함수의 뜻과 정의역·치역 — 하나에 하나씩 연습 10제

먼저 · 함수의 맨 처음을 여는 무기 여섯 가지

함수는 「하나에 하나씩」 — 정의역의 원소 하나에 공역의 원소가 딱 하나 정해져야 한다. 선생님 말씀 그대로 「이가 양쪽으로 가면」 안 되고, 「미팅을 안 해도」 안 된다.

함수가 안 되는 자리는 딱 셋 — ① 갈라짐(하나가 둘로) ② 빠짐(짝을 못 만난 원소가 남음) ③ 공역 밖(값이 나오긴 하는데 오른쪽 집합에 그 자리가 없음). 정의역의 수를 하나하나 다 넣어 본다.

정의역·공역·치역은 자리가 다르다 — 왼쪽 전체가 정의역, 오른쪽 전체가 공역, 오른쪽 가운데 실제로 짝을 만난 것만이 치역. 그래서 치역은 언제나 공역 안에 있다.

치역은 그래프를 그려서 읽는다 — 이차함수는 완전제곱을 만들면 (x−p)² + q 에서 가장 낮은 값 q 가 보인다. 분모에 x 가 있으면 붙지 않는 선이 곧 빠지는 값이다. 정의역은 가로축, 치역은 세로축에서 읽는다.

이름 네 갈래를 한 판에 — ① 일대일대응 딱 맞아떨어짐(남는 것 0) ② 일대일함수 오른쪽에 남아도 됨(왼쪽 둘이 같은 곳으로만 안 가면) ③ 상수함수 모두 한 곳 ④ 항등함수 자기 자신. 세로줄은 「함수인가」, 가로줄은 「일대일인가」를 묻는다.

이차함수를 일대일로 만들려면 꼭짓점을 밖으로 — 포물선은 꼭짓점을 사이에 두고 거울처럼 같다. 그래서 정의역이 꼭짓점을 걸치면 같은 값을 두 번 갖는다. 꼭짓점이 정의역 밖에 있거나, 꼭짓점에서 잘라야 일대일이 된다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

"아이마다 사물함을 하나씩 준다." 한 아이가 사물함 둘을 가지면 안 되고, 사물함을 못 받은 아이가 있어도 안 된다. 그것이 곧 함수다.

📐 중1~중3 (준비)

정비례·반비례, 일차함수, 이차함수에서 이미 「x를 정하면 y가 하나 정해진다」를 써 왔다. 고1에서는 그것에 정의역·공역·치역이라는 이름을 붙인다.

🎓 고1~고2 (확장)

일대일대응은 역함수가 있을 조건이 되고, 정의역·치역을 읽는 눈은 합성함수·유리함수·무리함수·삼각함수까지 그대로 이어진다.

🐣 저학년 직관 — "사물함을 하나씩"

교실에 아이가 3명, 사물함이 4칸 있습니다. 아이마다 사물함을 하나씩 정해 줍니다.

① 민수가 사물함 1번과 2번을 둘 다 쓴다 → 안 됩니다(하나가 둘로 갈라짐).
② 영희가 사물함을 못 받았다 → 안 됩니다(빠짐).
③ 철수에게 5번 사물함을 준다 → 그런 칸이 없습니다(공역 밖).

세 가지만 피하면 함수예요. 그리고 실제로 쓰인 사물함만 모은 것이 치역, 교실에 있는 사물함 전부가 공역입니다.

아이 하나에 사물함 하나씩 · 쓴 칸만 모으면 치역

⚠️ 여기서 학생들이 가장 많이 넘어집니다

① 공역과 치역을 같은 것으로 보는 것 — 공역은 자리가 다 있는 것이고, 치역은 그중 실제로 쓰인 것입니다. 「치역 = 공역」인 함수도 있지만 그건 특별한 경우일 뿐입니다.

② 공역 밖으로 나가는 것을 못 보는 것 — 「하나에 하나」만 확인하고 넘어갑니다. 정의역의 값을 하나하나 다 넣어 결과가 오른쪽 집합 안에 있는지 봐야 합니다.

③ 일대일함수와 일대일대응을 뒤섞는 것 — 일대일함수는 오른쪽에 남아도 됩니다. 남는 것이 하나도 없어야 일대일대응입니다. 「여자는 미팅을 안 해도 되지만, 남자는 무조건 해야 된다」

④ 이차함수의 치역을 끝점만 보고 구하는 것 — 정의역 안에 꼭짓점이 들어 있으면 최솟값(또는 최댓값)은 끝점이 아니라 꼭짓점에서 나옵니다. 반드시 완전제곱부터 하세요.

연습 10제 · 상세 해설

연습 1함수 판별 · 공역 밖

집합 X = {−1, 0, 1}, Y = {0, 1, 2} 에 대하여 다음 대응 중 X 에서 Y 로의 함수인 것을 모두 고르고, 그 개수를 구하라.
㉠ y = x² · ㉡ y = x + 1 · ㉢ y = 2x · ㉣ y = x + 2

풀이 — 정의역의 값을 하나하나 다 넣어 본다

⭐ 여기가 고비 — 탈락시키는 잣대가 왼쪽과 오른쪽에서 서로 다르다 ㉠에서 −1과 1이 둘 다 1로 겹쳐 가는 것을 보고 「함수가 아니다」로 넘기기 쉽습니다. 겹치는 것은 탈락 사유가 아닙니다. 잣대는 왼쪽과 오른쪽이 서로 다릅니다. 왼쪽(정의역)은 엄격합니다 — 하나도 빠짐없이, 그리고 갈라지지 않게 딱 하나씩 가야 합니다. 오른쪽(공역)은 너그럽습니다 — 남아도 되고 겹쳐도 됩니다. 그러니 ㉠은 겹쳤을 뿐이니 함수가 맞고, ㉢·㉣은 −2와 3이 공역 밖으로 나가 갈 자리가 없으므로 탈락입니다. 「값이 나온다」와 「그 자리가 오른쪽에 있다」는 다른 이야기입니다.
㉠ y = x² : −1 → 1, 0 → 0, 1 → 1. 나온 값 {0, 1} 이 모두 Y 안에 있다 → 함수.
㉡ y = x + 1 : −1 → 0, 0 → 1, 1 → 2. 모두 Y 안 → 함수.
㉢ y = 2x : −1 → −2 인데 −2 ∉ Y → 함수가 아니다(공역 밖).
㉣ y = x + 2 : 1 → 3 인데 3 ∉ Y → 함수가 아니다(공역 밖).
검산 — 세 값을 모두 대입해 표로 적어 두면 빠뜨리지 않는다 ✓

"여자는 미팅을 안 해도 되지만, 남자는 무조건 해야 된다 — 일대일함수는 오른쪽이 남아도 되지만, 왼쪽은 하나도 빠짐없이 짝을 만나야 한다."— 장대경 선생님 제55강 「함수의 뜻」

함수인 것 : ㉠, ㉡ — 모두 2개

※ 선생님 말씀 그대로 「이가 갈 데가 없네」 가 ㉢·㉣의 자리다. 값이 나오는 것과 그 자리가 오른쪽에 있는 것은 다른 이야기다.

연습 2공역 정하기 · 거꾸로 읽기

집합 X = {0, 1, 2, 3}, Y = {0, 1, 2, ⋯, n} 에 대하여 f(x) = x² + 1 이 X 에서 Y 로의 함수가 되도록 하는 자연수 n 의 최솟값을 구하라.

풀이 — 함숫값을 다 구하고, 가장 큰 것이 들어갈 만큼만

정의역의 값을 하나하나 넣는다 — f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5, f(3) = 10.
함수가 되려면 이 네 값이 모두 Y 안에 있어야 한다.
⭐ 여기가 고비 — 네 값을 다 따질 것 없이 「가장 큰 것 하나」가 답을 정한다 함숫값이 1, 2, 5, 10 넷이니 넷 모두에 대해 조건을 세워야 할 것 같습니다. 일을 하는 것은 하나뿐입니다. 까닭은 Y가 0부터 n까지 「빠짐없이 이어진」 집합이기 때문입니다. 가장 큰 값 10이 들어갈 만큼 n을 키우면, 그보다 작은 1·2·5는 저절로 따라 들어옵니다. 그러니 세울 조건은 n ≥ 10 하나이고, 최솟값은 10. (⛔ Y가 이어진 집합이 아니었다면 이 지름길은 통하지 않습니다 — Y = {0, 10} 같으면 작은 값들이 오히려 걸립니다. 「이어져 있는가」를 확인하고 나서 가장 큰 것만 보십시오.)
Y 는 0부터 n 까지 이어져 있으므로 가장 큰 값 10만 들어가면 된다 → n ≥ 10, 최솟값 10.
검산 — n = 9 이면 f(3) = 10 ∉ Y 라 함수가 아니다 ✓ n = 10 이면 {1, 2, 5, 10} ⊂ Y ✓

n = 10

※ 이때 치역은 {1, 2, 5, 10} 이고 공역은 {0, 1, ⋯, 10} 이다. 둘은 같지 않다 — 치역이 공역 안에 들어 있기만 하면 된다.

연습 3치역 · 완전제곱

정의역이 실수 전체인 함수 f(x) = x² − 4x + 7 의 치역을 구하라.

풀이 — 완전제곱을 만들면 가장 낮은 값이 보인다

x² − 4x + 7 = (x² − 4x + 4) − 4 + 7.
정리하면 f(x) = (x − 2)² + 3.
⭐ 여기가 고비 — 왜 굳이 완전제곱 꼴로 고쳐 쓰는가 x² − 4x + 7인 채로는 가장 작은 값이 어디인지 보이지 않습니다. x에 아무 수나 넣어 보아도 더 작은 값이 있을지 없을지 알 길이 없습니다. 완전제곱으로 고치면 그 물음이 한눈에 끝납니다 — f(x) = (x − 2)² + 3. 까닭은 제곱은 결코 음수가 될 수 없기 때문입니다. (x − 2)²은 아무리 작아도 0이고, 그 0은 x = 2일 때 실제로 이루어집니다. 그러니 f(x)는 3보다 작아질 수 없고, 3은 진짜로 나옵니다 → 최솟값 3. 위쪽은 x가 2에서 멀어질수록 얼마든지 커지므로 끝이 없습니다. 「제곱 ≥ 0」 하나로 최솟값과 그 자리를 동시에 얻는 것 — 그것이 완전제곱을 만드는 까닭입니다.
(x − 2)² ≥ 0이고 x = 2에서 딱 0 → f(x) ≥ 3, 위로는 얼마든지 커진다.
검산 — f(2) = 4 − 8 + 7 = 3 ✓ f(0) = 7, f(5) = 12 모두 3보다 크다 ✓

치역 = {y | y ≥ 3}

※ 정의역은 실수 전체다. 이차함수는 어떤 실수를 넣어도 값이 나오므로 정의역을 따로 잘라 주지 않는 한 언제나 실수 전체다.

연습 4치역 · 정의역이 잘린 이차함수

정의역이 {x | 0 ≤ x ≤ 3} 인 함수 f(x) = x² − 2x − 3 의 치역을 구하라.

풀이 — 꼭짓점이 정의역 안에 있는지부터 본다

완전제곱: f(x) = (x − 1)² − 4. 꼭짓점은 x = 1 인 자리.
⭐ 여기가 고비 — 끝점 둘만 넣으면 최솟값을 놓친다 f(0) = −3, f(3) = 0을 구하고 「치역은 −3부터 0까지」라고 답하기 쉽습니다. 틀립니다. 이차함수는 직선이 아니라 가운데가 푹 팬 곡선이라, 가장 낮은 자리가 안쪽에 숨어 있을 수 있습니다. 그래서 순서를 이렇게 잡습니다 — ① 꼭짓점의 자리를 먼저 찾는다 : f(x) = (x − 1)² − 4이니 x = 1. ② 그 자리가 정의역 안에 있는지 본다 : 0 ≤ 1 ≤ 3 — 들어 있습니다. 들어 있으면 최솟값은 반드시 꼭짓점에서 나옵니다 → f(1) = −4. ③ 최댓값은 꼭짓점에서 더 멀리 떨어진 끝에서 나옵니다 — 1에서 0까지는 1칸, 3까지는 2칸이니 먼 쪽인 x = 3, 곧 f(3) = 0. 「꼭짓점이 안에 있나」를 묻지 않고 끝점만 넣는 것 — 이 단원에서 가장 많이 잃는 점수입니다.
꼭짓점 x = 1이 정의역 안에 있으므로 최솟값 f(1) = −4.
최댓값은 꼭짓점에서 더 먼 끝에서 : f(0) = −3, f(3) = 0 → 최댓값 0.
포물선은 끊긴 데가 없으므로 −4 부터 0 까지 모든 값을 갖는다.
검산 — f(2) = 4 − 4 − 3 = −3 으로 구간 안에 있다 ✓ 0부터 3까지를 잘게 훑어도 −4보다 작거나 0보다 큰 값은 나오지 않는다 ✓

치역 = {y | −4 ≤ y ≤ 0}

※ 끝점만 넣어서 −3과 0 사이라고 답하면 틀린다. 꼭짓점이 정의역 안에 있으면 최솟값은 언제나 꼭짓점에서 나온다.

연습 5정의역·치역 · 붙지 않는 선

함수 f(x) = 1x − 2 + 3 의 정의역과 치역을 구하라.

풀이 — 분모가 0이 되는 자리와, 그래프가 붙지 못하는 선

정의역 — 분모 x − 2 가 0이면 안 되므로 x ≠ 2.
치역 — y = 1x − 2 + 3 에서 y − 3 = 1x − 2.
⭐ 여기가 고비 — 치역에서 빠지는 값은 「보이지 않아」 찾기 어렵다 정의역에서 x ≠ 2는 분모를 보고 곧바로 찾습니다. 그런데 치역의 y ≠ 3은 식 어디에도 드러나 있지 않아 그냥 「실수 전체」라고 답하기 쉽습니다. 찾는 방법은 하나 — y를 기준으로 식을 뒤집어 보는 것입니다. 상수 3을 왼쪽으로 넘기면 y − 3 = 1/(x − 2)가 됩니다. 이제 오른쪽을 보십시오 — 분자가 1이라 아무리 큰 x를 넣어도 0에 가까워질 뿐 결코 0이 되지 않습니다. 그러니 y − 3 ≠ 0, 곧 y ≠ 3. 그리고 3만 빼면 다른 값은 모두 나옵니다 — 아무 y를 잡아도 x = 2 + 1/(y − 3)로 되돌아갈 수 있으니까요. 그래프로 보면 가로로 x = 2, 세로로 y = 3 — 그래프가 끝내 붙지 못하는 두 선이 그대로 빠지는 값입니다.
오른쪽은 분자가 1이라 0이 될 수 없다 → y − 3 ≠ 0, 곧 y ≠ 3.
3이 아닌 어떤 값 y 를 잡아도 x = 2 + 1y − 3 로 되돌릴 수 있으니, 3만 빼고 모두 나온다.
검산 — x = 3 이면 y = 4 ✓ x = 1 이면 y = 2 ✓ 아무리 큰 x 를 넣어도 3에 가까워질 뿐 3이 되지는 않는다 ✓

"그래프를 그려 버리면 무조건 알 수가 있다 — 정의역은 가로축에서, 치역은 세로축에서 읽는다. 붙지 않는 선이 빠지는 값이다."— 장대경 선생님 제55강 「함수의 뜻」

정의역 {x | x ≠ 2} · 치역 {y | y ≠ 3}

※ 정의역은 가로축, 치역은 세로축에서 읽는다. 그래프가 붙지 못하는 두 선(x = 2, y = 3)이 그대로 빠지는 값이다.

연습 6네 갈래 판별 · 대응

집합 X = Y = {1, 2, 3} 에 대하여 다음 네 함수는 각각 어떤 함수인가? (일대일대응 · 상수함수 · 항등함수 · 그냥 함수 중에서)
f : 1→2, 2→3, 3→1 · g : 1→2, 2→2, 3→2 · h : 1→1, 2→2, 3→3 · k : 1→3, 2→3, 3→1

풀이 — 오른쪽에 남는 것이 있나, 겹치는 것이 있나

⭐ 여기가 고비 — 왼쪽을 따라가지 말고 「오른쪽이 받은 화살표」를 세라 네 함수를 하나하나 따라가면 헷갈립니다. 오른쪽 원소 1, 2, 3이 화살표를 몇 개 받았는지만 세면 넷이 한꺼번에 갈립니다. 세어 보면 — f(1,1,1) 모두 한 개씩 → 일대일대응, g(0,3,0) 한 곳이 독차지 → 상수함수, h(1,1,1) 일대일대응인데 저마다 자기 자신에게 → 항등함수, k(1,0,2) 0과 2가 섞여 → 그냥 함수. 세 숫자만 보고 판정이 끝납니다.
f : 오른쪽 1, 2, 3 이 하나도 남김없이 한 번씩 쓰였다 → 일대일대응. (자기 자신으로 가지는 않으니 항등함수는 아니다.)
g : 모두가 2 한 곳으로만 간다 → 상수함수. 치역은 {2} 로 원소가 하나뿐이다.
h : 1은 1로, 2는 2로, 3은 3으로 자기 자신에게 간다 → 항등함수. (항등함수는 언제나 일대일대응이기도 하다.)
k : 1과 2가 둘 다 3 으로 갔고, 오른쪽 2는 아무도 안 만났다 → 일대일도 아니고 대응도 아니다 → 그냥 함수.
검산 — 오른쪽 원소가 받은 화살표를 세어 본다. f(1,1,1) · g(0,3,0) · h(1,1,1) · k(1,0,2) ✓

"상수함수는 오로지 한 여자, 항등함수는 쌍둥이 — 모두가 한 곳으로만 가면 상수함수, 자기 자신으로 가면 항등함수."— 장대경 선생님 제55강 「함수의 뜻」

f 일대일대응 · g 상수함수 · h 항등함수 · k 그냥 함수

※ 오른쪽이 받은 화살표를 세는 것이 가장 빠르다. 전부 1이면 일대일대응, 한 곳만 전부면 상수함수, 0과 2가 섞이면 그냥 함수다.

연습 7일대일대응 · 끝이 끝으로

정의역이 {x | 1 ≤ x ≤ 3}, 공역이 {y | −1 ≤ y ≤ 5} 인 함수 f(x) = ax + b 가 일대일대응이고 a > 0 일 때, 상수 a, b 의 값을 구하라.

풀이 — 일대일대응이면 「끝이 끝으로」 간다

⭐ 여기가 고비 — 끝을 어느 끝과 짝지을지는 기울기의 부호가 정한다 미지수가 둘이라 식도 둘이 필요한데, 문제에는 등식이 하나도 없습니다. 식을 만들어 주는 것은 「일대일대응」이라는 말입니다 — 치역이 공역과 꼭 같아야 하므로, 정의역의 양 끝이 공역의 양 끝으로 가야 합니다. 남은 물음은 「어느 끝이 어느 끝으로 가나」 하나이고, 답을 정하는 것은 기울기의 부호입니다. a > 0이면 그래프가 올라가므로 — 왼쪽 끝 x = 1이 아래 끝 y = −1로, 오른쪽 끝 x = 3이 위 끝 y = 5로 갑니다. 그래서 f(1) = −1, f(3) = 5 — 식 두 개가 이제야 생겼습니다. (a < 0이었다면 정반대로 엇갈려 짝지어집니다 — 부호를 안 읽고 짝지으면 답이 통째로 달라집니다.)
a > 0 이니 올라가는 직선 → f(1) = −1, f(3) = 5.
식으로 옮기면 a + b = −1 ⋯㉠, 3a + b = 5 ⋯㉡.
㉡ − ㉠ : 2a = 6 이므로 a = 3. ㉠ 에 넣으면 b = −4.
검산 — f(1) = 3 − 4 = −1 ✓ f(3) = 9 − 4 = 5 ✓ 일차함수는 기울기가 0이 아니면 언제나 일대일이다 ✓

a = 3, b = −4

※ a < 0 이라면 반대로 f(1) = 5, f(3) = −1 로 놓는다. 기울기의 부호를 먼저 읽고 끝을 짝지어야 한다.

연습 8일대일함수 · 꼭짓점에서 자른다

정의역이 {x | x ≥ k} 인 함수 f(x) = x² − 8x + 3 이 일대일함수가 되도록 하는 실수 k 의 최솟값을 구하라.

풀이 — 꼭짓점을 걸치면 같은 값을 두 번 갖는다

완전제곱: f(x) = (x − 4)² − 13. 꼭짓점은 x = 4 인 자리.
⭐ 여기가 고비 — 일대일을 깨는 것은 「꼭짓점을 넘어서는 것」 하나뿐이다 일대일이 되려면 겹치는 값이 없어야 하는데, 무수히 많은 x를 어떻게 다 확인하느냐에서 막힙니다. 확인할 것이 없습니다. 포물선에서 값이 겹치는 까닭은 꼭짓점을 사이에 둔 거울 대칭 하나뿐이기 때문입니다. 꼭짓점이 x = 4이므로 f(4 − t) = f(4 + t) — 꼭짓점에서 같은 만큼 떨어진 두 점은 반드시 값이 같습니다. 그러니 정의역이 꼭짓점을 넘어 양쪽으로 걸치는 순간 겹침이 생기고, 한쪽에만 머물면 겹침이 없습니다. x ≥ k 꼴이니 왼쪽 끝 k가 꼭짓점보다 오른쪽(또는 같은 자리)에 있으면 됩니다 — k ≥ 4, 최솟값 4. (k = 4까지 되는 것은 꼭짓점 하나만으로는 겹칠 짝이 없기 때문입니다.)
포물선은 꼭짓점을 사이에 두고 거울처럼 같다 — f(4 − t) = f(4 + t).
그러므로 정의역이 꼭짓점을 넘어 왼쪽까지 뻗으면 값이 겹친다.
그러므로 k ≥ 4, 최솟값은 4.
검산 — k = 3 이면 f(3) = 9 − 24 + 3 = −12 이고 f(5) = 25 − 40 + 3 = −12 로 같아진다 ✗ k = 4 이면 x ≥ 4 에서 계속 올라가기만 하므로 겹치는 값이 없다 ✓

k = 4

※ 「꼭짓점 오른쪽만 남긴다」가 이 문제의 전부다. 왼쪽만 남기려면 x ≤ k 꼴로 주어지고, 그때는 k 의 최댓값이 4가 된다.

연습 9서로 같은 함수 · 치역

정의역이 X = {−1, a} 인 두 함수 f(x) = x² − 2, g(x) = x 가 서로 같은 함수일 때, 상수 a 의 값과 f 의 치역을 구하라. (단 a ≠ −1)

풀이 — 정의역의 원소마다 값이 같아야 한다

먼저 x = −1 을 확인 — f(−1) = 1 − 2 = −1, g(−1) = −1. 같다 ✓
이제 x = a 에서도 같아야 한다 — a² − 2 = a.
정리하면 a² − a − 2 = 0, 인수분해하면 (a − 2)(a + 1) = 0 이므로 a = 2 또는 a = −1.
⭐ 여기가 고비 — 방정식이 준 두 근 가운데 하나를 버려야 한다 a = 2와 a = −1이 둘 다 나와 둘 다 답이라 적기 쉽습니다. 문제 끝에 a ≠ −1이라 적혀 있는 것이 그저 덧붙인 말이 아닙니다. a = −1이면 정의역이 X = {−1, −1}이 되는데, 집합은 같은 원소를 두 번 담지 않으므로 이것은 원소가 하나뿐인 집합 {−1}이 됩니다. 곧 문제가 말한 「원소 둘인 정의역」이 아니게 되어 버립니다. 그래서 a = 2 하나만 남습니다. 방정식이 낳은 근 가운데 「문제의 상황에 맞지 않는 것」을 걸러 내는 일은 언제나 마지막 걸음입니다 — 셈이 끝난 자리가 문제가 끝난 자리는 아닙니다.
a = −1 이면 정의역의 두 원소가 겹쳐 원소가 하나가 되므로 버린다 → a = 2.
치역은 정의역 {−1, 2} 의 함숫값을 모은 것 — f(−1) = −1, f(2) = 4 − 2 = 2.
검산 — g(2) = 2 로 f(2) 와 같다 ✓ 두 함수의 치역도 {−1, 2} 로 같다 ✓

a = 2 · 치역 {−1, 2}

※ 「서로 같은 함수」는 식이 같다는 뜻이 아니다. x² − 2 와 x 는 전혀 다른 식이지만 정의역 안에서만 값이 같으면 같은 함수다.

연습 10치역 · 유한집합에서 세기

정의역이 X = {−2, −1, 0, 1, 2} 인 함수 f(x) = x² − 1 의 치역을 구하고, 치역의 원소의 개수와 모든 원소의 합을 구하라.

풀이 — 다 넣어 보고, 겹치는 것은 한 번만 센다

하나하나 넣는다 — f(−2) = 3, f(−1) = 0, f(0) = −1, f(1) = 0, f(2) = 3.
⭐ 여기가 고비 — 다섯 개를 넣었는데 치역은 세 개다 함숫값을 다섯 개 구했으니 치역의 원소도 다섯이고 합도 3+0−1+0+3 = 5라 적기 쉽습니다. 치역은 「나온 값들을 모은 집합」이고, 집합은 같은 것을 두 번 담지 않습니다. 나온 값은 3, 0, −1, 0, 3인데 0이 두 번, 3이 두 번 나왔습니다. 겹친 것을 한 번씩만 남기면 치역 = {−1, 0, 3}, 원소는 3개, 합은 −1 + 0 + 3 = 2입니다. 겹친 까닭도 분명합니다 — f(−t) = f(t)이라 −2와 2, −1과 1이 짝을 이뤄 같은 값으로 갑니다. 「정의역 원소가 다섯이면 치역 원소도 다섯」이 되는 함수가 곧 일대일함수이고, 이 함수는 그렇지 않습니다.
겹친 것을 한 번씩만 남기면 치역 = {−1, 0, 3}.
원소의 개수는 3, 합은 −1 + 0 + 3 = 2.
검산 — f(−t) = f(t) 이므로 −2와 2, −1과 1 이 짝을 이뤄 값이 겹친다 ✓ 그래서 5개를 넣었는데 치역은 3개다 ✓

치역 {−1, 0, 3} · 원소 3개 · 합 2

※ 정의역 원소가 5개라고 치역 원소도 5개인 것은 아니다. 치역 원소가 정의역 원소와 같은 개수일 때 그 함수가 곧 일대일함수다.

도전 6제 · 한 걸음 더

도전 · 고1그래프로 함수 판별 · 세로줄

좌표평면 위의 원 x² + y² = 25 는 x 에 y 를 대응시키는 함수가 될 수 없다. 그 까닭을 말하고, 이 원의 위쪽 반만 남긴 y = √(25 − x²) 의 정의역과 치역을 구하라.

풀이 — 세로줄이 두 번 만나면 함수가 아니다

⭐ 여기가 고비 — 그림만 보고 1초에 가리는 법 (세로줄 시험) 「함수가 아니다」를 보이려면 식을 풀어 반례를 찾아야 할 것 같지만, 그림 위에서 곧바로 가릴 수 있습니다. 세로줄 하나를 그어 그래프를 두 번 이상 만나면 함수가 아닙니다. 까닭은 함수의 약속 「하나에 하나씩」 그대로입니다. 세로줄 x = 0 위의 점들은 모두 같은 x값인데, 그 줄이 그래프를 두 번 만난다는 것은 같은 x에 y가 둘이라는 뜻이니 갈라진 것입니다. 실제로 x = 0을 넣으면 y = 5와 y = −5 둘이 나옵니다. 그래서 위쪽 반만 남기면 세로줄이 한 번만 만나 함수가 됩니다.
까닭 — x = 0 을 넣으면 y = 5 와 y = −5 둘이 나온다 → 함수가 아니다.
정의역 — √ 안이 음수면 안 되므로 25 − x² ≥ 0, 곧 x² ≤ 25 이므로 −5 ≤ x ≤ 5.
치역 — √ 의 값은 언제나 0 이상이고, 25 − x² 는 최대 25(x = 0)이므로 y 는 최대 5.
따라서 치역은 0 ≤ y ≤ 5.
검산 — x = 5 → y = 0 ✓ x = 0 → y = 5 ✓ x = 3 → y = 4 ✓ (3, 4, 5 직각삼각형)

"하나에 하나씩 — 갈라져도 안 되고, 빠져도 안 되고, 공역 밖으로 나가도 안 된다."— 장대경 선생님 제55강 「함수의 뜻」

함수 아님(x = 0 에서 y가 둘) · 정의역 {x | −5 ≤ x ≤ 5} · 치역 {y | 0 ≤ y ≤ 5}

※ 아래쪽 반 y = −√(25 − x²) 만 남겨도 함수가 된다. 그때 치역은 −5 ≤ y ≤ 0 이다. 둘 중 하나만 남기면 세로줄이 한 번만 만난다.

도전 · 고1일대일대응 · 꼭짓점이 정의역 밖

정의역이 {x | x ≥ 0}, 공역이 {y | y ≥ 7} 인 함수 f(x) = x² + 2x + k 가 일대일대응이 되도록 하는 상수 k 의 값을 구하라.

풀이 — 꼭짓점이 밖이면 계속 올라가기만 한다

완전제곱: f(x) = (x + 1)² + k − 1. 꼭짓점은 x = −1 인 자리.
정의역은 x ≥ 0 이므로 꼭짓점 x = −1 은 정의역 밖에 있다 → 이 구간에서는 계속 올라가기만 한다 → 겹치는 값이 없으니 일대일함수는 저절로 된다.
⭐ 여기가 고비 — 「일대일」은 저절로 되고, 답을 정하는 것은 「대응」이다 앞의 연습 8에서는 꼭짓점 때문에 정의역을 잘라야 했는데, 여기서는 확인만 하고 지나갑니다. 꼭짓점이 x = −1인데 정의역은 x ≥ 0이라 꼭짓점이 아예 밖에 있어 이 구간에서는 계속 올라가기만 하므로 일대일은 저절로 됩니다. k는 여기서 아무 일도 안 합니다. 그러니 k를 정하는 것은 남은 조건 「대응」, 곧 치역 = 공역입니다. 계속 올라가는 함수는 시작점이 곧 가장 낮은 값이므로 치역은 y ≥ f(0) = k. 이것이 공역 y ≥ 7과 꼭 같아야 하므로 k = 7. 일대일 조건과 대응 조건을 따로 확인하는 것 — 하나만 보고 답을 내면 반드시 틀립니다.
치역은 y ≥ f(0) = k이고 이것이 y ≥ 7 과 같아야 하므로 k = 7.
검산 — f(x) = x² + 2x + 7 일 때 f(0) = 7 ✓ f(1) = 10, f(2) = 15 로 계속 커진다 ✓ x ≥ 0 을 잘게 훑어도 7보다 작은 값은 나오지 않는다 ✓

k = 7

※ 일대일함수 조건(꼭짓점이 밖)과 대응 조건(치역 = 공역)은 따로 확인한다. 하나만 보고 답을 내면 반드시 틀린다.

도전 · 고1서로 같은 함수 · 정의역의 개수

두 함수 f(x) = x³, g(x) = 4x 가 서로 같은 함수가 되도록 하는 정의역 X 는 모두 몇 가지인가?

풀이 — 값이 같아지는 x 를 다 찾고, 그중에서 고른다

서로 같은 함수이려면 정의역의 원소마다 값이 같아야 하므로 x³ = 4x.
옮겨서 인수분해: x³ − 4x = 0 → x(x² − 4) = 0 → x(x − 2)(x + 2) = 0.
값이 같아지는 x 는 −2, 0, 2 의 세 개뿐이다.
⭐ 여기가 고비 — 묻는 것이 「x」가 아니라 「정의역 X」다 x = −2, 0, 2를 구하고 「3가지」라고 답하기 쉽습니다. 묻는 것은 「정의역 X가 몇 가지인가」입니다 — 값이 아니라 집합을 세라는 것입니다. 두 함수가 같아지는 x는 셋뿐이니, 정의역은 그 셋 가운데 골라 만든 집합이면 됩니다 — {−2}도 {0, 2}도 {−2, 0, 2}도 됩니다. 세 개의 부분집합이니 2³ = 8, 여기서 공집합만 뺍니다(정의역이 비면 함수가 아니므로) — 7. ⛔ 앞 단계에서 x로 나누면 x = 0이 사라져 답이 3으로 어긋납니다.
정의역은 그 세 개의 부분집합이면 되므로 2³ = 8, 공집합을 빼 8 − 1 = 7.
검산 — f(−2) = −8 = g(−2) ✓ f(0) = 0 = g(0) ✓ f(2) = 8 = g(2) ✓ 그 밖의 정수는 어느 것도 두 값이 같지 않다 ✓

🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 양변을 x 로 나누면 양변을 x 로 나눠 x² = 4, 곧 x = ±2 둘뿐이라 하고 2² − 1 = 3 가지라 해 봅시다. 그런데 x = 0 을 넣으면 f(0) = g(0) = 0 으로 두 값이 멀쩡히 같습니다. x 가 0일 수도 있는데 그것으로 나누었기 때문입니다. → 나누지 말고 인수분해 : x(x−2)(x+2) = 0 으로 해가 셋, 정의역은 2³ − 1 = 7 가지.

7가지

※ x 로 나누어 x² = 4 라고 하면 x = 0 이라는 해를 잃는다. 0으로 나누지 않도록 반드시 인수분해로 푼다.

도전 · 고1일대일대응 · 내려가는 직선

정의역이 {x | −2 ≤ x ≤ 1}, 공역이 {y | 1 ≤ y ≤ 7} 인 함수 f(x) = ax + b 가 일대일대응이고 a < 0 일 때, a + b 의 값을 구하라.

풀이 — 내려가면 끝이 「엇갈려」 짝지어진다

⭐ 여기가 고비 — 이번에는 끝이 「엇갈려」 짝지어진다 연습 7과 겉모습이 똑같아 그때처럼 f(−2) = 1, f(1) = 7로 놓기 쉽습니다. 다른 것이 딱 하나 있습니다 — a < 0, 곧 내려가는 직선입니다. 내려가는 직선에서는 왼쪽으로 갈수록 값이 크므로 왼쪽 끝 x = −2가 위 끝 y = 7로, 오른쪽 끝 x = 1이 아래 끝 y = 1로 — 끝이 엇갈려 짝지어집니다. 잘못 짝지었는지 확인하는 법도 있습니다 — 반대로 놓고 풀면 a = 2 > 0이 나와 「a < 0」이라는 조건과 스스로 어긋납니다. 기울기의 부호가 곧 끝을 짝짓는 규칙이니, 식을 세우기 전에 부호부터 읽으십시오.
a < 0 이니 내려가는 직선 → f(−2) = 7, f(1) = 1.
식으로 옮기면 −2a + b = 7 ⋯㉠, a + b = 1 ⋯㉡.
㉠ − ㉡ : −3a = 6 이므로 a = −2. ㉡ 에 넣으면 b = 3.
묻는 것은 a + b 이므로 −2 + 3 = 1. (㉡ 이 곧 답이다.)
검산 — f(−2) = 4 + 3 = 7 ✓ f(1) = −2 + 3 = 1 ✓ f(0) = 3 으로 공역 안에 있다 ✓

a = −2, b = 3 · a + b = 1

※ 부호를 안 읽고 f(−2) = 1, f(1) = 7 로 놓으면 a = 2 > 0 이 나와 조건에 어긋난다. 기울기 부호가 곧 끝을 짝짓는 규칙이다.

도전 · 고1유리함수 · 정의역·치역·일대일대응

함수 f(x) = 2x + 1x − 1 에 대하여 정의역과 치역을 구하고, 이 함수가 정의역에서 치역으로의 일대일대응임을 보여라.

풀이 — 분자를 분모로 나누어 「붙지 않는 두 선」을 드러낸다

⭐ 여기가 고비 — 분자에 x가 남아 있으면 치역이 안 보인다 (2x + 1)/(x − 1) 그대로는 정의역 x ≠ 1까지만 보이고, 치역에서 무엇이 빠지는지는 전혀 드러나지 않습니다. 분자에 x가 남아 있는 한 그렇습니다. 그래서 먼저 꼴을 바꿉니다. 분자를 분모의 배수 + 나머지로 쪼개는 것이 방법입니다 — 2x + 1 = 2(x − 1) + 3이므로 f(x) = 2 + 3/(x − 1). 이제 x는 오직 한 곳(분모)에만 남았습니다. 그러면 연습 5와 똑같은 모양이 되어 3/(x−1)은 0이 될 수 없으니 y ≠ 2가 곧바로 보입니다. 「분자에서 x를 몰아내면 붙지 못하는 두 선이 드러난다」 — 유리함수를 다루는 첫걸음입니다.
꼴 바꾸기 — 2x + 1 = 2(x − 1) + 3 이므로 f(x) = 2 + 3x − 1.
정의역 — 분모가 0이면 안 되므로 x ≠ 1.
치역 — y − 2 = 3x − 1 인데 오른쪽은 0이 될 수 없으므로 y ≠ 2.
일대일대응임 — 2가 아닌 어떤 y 를 잡아도 x − 1 = 3y − 2, 곧 x = 1 + 3y − 2 로 되돌아가는 x 가 딱 하나 정해진다. ⇒ 겹치지도(일대일) 남지도(치역 = 공역) 않는다.
검산 — f(2) = 51 = 5 ✓ 거꾸로 y = 5 를 넣으면 x = 1 + 1 = 2 ✓ f(4) = 93 = 3 ✓ 거꾸로 y = 3 → x = 1 + 3 = 4 ✓

정의역 {x | x ≠ 1} · 치역 {y | y ≠ 2} · 일대일대응이다

※ 「되돌아가는 x 가 하나로 정해진다」가 곧 일대일대응이다. 이것이 고1 뒤쪽에서 배울 역함수가 있을 조건 그대로다(제14강 「함수 — 대응을 정확히 센다」).

도전 · 고1치역을 맞추는 정의역 · 범위 구하기

정의역이 {x | a ≤ x ≤ 5} 인 함수 f(x) = x² − 6x + 11 의 치역이 {y | 2 ≤ y ≤ 6} 일 때, 상수 a 의 값의 범위를 구하라.

풀이 — 최솟값 조건과 최댓값 조건을 따로 세우고 겹친다

완전제곱: f(x) = (x − 3)² + 2, 꼭짓점 (3, 2).
최솟값 2 조건 — 2는 꼭짓점에서만 나오므로 x = 3 이 정의역 안에 있어야 한다 → a ≤ 3.
⭐ 여기가 고비 — 왼쪽 끝은 「6을 넘지만 않으면」 된다 f(a) = 6이라 놓으려다 어긋납니다. f(5) = 6으로 최댓값 6은 오른쪽 끝에서 이미 나오니 왼쪽 끝에는 「6을 넘지 마라」만 걸립니다. 그래서 등식이 아니라 부등식이 서고 답도 범위가 됩니다 — (a − 3)² ≤ 4 → 1 ≤ a ≤ 5. 여기에 최솟값 2 조건(꼭짓점이 안에 있어야 하니 a ≤ 3)을 겹쳐 1 ≤ a ≤ 3.
최댓값 6 조건 — f(5) = 6 으로 이미 6이므로 왼쪽 끝이 6을 넘지만 않으면 된다 → f(a) = (a − 3)² + 2 ≤ 6.
풀면 (a − 3)² ≤ 4 → −2 ≤ a − 3 ≤ 2 → 1 ≤ a ≤ 5.
두 조건을 겹치면 1 ≤ a ≤ 3.
검산 — a = 1 : f(1) = 6, 꼭짓점 2, f(5) = 6 → 치역 [2, 6] ✓ a = 3 : f(3) = 2 부터 f(5) = 6 까지 올라감 → [2, 6] ✓ a = 0 : f(0) = 11 > 6 ✗ a = 3.5 : 꼭짓점이 빠져 최솟값이 f(3.5) = 2.25 ✗

🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 왼쪽 끝도 「값이 6이어야 한다」고 놓으면 f(a) = 6 이라 놓아 a = 1 하나만 답이라 해 봅시다. a = 2 도 치역이 [2, 6] 이라 답인데 빠졌습니다. → f(a) ≤ 6 으로 놓아야 답이 범위가 됩니다.

1 ≤ a ≤ 3

※ 범위를 묻는 문제는 답이 하나가 아니다. 「최솟값이 어디서 나오나」와 「최댓값이 어디서 나오나」를 따로 세우고 마지막에 겹치는 것이 정석이다.

🌱 여기서 더 넓혀 쓰기

오늘의 무기 여섯 가지는 고등학교 내내 모습을 바꿔 다시 나옵니다.

역함수

고1 · 함수

「되돌아가는 x 가 하나로 정해진다」는 곧 역함수가 있을 조건입니다. 그래서 일대일대응인 함수만 역함수를 갖고, 그 그래프는 y = x 에 대칭입니다(제14강 「함수 — 대응을 정확히 센다」).

합성함수

고1 · 함수

g∘f 가 되려면 f 의 치역이 g 의 정의역 안에 있어야 합니다. 오늘 배운 「치역은 공역 안」이라는 눈이 그대로 조건이 됩니다.

유리함수와 무리함수

고1 · 함수

「분모가 0이면 안 된다」·「근호 안이 음수면 안 된다」가 곧 정의역을 정하는 규칙입니다. 붙지 않는 두 선(점근선)을 읽는 손놀림도 오늘 것 그대로예요(제15·16강).

함수의 개수 세기

고1 · 함수 · 경우의 수

네 갈래를 알면 세는 것으로 넘어갑니다 — 함수 n(Y)^n(X), 일대일함수는 갈 곳이 하나씩 줄어드는 곱셈, 상수함수는 n(Y). 제53강 함수 심화에서 이어집니다.

※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 손과 파이썬 전수 검산으로 확인한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).

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