(g(0)) = f(−4) = −5 ✓, g(f(0)) = g(3) = −1 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 괄호를 빠뜨리면 f(x − 4) = 2x − 4 + 3 = 2x − 1 이라 쓰면 공교롭게도 (g ∘ f)(x) 와 같은 답이 나옵니다. 그래서 틀린 줄도 모르고 "역시 순서를 바꿔도 같네" 하고 지나갑니다 — 가장 위험한 실수입니다. → 2(x − 4) + 3 = 2x − 5. 넣는 것은 언제나 덩어리, 괄호부터 친다.
(f ∘ g)(x) = 2x − 5  ·  (g ∘ f)(x) = 2x − 1
연습 3교환법칙 · 함수로 다름 vs 한 점에서 같음
두 함수 f(x) = x², g(x) = x + 1 에 대하여 (1) (f ∘ g)(x) − (g ∘ f)(x) 를 x 에 대한 식으로 나타내어라.   (2) (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x) 를 만족시키는 실수 x 의 값을 구하라.

풀이 — 두 식을 각각 펼쳐 놓고 빼기

  1. (f ∘ g)(x) = f(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1.
  2. (g ∘ f)(x) = g(x²) = x² + 1.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 「함수로서 다르다」와 「어떤 x 에서 값이 같다」는 다른 이야기다 빼 보면 (x² + 2x + 1) − (x² + 1) = 2x 로 x² 이 깨끗이 지워지고 2x 만 남습니다. 그런데 2x 는 0이 아닌 식이지만 x = 0 에서는 0이 됩니다 — 여기서 학생들이 크게 흔들립니다. f ∘ g ≠ g ∘ f 라는 말은 「모든 x 에서 같지는 않다」는 뜻이지 「어느 x 에서도 절대 같지 않다」는 뜻이 아닙니다. 이 문제가 바로 그 자리입니다 — 두 합성함수는 서로 다른 함수인데도 x = 0 이라는 한 점에서는 값이 1 로 같습니다. 그래서 「합성함수가 같다」를 물으면 「모든 x 에서」인지 「어떤 x 에서」인지 문제를 다시 읽어야 합니다. 앞의 것이면 계수를 견주고, 뒤의 것이면 방정식을 풉니다. 여기 (2)는 뒤의 것이므로 2x = 0 을 풀어 x = 0.
  4. (1) (f ∘ g)(x) − (g ∘ f)(x) = 2x.
  5. (2) 2x = 0 → x = 0 하나뿐이다.
  6. 검산 — x = 0 : f(g(0)) = f(1) = 1, g(f(0)) = g(0) = 1 로 같다 ✓ x = 3 : f(g(3)) = 16, g(f(3)) = 10 으로 차가 6 = 2·3 ✓
(1) 2x  ·  (2) x = 0
※ 함수가 같다 = 모든 x 에서 값이 같다. 한 점에서 같은 것은 그 점에서 두 그래프가 만난다는 뜻일 뿐이다.
연습 4교환법칙이 성립할 조건 · 상수 구하기
두 함수 f(x) = 4x + a, g(x) = 2x + 3 에 대하여 모든 실수 x 에서 f ∘ g = g ∘ f 가 성립할 때, 상수 a 의 값을 구하라.

풀이 — 양쪽을 펼쳐 놓고 계수를 견준다

  1. 왼쪽 — g 를 f 속에 : f(2x + 3) = 4(2x + 3) + a = 8x + 12 + a.
  2. 오른쪽 — f 를 g 속에 : g(4x + a) = 2(4x + a) + 3 = 8x + 2a + 3.
  3. ⭐ 여기가 고비 — x 항은 저절로 같아진다. 남는 것은 상수항 하나뿐 양쪽에 x 도 있고 a 도 있어 무엇부터 견줘야 할지 막막합니다. 그런데 x 의 계수는 양쪽 모두 8 로 이미 같습니다 — 볼 것이 없습니다. 까닭이 있습니다. 일차함수 둘을 합성하면 x 의 계수는 「두 기울기의 곱」이 되는데, 곱셈은 순서를 바꿔도 되므로 어느 쪽으로 합성해도 4 × 2 = 2 × 4 = 8 로 늘 같습니다. 그러니 일차함수끼리의 f ∘ g = g ∘ f 는 언제나 「상수항 조건 하나」로 줄어듭니다. 12 + a = 2a + 3 → a = 9. 「모든 실수 x 에서」라는 말이 붙어 있으니 이것은 항등식이고, 항등식은 같은 차수끼리 계수를 견주는 것으로 푼다는 점도 함께 새겨 두십시오.
  4. 상수항을 견주면 12 + a = 2a + 3 → a = 9.
  5. 검산 — a = 9 이면 f(x) = 4x + 9. f(g(x)) = 4(2x + 3) + 9 = 8x + 21, g(f(x)) = 2(4x + 9) + 3 = 8x + 21 로 완전히 같다 ✓
a = 9
※ 두 일차함수의 합성은 기울기끼리는 곱, 상수항만 순서를 탄다. 그래서 조건은 늘 상수항 한 줄로 줄어든다.
연습 5결합법칙 · 괄호는 아무 데나
세 함수 f(x) = x + 2, g(x) = 3x, h(x) = x − 1 에 대하여 (1) ((f ∘ g) ∘ h)(2) 와 (f ∘ (g ∘ h))(2) 의 값을 각각 구하라.   (2) (f ∘ g ∘ h)(x) 를 x 에 대한 식으로 나타내어라.

풀이 — 어디를 묶든 지나는 차례는 h → g → f

  1. 앞쪽을 묶으면 (f ∘ g)(x) = f(3x) = 3x + 2. 그러므로 ((f ∘ g) ∘ h)(2) = (f ∘ g)(h(2)) = (f ∘ g)(1) = 5.
  2. 뒤쪽을 묶으면 (g ∘ h)(x) = g(x − 1) = 3x − 3. 그러므로 (f ∘ (g ∘ h))(2) = f( (g ∘ h)(2) ) = f(3) = 5.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 묶는 자리는 자유지만 늘어놓는 차례는 자유가 아니다 값이 둘 다 5 로 같은 것을 보고 "아, 합성도 자리를 바꿔도 되는구나" 하고 잘못 새기는 학생이 많습니다. 정반대입니다. 여기서 바뀐 것은 괄호의 자리뿐이고, 지나는 차례는 두 경우 모두 h → g → f 로 똑같습니다. 결합법칙 (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) 가 말하는 것은 딱 그것 — 「어디부터 묶어 계산해도 좋다」이지 「차례를 바꿔도 좋다」가 아닙니다. 차례를 정말로 바꿔 (h ∘ g ∘ f)(2) 를 내 보면 f(2)=4 → g(4)=12 → h(12)=11 로 5 가 아니라 11 이 나옵니다. 그러니 실전에서는 「계산이 편한 쪽으로 묶되, 화살표 차례는 절대 건드리지 않는다」로 쓰십시오.
  4. (1) 두 값 모두 5.
  5. (2) (f ∘ g ∘ h)(x) = f( g( x − 1 ) ) = f(3x − 3) = 3x − 3 + 2 = 3x − 1.
  6. 검산 — 3x − 1 에 x = 2 를 넣으면 5 ✓ 그리고 한 걸음씩 따라가도 2 → 1 → 3 → 5 ✓
(1) 둘 다 5  ·  (2) 3x − 1
※ 셋 이상을 합성할 때는 괄호를 아예 지우고 f ∘ g ∘ h 라 써도 된다. 차례만 지키면 되기 때문이다.
연습 6항등함수 · 표를 거꾸로 읽기
집합 X = {1, 2, 3, 4} 에서 X 로의 함수 f 가 f(1) = 3,   f(2) = 1,   f(3) = 4,   f(4) = 2 이다. X 에서 X 로의 함수 g 가 g ∘ f = I (I 는 항등함수)를 만족시킬 때, g(2) 의 값을 구하라.

풀이 — g ∘ f = I 는 「g 가 f 를 되돌린다」는 말

  1. g ∘ f = I 는 모든 x 에서 g( f(x) ) = x 라는 뜻이다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — g(2) 를 구하려면 f(?) = 2 인 ? 를 찾는다 g 의 표가 주어져 있지 않아 어디서 시작할지 막막합니다. 여기서 g(2) 를 구하겠다고 f(2) = 1 을 가져다 쓰면 완전히 다른 답이 나옵니다. g(f(x)) = x 에서 g 에 들어가는 것은 x 가 아니라 f(x) 입니다. 그러니 g 의 괄호 안에 2 를 만들려면 f(x) = 2 가 되게 하는 x 를 찾아야 합니다. 표에서 화살표가 2 로 들어오는 곳을 찾으면 f(4) = 2 — 곧 x = 4 입니다. 그 x = 4 를 g(f(x)) = x 에 넣으면 g(2) = 4. 한마디로 g 는 f 의 표를 화살표만 뒤집어 읽은 것 — 곧 역함수입니다.
  3. f(4) = 2 이므로 g(2) = g(f(4)) = 4.
  4. 표를 통째로 뒤집으면 g(1) = 2,   g(2) = 4,   g(3) = 1,   g(4) = 3.
  5. 검산 — 네 값 모두 확인한다. g(f(1)) = g(3) = 1 ✓ g(f(2)) = g(1) = 2 ✓ g(f(3)) = g(4) = 3 ✓ g(f(4)) = g(2) = 4 ✓
"상수함수는 오로지 한 여자, 항등함수는 쌍둥이 — 모두가 한 곳으로만 가면 상수함수, 자기 자신으로 가면 항등함수."— 장대경 선생님 제55강 「함수의 뜻과 정의역·치역」
g(2) = 4
※ g ∘ f = I 이면서 f ∘ g = I 이면 g = f−1. 유한집합 위의 일대일대응이면 한쪽만 확인해도 자동으로 둘 다 성립한다.
연습 7여러 번 합성 · 세 번 해 보고 규칙
함수 f(x) = 3x + 1 에 대하여 f1 = f, fn+1 = f ∘ fn 이라 하자. (1) f3(x) 를 x 에 대한 식으로 나타내어라.   (2) f3(1) 의 값을 구하라.

풀이 — 한 번, 두 번, 세 번을 손으로 해 본다

  1. f1(x) = 3x + 1.
  2. f2(x) = f(3x + 1) = 3(3x + 1) + 1 = 9x + 4.
  3. f3(x) = f(9x + 4) = 3(9x + 4) + 1 = 27x + 13.
  4. ⭐ 여기가 고비 — 상수항은 1, 2, 3 배로 늘지 않는다 x 의 계수가 3, 9, 27 로 깔끔하게 3n 인 것을 보고 상수항도 1, 2, 3 이겠거니 하고 f³(x) = 27x + 3 이라 적는 실수가 많습니다. 실제로는 1, 4, 13 입니다. 상수항은 지날 때마다 3배가 된 뒤 다시 1이 더해지기 때문입니다 — 1 → 3·1 + 1 = 4 → 3·4 + 1 = 13. 펼쳐 보면 1,   3 + 1,   9 + 3 + 1 로 3의 거듭제곱을 차곡차곡 쌓아 더한 꼴입니다. 그래서 일반항은 fn(x) = 3nx + (3n − 1) ÷ 2 가 됩니다 (n = 3 이면 (27 − 1) ÷ 2 = 13 ✓). 「기울기는 곱해서 쌓이고, 상수항은 곱한 뒤 더해져 쌓인다」 — 세 번까지는 반드시 손으로 해 보고 규칙을 적으라는 말씀이 바로 이 때문입니다.
  5. (1) f3(x) = 27x + 13.   (2) f3(1) = 27 + 13 = 40.
  6. 검산 — 식을 쓰지 않고 수만 따라가도 같다 : f(1) = 4 → f(4) = 13 → f(13) = 40 ✓
(1) f³(x) = 27x + 13  ·  (2) 40
※ 값 하나만 물으면 식을 만들지 마라 — 수를 세 번 통과시키는 것이 훨씬 빠르고 안 틀린다. 식은 큰 n을 물을 때 쓴다.
연습 8합성의 주기 · 바퀴가 둘
집합 X = {1, 2, 3, 4, 5} 에서 X 로의 함수 f 가 f(1) = 3,   f(2) = 5,   f(3) = 1,   f(4) = 2,   f(5) = 4 이다. (1) fn 이 항등함수가 되는 가장 작은 자연수 n 을 구하라.   (2) f100(4) 의 값을 구하라.

풀이 — 화살표를 따라가 바퀴를 그린다

  1. 화살표를 이어 보면 1 → 3 → 1 로 두 걸음짜리 바퀴 하나, 2 → 5 → 4 → 2 로 세 걸음짜리 바퀴 하나로 갈라진다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 물음 (1)은 두 바퀴 모두, 물음 (2)는 한 바퀴만 본다 두 물음이 나란히 있으니 같은 수를 두 번 쓰려는 손이 나옵니다 — n 을 구해 놓고 100 을 그 n 으로 나누려 하는 것입니다. 그렇게 해도 답은 나오지만, 왜 그런지를 모르면 다음 문제에서 반드시 틀립니다. (1) 항등함수는 「모든 원소가 동시에 제자리」여야 합니다. 1 이 제자리로 오려면 n 이 2의 배수, 2 가 제자리로 오려면 n 이 3의 배수여야 하므로 n 은 2와 3의 공배수, 가장 작은 것은 최소공배수 6 입니다. (2) 그런데 4 하나만 물었습니다. 4 는 세 걸음짜리 바퀴에만 들어 있으니 3 으로만 나누면 됩니다 — 100 = 3 × 33 + 1, 남는 걸음이 하나이므로 f100(4) = f(4) = 2. 6 으로 나눠도 100 = 6 × 16 + 4 로 네 걸음이 남아 4 → 2 → 5 → 4 → 2, 역시 2 로 같습니다 — 다만 세는 걸음이 넷으로 늘어 손이 더 갑니다. 전체를 물으면 최소공배수, 한 원소를 물으면 그 원소가 든 바퀴의 길이.
  3. (1) 바퀴 길이가 2 와 3 이므로 n = 최소공배수 = 6.
  4. (2) 100 = 3 × 33 + 1 → f100(4) = f(4) = 2.
  5. 검산 — f6 을 다섯 원소 모두에 적용해 본다. 1 은 두 걸음마다 제자리이므로 6 걸음에 제자리 ✓ 3 도 마찬가지 ✓ 2, 4, 5 는 세 걸음마다 제자리이므로 6 걸음에 제자리 ✓ 그리고 n = 1 ~ 5 에서는 1 또는 2 가 제자리가 아니다 ✓
"합성은 돌고 돈다 — 몇 번 만에 제자리로 오는지 주기만 찾으면, 아무리 큰 수도 나머지 하나로 끝난다."— 장대경 선생님 제53강 「함수 심화 — 조건대로 쪼개고, 조건대로 센다」
(1) n = 6  ·  (2) f¹⁰⁰(4) = 2
※ 바퀴가 하나면 주기는 그 길이, 여럿이면 길이들의 최소공배수. 대응표는 반드시 화살표 그림으로 옮겨 놓고 세라.
연습 9합성함수의 역함수 · 값 구하기
두 함수 f(x) = 2x − 1, g(x) = x + 3 에 대하여 (f ∘ g)−1(9) 의 값을 구하라.

풀이 — 역함수 「값」은 역함수 「식」 없이도 구한다

  1. 먼저 합성한다 : (f ∘ g)(x) = f(x + 3) = 2(x + 3) − 1 = 2x + 5.
  2. ⭐ 여기가 고비 — (f ∘ g)−1(9) = k 는 곧 (f ∘ g)(k) = 9 다 −1 이 붙어 있으니 역함수 식부터 만들어야 한다고 여겨 y = 2x + 5 를 x 에 대해 푸는 데 시간을 다 씁니다. 값 하나만 물었을 때는 그럴 까닭이 없습니다. 역함수의 뜻은 「거꾸로 가는 함수」입니다. 그러니 (f ∘ g)−1(9) 는 「어떤 수를 넣었더니 9 가 나왔는가」를 묻는 것과 같습니다. 2x + 5 = 9 를 풀면 x = 2 — 이 한 줄로 끝납니다. 물론 무기⑥으로 가도 됩니다 — (f ∘ g)−1 = g−1 ∘ f−1 이므로 나중에 씌운 f 를 먼저 벗고 f−1(9) = 5, 그다음 g 를 벗어 g−1(5) = 2. 같은 답입니다. ⛔ 이때 순서를 바꿔 f−1(g−1(9)) = f−1(6) = 3.5 라 하면 틀립니다.
  3. 2x + 5 = 9 → 2x = 4 → x = 2.
  4. 다른 길 — f−1(x) = x + 12, g−1(x) = x − 3 이므로 g−1( f−1(9) ) = g−1(5) = 2 ✓
  5. 검산 — (f ∘ g)(2) = f(5) = 9 ✓ 되짚어 넣어 보는 것까지가 한 문제다.
"역함수는 y = x 로 접는 것 — y = x 위의 점은 접어도 제자리. 계산하지 말고 대칭만 보면 된다."— 장대경 선생님 제14강 「함수 — 대응을 정확히 센다」
(f ∘ g)⁻¹(9) = 2
※ 역함수의 값을 물으면 방정식 한 줄, 역함수의 식을 물으면 x 에 대해 풀기. 무엇을 물었는지부터 보라.
연습 10모르는 함수 찾기 · 치환
두 함수 f, g 에 대하여 f(x) = 2x − 1 이고 (g ∘ f)(x) = 6x + 1 일 때, g(x) 를 x 에 대한 식으로 나타내어라.

풀이 — 괄호 안이 x 가 아니면 t 로 놓는다

  1. 주어진 것을 뜻대로 풀어 쓰면 g( f(x) ) = g(2x − 1) = 6x + 1.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 괄호 안이 x 가 아니다. 그대로 답으로 쓰면 안 된다 g(2x − 1) = 6x + 1 을 보고 g(x) = 6x + 1 이라 적어 버리는 실수가 가장 많습니다. 우리가 아는 것은 g 에 2x − 1 을 넣었을 때의 값이지 x 를 넣었을 때의 값이 아닙니다. 그러니 괄호 안 덩어리에 이름을 붙여 줍니다 — 2x − 1 = t 라 놓으면 x = t + 12. 이제 오른쪽 6x + 1 의 x 자리에 그것을 갈아 끼우면 6 · t + 12 + 1 = 3(t + 1) + 1 = 3t + 4. 왼쪽은 g(t) 였으므로 g(t) = 3t + 4, 마지막에 t 를 x 로 되돌려 g(x) = 3x + 4. ※ 문자 t 는 그저 이름표일 뿐이라 되돌려도 아무 탈이 없습니다. 또 하나의 길 — g(x) = ax + b 라고 아예 만들어 놓고 a(2x − 1) + b = 6x + 1 에서 2a = 6, −a + b = 1 로 풀어도 a = 3, b = 4 로 같습니다.
  3. 2x − 1 = t → x = t + 12 → g(t) = 6 · t + 12 + 1 = 3t + 4.
  4. 따라서 g(x) = 3x + 4.
  5. 검산 — 되짚어 넣는다. g(f(x)) = 3(2x − 1) + 4 = 6x − 3 + 4 = 6x + 1 ✓
g(x) = 3x + 4
※ 안쪽 함수를 아는데 바깥 함수를 모르면 치환, 바깥 함수를 아는데 안쪽 함수를 모르면 ax + b 로 만들어 놓고 계수 견주기가 빠르다.

도전 6제 · 무기를 겹쳐 쓴다

도전 · 고1항등함수 · 자기 자신이 역함수
일차함수 f(x) = ax + b (a ≠ 0) 가 항등함수가 아니면서 모든 실수 x 에서 (f ∘ f)(x) = x 를 만족시킨다. (1) 상수 a 의 값을 구하라.   (2) 이때 f−1(x) 를 a, b 를 써서 나타내어라.

풀이 — 합성해서 항등함수와 계수를 견준다

  1. (f ∘ f)(x) = a(ax + b) + b = a²x + ab + b.
  2. 이것이 x(항등함수)와 같아야 하므로 a² = 1 이고 ab + b = 0, 곧 b(a + 1) = 0.
  3. ⭐ 여기가 고비 — a = 1 을 버리는 까닭이 「일차함수」가 아니라 「항등함수가 아니다」 다 a² = 1 에서 a = 1 또는 a = −1 이 나오는데, 어느 쪽을 왜 버리는지에서 갈립니다. a = 1 인 경우 — b(a + 1) = 2b = 0 이므로 b = 0, 곧 f(x) = x 가 되어 이것은 항등함수 그 자체입니다. 문제가 막아 놓았으니 버립니다. a = −1 인 경우 — b(a + 1) = b · 0 = 0 이 b 가 무엇이든 저절로 성립합니다. 그러니 f(x) = −x + b 는 b 가 어떤 수든 모두 답이 됩니다. 여기서 「해가 하나로 정해지지 않는다」고 당황하지 마십시오 — 물은 것은 a 뿐이고, a 는 −1 로 하나입니다. 뜻으로 보면 더 뚜렷합니다 : f ∘ f = I 는 「두 번 하면 제자리」, 곧 주기가 2이고 동시에 f 자신이 자기의 역함수라는 말입니다. y = −x + b 의 그래프는 y = x 에 대해 접으면 자기 자신과 포개집니다.
  4. (1) a = 1 은 항등함수가 되어 버리므로 버린다 → a = −1.
  5. (2) f ∘ f = I 이므로 f 자신이 역함수다 → f−1(x) = f(x) = −x + b.
  6. 검산 — b = 5 로 두면 f(x) = −x + 5. f(f(x)) = −(−x + 5) + 5 = x ✓ y = −x + 5 를 x 에 대해 풀면 x = −y + 5 로 역함수도 −x + 5 ✓
(1) a = −1  ·  (2) f⁻¹(x) = −x + b (= f(x))
※ f ∘ f = I 인 함수를 대합(對合)이라 한다. y = −x + b, y = kx, y = b − x 처럼 두 번 하면 제자리인 것들이 여기 든다.
도전 · 고1주기 2 · 짝수인가 홀수인가
함수 f(x) = xx − 1 (x ≠ 1) 에 대하여 (1) (f ∘ f)(x) 를 간단히 하여라.   (2) f2026(3) + f2027(3) 의 값을 구하라.

풀이 — 두 번만 해 보면 정체가 드러난다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 번분수를 정리하면 제자리로 돌아온다 2026 번이라는 큰 수에 겁을 먹고 규칙을 찾기도 전에 손을 놓습니다. 무조건 두 번은 해 봐야 합니다. f(f(x)) 는 f 의 x 자리에 f(x) = xx − 1 를 통째로 넣은 것이니 (f ∘ f)(x) = f(x)f(x) − 1. 분모를 먼저 한 덩어리로 만드는 것이 열쇠입니다 — f(x) − 1 = xx − 1 − 1 = x − (x − 1)x − 1 = 1x − 1. 분자에서 x 가 지워져 1 만 남는 이 자리가 전부입니다. 그러면 (f ∘ f)(x) = xx − 1 ÷ 1x − 1 = xx − 1 × (x − 1) = x. 두 번 하면 제자리 — 주기가 2입니다. 이렇게 되면 아무리 큰 횟수도 「짝수인가 홀수인가」 한 가지만 보면 됩니다.
  2. (1) (f ∘ f)(x) = x. 곧 f2 = I 이고 주기는 2.
  3. 그러므로 n 이 짝수면 fn(x) = x, 홀수면 fn(x) = f(x).
  4. 2026 은 짝수 → f2026(3) = 3.
  5. 2027 은 홀수 → f2027(3) = f(3) = 32.
  6. (2) 합은 3 + 32 = 92.
  7. 검산 — 실제로 몇 걸음 걸어 본다. f(3) = 32 → f(32) = 3/21/2 = 3 ✓ 두 걸음마다 제자리 ✓
"합성은 돌고 돈다 — 몇 번 만에 제자리로 오는지 주기만 찾으면, 아무리 큰 수도 나머지 하나로 끝난다."— 장대경 선생님 제53강 「함수 심화 — 조건대로 쪼개고, 조건대로 센다」
(1) x  ·  (2) 92
※ 주기가 2인 함수는 자기 자신이 역함수이기도 하다(도전 1과 같은 무리). f2 = I 를 보면 「짝·홀」 넉 자를 먼저 적어라.
도전 · 고1합성함수의 역함수 · 순서 뒤집기
두 함수 f(x) = 3x + 2, g(x) = x − 5 에 대하여 (g ∘ f)−1(x) 를 x 에 대한 식으로 나타내어라.

풀이 — 두 길로 가서 같은 답에 닿는다

  1. 첫째 길(합성 먼저) — (g ∘ f)(x) = g(3x + 2) = (3x + 2) − 5 = 3x − 3.
  2. y = 3x − 3 을 x 에 대해 풀면 x = y + 33 → (g ∘ f)−1(x) = x + 33.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 둘째 길에서 g−1 ∘ f−1 이라 쓰면 다른 함수가 된다 (g ∘ f)−1 을 보고 안에 적힌 순서 그대로 g−1 ∘ f−1 이라 옮겨 적는 실수가 압도적으로 많습니다. 옳은 것은 f−1 ∘ g−1 — 차례가 거꾸로입니다. 옷으로 새기면 절대 안 틀립니다 — g ∘ f 는 속옷 f 를 먼저 입고 겉옷 g 를 나중에 입은 것입니다. 벗을 때는 나중에 입은 겉옷 g 부터 벗어야 하니 g−1 을 먼저 쓰는 것이고, 「먼저 쓴다」는 오른쪽에 적는다는 뜻이므로 (g ∘ f)−1 = f−1 ∘ g−1 입니다. 실제로 세어 보면 차이가 눈에 보입니다 — f−1(x) = x − 23, g−1(x) = x + 5 이므로 옳은 쪽 f−1(g−1(x)) = f−1(x + 5) = x + 33 이고, 뒤바꾼 쪽 g−1(f−1(x)) = x − 23 + 5 = x + 133 로 전혀 다른 함수가 됩니다.
  4. 둘째 길(역함수 먼저) — f−1 ∘ g−1 로 가도 x + 33 로 첫째 길과 같다.
  5. 검산 — x = 9 로 확인한다. (g ∘ f)(9) = 3·9 − 3 = 24 이므로 (g ∘ f)−1(24) = 9 여야 한다. 식에 넣으면 24 + 33 = 9 ✓ 뒤바꾼 식은 24 + 133 = 373 으로 9 가 아니다 ✓
(g ∘ f)⁻¹(x) = x + 33
※ 나중에 씌운 것을 먼저 벗는다 — (f ∘ g ∘ h)−1 = h−1 ∘ g−1 ∘ f−1 로 셋이든 넷이든 통째로 뒤집으면 된다.
도전 · 고1세 함수의 합성 · 모르는 함수 만들기
세 함수 f(x) = 2x, g(x) = x + 3, h 에 대하여 모든 실수 x 에서 (f ∘ g ∘ h)(x) = 4x + 10 이 성립할 때, h(x) 를 x 에 대한 식으로 나타내어라.

풀이 — 모르는 것을 덩어리째 두고 겉에서부터 벗긴다

  1. 차례를 풀어 쓰면 f( g( h(x) ) ) = 4x + 10. 안쪽부터 h → g → f 로 지난다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — h(x) 를 글자 하나처럼 덩어리로 두고 그대로 푼다 h 가 무슨 함수인지 모르니 대입할 것이 없어 막막합니다. 그래서 h(x) = ax + b 로 놓고 시작하는 학생이 많은데, 여기서는 그럴 것도 없습니다. h(x) 를 통째로 H 라는 한 덩어리로 보십시오. 그러면 g(H) = H + 3 이고 f(H + 3) = 2(H + 3) = 2H + 6 입니다. 이것이 4x + 10 과 같아야 하므로 2H + 6 = 4x + 10 → 2H = 4x + 4 → H = 2x + 2. 곧 h(x) = 2x + 2 입니다. 모르는 것이 「가장 안쪽」에 있을 때는 이렇게 겉옷부터 벗기는 것이 언제나 빠릅니다 — ax + b 로 놓는 방법은 모르는 것이 「바깥」에 있어 대입할 자리가 없을 때 쓰는 무기입니다. ax + b 로 풀어도 2(ax + b + 3) = 2ax + 2b + 6 = 4x + 10 에서 a = 2, b = 2 로 같은 답이 나옵니다.
  3. g(h(x)) = h(x) + 3 → f(h(x) + 3) = 2h(x) + 6.
  4. 2h(x) + 6 = 4x + 10 → h(x) = 2x + 2.
  5. 검산 — 되짚어 넣는다. h(x) = 2x + 2 → g(2x + 2) = 2x + 5 → f(2x + 5) = 4x + 10 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 차례를 거꾸로 읽으면 f ∘ g ∘ h 를 왼쪽부터 지나는 것으로 읽어 h(g(f(x))) = h(2x + 3) 이라 쓰고 풀면 h(x) = 2x + 4 가 나옵니다. 되짚어 보면 f(g(h(x))) = f(g(2x + 4)) = f(2x + 7) = 4x + 14 ≠ 4x + 10 으로 맞지 않습니다. → 합성은 언제나 안쪽(오른쪽)부터. 검산 한 줄이면 이런 실수는 그 자리에서 잡힌다.
h(x) = 2x + 2
※ 모르는 함수가 가장 안쪽에 있으면 덩어리로 두고 겉부터 벗기고, 가장 바깥에 있으면 ax + b 로 만들어 놓고 계수를 견준다.
도전 · 고1주기 · 조건에서 함수를 결정하기
집합 X = {1, 2, 3, 4} 에서 X 로의 일대일대응 f 가 f(1) = 2, f(2) = 3 이고 f3 = I (항등함수)를 만족시킨다. (1) f(3) 과 f(4) 의 값을 각각 구하라.   (2) f2026(2) 의 값을 구하라.

풀이 — f³ = I 라는 조건이 바퀴의 길이를 정해 준다

  1. 주어진 것을 화살표로 그리면 1 → 2 → 3 → ? 까지는 정해져 있다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — f3 = I 이면 모든 바퀴의 길이가 3의 약수, 곧 1 아니면 3 이다 f(3) 에 1 도 4 도 올 수 있어 보여 경우를 나누어 헤매기 쉽습니다. 그런데 f3 = I 한 줄이 이미 다 정해 놓았습니다. 바퀴의 길이가 m 이면 그 바퀴의 원소가 제자리로 오는 횟수는 m 의 배수입니다. f3 = I 이려면 3 이 모든 바퀴 길이의 배수여야 하니 길이는 1 또는 3 뿐입니다 (길이 2나 4인 바퀴가 있으면 f3 은 항등함수가 될 수 없습니다). 원소가 넷이니 4 = 3 + 1 로 갈리는 수밖에 없습니다 — 세 걸음 바퀴 하나와 제자리 하나. 1 → 2 → 3 이 이미 세 걸음 바퀴를 이루고 있으므로 f(3) = 1 로 닫히고, 남은 4 는 혼자 제자리 — f(4) = 4 입니다. 「바퀴 길이가 전체 개수를 어떻게 쪼개는가」를 먼저 따지는 것이 이런 문제의 첫걸음입니다.
  3. (1) f(3) = 1, f(4) = 4.
  4. (2) 2 는 세 걸음 바퀴 안에 있고 2026 = 3 × 675 + 1.
  5. 남는 걸음이 하나이므로 f2026(2) = f(2) = 3.
  6. 검산 — 만든 함수를 직접 확인한다. f3(1) = 1 ✓ f3(2) = 2 ✓ f3(3) = 3 ✓ f3(4) = 4 ✓ 그리고 X 위의 일대일대응 24 개를 전수로 훑어 조건을 모두 만족하는 것은 이 하나뿐이다 ✓
(1) f(3) = 1, f(4) = 4  ·  (2) f²⁰²⁶(2) = 3
※ fk = I 라는 조건은 「모든 바퀴의 길이가 k 의 약수」로 번역된다. 이 한 줄이 경우의 수를 단번에 줄인다.
도전 · 고1교환법칙 · 일반 조건 세우기
두 일차함수 f(x) = ax + b, g(x) = cx + d (a ≠ 0, c ≠ 0) 가 모든 실수 x 에서 f ∘ g = g ∘ f 를 만족시킨다. (1) a, b, c, d 사이에 성립하는 관계식을 구하라.   (2) f(x) = 3x + 4, g(x) = cx + 2 일 때 상수 c 의 값을 구하라.

풀이 — 문자로 한 번 해 두면 모든 문제가 한 줄이 된다

  1. 왼쪽 — (f ∘ g)(x) = a(cx + d) + b = acx + ad + b.
  2. 오른쪽 — (g ∘ f)(x) = c(ax + b) + d = acx + bc + d.
  3. ⭐ 여기가 고비 — x 항이 저절로 지워지고, 남은 한 줄을 곱의 꼴로 묶는다 문자가 넷이나 되어 무엇을 무엇으로 나타내야 할지 막막합니다. 그런데 x 의 계수는 양쪽 모두 ac — 곱셈이라 순서를 바꿔도 같으니 저절로 지워집니다. 남는 것은 상수항 한 줄뿐입니다. ad + b = bc + d 를 그냥 두면 뜻이 안 보입니다. b 가 든 것끼리, d 가 든 것끼리 모아 묶으십시오 — ad − d = bc − b → d(a − 1) = b(c − 1). 이 꼴이 되면 뜻이 한눈에 들어옵니다 — a = 1 이고 c = 1 이면(둘 다 기울기 1) b, d 가 무엇이든 늘 성립하고, b = 0 이고 d = 0 이면(둘 다 원점을 지나면) 역시 늘 성립합니다. 곧 「평행이동끼리」나 「원점을 지나는 것끼리」는 순서를 바꿔도 된다는 말입니다. (2)는 여기에 수를 넣기만 하면 됩니다 — a = 3, b = 4, d = 2 이므로 2(3 − 1) = 4(c − 1) → 4 = 4c − 4 → c = 2.
  4. (1) 상수항을 견주면 ad + b = bc + d, 곧 d(a − 1) = b(c − 1).
  5. (2) a = 3, b = 4, d = 2 를 넣으면 2 · 2 = 4(c − 1) → c = 2.
  6. 검산 — f(x) = 3x + 4, g(x) = 2x + 2 로 두고 양쪽을 낸다. f(g(x)) = 3(2x + 2) + 4 = 6x + 10 ✓ g(f(x)) = 2(3x + 4) + 2 = 6x + 10 ✓ 완전히 같다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「기울기만 같으면 된다」고 믿으면 f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x + 2 처럼 기울기를 맞추면 되겠지 하고 c = 3 이라 답해 봅시다. 넣어 보면 f(g(x)) = 3(3x + 2) + 4 = 9x + 10, g(f(x)) = 3(3x + 4) + 2 = 9x + 14 로 상수항이 다릅니다. → 조건은 기울기가 아니라 d(a − 1) = b(c − 1). 문자로 한 번 세워 두면 이런 짐작에 흔들리지 않는다.
(1) d(a − 1) = b(c − 1)  ·  (2) c = 2
※ 연습 4를 이 식으로 다시 보면 한 줄이다 — f(x) = 4x + a, g(x) = 2x + 3 이므로 기울기는 4 와 2, 상수항은 a 와 3. 관계식에 넣으면 3(4 − 1) = a(2 − 1) → a = 9 ✓

🌱 여기서 더 넓혀 쓰기

오늘의 무기 여섯 가지는 고등학교 내내 모습을 바꿔 다시 나옵니다.

역함수와 그래프의 대칭
고1 · 함수
(g ∘ f)−1 = f−1 ∘ g−1 은 역함수를 배우는 순간 바로 쓰입니다. 역함수 그래프가 y = x 에 대해 대칭인 까닭도 「거꾸로 간다」는 같은 뜻에서 나옵니다(제14강 「함수 — 대응을 정확히 센다」).
지수함수와 로그함수
고2 · 수학Ⅰ
로그함수는 지수함수의 역함수입니다. 그래서 loga(ax) = x 와 alogax = x 는 둘을 합성하면 항등함수라는 오늘의 무기④ 그 자체예요.
주기수열과 귀납적 정의
고2 · 수학Ⅰ 수열
an+1 = f(an) 꼴로 정해지는 수열은 곧 합성함수를 되풀이하는 일입니다. 바퀴를 찾아 나머지만 보는 손놀림(연습 8·도전 2·도전 5)이 그대로 쓰입니다.
합성함수의 미분 — 연쇄법칙
고2~ · 미적분
{ g(f(x)) }′ = g′(f(x)) · f′(x) — 바깥을 미분하고 안쪽을 다시 미분해 곱합니다. 「안쪽부터 간다」는 오늘의 무기①이 미분에서도 그대로 살아 있는 자리예요.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 sympy 기호계산과 전수 열거로 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음). 강의의 예제 아홉 가지는 한 문항도 다시 쓰지 않았습니다.
← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로